《現(xiàn)代控制理論(第三版)》答案劉豹_唐萬生編

1、2- K ps K 1x5 +J第一章答案1-1 試求圖 1-27 系統(tǒng)的模擬結構圖，并建立其狀態(tài)空間表達式。U (s) + K 1+ Kps K1 + 1s - J1s-Kn sKb ( s)J2s圖1-27系統(tǒng)方塊結構圖解：系統(tǒng)的模擬結構圖如下：+U ( s) -K1 + x6+K p-K1KpKpK 1 + 1 x3 K b1 J 2-x4K nx2 x1(s)圖1-30雙輸入 -雙輸出系統(tǒng)模擬結構圖系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：J HYPERLINK l _bookmark7 1K HYPERLINK l _bookmark8 1J HYPERLINK l _bookmark1 2K pK p

2、K p1K?x1?x2?x3?x4?x5?x6x HYPERLINK l _bookmark1 2K b x HYPERLINK l _bookmark2 3K p x HYPERLINK l _bookmark3 3x HYPERLINK l _bookmark4 3K 1x HYPERLINK l _bookmark5 3x HYPERLINK l _bookmark6 1J1K nx4J1 J1 阿1 x5 K p x6K 1X 6x6 K1 u令 (s) y ，則 y x1所以，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式及輸出方程表達式為?x1?x2?x3x4?x5?x6y00000K 1 K p1 0 0

3、10000000 K b J2K pJ 11 K 1 00 000K n J 1000 x1x2x3x4x5x6001J00000K pJ 10K 1 K1 K px1x2x3x4x5x600000K 1 K pu1-2 有電路如圖 1-28 所示。以電壓 u(t) 為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻 R 2 上的電壓作為輸出量的輸出方程。R1 L1 L2i1 i2CU-Uc- R2圖1-28 電路圖解：由圖，令 i1 x1 , i 2有 電 路 原 理 可x?x1?2?x3y211CLLR1 x HYPERLINK l _bookmark9 1R 2 x

4、 HYPERLINK l _bookmark10 2x1R2x2L1 L111 1C1x3 ux3L2x2寫成矢量矩陣形式為：。x1。x2。x3yRL1101C0 R2xR02L21C10 x2x3L1L1 120知x2 , uc：x3 ，輸出量 y R2 x2R1 x1 L1 x1 x3 u?L2 x 2 R2 x2 x3?x1 x2 C x3既 得x1x2x3L110 u 01-4 兩輸入 u 1， u2 ，兩輸出 y1， y2 的系統(tǒng)，其模擬結構圖如圖 1-30 所示，試求其狀態(tài)空間表達式和傳遞函數(shù)陣。ax1 x2 x3 x40 00 b20 0b1 0 uu1b1 +-a1a2y1-a

5、5 a6 1u2 b2 + - + +- a34圖1-30 雙輸入 -雙輸出系統(tǒng)模擬結構圖y2解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式如下所示：x1x2x3x40a2101a10a5x1x2x3x41s a10a5y1 0 1 021as(sI A)0Wux ( s) (sI A) 1 BWuy ( s) C (sI A) 1 B0 0 0 a HYPERLINK l _bookmark11 60 1 a4 a HYPERLINK l _bookmark12 310 00 a6s 1a4 a3sa2 s a HYPERLINK l _bookmark7 11 0 0 a HYPERLINK l _bookma

6、rk13 51 0 1 0s10 0 0 0 0 a6 b1 0 s 1 0 0 a4 a3 0 b HYPERLINK l _bookmark10 21 0 0 1 0 0a2 s a1 0 a6 b1 01 0 s 1 0 00 a5 a4 a3 0 b2x HYPERLINK l _bookmark7 1x HYPERLINK l _bookmark17 3s(s 2)( s 3) 21-5 系統(tǒng)的動態(tài)特性由下列微分方程描述. . . .(2) y 5 y 7 y 3y u 3u 2u列寫其相應的狀態(tài)空間表達式，并畫出相應的模擬結構圖。解：令 x 1。x1。x2。x3003. .y， x

7、 2 y， x 3 y ，則有1 0 x HYPERLINK l _bookmark14 10 1 x HYPERLINK l _bookmark15 27 5 x HYPERLINK l _bookmark2 300 u 1x HYPERLINK l _bookmark14 1y 2 3 1 x HYPERLINK l _bookmark15 2x HYPERLINK l _bookmark2 3相應的模擬結構圖如下：u-513+ 2 +x HYPERLINK l _bookmark16 273+ y1-6 （2）已知系統(tǒng)傳遞函數(shù) W ( s) 6( s 1) ,試求出系統(tǒng)的約旦標準型的實現(xiàn)

8、，并畫出相應的模擬結構圖解： W (s)10 16( s 1) 4 3 3 3s( s 2)( s 3)2 ( s 3)2 s 3 s 2 sx1 x2 x3 x411( s 3)( s 2)( s 1)s3 1 00 3 00 0 20 0 0y410 133 30000 x1 x2 x3 x4x1x2x3x40u11-7 給定下列狀態(tài)空間表達式y(tǒng)x1x2x30（1） （2）解：1 1 3 x3 20 1 0 x1 02 3 0 x2 1 u x10 1 x HYPERLINK l _bookmark16 2x HYPERLINK l _bookmark18 3畫出其模擬結構圖求系統(tǒng)的傳遞函

9、數(shù)s1 0（2） W( s) (sI A) 2 s 3 01 1 s 3sI A s( s 3)2 2(s 3) ( s 3)( s 2)( s 1)s 3 2 s 3 0(sI A) 1 1 2( s 3) s( s 3) 05 s 1 ( s 1)( sWux ( s) (sI A) 1 B1(s 3)( s 2)( s 1)s 3 2 s 3 2( s 3) s(s 3)s 5 s 11( s 3)( s 2)(s 1)(s HYPERLINK l _bookmark19 3)s( s HYPERLINK l _bookmark20 3)(2s 1)( s HYPERLINK l _bo

10、okmark2 3)2)(s0 00 11)(s 2) 22 ）(s HYPERLINK l _bookmark19 3)Wuy ( s) C (sI A) 1 B 0 0 1 s( s HYPERLINK l _bookmark20 3)(2s 1)( s HYPERLINK l _bookmark2 3)(2s 1)( s 2)(s 1)1-8 求下列矩陣的特征矢量1(s 3)( s 2)( s 1)01（3） A312072p026, 310711I A31023261112 7 6解： A 的特征方程解之得：11, 2031230 p112 p216 p31ppp11p21p3111得

11、 P1 p2131當 1 1 時，解得： p21 p31令 p11 1（或令 p11當 1 2 時，pp111 ，得 P1 p21310 1 03 0 2p11 ）112p22 2p12 p22pp解 得 ：12P2 p2232p12222417 62 p12 , p3221pp32 p3212令 p12 261110得（或令 p12 1 ，得 P2p12p22p32112x2x3x15 3,pppp當 1 3 時，0 1 0 p133 0 2 p2312 7 6 p33133 p23p33解 得 ：13P3 p2333231333 p13 , p33 3 p13令 p13 1得1-9 將下列

12、狀態(tài)空間表達式化成約旦標準型（并聯(lián)分解）x1 x2 x3y1 y24 1 21 0 21 1 31 2 00 1 1x1x2x33 12 7 u（2）解： A 的特征方程 I A4 1 21 2 ( 1)( 3) 2 01 1 31 2 3, 3 1當 1 3 時，解之得 p21411p31101p11223p11p21p31p113 p21 p31令 p11 1得 P1p11 1p21 1p31 1當 2 3時，解之得 p12411p221 20 21 31, p22p11p21p31p32p113 p21p31令 p121111得 P2p12 1p22 0p32 0114 1 2 p13

13、p13當 3 1 時， 1 0 2 p23 p231 1 3 p33 p33解 之 得 p13 0 , p23 2 p33p13 0P3 p23 2p33 1令 p33 1 得1 1 0T 1 0 21 0 1T010111221T B0 1 2 3 11 1 2 2 70 1 1 5 38 15 23 41 1 0 1 2 0 3 1 4xCT 1 0 2 約旦標準型0 1 1 2 0 31 0 1y300321301000143xx8 15 2 u3 4第二章答案2-4 用三種方法計算以下矩陣指數(shù)函數(shù) eAt 。（2） A=p21p11 p21 3 p111At22 4eeesI A1 1

14、4 1解：第一種方法：令 I A 0則14求解得到11120 ，即 1 4 0 。3， 2 1當 1 3 時，特征矢量由 Ap1 1 p1 ，得1 14 1p11p1p11 3 p11p21 3 p21即，可令 p1 4 p11 p21 3 p2112當 2 1時，特征矢量由 Ap2 2 p2 ，得1 14 1p2p12p22p12p22p12p22即p12 p22 4 p12 p22p12 p22，可令 p212則T1 12 2， T1 12 41 12 4e1212e3t00et1 12 41 12 4e1 3t2e3t1 t 1 e3te t 1 e3t1 t41 t2第二種方法，即拉氏

15、反變換法：s1 14 s 1Le3teeeee3teAteeeee2t2t2t2tsI A 11 s 1 1s 3 s 1 4 s 1s1 1s 3 s 1 s 3 s 14 s 1s 3 s 1 s 3 s 11 1 1 1 1 12 s 3 s 11 1s 3 s 14 s 3 s 11 1 12 s 3 s 1eAt 1sI A1 3t1 2e1 t2et1 3t41 3t21 t41 t2第三種方法，即凱萊哈密頓定理由第一種方法可知 1 3， 2 10111 31 1e e t3t1 34 41 14 4ee te1 3t4e1 3t43 t41 e t 4ee1 3t43 t41 0

16、0 11 3t43 e t 41 14 1e1 3t2e3t1 t2ete1 3t4e1 3t21 t41 t22-5 下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對應的 A 陣。（ 3 ） t2e t e tee2e2e2e te t（ 4 ）2e t 2e 2t2 2eeee11sI Ax011t2e t e3t e t e3t1412e t e3te t e3t解： （3） 因為 0 10A t t 0 e t 2e 2t（4）因為 01 00 101I， 所以該矩陣滿足狀態(tài)轉移矩陣的條件4e2t 2e t4e 2t e t t 00 21 3I ，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉移矩陣的

17、條件A t t 01 t 3 e3te t 3e3t1 t41 t2e3 3t43 3t2 t 01 14 12-6 求下列狀態(tài)空間表達式的解：x0 10 0uy 1,0 x初始狀態(tài) x 0 ，輸入 u t 時單位階躍函數(shù)。解： A0 10 0s10 ssI A1 1s2s 10 s1s01s21sAtx 0 0 t Bu d01t tt1 X+11 X +2uttt因為x teBt1 t 0 1t11L1 sI A1 1 t0 1， u t I tt11t 1 t0 0 101d0 1 d111 22t1 22tt11y 1 0 x 1 t 2 t 12-9 有系統(tǒng)如圖 2.2 所示，試求離

18、散化的狀態(tài)空間表達式。設采樣周期分別為 T=0.1s 和 1s，而 u1 和 u2 為分段常數(shù)。u 1 x 1K/(s+1) Xu2-+ 1/sx 2 y+2圖 2.2 系統(tǒng)結構圖解：將此圖化成模擬結構圖K X -x1u2-X x 2 + y21 s 1 e1 0eT01 0 kx x2 120 x列出狀態(tài)方程x1 ku1 x1x2 x1 u2y x2 2x11 0 k 0 u11 0 0 1 u2y x1則離散時間狀態(tài)空間表達式為x k 1 G T x k H T u ky k cx k Du k由 G T eAt 和 H T eAt dtB 得：0 TA B C1 0 0 1At L 1

19、sI A L 1 s 1 e T T2101T TH 0 eAt dt 0當 T=1 時當 T=0.1 時e t 1 e Tdt1 e 11e0 k 01 0 1 Tx k 101 e T1 e Tx k10 k 0 T 0 1k 1 e 1 ke 1ky k 1 2 1 x1 e 0.1 10.10ex k 1 x kk 1 e k e 0.1y k 1 2 1 x kk 1 e T k T 1 e T0Tu k10.10.90u k0.10 0 x2 00 x3 0第三章答案3-1 判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測性。系統(tǒng)中 a,b,c,d的取值對能控性和能觀性是否有關，若有關，其取值條件

20、如何？（1）系統(tǒng)如圖 3.16 所示：u +-x1ax2 + + x3 +- -b c d-圖3.16系統(tǒng)模擬結構圖yx4解：由圖可得：?x1 ax1 u ? x2 bx HYPERLINK l _bookmark10 2? x3 cx3 x HYPERLINK l _bookmark21 2?x4 x3 dx HYPERLINK l _bookmark22 4y x HYPERLINK l _bookmark23 3狀態(tài)空間表達式為：?x1 a 0?x2 0 bx3 1 1? 0 0 x HYPERLINK l _bookmark24 4y 0 0 1 0 xx1 x1 x2 cx30 0

21、x1 1c u1 d x4 0? ? ?由于 x2 、 x3 、 x4 與u 無關，因而狀態(tài)不能完全能控，為不能控系統(tǒng)。由于 y 只與 x3 有關，因而系統(tǒng)為不完全能觀的，為不能觀系統(tǒng)。12uyX 1 1x（3）系統(tǒng)如下式：?x1?x23y0 0 01 10 10 0c 0 d x解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，0 x1 2 10 x2 a 0 u2 x3 b 0A 為約旦標準形。要使系統(tǒng)能控，控制矩陣 b 中相對于約旦塊的最后一行元素不能為 0，故有 a 0, b 0 。要使系統(tǒng)能觀，則 C 中對應于約旦塊的第一列元素不全為 0，故有c 0 , d 0 。3-2 時不變系統(tǒng)? X311X31

22、11 11 1試用兩種方法判別其能控性和能觀性。解：方法一：AMrankM 1 2, 系統(tǒng)不能控。rankN 2 , 系統(tǒng)能觀。31,1B3111,11 1 - 2B AB1 1 - 21CNCA41 C1- 2- 2112411方法二：將系統(tǒng)化為約旦標準形。111I A1 2，則狀態(tài)矢量： A 1P1A 2 P2T1T - AT 22T - BCT312 41 P12 P21 1，1 - 11 23 1 031TPP12-111- 11 12 21 12 212121212- 3112121 1 1 - 2 0- 3 1 - 1 0 - 41 1 1 11 1 0 01 1 1 1 2 01

23、 - 1 1 - 1 0 2T -1B 中有全為零的行， 系統(tǒng)不可控。 CT 中沒有全為 0 的列， 系統(tǒng)可觀。3-3 確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)i和 i0(1) A 11, b2,1C1解：構造能控陣：要使系統(tǒng)完全能控，則 構造能觀陣：1 111M b Ab1 121 1 2 ，即 1 2 1 0CNCA11112210 6 15要使系統(tǒng)完全能觀，則 1 23-4 設系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是y( s) u( s) s31 ，即1s a10s 27s2 1 018（1）當 a取何值時，系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的？（2）當 a取上述值時，求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達式

24、。（3）當 a取上述值時，求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達式。 解： (1) 方法 1 ： W (s) 系統(tǒng)能控且能觀的條件為 W(s)沒有零極點對消。因此當 a=1,或 a=3或 a=6 時，系統(tǒng)為不能控或不能觀。 方法 2：y(s) s a u(s) (s 1)(s 3)( s HYPERLINK l _bookmark11 6)1?X1，1002030a- 110s13， 300 X6a 3 a - 66 15s 3 s 6611 u 1y a 1 a 3 a 6 X系統(tǒng)能控且能觀的條件為矩陣 C 不存在全為 0 的列。因此當 a=1,或a=3 或 a=6 時，系統(tǒng)為不能控或不能觀。（2

25、）當 a=1, a=3 或 a=6 時，系統(tǒng)可化為能控標準 I 型傳遞函數(shù)為 W( s) 6s3 6s2 11s 6s6ys 4s 3s 6s 8xy0 10 018 27a 1 0 x0 01 x 010 1（3）根據對偶原理，當ua=1, a=2或 a=4 時，系統(tǒng)的能觀標準 II 型為0 0 18 ax 1 0 27 x 1 u0 1 10 0y 0 0 1 x. .3-6 已知系統(tǒng)的微分方程為： y 6 y 11y 6y 6u試寫出其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式及其傳遞函數(shù)。解： a0 6， a1 11， a2 6， a3 3， b0 6系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為0 1 0 0 x 0 0 1

26、 x 0 u6 11 6 1y 6 0 0 x傳遞函數(shù)為1 0 1 0W(s) C(sI - A) - 1 B 6 0 0 0 s 1 06 11 s 6 1其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：0 0 6 6x 1 0 11 x 0 u0 1 6 00 0 1 xs3 6s2 11s 63-9 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2W( s ) 22s12x0120 - 3 51 - 4 2s試求其能控標準型和能觀標準型。解： W (s) 26s 84s 32s 5s 4s 3系統(tǒng)的能控標準 I 型為x y0 1- 3 - 45 2 x uu能觀標準 II 型為x x uy 0 1 x u3-10 給定下列狀態(tài)空間方程，試判別其是否變換為能控和能觀標準型。解： ArankM 2CN CACAxy0 1 02 3 0 ， b1 1 30 12 31 10 0 1 x0000 x1 u3