24223切線長定理

1、切線長定理1、圓的切線的定義是什么？一、活動準備2、圓的切線有哪些判定方法？3、你能過圓上一點作出圓的切線嗎？ 能說出作圖的步驟嗎？理論依據(jù)是 什么？O作圖的步驟：1、連接OA;2、過點A作直線lOA.二、活動一1、你能過圓外一點作出圓的切線嗎？ O2、能說出作圖的步驟嗎？3、理論依據(jù)是什么？4、過圓外一點能作幾條圓的切線嗎？ 過圓外一點作圓的切線，這點和切點之的線段的長，叫做這點到圓的切線長。O思考：切線與切線長有區(qū)別嗎？ 經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長叫做切線長。數(shù)學探究OBPA切線長和切線的區(qū)別和聯(lián)系:切線是直線，不可以度量；切線長是指切線上的一條線段的長，可以度量。如

2、圖，紙上有一O ，PA為O的一條切線，沿著直線PO對折，設(shè)圓上與點A重合的點為B。1.OB是O的一條半徑嗎？2.PB是O的切線嗎？3.PA、PB有何關(guān)系？4.APO和BPO有何關(guān)系？數(shù)學探究PAOB問題：已知： 求證：如圖，P為 O外一點，PA、PB為 O的切線，A、B為切點，連結(jié)PO切線長定理 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。OBPARtAOPRtBOPOPAB PA=PB PO平分APB12連結(jié)OA、OB、PA、PB與O相切，點A、B是切點1 =2OAAP，OBBPOAP=OBP=90OA=OB，OP=OPPA=PBPA、PB分別切O于

3、A、BPA = PBOPA=OPB 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。 切線長定理APO。B幾何語言:反思：切線長定理為證明線段相等、角相等提 供了新的方法數(shù)學探究OBPA思考：連結(jié)AB，則AB與PO有怎樣的位置關(guān)系？ 為什么？你還能得出什么結(jié)論？E例.PA、PB是O的兩條切線，A、B為切點，直線OP交于O于點D、E，交AB于C。BAPOCED（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系OAPA，OB PB，AB OP（3）寫出圖中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP（4）寫出圖中所有的等腰三角形ABP AOB（5）若PA=4、PD

4、=2，求半徑OA（2）寫出圖中與OAC相等的角OAC=OBC=APC=BPC已知：如圖PA、PB是 O的兩條切線，A、B為切點。直線OP交 O于D、E，交AB于C。OPABCDE（1）如果半徑為3cm，PO=6cm，則點P到 O的切線長為 cm，兩切線的夾角等于 度60我們學過的切線，有 性質(zhì)：1、切線和圓只有一個公共點；2、切線和圓心的距離等于圓的半徑；3、切線垂直于過切點的半徑；4、經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；5、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心。6、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。六個。PBAO（3）連結(jié)圓心和圓外一點（2）連結(jié)兩切

5、點（1）分別連結(jié)圓心和切點反思：在解決有關(guān)圓的切線長的問題時，往往需要我們構(gòu)建基本圖形。反思：在解決有關(guān)圓的切線長問題時，往往需要我們構(gòu)建基本圖形。1.切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。 小結(jié)：APO。BECDPA、PB分別切O于A、BPA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分AB 切線長定理為證明線段相等，角相等，弧相等，垂直關(guān)系提供了理論依據(jù)。必須掌握并能靈活應(yīng)用。一、判斷（1）過任意一點總可以作圓的兩條切線（ ）（2）從圓外一點引圓的兩條切線，它們的長相等。練習(1)如圖PA、PB切圓于A、B兩點， 連結(jié)PO，則 度。PBOA

6、二、填空25（3）如圖，PA、PB、DE分別切O于A、B、C，DE分別交PA，PB于D、E，已知P到O的切線長為8CM，則 PDE的周長為（ ）AA 16cmD 8cmC 12cmB 14cmDCBEAP1、已知，如圖，PA、PB是O的兩條切線，A、B為切點.直線 OP 交 O 于點 D、E，交 AB 于 C.（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半徑 OA的長.AOCDPBE例2、如圖，過半徑為6cm的O外一點P作圓的切線PA、PB，連結(jié)PO交O于F，過F作O切線分別交PA、PB于D、E，如果PO10cm， 求PED的周長。FOEDPBA

7、OPABCDE（5）如果PA=4cm，PD=2cm，試求半徑OA的長。x即：解得： x=3cm半徑OA的長為3cm例1、如圖，PA、PB是O的切線，A、B為切點，OAB30（1）求APB的度數(shù)；（2）當OA3時，求AP的長 PBAO練習 如圖，從O外一點P作O的兩條切線，分別切O于A 、B，在AB上任取一點C作O的切線分別交PA 、PB于D 、E（1）若PA=2，則PDE的周長為_；若PA=a，則PDE的周長為_。（2）連結(jié)OD 、OE，若P=40 ，則DOE=_;若P=k,DOE=_ 度 。E OCBDPA42a70 隨堂訓練(2)觀察OP與BC的位置關(guān)系，并給予證明。(1)若OA=3cm,

8、 APB=60，則PA=_.PABCOM如圖，AC為O的直徑，PA、PB分別切O于點A、B，OP交O于點M，連結(jié)BC。試一試：已知：如圖，P為O外一點，PA，PB為O的切線，A和B是切點，BC是直徑。C50，求APB的度數(shù)求證：ACOP。 ABOCPAOBC試一試：如圖1，一個圓球放置在V形架中。圖2是它的平面示意圖，CA和CB都是O的切線，切點分別是A、B。如果O的半徑為 cm，且AB=6cm，求ACB。 思考：當切點F在弧AB上運動時，問PED的周長、DOE的度數(shù)是否發(fā)生變化，請說明理由。FOEDPBA思考 如圖,一張三角形的鐵皮,如何在它上面截下一塊圓形的用料,并且使圓的面積盡可能大呢?

9、IDooo三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形三邊的距離相等。數(shù)學探究DEF問題：如圖ABC，要求畫ABC的內(nèi)切圓，如何畫？ 已知：ABC求作：和ABC的各邊都相切的圓BCAID作法：1、作B、C的平分線BM、CN，交點為I2、過點I作IDBC，垂足為D3、以I為圓心，ID為半徑作II就是所求的圓 NMABCO三角形的外接圓：三角形的內(nèi)切圓：ABCID明確 1.一個三角形有且只有一個內(nèi)切圓；2.一個圓有無數(shù)個外切三角形；3.三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平 分線的交點；4.

10、三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。 試說明圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等例3、 已知四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA分別與O相切于P、Q、M、N，求證：AB+CD=AD+BC。 DABCOMNPQABDLMNPO結(jié)論：圓的外切四邊形的兩組對邊和相等。已知：四邊形ABCD的邊 AB，BC，CD，DA和圓O分別相切于L，M，N，P。探索圓外切四邊形邊的關(guān)系。C（1）找出圖中所有相等的線段（2）填空：AB+CD AD+BC（,=)=DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM比較圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓的內(nèi)接四邊形：角的關(guān)系圓的外切四邊形：邊的關(guān)系1、四邊形ABCD外切于O（1）若AB

11、：BC：CD：DA=2：3：n：4 則n=_（2）若AB：BC：CD=5：4：7，周長為48 則最長的邊為_2、圓內(nèi)接平行四邊形是矩形圓外切平行四邊形是_練習二ABCDACBDOABCDOO3、圓內(nèi)接梯形為等腰梯形4、（1）已知圓外切等腰梯形的中位線長 為3cm，則腰長為_ABDCEF反思：圓外切等腰梯形的腰長等于中位線長（2）若圓外切等腰梯形，兩腰之比為9：11 差為6cm，則中位線為_ 若S梯=150cm，則內(nèi)切圓的直徑為_ABDCEF如圖， ABC的內(nèi)切圓分別和BC，AC，AB切于D，E，F(xiàn)；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,則BC= cm,AC= AB= 116cm9cmB

12、DACFE274 練習四 已知：ABC是O外切三角形，切點為D，E，F(xiàn)。若BC14 cm ，AC9cm，AB13cm。求AF，BD，CE。 ABCDEFxxyyOzz解:設(shè)AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm則AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依題意得方程組x+y=13y+z=14x+z=9解得:Z=5X+y+z=18x+y=13已知:如圖,O是RtABC的內(nèi)切圓,C是直角,三邊長分別是a,b,c.求O的半徑r. ABCODEF（1）Rt的三邊長與其內(nèi)切圓半徑間的關(guān)系13探究三求直角三角形內(nèi)切圓的半徑ABCEDFO如圖，RtABC中，C90,BCa,ACb, ABc

13、,O為RtABC的內(nèi)切圓. 求：RtABC的內(nèi)切圓的半徑 r.設(shè)AD= x , BE= y ,CE r O與RtABC的三邊都相切ADAF,BEBF,CECD則有xrbyraxyc解：設(shè)RtABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OD、OE、OF則OAAC，OEBC，OFAB。解得rabc2結(jié)論設(shè)RtABC的直角邊為a、b，斜邊為c，則RtABC的內(nèi)切圓的半徑 r 或rabc2ababcABCEDFO如圖，RtABC中，C90,BC3,AC4, O為RtABC的內(nèi)切圓. （1）求RtABC的內(nèi)切圓的半徑 . （2）若移動點O的位置，使O保持與ABC的邊AC、BC都相切，求O的半徑r的取值范圍

14、。設(shè)AD= x , BE= y ,CE r O與RtABC的三邊都相切ADAF,BEBF,CECD則有xr4yr3xy5解：（1）設(shè)RtABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OD、OE、OF則OAAC，OEBC，OFAB。解得r1在RtABC中，BC3,AC4, AB5由已知可得四邊形ODCE為正方形，CDCEOD RtABC的內(nèi)切圓的半徑為1。（2）如圖所示，設(shè)與BC、AC相切的最大圓與BC、AC的切點分別為B、D,連結(jié)OB、OD,則四邊形BODC為正方形。ABODCOBBC3半徑r的取值范圍為0r3點評幾何問題代數(shù)化是解決幾何問題的一種重要方法。例.如圖，ABC中,C =90 ,它的內(nèi)

15、切圓O分別與邊AB、BC、CA相切于點D、E、F，且BD=12，AD=8，求O的半徑r.OEBDCAF探究三求一般三角形內(nèi)切圓的半徑(2)已知:如圖,ABC的面積為S,三邊長分別為a,b,c.求內(nèi)切圓O的半徑r.ABCOODEFBDEFOCA如圖，ABC的內(nèi)切圓的半徑為r, ABC的周長為l,求ABC的面積S.解：設(shè)ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE、OF，則ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF lr設(shè)ABC的三邊為a、b、c，面積為S，則ABC的內(nèi)切圓的半徑 r結(jié)論2Sabc三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)計算

16、14小練習1.邊長為3、4、5的三角形的內(nèi)切圓的半徑為2. 邊長為5、5、6的三角形的內(nèi)切圓的半徑為3. 已知:ABC的面積S=4cm,周長等于 10cm.求內(nèi)切圓O的半徑r.基礎(chǔ)題：1.既有外接圓,又內(nèi)切圓的平行四邊形是_.2.直角三角形的外接圓半徑為5cm,內(nèi)切圓半徑為1cm, 則此三角形的周長是_.3.O是邊長為2cm的正方形ABCD的內(nèi)切圓,EF切O 于P點，交AB、BC于E、F，則BEF的周長是_.EFHG正方形22cm2cm OABCDEF OABCDE選做題：如圖，AB是O的直徑，AD、DC、BC是切線，點A、E、B為切點，若BC=9，AD=4，求OE的長.例：如圖， ABC的內(nèi)切圓O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13c