《指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系》指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)PPT【精品推薦課件】

1、4.3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù) 人教版高中數(shù)學(xué)B版必修二一二一、反函數(shù)的概念1.(1)已知一次函數(shù)y=2x-1,你能從方程的角度把x用y表示出來嗎?一二2.填空.(1)反函數(shù)的定義一般地,如果在函數(shù)y=f(x)中,給定值域中任意一個(gè)y的值,只有唯一的x與之對(duì)應(yīng),那么x是y的函數(shù),這個(gè)函數(shù)稱為y=f(x)的反函數(shù).(2)反函數(shù)的記法函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)通常用y=f-1(x)表示.(3)互為反函數(shù)的性質(zhì)y=f(x)的定義域與y=f-1(x)的值域相同.y=f(x)的值域與y=f-1(x)的定義域相同.y=f(x)與y=f-1(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.一二一二二、

2、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系1.函數(shù)y=ax(a0,且a1)與函數(shù)y=logax(a0,且a1)的解析式有何內(nèi)在聯(lián)系?提示:根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化可知y=ax可化為對(duì)數(shù)式“x=logay”,再將等式“x=logay”中的x,y互換,也就形成了對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax,從這一內(nèi)在聯(lián)系可以看出y=ax與y=logax的定義域和值域是互換的.2.函數(shù)y=ax(a0,且a1)與函數(shù)y=logax(a0,且a1)的單調(diào)性有一致性嗎?提示:當(dāng)0a1時(shí),上述兩個(gè)函數(shù)均是其定義域上的增函數(shù).因此單調(diào)性具有一致性,但變化速度有差異.一二3.填空.(1)關(guān)系指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a0

3、,a1)互為反函數(shù).(2)圖像特征指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a0,a1)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.4.做一做:若函數(shù)y=log3x+1的反函數(shù)的定義域?yàn)?3,+),則此函數(shù)的定義域?yàn)?答案:(9,+)解析:函數(shù)y=log3x+1的反函數(shù)的定義域?yàn)?3,+),也即這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)?3,+),所以log3x+13,即log3x2,所以x9.所以此函數(shù)的定義域?yàn)?9,+).探究一探究二探究三思維辨析求反函數(shù)例1求下列函數(shù)的反函數(shù):分析:按照求反函數(shù)的基本步驟求解即可.解:(1)由y=log2x,得x=2y,當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析反思感悟求函數(shù)的反函數(shù)的主要步

4、驟:(1)從y=f(x)中解出x=(y);(2)x,y互換;(3)標(biāo)明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域),簡(jiǎn)記為“一解、二換、三寫”.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練1求函數(shù)y=2x+1(x0)的反函數(shù).解:由y=2x+1,得2x=y-1,x=log2(y-1),y=log2(x-1).又x0,02x1,12x+12.所求函數(shù)的反函數(shù)為y=log2(x-1)(1x0,且a1,則函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖像只能是()(2)將y=2x的圖像(),再作關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖像,可得到函數(shù)y=log2(x+1)的圖像.A.先向上平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度B.先向右平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度C.

5、先向左平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度D.先向下平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度答案:(1)B(2)D 當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析解析:(1)方法一:首先,曲線y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,從而排除A,C.其次,從單調(diào)性著眼.y=ax與y=loga(-x)的單調(diào)性正好相反,又可排除D.故選B.方法二:若0a1,則曲線y=ax上升且過點(diǎn)(0,1),而曲線y=loga(-x)下降且過點(diǎn)(-1,0),只有B滿足條件.方法三:如果注意到y(tǒng)=loga(-x)的圖像關(guān)于y軸的對(duì)稱圖像為y=logax,又y=logax與y=ax互為反函數(shù)(圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱),則可直接選B.(2)本題

6、是關(guān)于圖像的平移變換和對(duì)稱變換,可求出解析式或利用幾何圖形直觀推斷.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析反思感悟互為反函數(shù)的圖像特點(diǎn):(1)互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱;圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù).(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性一致.(3)若一奇函數(shù)有反函數(shù),則它的反函數(shù)也是奇函數(shù).當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析答案:C 當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用例3設(shè)方程2x+x-3=0的根為a,方程log2x+x-3=0的根為b,求a+b的值.分析:根據(jù)方程的特點(diǎn),難以從正面下手,可轉(zhuǎn)變方程形式,用數(shù)形結(jié)合的方法求解.解:將方

7、程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.如圖可知,a是指數(shù)函數(shù)y=2x的圖像與直線y=-x+3交點(diǎn)A的橫坐標(biāo),b是對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x的圖像與直線y=-x+3交點(diǎn)B的橫坐標(biāo).當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析由于函數(shù)y=2x與y=log2x互為反函數(shù),所以它們的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱,由題意可得出A,B兩點(diǎn)也關(guān)于直線y=x對(duì)稱,于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(a,b),B(b,a).則A,B都在直線y=-x+3上,b=-a+3(A點(diǎn)坐標(biāo)代入),或a=-b+3(B點(diǎn)坐標(biāo)代入),故a+b=3.反思感悟方程解的個(gè)數(shù)問題的求解策略根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想可較為簡(jiǎn)

8、便地解決有關(guān)方程解的個(gè)數(shù)問題.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析延伸探究 答案:4 當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析因?qū)Ψ春瘮?shù)定義理解:不清而致誤典例 已知函數(shù)y=f(x+1)與函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱,且g(x)的圖像過定點(diǎn)(1,2 018),則y=f-1(x+1)的圖像過定點(diǎn).錯(cuò)解:g(x)的圖像過定點(diǎn)(1,2 018),y=f(x+1)的圖像過定點(diǎn)(2 018,1).y=f-1(x+1)的圖像過定點(diǎn)(1,2 018).以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何訂正?你怎么防范?提示:錯(cuò)解過程是誤認(rèn)為f(x+1)與f-1(x+1)互為反函數(shù),實(shí)際上是f(x)與f

9、-1(x)互為反函數(shù),對(duì)此不能對(duì)自變量x隨意變化拓展.當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析正解:g(x)的圖像過定點(diǎn)(1,2 018),f(x+1)的圖像過定點(diǎn)(2 018,1).又f(x)的圖像可以看作由f(x+1)的圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的,f(x)過定點(diǎn)(2 019,1).又f(x)與f-1(x)互為反函數(shù),f-1(x)的圖像過定點(diǎn)(1,2 019).再結(jié)合f-1(x)與f-1(x+1)的關(guān)系可知,f-1(x+1)的圖像過定點(diǎn)(0,2 019).防范措施1.防止以上錯(cuò)誤的產(chǎn)生,首先要明確反函數(shù)的求解原則和步驟,并且要清楚f(x)與f-1(x)是互為反函數(shù)的本質(zhì)是等式中的x,y進(jìn)行了互

10、換.2.對(duì)于復(fù)合函數(shù)f(x+1)的函數(shù)的求解,可將“x+1”看成整體來對(duì)待,即由y=f(x+1)可初步得x+1=f-1(y),即y=f-1(x)-1才是y=f(x+1)的反函數(shù).當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練已知函數(shù)y=f(x-2)的圖像過定點(diǎn)(2,6),則函數(shù)y=f-1(x-2)的圖像過定點(diǎn).答案:(8,0)當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)答案:B2.函數(shù)y=x+2(xR)的反函數(shù)為()A.x=2-yB.x=y-2C.y=2-x(xR)D.y=x-2(xR)答案:D解析:由y=x+2(xR),得x=y-2(xR).互換x,y,得y=x-2(xR).探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測(cè)3.已知函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=f-1(x),如果函數(shù)y=f(x)的圖像過點(diǎn)(1