滬教版高中一年級奧數(shù)《三角不等式與三角最值》精講

1、第11講三角不等式與三角最值 第11講三角不等式與三角最值亮賽熱點、考點、知識點在數(shù)學中,不等式比恒等式更普遍,對于三角函數(shù)來說也不例外.事實上，能 運用中學知識只能處理其中一部分三角不等式.三角不等式一般比代數(shù)不等式 更復雜.需要注意的幾點如下：.三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性，比如I sinl |, | cos# 41.把一些三角不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式加以處理.運用三角學中的和角公式、和差化積、積化和差等公式將欲證式子轉(zhuǎn)化 得便于處理，比如在“A + B =常數(shù)”時，cos A + cos B = 2cos結(jié)圖cos空力,這樣2cos幺產(chǎn)就為常數(shù),我們只需研究單一變化的三角函數(shù)cos &尹.同理

2、，cosAcosB = 在85（4+8）+（:0$（八一B）.說到這一點，也許你會感覺到 不等式比恒等式更難以捉摸，因為對于恒等式，我們大致可以根據(jù)等式兩邊的形 式使用相應的三角公式，而在不等式的證明中如何運用公式就要靈活一些.三角形中很多不等式通常是在A = B = C = 60取到等號，這在解決三 角最值問題時可以幫助我們猜測一個三角函數(shù)式的最值，然后發(fā)現(xiàn)相應的方法 步步“逼近”這個最值.設(shè)ABC, 3、y、N是任意實數(shù)，則/+/32gcosA + 2）之cosB + 2=cosC這是一個很基本、很重要的不等式;另一個基本不等式是| acos% + bsinx | = | J怖+甘 sin

3、（x + $?） | 怖 +4 ,也需要熟記. 奧數(shù)精講與測試(修訂版)高一年級典型例題精講若函數(shù)1, y滿足/+ 2cos ) = 1,求 cos 的取值范圍.解由于 / = 1 - 2cosy G 1, 3,故 i G V3,萬1 1 721由 cos3；=可知，z -cosy = x- = (-z+D2 1.因此乙乙乙當工=1時，1 cos y有最小值一1 (這時y可以取卜當X =禽時，Z cosy有最大值總+1 (這時y可以取冗).由于:(Z+1)2-1的值域是-1, 逐+11,從而N-8S?的取值范圍是1-1, 73 + 1.設(shè) 了，y 6 0，2元且滿足 2sin 力 cos y

4、+ sin x cos y =，,求 乙解 由 2sin % cos y + sin 力 + cos y =,得(2sinz+ 1)(2cos y +1) = 0.所以sin x =，或 COS y =所以 X = 或ZZo等.止匕時了可以取 00, 27cl內(nèi)的任意值;或丁 =等或W，此時之可以取0, 2切內(nèi)的任意值.OOo SHU JNG JANG YU OE SH一所以z + y的最大值為學+2n=6已知函數(shù)/(x) = | sin|,之23k R求證:sin 1 & /(x) + /(J； + 1) & 2cos乙解 令 g(x) = /(x) +/(x + D = | sinx |+

5、| sinGr+D |,則 gGr)為周 期函數(shù)，且丁=兀是周期，故只需考慮0, F.當工 0,兀一1時，g(i) = sin x + sin(jr + 1) = 2sin(x + J ) cos -, 22 7T_ 22,sin(x4-y)c sinl ,所以乙L 乙.飛力第11講 三角不等式與三角最值W3二 sinl, 2cos 十.1 1g 6 2sin cos , 2cos乙乙當Ng 0 1，時，g(x) = si-sin(x + l) =2sin cos(z + 1), /乙7C -i . in / j 丁 v，cos口+乙乙乙1，cos；2，所以1 g(z) G sin 1, 2s

6、in _乙綜上所述,sin 1 /(x) + /(k +1) & 2cos 乙設(shè)函數(shù)同工)=sin4管+ cos, -yy,其中k是一個正整數(shù).若對任意實數(shù)a,均有/(z) | a Vn Va + 1) = /(幻| % G R,求的最 小值.解由條件知，/&) =.)kx 、. kx Y . 9 kx ? kx TOC o 1-5 h z sin-十 cos I 2siir cos 1010 1010】 . 2 kx 1 2kx 3= 1 sin = -cos r ，2 o 454其中當且僅當1 = 號L (根e z)時()取到最大值.根據(jù)條件知，任意一個長為1的開區(qū)間(a, a + D至少

7、包含一個最大值點，從而 丁 5氣. k反之，當6 5兀時,任意一個開區(qū)間(a, a +1)均包含代工)的一個完整周期，此時/()| a xo SHU JNG JANG YU om SH-達到最大值,因而當A B = C=暫時，sin A+sin6 + sinC有最大值條/J.故Ju原不等式得證.不等式中含有多個變量時,我們往往固定其中部分變量，求其他變 量變化時相應表達式的最值,這種方法稱為逐步調(diào)整法.展恒 即證sir1A士 si,B + sinC &專，觀察左邊的形式,從而考慮用琴 生不等式進行證明.證法二 函數(shù)y = sinz是區(qū)間（0, R上的上凸函數(shù)，從而對任意的三個自 變量為、“2、

8、”（0,兀），總有sin （一+ .+ sin巧+ si產(chǎn)+ si除,等 號當為=應=加時成立.因此有sin（A+g + C）辿A + si,B + sinC,從 而有sin A + si; B十sinC W 嚕=亨，因此原不等式成立.oo Z說明本方法是利用凸函數(shù)性質(zhì)解題，三角函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)均為凸函數(shù)，因此很多三角不等如均可利用凸函數(shù)的性質(zhì)證明.鏈接關(guān)于凸函數(shù)與琴生不等式的有關(guān)知識凸函數(shù)定義：函數(shù)如果對其定義域中任意的7、g,都有如下不等式 成立：f（梏衛(wèi)）&/（）+/（祝萬，則稱外為是下凸函數(shù)，等號當= 應時成立.如果總有/（馬寺會）則稱八外是上凸函數(shù), 等號當N = X2時成立.其幾何

9、意義是，不等式表示定義域中任意兩點、與，中點M所對應的 曲線上點Q位于弦上對應點P的下面，不等式則有相反的意義.圖 11一1定理：若/（%）是在區(qū)間I內(nèi)的下凸函數(shù)，則對區(qū)間I內(nèi)的任意幾個點RI、了2、/，恒有/（ +必+馬71)+/(應)HF/(4)，等號當力1 =次=與時成立.若f（1）為上凸函數(shù)，不等號反向.上述不等式稱為琴生不等式，琴生不等式是丹麥數(shù)學家琴生（Jensen）于19051906年建立的.三角函數(shù)如y = sinx, y = cosn在（0,是上凸函數(shù);y = tan j：, y = cot在（0,是下凸函數(shù).已知不等式疙（2a + 3）cos(T )+ 端歹；cos 廠 2

10、sin 26 V 3a + 6對于ee o,恒成立，求的取值范圍.分析所給不等式中有兩個變量,給出其中一個的范圍，求另一個的范圍,常采用分離變量的方法.注意到與角。有關(guān)的幾個三角函數(shù)式，cos(sin6 + cos。)，sin26 = 2sin Jcos。，因此考慮令 sinJ+cosd = z 進行變量代二用不等式與二角福侑105皆書第11講 三角不等式與三角最值 奧數(shù)精講與測詰(修訂版)高一年級換,以化簡所給不等式,再尋求解題思路.解 設(shè) sin&+ cos9 = X-,則 cos(6)=得工、sin28 = f 1,當0,方時，72.從而原不等式可化為(2+ 3)Z +?一2(/ 1)

11、0. 2z(n + 看-a)3(7 + 卷一a) 0, (2-3)(x + 1-a)0 (1,周)(1)所以原不等式等價于不等式(1).因為 1,，所以2# 30.(1)不等 式恒成立等價于z +2 -a i + 弓) (zGl,).又八外=1+2在1,&上遞減，故行+ 2)N / max工 N / max= 3(x6 ，&)所以。3.已知當 #G0, 1時,不等式/cos夕一*(1 Z)+ (1%)2sin90 恒成立，試求6的取值范圍.分析不等式左邊視為關(guān)于X的二次函數(shù)，求出此二次函數(shù)的最小值，令 其大于0,從而求出6的取值范圍.o SHU JNG J_NG YU OE SH一解 由條件知

12、cos60, sin0,若對一切z 0, 1時，恒有/(工)= /2cos6 n(1 re) + (1 j?)2sin 0,即 f(.x) = (cos9+l + sin9)/ (1 + 2sind)N + sin90 對1 0 0, 時恒成立,則必有 cos。= f 0, sin6 = /(0) 0.另一方面對稱軸為x =.吉黑之W CO, 1,故必有 0 即 4cos 0 sin 6 1 0, sin 2J 4( cos 6+ sin0+ l)sind - (1 + 2sin J)?4 (cos 0 4- sin-+1)-y.又由于 cos8 0, sin8 0,故 2林 + 居 V &

13、V 2%兀 +器， Z.已知a、6、A、B都是實數(shù)，若對于一切實數(shù)口都有義工)=1 -acos 6sinx Acos2x Bsin2x 0,求證：a2 +62 2,及 +B2 1.分析根據(jù)函數(shù)式的特征及所要證明的式子易知，應首先將不等式化成/(力)=1一+sin(力+ 6) - /A? +B2sin(2% + y)0,其中力為任意實數(shù)，注意到所要證的結(jié)論中不含未知數(shù)為故考慮用特殊值方法.證明 若1+*=0, 4+B2 =0,則結(jié)論顯然成立,故下設(shè)/+/羊0,A2 +金 0令 sin 0 = - a , cos 0 = 9 sin p = 一, ,7a2 4-b2cosg= 7，B，得 7)=

14、1 ya2 +62sin(x +(9) VA2 + B2sin(,%/A2+B2即對于一切實數(shù)N,都有/(r) = 1 ya2 + 62 sin(x + O) VA2 + B2 sin(2x + p)0(1)(7 +，)= 1 /a? +62cos(z + 6) +，A? +B2sin(2；r +p)20 (2) (1) +得 2/a? +Z/sin(:r+e)+cos(2+。)1)0,即 sin(%+6)+cos(x +8) -F=對于一切實數(shù)i恒成立-2 ?詹，因此1 + / 2.ya +bVa2 +/(% +兀)=1 -Wa2 + b2sin(x + 19) VA2 +B2 sin(2x

15、 + (p)0(3)(D + (3)得 2 27A2+B2sin(2% + 30,即 sin(21 + 內(nèi)& 丁恒成7A2 + B2立，1.所以A2 +B2 1.7a2 + B2c設(shè)a+3+y =穴，求證：對任意滿足力+ ) +之=o的實數(shù)力、z 有 yzsira + zxsirrP4- xj/sin2 7 0.分析由Z+，= 0消去一個未知數(shù)N,再整理成關(guān)于？的二次不等式 對Z恒成立，即可得證.證明由題意，則將之=一包+y)代入不等式左邊得2sina4sin2a不等式左邊=Ly2 sin2 a + x2 sin2/?+ xy ( sin2 a + sin2/? sin2 7)(1)當sina

16、 = 0,易證不等式左邊40成立.(2)當sinaRO,整理成y的二次方程，證().左邊=一sina +z(sii?a + sir?8 siry)一_ /(si/a + sin華一sin2y)2 4sin% si-f4 sin2 a由(sin2a.+ sin2/? sin27)2 4sin2a sin2/? = (sin2a + sin2/? sin2/ + 2sina sin/?)(sin2a+sin2j(?sin272sina sinp) = 2sina sinl cos(a + ) 2sina sin/? 1 cos (a + ) = 4sin2a sir12sli cos2 (a +

17、F) 0,所以 90, tan A - tanB的大小關(guān)系滿足（）.A. tan A tanB 1B. tan A tanB V 1C. tan A tanB = 1D.不能確定.已知函數(shù)y = acosz + 方的最大值為1,最小值為一7,則acosx+/;sinx 的最大值為（）.A. 1B. 3C. 5D. 7.設(shè)0 -y71. tanl, sin 2, tan 3的大小J庾序是（A sin 2 V tan 1 V tan 3C. sin 2 tan 1 tan 3B.D. a+V|冗）.B. tan 1 sin 2tan 3D. tan 1 V tan 3 V sin 26.已知OVz

18、V4,下列各式中不成立的是（）.A sin（i +1） sinzB. cos a（j： 1） z*D. log/l+了） log的二、填空題8.函數(shù)&）=言篙的定義域為值域為7.若集合x cos2x + sin x + m = 0 # 0,則m的取值范圍是第11講三角不等式與三角最值 .函數(shù)y =石+a/1 x的值域是.若Y +/=1, c2 +-=4,則ad+bc的取值范圍是.已知奇函數(shù)/（Z）在-I, 0上為單調(diào)減函數(shù)，又Q、S為銳角三角形兩 內(nèi)角J（cosa）與/（sing）的大小關(guān)系是. sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, sin6 的大頁序是.三、解答題13.若

19、tan 7 = 3tany（041方），求函數(shù)=力一）的最大值.已知 sina + sin = 1,求 cosa +cosf 的取值范圍.已知。為銳角，求（1+熹）（1 +康）的最小直選擇題.若。，左（0, f ）,則必有（A cos（a +。） cosa +cos/?C. cos（a +。） sina + sinS.對任何40（0,方），都有（sinsin c cos p V coscos cpC. sincos (p V cos (p cos (p coscos cos w cossin cp).已知sina cos=J,則cos a sin8的取值范圍是（ 乙 TOC o 1-5 h z

20、 r 1|r 1-IA. 1,彳B. ，1r T A Aln 11 1c，L 4 J 4 JD. 2，2 .已知 a J2,函數(shù)丁 = (sin2： + a)(cos% + a)的最小值是().2A. a2-a B. (a-1)2 C. y(a2-l) D. (a-陶.若 0 Vro SHU JNG J-ANG YU OE SH一.函數(shù)）=/r 4 +v 15 3工的值域是（）.A. El, 2 B. 0, 2 C. 72, 2 D. 8J, 2 二、填空題.函數(shù)/（t）= *吟 +衿吟的值域為 1 + cos x 1 + sirrz.已知函數(shù)/（X）= 1 cos2z + asincos高（a R）的最大值為3 ，22貝!J Q = .不等式 V3sinx cosn + 1 V 0 的解是.已知 3sina + 2sin2/? = 2sin a,則 sin2