教學(xué)配套課件：計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)(第二版)

1、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章 概率論基礎(chǔ) 一、隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件 1.統(tǒng)計(jì)規(guī)律性、隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn) 確定性現(xiàn)象 有一類現(xiàn)象，在一定條件下必然發(fā) 生。這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象。不確定現(xiàn)象 有一類現(xiàn)象，在一定條件下不一定發(fā)生。 這類現(xiàn)象稱為不確定性現(xiàn)象A. 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 在一定條件下，不確定現(xiàn)象可能出現(xiàn),可 能不出現(xiàn)，但在大量的重復(fù)試驗(yàn)中,它按照一 定的規(guī)律分布。這種在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察 中所顯現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 B隨機(jī)現(xiàn)象 在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果顯出不確定性，但大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象。 在相同條件下試驗(yàn)可以重復(fù)進(jìn)行。在每次試驗(yàn)之前不能準(zhǔn)確地預(yù)言

2、該次試驗(yàn)將 出現(xiàn)哪一種結(jié)果。C隨機(jī)試驗(yàn)一般用E表示隨機(jī)試驗(yàn)每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性，而且在試驗(yàn) 之前可以明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。 2. 隨機(jī)事件 A. 樣本空間、樣本點(diǎn) 樣本空間 將隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成的集合稱為的樣本空間，記為 樣本點(diǎn) 樣本空間中的元素，即試驗(yàn)E的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)。 隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件， 簡(jiǎn)稱為事件?；臼录?由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集，稱為基本事件。 B.隨機(jī)事件、基本事件必然事件 在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生，稱它為必然事件。不可能事件 在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，稱之為不可能事件。隨機(jī)事件C事件間的關(guān)系及事件的運(yùn)算 1. 事件包含。若事件A發(fā)生必然

3、導(dǎo)致事件B 發(fā)生, 則稱事件B包含事件A。 2. 事件和。3.事件積。 稱為事件A與事件B的積事件 稱事件A與事件B的和事件4.事件 稱為A事件和B事件的差事件 則稱事件A與事件B是互不相容事件， 或互斥事件，也就是事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生。 5.若 6.若 且 則稱事件A與事件B是互為逆事件，也稱事件A與事件B互為對(duì)立事件。 D. 隨機(jī)事件運(yùn)算法則設(shè)A、B、C 為事件 交換律： 結(jié)合律： 分配律：德.摩根定律： 二、隨機(jī)事件的頻率與概率 1. 隨機(jī)事件的頻率A.隨機(jī)事件頻率的一般定義在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)記為nA,稱為事件A發(fā)生的頻數(shù). nA /n 稱為

4、事件A發(fā)生的頻率，并記成fn(A)B頻率的基本性質(zhì)： 01.2. 是兩兩不相容的事件，則 3. 2. 隨機(jī)事件的概率 （1）概率的定義如果集合函數(shù)P(A)滿足下列條件：1.對(duì)于每個(gè)事件A，有 3.設(shè)是兩兩不相容的事件，即對(duì)于則有：A.隨機(jī)事件概率的一般定義2.則稱P（A）為事件A的概率此式稱為概率的可列可加性(2)概率的性質(zhì) 12 3 更有 ，則有若 是兩兩不相容的事件，則有 若5 對(duì)于任意的事件A、B，有 此性質(zhì)推廣到任意的n個(gè)事件 之和，則有：4 B.隨機(jī)事件古典概型（1）古典概型的定義 若試驗(yàn)具有如下特點(diǎn)：a. 試驗(yàn)的樣本空間的元素只有有限個(gè)；b. 試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，

5、C. 條件概率、隨機(jī)事件的獨(dú)立性1條件概率 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且 稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。 2乘法定理 設(shè)則有 一般情況下，設(shè) 為n個(gè)事件,且 則有 3事件的獨(dú)立性 設(shè)A、B是兩個(gè)事件,如果等式 成立，則稱事件A、B為相互獨(dú)立的事件 D全概公式、貝葉斯（Bayes）公式（1）全概公式設(shè)E的樣本空間為，A為E的一個(gè)事件， 為的一個(gè)劃分 則 設(shè)E的樣本空間為，A為E的一個(gè)事件， 為的一個(gè)劃分 則 （2）貝葉斯（Bayes）公式三、 隨機(jī)變量 1隨機(jī)變量的定義2分布函數(shù) 設(shè) X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，稱為X的分布函數(shù) 函數(shù)如果對(duì)于每一個(gè) ,有一個(gè)實(shí)數(shù) 與之對(duì)應(yīng),這樣就得到

6、一個(gè)定義在上的單實(shí)值 ,稱它為隨機(jī)變量. 函數(shù)3離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量 A離散型隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為 X取各個(gè)可能值的概率 ,即事件的概率，為上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律 B. 連續(xù)型隨機(jī)變量 對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù) F(x），若存在非負(fù)函數(shù)f（x），使對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)f（x）稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為概率密度。C. 均勻分布、正態(tài)隨機(jī)變量4 二維隨機(jī)變量 A聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是設(shè) X和Y是定義在上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(X,Y)，叫做二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。 設(shè)(X,Y)是二維隨

7、機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)(x,y)，二元函數(shù) 稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。=W（1）二維離散型的隨機(jī)變量 如果二維隨機(jī)變量(X,Y)所有可能取的值是有限個(gè)或可數(shù)無(wú)限個(gè)，則稱(X,Y)是離散型的隨機(jī)變量。如果存在非負(fù)的二元函數(shù)f(x,y)使對(duì)于任意x和y則稱(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)f(x,y)聯(lián)合概率密度，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度。有連續(xù)型隨機(jī)變量的邊際分布： 離散型隨機(jī)變量的邊際分布： B 邊際分布 由(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)確定： C. 條件分布、隨機(jī)變量的獨(dú)立性（一）條件分布 （1）離散型 (X,Y)是二維離散型隨

8、機(jī)變量，對(duì)于固定的j， ，則為在Y=yi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律 若為在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律 (2)連續(xù)型 設(shè) (X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)， 概率密度為f(x,y)。同樣對(duì)于固定的i，若，則則稱 為在條件Y=y下X的條件分布函數(shù)為Y=y條件下X的條件概率密度。 若在點(diǎn)(x,y)處f(x,y)連續(xù), 邊際概率密度f(wàn) Y (y)連續(xù)，且若邊際概率密度f(wàn)x(x)連續(xù)，且則為在條件X=x下Y的條件分布函數(shù)，為X=x下Y的條件概率密度 （二） 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 設(shè) F(x,y)及Fx(x), Fy(y)分別是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)及邊際分布函數(shù)。 若對(duì)所有x,y

9、有 則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的 隨機(jī)變量常用的數(shù)字特征有：數(shù)學(xué)期望，方差，相關(guān)系數(shù)。四、 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù) 的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望即 記為EX，A定義(1) 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè) 離散型隨機(jī)變量X的分布律為： 1.數(shù)學(xué)期望則稱積分 記為EX，若積分絕對(duì)收斂的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 （2）連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè) 連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 f(x)即：a) d) 若X,Y相互獨(dú)立，則期望的性質(zhì)及其應(yīng)用 （1）期望的性質(zhì) 設(shè)X,Y的數(shù)學(xué)期望存在，C為常數(shù)，則：b)c) （2） 數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用(例) C. 條件期望（1）定義引入條件數(shù)學(xué)

10、期望的定義：稱E(Yx)為X=x條件下，Y的條件期望,又記若 我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)定義在條件X=x下，隨機(jī)變量Y的條件概率密度函數(shù)存在 若(x,y)為離散型隨機(jī)變量則條件期望分別由下式給出： 稱E(Xy)為Y=y條件下，X的條件數(shù)學(xué)期望。(2)離散型隨機(jī)變量的條件期望記則為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。 2. 方差 A定義 方差記為 DX 或 Var(x)稱在經(jīng)濟(jì)研究中常常把它作為衡量一個(gè)經(jīng)濟(jì)行為風(fēng)險(xiǎn)大小的標(biāo)準(zhǔn)。方差是刻畫(huà)一個(gè)隨機(jī)變量偏離它的均值大小的一個(gè)量。B方差的性質(zhì)a）d）DX=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C，即b)c）設(shè)X,Y相互獨(dú)立，則C契比雪夫不等式 這一不等式稱為契比雪夫不等式(chebyshev

11、)。成立。設(shè)隨機(jī)變量X具有限的 數(shù)學(xué)期望 EX = , 不等式 和方差 DX=2 , 則對(duì)任意的正數(shù)D 隨機(jī)變量的變異系數(shù) 如果 EX0，定義函數(shù) 則稱V(X)為隨機(jī)變量X的變異系數(shù) E幾種主要隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征 (1) 兩點(diǎn)分布(2) 二項(xiàng)分布 稱X為服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。(3) Poisson分布 (4) 正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為： 則稱X服從正態(tài)分布，記為： 若隨機(jī)變量的概率密度為則稱X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。 (5) 分布和指數(shù)分布 3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) A協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義 設(shè)X,Y為兩個(gè)隨機(jī)變量它們之間的相互關(guān)系用它們 之間的相關(guān)系數(shù)來(lái)描述 稱為隨

12、機(jī)變量X,Y的協(xié)方差，記為:即 稱為隨機(jī)變量X,Y的相關(guān)系數(shù) C. 相關(guān)系數(shù)性質(zhì) 的充要條件是，存在常數(shù)a,b使(2)(1)當(dāng)時(shí)，X與Y之間以概率1存在線性關(guān)系。 B 協(xié)方差的性質(zhì)即A. k階原點(diǎn)矩定義存在，稱它為X的k階原點(diǎn)矩。B. k階中心矩 存在，則稱它為X的k階中心矩。4. 隨機(jī)變量的矩設(shè) X和Y是隨機(jī)變量，若若C. k+L階混合矩 存在，稱它為X和Y的k+L階混合矩。D. k+L階混合中心矩 存在，稱它為X和Y的k+L階混合中心矩。若若n維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣設(shè)n維隨機(jī)變量（X1 X2 Xn）的二階混合中心矩都存在，則稱矩陣為n維隨機(jī)變量（X1 ,X2 Xn）的協(xié)方差矩陣。 因而上述

13、矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣,一般假定C為正定的. 由于五、n維正態(tài)變量具有以下三條重要性質(zhì)(證明略） 1. n維隨機(jī)變量（X1 X2Xn）服從n維正態(tài)分布 的充要條件是X1 X2 Xn的任意的線性組合 服從一維正態(tài)分布。2. 若（X1 ,X2 ,Xn）服從n維正態(tài)分布 設(shè) Y1,Y2 ,Yk是Xj(j=1,2,n)的線性函數(shù)， 則 Y1 , Y2,Yk也服從多維正態(tài)分布。這一性質(zhì)稱為 正態(tài)變量的線性變換不變性設(shè)（X 1 ,X 2,X n）服從n維正態(tài)分布，則 “X1, X 2, ,X n相互獨(dú)立” 與 “X 1, X 2, ,X n 兩兩 不相關(guān)”是等價(jià)的六大數(shù)定律、中心極限定理 1大數(shù)定律 設(shè)X1

14、X2 Xn,., 是相互獨(dú)立，且具有相同分布 的隨機(jī)變量。 前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值記為則對(duì)任意的 0，有稱該隨機(jī)序列服從大數(shù)定律。 它在理論上表明了當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大,以頻率代替概率的合理性設(shè)它們的數(shù)學(xué)期望為方差為2中心極限定理 定理 設(shè)隨機(jī)變量X1 ,X2 , , Xn ,相互獨(dú)立，且 服從同一分布，并具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差：則對(duì)一切實(shí)數(shù)都有 第一章小結(jié) 本章簡(jiǎn)要地介紹了概率論的基本概念、基本定理和公式。主要內(nèi)容包括： 一、隨機(jī)現(xiàn)象、隨即試驗(yàn)、樣本空間、隨機(jī)事件及其關(guān)系，隨機(jī)事件的運(yùn)算法則，事件的概率與頻率，古典概型，乘法公式、全概公式和逆概公式，隨機(jī)事件的獨(dú)立性。 二、在介紹以上基本內(nèi)容

15、之后，本章還介紹了一維隨機(jī)變量，二維隨機(jī)變量以及它們的分布函數(shù)，還分別介紹了離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量，條件分布，邊際分布和隨機(jī)變量的獨(dú)立性。 三、這一章的第三部分介紹的內(nèi)容為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。主要內(nèi)容有：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、條件數(shù)學(xué)期望及它們的性質(zhì)，隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)。在這同時(shí)還介紹了隨機(jī)變量的數(shù)字特征和變異系數(shù)，切比雪夫不等式等。 五、這一章最后介紹了n維正態(tài)分布隨機(jī)向量的性質(zhì)、大數(shù)定律以及隨機(jī)事件發(fā)生的頻率與概率之間的關(guān)系，中心極限定理。 四、本章第四部分內(nèi)容包括隨機(jī)變量的協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、隨機(jī)變量各階矩概念及其隨機(jī)向量的矩陣表示方法。 本章要點(diǎn)1. 隨機(jī)事件、隨機(jī)事件的概率2

16、. 條件概率、全概率公式、貝葉斯公式3. 隨機(jī)變量及其分布，多維隨機(jī)變量及其分布，條件分 布4. 隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望和方差、協(xié)方差、相關(guān) 系數(shù)5. 條件期望、切比雪夫不等式6. 多元正態(tài)分布隨機(jī)變量的性質(zhì)7. 大數(shù)定律及中心極限定理8. 隨機(jī)變量矩的概念第二章 矩陣代數(shù) 矩陣是數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的、應(yīng)用廣泛的概念,它是線性代數(shù)的一個(gè)重要研究對(duì)象,也是研究線性方程組解結(jié)構(gòu)的主要工具。 在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中，它也占有非常特殊的地位,應(yīng)用矩陣代數(shù)理論有時(shí)可使計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題表述簡(jiǎn)潔明了,尤其重要的是許多表面上看起來(lái)不相同的、較為復(fù)雜的結(jié)果,在實(shí)際上具有同樣的結(jié)構(gòu)，而且相對(duì)簡(jiǎn)單。 為了更好地理解本書(shū)后

17、面的一些內(nèi)容,在這一章介紹有關(guān)矩陣代數(shù)的內(nèi)容,這些內(nèi)容包括矩陣的定義,矩陣的運(yùn)算，矩陣的逆，線性方程組的解，矩陣的特征根和特征向量，線性交換，正交變換等基本概念和結(jié)論。一、矩陣的定義第一節(jié)矩陣及其運(yùn)算 矩陣是一些符號(hào)（數(shù)）的排列,一般用大寫字母A，B，C，表示，如：其中：元素aij的下標(biāo)i表示這個(gè)元素在矩陣中的第i行,j表示這個(gè)元素在矩陣中的第j列,k表示矩陣A中有行k,n表示矩陣A中有n列。矩陣A中,當(dāng)n=k時(shí),稱A為方陣；當(dāng) aij=aji時(shí),稱A為對(duì)稱陣 當(dāng)ij時(shí)，aij=0,或當(dāng)ji時(shí)aij=0,則A分別稱為下三角陣和上三角陣。當(dāng)ij時(shí),aij=0 ,則稱A為對(duì)角陣； 特別地,當(dāng)ij時(shí)

18、,aij=o,當(dāng)ij時(shí),aij=1,則稱A為單位陣， 記為I或E。設(shè) 。如果m=k，n=L，且 aij=bij 對(duì)一切i=1,2,j=1,2,n都成立，則稱A=B，即矩陣A與矩陣B相等。二、矩陣的運(yùn)算（一）加法 (二)零矩陣、負(fù)矩陣及矩陣的減法1零矩陣。矩陣中元素全為零的矩陣稱為零矩陣。定義2.1 設(shè) 是兩個(gè)sn階 矩陣,則 矩陣稱為矩陣A與B之和。2負(fù)矩陣。矩陣3矩陣的減法。矩陣的減法定義為： A-B=A+(-B) A+(-A)=0稱為矩陣A的負(fù)矩陣，記為-A。顯然有 (三)矩陣乘法稱為矩陣與數(shù)k的數(shù)量乘積，記為kA。（四）矩陣的數(shù)量乘法定義2.3 矩陣 (五）矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.4 設(shè) 所謂

19、A的轉(zhuǎn)置就是指矩陣顯然，sn階矩陣的轉(zhuǎn)置就是ns階矩陣。定義2.5 n階方陣A稱為可逆的，如果有n階方陣B，使得AB=BA=E 這里E是n階單位矩陣, 矩陣B稱為A的逆矩陣。記為A-1 2逆矩陣的求法。逆矩陣的求法一般有三種方法：（1）行變換法 求A-1。設(shè)六、矩陣的逆將單位矩陣與A矩陣并排構(gòu)成一個(gè)新矩陣，把第一行與第二行互換，使矩陣第一行的第一個(gè)元素為非零元素。 將第一行元素乘-2加到第三行，使得第三行第一個(gè)元素為零。第二行元素乘3加到第三行；第三行乘1加到第二行，使第二行第三個(gè)元素為0。第三行乘2加到第一行使第一行第三個(gè)元素為0。第二行乘-1加到第一行，使第一行第二個(gè)元素為0。第三行乘以-

20、12，使第三行第三個(gè)元素為1。（2）列變換。同樣以例子說(shuō)明此方法： 設(shè)求A-1。（3）代數(shù)余子式法。a逆序、逆序數(shù)定義2.6 在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小 順序相反,即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱 為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列 的逆序數(shù)。定義2.7 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為 奇數(shù)的排列稱為奇排列。 b行列式的計(jì)算設(shè)方矩陣它所對(duì)應(yīng)的n階行列式定義為：等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和 c代數(shù)余子式定義2.8 在矩陣中劃去元素aij所在的第i行與第j列,剩下的（n-1）個(gè)元素按原來(lái)的排法構(gòu)成一個(gè)n-1階的行列式 稱為元素aij的余子式

21、，記為Mij，稱 Aij=(-1)i+j Mij為元素aij的代數(shù)余子式d矩陣A的逆矩陣A的逆可表示為：其中 (4)逆矩陣的性質(zhì)如果矩陣A，B可逆，則 與AB也可逆，且第二節(jié) 線性方程組一、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)（一）線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)定義2.9 向量稱為向量組1,2s的一個(gè)線性組合， 如果存在k1,k2ks，使得當(dāng)向量是向量組1,2s的一個(gè)線性組合時(shí)，也稱可以由向量組1,2s線性表出。定義2.10 如果向量組1,2, s， （s2）中有一向量可以經(jīng)其余向量線性表出，則向量組1,2, s, 稱為線性相關(guān)的。定義2.11 一向量組的一個(gè)部分向量組稱為一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，如果這個(gè)部分向量組是線性無(wú)關(guān)的

22、，并且從這個(gè)向量組中任意添一個(gè)向量（如果還有的話），所得的部分向量組線性相關(guān)。定義2.12 向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩.（二）矩陣的秩1、矩陣的行秩與列秩 定義2.13 所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩；矩陣的列秩就是矩陣的列向量組的秩。2、矩陣秩的判別定理2.2 一個(gè)矩陣的秩為r的充分必要條件為矩陣中一個(gè)r階子式不為零，同時(shí)所有（r+1）階子式全為零。 定理2.1 矩陣的行秩與列秩相等。 定義2.14 在一個(gè)n階的行列式D中，任意選 k行k列，位于這些行和列的交點(diǎn)上的 k2個(gè)元素按照原來(lái)的位置組成一個(gè)k階行列式M，稱為行列式D的一個(gè) k階子式，在D中劃去這k

23、行k列之后，余下的元素按照原來(lái)的位置，組成的 （n-k）階行列式稱為k階子式M的余子式。二、線性方程組（一） 一般線性方程一般線性方程是指形式為的方程組（二）線性方程組有解判別定理引入向量 于是線性方程組 可改寫成向量方程 線性方程組有解判別定理 線性方程組 有解的充分必要條件為它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩。（三）線性方程組解的結(jié)構(gòu)1. 齊次線性方程組當(dāng)b=0時(shí)，則上述方程稱為齊次線性方程組。齊次線性方程組有下列兩個(gè)性質(zhì)： （1） 兩個(gè)解的和還是方程組的解（2）一個(gè)解的倍數(shù)還是方程組的解2. 線性方程組(1) 線性方程組的任意兩個(gè)解之差，就是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解。(2)上述線性方程組的

24、解與它對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組解 之和仍然是上述線性方程組的解。(3）如果0是上述線性方程組的解，則上述方程組的任 一解都可表示成 其中是齊次線性方程組的一個(gè)解 (4）線性方程組（5）當(dāng)s=n時(shí)，方程組（2.11）有唯一解的充分必要 條件是系數(shù)矩陣可逆。有解的條件下，解唯一的充分必要條件是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組只有零解. （四）最小二乘解1、 向量到子空間的距離定義2.16 設(shè)v是一個(gè)非空集合,P是一個(gè)數(shù)域。在集合V的元素之間定義了一種代數(shù)運(yùn)算，叫做加法, 就是說(shuō)，給出一個(gè)法則，對(duì)于V中任意兩個(gè)元素與，在V中都有唯一的一個(gè)元素與它們對(duì)應(yīng)，稱為與的和，記為 =+ 。在數(shù)域P與集合V的元素之間還定義了一

25、個(gè)運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法；就是說(shuō)，對(duì)于數(shù)域P中任一數(shù)k與V中任一元素,在V中都有唯一的一個(gè)元素與它們對(duì)應(yīng)，稱為k與的數(shù)量乘積，記為=k,如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么V 稱為數(shù)域P上的線性空間。定義 2.17 設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)線性空間，在V上定義了一個(gè)二元函數(shù),稱為內(nèi)積，記作(,) ,它是有以下性質(zhì)：這里，,是V中任一的向量，k是任一實(shí)數(shù)。這樣的線性空間V稱為歐幾里德空間。當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)，(,)=0(1)(2)(3)(4)定義2.18 長(zhǎng)度-稱為向量和的距離 記為的d(,)。 距離滿足三條基本性質(zhì)：并且當(dāng)且=僅當(dāng)時(shí)等號(hào)才成立； (三角不等式)。 a.b.c.一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)平面（或一條直線

26、）上所有點(diǎn)的距離以垂線為最短 1. 最小二乘問(wèn)題。線性方程組可能無(wú)解。即任何一組數(shù)x1,x2,.,xs都可能使不等于零，我們?cè)O(shè)法找 使得上式最小。這樣的稱 為方程組的最小二乘解。這種問(wèn)題就叫最小二乘法問(wèn)題。第三節(jié) 二次型與正交變換一、二次型及正交變換定義2.19 設(shè)P是一個(gè)數(shù)域，一個(gè)系數(shù)在數(shù)域P中的二 次齊次多項(xiàng)式 定義2.20 設(shè)x1,x2,.,xn, y1,y2,.,yn是兩組變量，系數(shù)在數(shù)域P中的一組關(guān)系式稱為由y1,y2,.,ys到x1,x2,.,xs的一個(gè)線性變換，如果對(duì)應(yīng)的系數(shù)行列式則稱上式線性變換是非退化的 二、二次型及線性變換的矩陣表示（一）二次型的矩陣表示（二）線性變換的矩陣

27、表示（三）二次型的關(guān)系四）二次型的類型三、特征根與正交變換（一）特征根定義2.23 設(shè)A是一個(gè)線性變換，如果對(duì)于數(shù)0，存在 一個(gè)非零向量X（實(shí)際上一個(gè)向量的坐標(biāo)）， 使得AX=0X， 則稱0為A的一個(gè)特征值,而X成為A的屬于特征值0的一個(gè)特征向量。定義2.24 設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，是一個(gè)參數(shù)，矩陣E-A 行列式稱為A的特征多項(xiàng)式，E-A=0的解就是A的特征根。（二）特征向量求特征向量的一般步驟：1. 求A的特征多項(xiàng)式E-A=0的全部根；2. 把所求的特征值逐個(gè)代入方程組對(duì)每一個(gè)特征根，解以上方程,求出一組基礎(chǔ)解系, 它們就是屬于這個(gè)特征值的k個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量的坐標(biāo)。這樣就求出了屬于每個(gè)特征值

28、的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量。四、二次型的正交變換定義2.25 如果向量、的內(nèi)積為0，即(,)=0 ， 則稱、 為正交或垂直，記為。 定義2.26 一組非零向量，如果它們兩兩正交，就稱它為 一正交向量組。 定義2.27 n階實(shí)數(shù)矩陣A稱為正交矩陣，如果 定理2.4 對(duì)于任意一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，都存在一個(gè)n階 正交矩陣Q，使成為對(duì)角型。定理2.5 任意一個(gè)實(shí)二次型 都可以經(jīng)過(guò)正交的線性變換成平方和，其中平方項(xiàng)的系數(shù)就是矩陣A的特征多項(xiàng)式全部的根。如本章小結(jié) 矩陣代數(shù)是線性代數(shù)中的一個(gè)重要研究對(duì)象，它在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中占據(jù)非常重要的地位。 本章從矩陣代數(shù)的基本內(nèi)容入手，系統(tǒng)地、簡(jiǎn)明扼要地介紹了矩陣代

29、數(shù)的主要內(nèi)容。 這一章分成三節(jié): 第一節(jié)包括矩陣的定義，矩陣運(yùn)算的定義，以及逆矩陣的概念，并介紹了求逆矩陣的三種常用方法：行變換法，列變換法，代數(shù)余子式法，同時(shí)也介紹了行列式的計(jì)算方法。 第二節(jié)，介紹了向量的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的概念，矩陣的秩和余子式的概念，在這同時(shí)還介紹了矩陣秩的辨別方法。這一節(jié)的第二部分討論了線性方程的一般理論。 從介紹齊次線性方程組基礎(chǔ)解系開(kāi)始，討論方程組解的結(jié)構(gòu)理論，方程組有無(wú)解的判別定理。最后還介紹了最小二乘法的思想及其所滿足的代數(shù)條件，同時(shí)也給了最小二乘解的存在唯一性條件。 第三節(jié)介紹二次型和正交變換。這一節(jié)首先介紹二次型及線性變換的定義和它們的矩陣表示方法。在這同

30、時(shí)還介紹了矩陣合同的概念，正定二次型，半正定、負(fù)定、半負(fù)定、不定型的有關(guān)定義。這一節(jié)的最后,討論了線性變換的特征根和特征向量，把對(duì)二次型的討論進(jìn)一步引向深入，給出了有關(guān)二次型的主要定理，并用例子說(shuō)明如何尋找一個(gè)二次型的正交變換，使二次型矩陣與一個(gè)對(duì)角矩陣合同，而對(duì)角線上的元素是該矩陣的特征根。本章要點(diǎn)1.矩陣加法、乘法的規(guī)則。2.矩陣逆的求法。3.矩陣對(duì)應(yīng)的行列式計(jì)算方法。4.一個(gè)數(shù)列逆序的概念。5.向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)。6.齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。7.非齊次線性方程組的表示法。8.線性方程組有解的充分必要條件。9.矩陣的秩。10.最小二乘解的概念及幾何意義。11.二次型的定義、正定、負(fù)

31、定、不定的二次型。12.正交變換。13.特征值、特征向量。14.二次型變換成對(duì)角型的方法。第三章 數(shù)據(jù)分析方法與參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷在計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析推斷中，其主要是根據(jù)觀察到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，然后做出判斷。因此，根據(jù)觀察到的數(shù)據(jù)探討對(duì)某些參數(shù)的估計(jì)方法是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的主要內(nèi)容之一。在介紹常用的一些估計(jì)方法及評(píng)價(jià)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)之前，我們先介紹一些常用的數(shù)據(jù)的平滑技術(shù)： 第一節(jié) 數(shù)據(jù)的分析方法一、算術(shù)平均（arithmetic mean） 二、加權(quán)算術(shù)平均法（weighted arithmetic mean） 三、幾何平均法（geometric mean） 四、移動(dòng)平均法 1、算術(shù)移動(dòng)平均法 2. 移動(dòng)幾何平均法香

32、港股票價(jià)格指數(shù)與3年移動(dòng)平均附加例1圖百貨店銷售額原數(shù)列與中心化4項(xiàng)移動(dòng)平均附加例2 圖日元 3. k的選擇 在時(shí)間序列的估計(jì)中，應(yīng)用移動(dòng)平均法時(shí)，觀察值得到平滑，移動(dòng)平均數(shù)的變化趨勢(shì)也同樣被平滑，以消除原時(shí)間序列的不規(guī)則變動(dòng)和周期變動(dòng)，其平滑程度取決于k，當(dāng)k較大時(shí)，靈敏度較差，有顯著的滯后現(xiàn)象發(fā)生；當(dāng)k值較小時(shí)，預(yù)測(cè)結(jié)果可以靈敏地反映出時(shí)間序列的變化趨勢(shì)。但是當(dāng)k過(guò)小時(shí)，又達(dá)不到消除不規(guī)則變動(dòng)和周期性變動(dòng)的目的，另外還可能因?yàn)殡S機(jī)干擾反映過(guò)快而造成錯(cuò)覺(jué)，一般是利用不同的k，對(duì)估計(jì)對(duì)象進(jìn)行實(shí)際試驗(yàn)，從中選擇最佳的k。五、指數(shù)平滑法 第二節(jié) 抽樣分布一、總體的分布 對(duì)任意的實(shí)數(shù)集合S，令P(S

33、)為屬于S 的個(gè)體在總體中所占的比率。 當(dāng)S確定后，P(S)也就唯一的確定，稱這個(gè)對(duì)應(yīng)的關(guān)系為總體的分布。因此可用一個(gè)隨機(jī)變量X來(lái)表示總體, X的分布就是總體的分布。分布函數(shù)記為F(x), 概率密度記為f(x)?？傮w、個(gè)體 定義3.1 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 設(shè) X為具有分布函數(shù)F(x)的隨機(jī)變量。若 X 1 X 2 X n 為具有同一分布函數(shù)F(x)的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱X 1 X 2 X n 為從總體X得到的容量為n簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱樣本。它們的觀測(cè)值x 1x 2x n為樣本觀測(cè)值。 設(shè) X 1,X 2 , X n為是來(lái)自總體X的樣本，g(X 1 ,X 2 Xn）是X 1,X 2 , X n 的

34、函數(shù)， 若g是連續(xù)函數(shù)且g中不含任何未知參數(shù)， 則稱g(X 1, X 2 X n）是一統(tǒng)計(jì)量。定義3.2 統(tǒng)計(jì)量 二、樣本的矩估計(jì)樣本平均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階（原點(diǎn)）矩樣本k階中心矩OLS條件: 設(shè) 是一個(gè)隨機(jī)序列, 相同方差且互不相關(guān),將這種不相關(guān)稱作無(wú)序列相關(guān)。這三種特征稱作最小平方條件(OLS條件) 。具有相同的期望值,三、正態(tài)總體的幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。（一） 2分布 A. 2 統(tǒng)計(jì)量 C上分位點(diǎn)對(duì)于給定的正數(shù)， 稱滿足條件 分布的概率密度： B.的為上分位點(diǎn)（二）t分布At統(tǒng)計(jì)量：Bt(n) 分布的概率密度函數(shù) C上分位

35、點(diǎn)（三） F分布 AF統(tǒng)計(jì)量BF(n1 n 2)的分布的概率密度C上分位點(diǎn)及其性質(zhì)：（1）上分位點(diǎn)的定義（2）F分布的上分位點(diǎn)有如下的性質(zhì)四、正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布 ：方差存在）的均值為，方差為2，X 1 ，X 2 ，Xn設(shè) 令 于是，對(duì)于正態(tài)總體的 命題3.1設(shè)總體X（不管服從什么分布，只要均值和是X的一個(gè)樣本，則總有有 定理3.1 設(shè) 是總體 的樣本, 分別是樣本均值和樣本方差，則有2).與S2獨(dú)立 定理 3.2 設(shè) 是總體 的樣本, 分別是樣本均值和樣本方差，則有 定理 3.3 第三節(jié) 參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷一、參數(shù)的估計(jì)（一）、估計(jì)量的選擇標(biāo)準(zhǔn)（1）無(wú)系統(tǒng)誤差 （2）在一切無(wú)系統(tǒng)誤

36、差的估計(jì)量中，應(yīng)該選擇取值最集 中的估計(jì)量.（3）當(dāng)樣本容量n無(wú)限增大時(shí)，它的值趨于穩(wěn)定在參數(shù) 的真值附近. 我們選擇估計(jì)量的原則是：在一切可能的估計(jì)量中選擇具有無(wú)偏性（或相合性）和最小方差的估計(jì)量。一般估計(jì)量的相合性是大數(shù)定律的推論，無(wú)偏性和最小方差性的要求，無(wú)論在理論上還是從實(shí)際應(yīng)用的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)都是合理的。因此，選擇最優(yōu)估計(jì)量的問(wèn)題就集中到在一切無(wú)偏估計(jì)中選擇具有最小方差的無(wú)偏估計(jì)的問(wèn)題上，最小方差無(wú)偏估計(jì)又叫最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)。（二）矩估計(jì)法 （三）極大似然估計(jì)法（四）貝葉斯估計(jì)與極大極小估計(jì)1. 決策論的基本概念 2極大極小估計(jì)3貝葉斯估計(jì) （一）假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想假設(shè)檢驗(yàn)有參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)和非參

37、數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)之分。假設(shè)檢驗(yàn)就是通過(guò)樣本獲取數(shù)據(jù)對(duì)所提出的假設(shè)作出判斷：是接受、還是拒絕原假設(shè)。1假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤假設(shè)檢驗(yàn)的推斷只用一個(gè)樣本觀察值作為判斷的依據(jù)，因此將產(chǎn)生以下兩個(gè)問(wèn)題： 1.) 當(dāng) H0 為真時(shí),仍可能做出拒絕H0的判斷, 稱為犯第一類錯(cuò)誤.（這種可能性是無(wú)法消除的） 2.) 當(dāng)H1為真時(shí)仍有可能接受H0 ,稱為犯第二類錯(cuò)誤. 二、 假設(shè)檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn) ：一般來(lái)說(shuō)，控制犯第一類錯(cuò)誤的概率，使它小于或等 , 通常取0.1，0.05，0.01等值。這種只對(duì)犯第一 類錯(cuò)誤的概率加以控制，而不考慮犯第二類錯(cuò)誤的概率檢驗(yàn)問(wèn)題，稱為顯著性檢驗(yàn)問(wèn)題。 2. K值的確定給出一個(gè)較小的數(shù)，使犯第

38、一類錯(cuò)誤的概率不超過(guò)，即使得 P拒絕為真數(shù)k是檢驗(yàn)上述假設(shè)的一個(gè)門檻。如果：與 0的差異是顯著的，這時(shí)拒絕H0 則稱反之，如果：與 0的差異是不顯著的，這時(shí)接受H0 則稱數(shù)稱為顯著性水平。顯著差異的判斷是在顯著性水平下做出的。F. 顯著性水平、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量上面關(guān)于 與 0有無(wú)(二) 雙邊檢驗(yàn)在顯著性水平下，假設(shè)檢驗(yàn)H 0稱為原假設(shè)或零假設(shè) H 1稱為備擇假設(shè)。 拒絕域 為臨界點(diǎn) (三) 單邊假設(shè)檢驗(yàn) 1. 單邊假設(shè)檢驗(yàn)的思想我們需要檢驗(yàn)假設(shè) 2. 單邊檢驗(yàn)拒絕域的確定拒絕域?yàn)椋?左邊檢驗(yàn)問(wèn)題拒絕域形式為 (四) 參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的步驟1.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求， 提出原假設(shè)H

39、0及備擇假設(shè)H1 ；2.給定顯著性水平及樣本容量n；3.確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以及拒絕域的形式；4.按P拒絕H0 |H0為真=求出拒絕域；5.取樣，根據(jù)樣本觀測(cè)值確定接受還是拒絕H0 ;(五) 正態(tài)總體均值假設(shè)檢驗(yàn)的進(jìn)一步討論1 2已知，關(guān)于的檢驗(yàn)(1) U檢驗(yàn)利用在H 0為真時(shí),總體服從N(0,1)分布的統(tǒng)計(jì)量來(lái)確定拒絕域的，這種檢驗(yàn)方法常稱為u檢驗(yàn)法。(2) 原假設(shè)為不等式情形需要檢驗(yàn)的問(wèn)題寫成以下的形式， 取顯著性水平為，現(xiàn)在要求檢驗(yàn)問(wèn)題(3.3.24)的拒絕域。 (3.3.24)從而得檢驗(yàn)問(wèn)題 (3.3.24) 的拒絕域?yàn)檫@與前面得到的檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域是一致的。比較正態(tài)總體 對(duì)均值兩種檢驗(yàn)問(wèn)題

40、和 我們看到盡管兩者原假設(shè)H0的形式不同， 實(shí)際意義也不一樣，但對(duì)于相同的顯著性水平， 它們的拒絕域是相同的 在方差2 已知時(shí)2 2未知，關(guān)于的檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域（顯著性水平為）采用作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。 拒絕域的形式為：上述利用t 統(tǒng)計(jì)量得出的檢驗(yàn)法則稱為t 檢驗(yàn)法 第四節(jié) 方差分析方法 一、單因素試驗(yàn)概念1因素 在試驗(yàn)中，考察的指標(biāo)稱為試驗(yàn)指標(biāo)。影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件稱為因素。因素可分為兩類， 一類是人們可以控制的（可控因素）； 一類是人們不能控制的。2. 水平 因素所處的狀態(tài)，稱為該因素的水平。如果一次試驗(yàn)中只有一個(gè)因素在改變，稱為單因素試驗(yàn)； 如果多于一個(gè)因素在改變的試驗(yàn)稱為多因素試

41、驗(yàn)。 二、方差分析方法（試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析方法）將各個(gè)總體的均值依次記為 需要檢驗(yàn)假設(shè)： 不全相等，設(shè)因素A有S個(gè)水平 在水平A j (j=1,2,s)下，進(jìn)行nj次獨(dú)立試驗(yàn)，得到如表中所給出的結(jié)果。例3-18例3-19(一) 基本假定及模型設(shè)各個(gè)水平 下的樣本 來(lái)自同方差 2 ，均值分別為 的正態(tài)總體 且設(shè)不同水平A j下的樣本之間相互獨(dú)立。, j與2未知。各 ij獨(dú)立 其中 j與2均為未知參數(shù)，稱（3.4.1）式為單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型(3.4.1)(二) 方差分析的任務(wù) 1. 檢驗(yàn)s個(gè)總體 的均值是否相等，即檢驗(yàn)假設(shè)不全相等 2. 作出未知參數(shù) 三、平方和的分解引入總平方和其中 分解成

42、為： 其中 四、 的統(tǒng)計(jì)特性 且當(dāng)H 0為真時(shí) 五、假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域拒絕域具有形式拒絕域?yàn)榱⑽粗獏?shù)的估計(jì)第四章 一元線性回歸一、 回歸分析1. 確定性關(guān)系2. 相關(guān)關(guān)系3. 回歸分析4. 回歸分析的類型一元線性回歸分析 一元非線性回歸分析 二元或多元回歸線性(非線性)分析 第一節(jié) 一元線性回歸分析 二、 一元線性回歸分析一元回歸考慮的只是兩個(gè)變量之間的關(guān)系其中是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從正態(tài)分布 有時(shí)也稱它為噪聲或隨機(jī)干擾項(xiàng), f(x)是x的函數(shù)， 當(dāng)f(x)是x的線性函數(shù)時(shí)，(一) 線性回歸方程通過(guò)一組 的觀察值來(lái)確定 y與x的（線性）經(jīng)驗(yàn)關(guān)系表達(dá)式。就是本節(jié)所要研究的線性回歸設(shè)的內(nèi)容。

43、例4-1 假設(shè)某地區(qū)職工平均消費(fèi)水平和平均收入如表4-1所示：年份平均消費(fèi)支出（y）平均收入（x）年份平均消費(fèi)支出（y）平均收入（x）199325.1030.00199947.1065.20199427.3035.00200053.8070.00199535.5041.20200155.5080.00199633.2051.30200266.1092.10199737.0055.20200375.00102.00199845.1060.40200480.00120.30表4-1 在平面上選定一直角坐標(biāo)系，把這12對(duì)數(shù)據(jù)相應(yīng)的點(diǎn)畫(huà)在坐標(biāo)系上，就可以得到散點(diǎn)圖。 從圖上可以看出，這些點(diǎn)大致分布在某

44、一條直線的兩側(cè)，平均收入與平均消費(fèi)水平之間大體上成線性關(guān)系。如果配以一條直線，則可寫成： y上方加記號(hào)“”，這是為了區(qū)別于的實(shí)際值， 是由經(jīng)驗(yàn)公式得到的得y估計(jì)值。如果 a和b確定了, Y和X關(guān)系式就確定了 (二) a 和b 的最小二乘估計(jì) 在散點(diǎn)圖上隨便畫(huà)一條直線，這條直線在y軸上的截距就是所求的a，直線的斜率就是所求的b. 把這條直線作為y與x的關(guān)系式的估計(jì)，它的準(zhǔn)確度如何?用什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量一條直線作為Y與X關(guān)系式效果是好的? 用所找的直線，最“接近”于這12個(gè)點(diǎn)作為衡量所找的直線好壞的標(biāo)準(zhǔn)，那怎樣才能找到的直線與12個(gè)點(diǎn)最接近呢？通用的作法就是最小二乘法。實(shí)際觀測(cè)值與 的差異：取平方得到

45、把所有觀測(cè)值 與 差異的平方加總 這個(gè)量反映了直線與各點(diǎn)之間總的偏離程度，它隨著不同的直線而變化的。也就是隨著a和b的不同而不同，所以它是a、b的二元函數(shù)， 記為： 要找到兩個(gè)數(shù) 和 ，使二元函數(shù)在 在 ， 處達(dá)到最小, 即總的偏離程度最小。 （1）（2）根據(jù)例題4-1給定的12對(duì)數(shù)據(jù) 其中常數(shù)項(xiàng)表明當(dāng)收入為零時(shí)的必要消費(fèi)；而系數(shù)0.65表明收入每增加一個(gè)單位，消費(fèi)平均增加0.65個(gè)單位。a=4.93b=0.65 例4-2 假設(shè)某國(guó)的貨幣供應(yīng)量與國(guó)民收入的歷史數(shù)據(jù)如表4-2所示：年份貨幣供應(yīng)量(x)國(guó)民收入(y)年份貨幣供應(yīng)量(x)國(guó)民收入(y)199320501999428419942555

46、200046901995326020014897199636702002501001997337220035211219984077200456117表4-2所求的回歸方程為:（三）一元線性回歸分析的假設(shè)條件假設(shè)1 隨機(jī)誤差項(xiàng)服從均值為0,方差為的正態(tài)分布。 假設(shè)2 隨機(jī)誤差項(xiàng)兩兩不相關(guān) 假設(shè)3 隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量X之間不相關(guān) 回歸線斜率的值為1.9927，表示貨幣供應(yīng)量每增加1個(gè)單位，國(guó)民收入就增加1.9227個(gè)單位。 第二節(jié) 線性回歸的方差分析1. 總的平方和分解其中 對(duì) 進(jìn)行分解 是回歸值 與y的觀測(cè)值的平均 之差的平方和。其中 一、數(shù)值分析它反映了由于x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系而引起

47、的回歸值的分散程度，我們稱之為回歸平方和。 而稱為剩余平方和，它反映了觀測(cè)值y 偏離回歸直線的程度，這種偏離是由于觀測(cè)誤差等隨機(jī)因素所引起的。 這樣通過(guò)平方和的分解把引起數(shù)據(jù)yi波動(dòng)的兩種原因在數(shù)值上基本上分開(kāi)了。二、 線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)假設(shè) 是否成立。 如果假設(shè)H0 成立， 則統(tǒng)計(jì)量 服從自由度為n-1的x 2分布 可以證明：服從自由度為 (1, n-2) 的F分布。對(duì)于給定的顯著性水平，可以由附表5查得F的臨界值F ,如果 則拒絕假設(shè)H 0 ，即認(rèn)為x與y之間的線性關(guān)系顯著。 反之，如果 則接受假設(shè)H0，即認(rèn)為y與x之間不存在線性相關(guān)關(guān)系。 若存在線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，回歸效果顯

48、著，反之回歸效果不顯著。三、方差分析表 的計(jì)算公式(一)(二) 方差分析表 (見(jiàn)教材)例4-3第三節(jié) t檢驗(yàn)（直接檢驗(yàn)法）一、 檢驗(yàn)假設(shè)t 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造： 當(dāng) ，此時(shí) 且 即得 H0的拒絕域?yàn)椋?二、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量三、線性回歸效果不顯著的原因（一） 影響y取值的，除x外,還有其他不可忽略的因素。（二） y與x的關(guān)系不是線性的，而存在著其他關(guān)系。 （三） y與x不存在關(guān)系。例4-4 例4-2的分析樣本的相關(guān)系數(shù)第四節(jié) 相關(guān)系數(shù)及其顯著性檢驗(yàn) x 和 y 的相關(guān)系數(shù)是 xy ，要檢驗(yàn)它們之間線性相關(guān)是否顯著，可以對(duì)下列假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)： 1線性回歸方程的相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn) 為了檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè), 用 xy

49、 的估計(jì)值，樣本的相關(guān)系數(shù) r來(lái)構(gòu)造一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 一、由t分布確定的拒絕域(1) 用樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)rxy (2) 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量(3) 對(duì)給定的以及自由度(n-2)，查t分布表得到 使 2. 線性相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)步驟如下：（4）若 則否定假設(shè) H0，即x與y的線性相關(guān)關(guān)系顯著 若 則假設(shè) H0成立 ，說(shuō)明x與y之間不存在線性相關(guān)，這時(shí)，所求的回歸方程沒(méi)有意義。 例4-5 利用t分布來(lái)檢驗(yàn)，由例4-3中算出的相關(guān)系數(shù)的顯著性。為了檢驗(yàn)方便，也可以由t與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系式解出 得 對(duì)給定不同的顯著水平及不同的自由度，由t分布表按上式關(guān)系式求得對(duì)應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù) rxy的臨界值，再由這些臨

50、界值制成相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表 。二、相關(guān)系數(shù)表的構(gòu)成及應(yīng)用 例4-6 求商品的需求量同商品自身的價(jià)格的關(guān)系式（假定其他變量固定不變）。一、 系數(shù)b的置信區(qū)間。 對(duì)系數(shù)b作區(qū)間估計(jì)。事實(shí)上，可由(4.3.3)式得到b的置信度為1-的置信區(qū)間為 ：二、 預(yù)測(cè)回歸方程的一個(gè)重要應(yīng)用是，對(duì)于給定的點(diǎn) 可以以一定的置信度預(yù)測(cè)對(duì)應(yīng)的的觀測(cè)值的取值范圍，即所謂預(yù)測(cè)區(qū)間。第五節(jié) 回歸分析的其它問(wèn)題對(duì)于給定的置信度1-，有 區(qū)間稱為y0的置信度為1-的預(yù)測(cè)區(qū)間。（1）置信度為0.95的預(yù)測(cè)區(qū)間近似地為 （2）置信度為0.997的預(yù)測(cè)區(qū)間近似地為 例4-7 續(xù)例4-2，求x=45時(shí)，y的預(yù)測(cè)區(qū)間 三、控制 控制是預(yù)測(cè)的

51、反問(wèn)題，即要求觀察值y在某區(qū)間 內(nèi)取值時(shí)，問(wèn)x應(yīng)控制在什么范圍？的預(yù)測(cè)區(qū)間 （3）第五章 多元線性回歸第一節(jié) 經(jīng)典多元線性回歸模型的概念一、回歸模型二、多元線性回歸模型三、線性回歸模型的假設(shè)條件（一）關(guān)于矩陣的X假定（二）關(guān)于隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的假定第二節(jié) 最小平方估計(jì)一、 關(guān)于矩陣的微分運(yùn)算的一些性質(zhì)二、的估計(jì)三、2的估計(jì)例5-1例5-2第三節(jié) 估計(jì)量的性質(zhì)一、 的性質(zhì)（二）無(wú)偏性（三） 的協(xié)方差陣（四）最小方差性（一）線性性（五）關(guān)于概率極限的幾點(diǎn)注釋1. 概率極限的概念2.概率極限的運(yùn)算3.概率極限存在的一個(gè)充分條件 4.多維情形 5.經(jīng)典線性模型的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3經(jīng)典線性模型還有如下的一

52、致性。二、 的性質(zhì)（一）無(wú)偏性（二）一致性 三、 和 分布（一） 的分布（二）有關(guān) 的分布第六章 虛擬變量的回歸 虛擬變量(Dummy Variable)，又稱名義變量。 另外還有一些名稱是： 指標(biāo)變量(Indicator Variable) 、 二值變量(Binary Variable) 、定性變量(Qualitative Variable) 和二分變量(Dichotomous Variable)。 這些都指的是一個(gè)取值為0或1的變量。第一節(jié) 虛擬變量一、 作為解釋變量的虛擬變量對(duì)于線性回歸模型其中 在回歸分析中，被解釋變量不僅常受一些在尺度上明確量化好的解釋變量的影響，而且還受實(shí)質(zhì)上是定性

53、性質(zhì)的變量的影響。 在這種情況下，不能簡(jiǎn)單地用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，需要另一些模型來(lái)研究。 當(dāng)D作為被解釋變量時(shí)，我們就可以對(duì)以下線性回歸模型進(jìn)行分析： 二、 作為被解釋變量的虛擬變量 虛擬變量不僅可作為解釋變量，它也可作為被解釋變量，例如銀行研究是否給企業(yè)貸款，結(jié)果只有兩個(gè)：貸或不貸。 三、虛擬變量模型的類型和解釋變量個(gè)數(shù)的選擇（一）含虛擬變量回歸模型的分類1ANOVA模型 一個(gè)回歸模型可以只含有虛擬變量或定性的解釋變量, 這一類模型稱為方差分析（Analysis-of-variance,簡(jiǎn)記為ANOVA）模型。2ANCOVA模型 兼含有定量和定性解釋變量的回歸模型叫做協(xié)方差分析 (Ana

54、lysis-of-covariance,簡(jiǎn)記ANCOA)模型。例6-2（二）虛擬變量個(gè)數(shù)的選取規(guī)則1. (虛擬變量個(gè)數(shù)的選取)問(wèn)題的提出 2. 虛擬變量個(gè)數(shù)的選取 一般的規(guī)則是： 如果一個(gè)定性變量有m個(gè)類別，則只需引入m-1個(gè)虛擬變量。 例子: 為了區(qū)分兩個(gè)類別：男性和女性，我們只需引進(jìn)了一個(gè)虛擬變量D。 解決多重共線性問(wèn)題的方法有各種各樣,最簡(jiǎn)單的方法就是當(dāng)定性變量有兩個(gè)分類或兩個(gè)水平時(shí)，僅用一個(gè)虛擬變量 。3. 虛擬變量有關(guān)名詞的定義 (1) 基底 虛擬變量被賦予零值的那個(gè)組別、類別或級(jí)別常被喻為是基底（base）、基準(zhǔn)（benchmark）、對(duì)比(comparison)、參考(refer

55、ence)或省略(omitted)類。 共同的截距項(xiàng)就是基底類的截距 (2) 級(jí)差截距系數(shù) 附著于虛擬變量Di ,的系數(shù) 稱為級(jí)差截距系數(shù)（differential intercept coefficient） 四、 一個(gè)定量變量和一個(gè)多分定性變量的回歸 在橫截面數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，做個(gè)人保健支出對(duì)個(gè)人收入和教育水平的回歸,考慮三個(gè)互相排斥的教育水平：低于中學(xué)、中學(xué)和大學(xué) 。 按照虛擬變量的個(gè)數(shù)比變量分類數(shù)少一的規(guī)則，我們需要引進(jìn)兩個(gè)虛擬變量，以處理教育的三個(gè)水平。 其中，表示保健年度支出，表示年度收入 ， 五、 一個(gè)定量變量和多個(gè)定性變量的回歸(一) 一個(gè)定量變量和兩個(gè)定性變量的回歸(二) 一個(gè)定

56、量變量和多個(gè)定性變量的回歸 虛擬變量的方法易于推廣，以便處理多于一個(gè)定性變量的情況。在學(xué)院教授的薪金回歸模型（6.1.4）中，除了教齡和性別之外，如果膚色也是一個(gè)重要的薪金決定因素。則模型需要改為（6.1.14）。 多個(gè)定量變量和多個(gè)定性變量的回歸與一個(gè)定量變量和兩個(gè)定性變量的回歸沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別，這里只給出一個(gè)例子加以說(shuō)明。例6-3第二節(jié) 虛擬變量的應(yīng)用一、 應(yīng)用虛擬變量改變回歸直線的截距二、應(yīng)用虛擬變量改變回歸直線的斜率三、分段線性回歸 圖62表示兩種情況下，中國(guó)通貨膨脹率的變化的情況。 我們?nèi)匀谎芯客ㄘ浥蛎浡屎蛧?guó)民總產(chǎn)值增長(zhǎng)率之間的相互關(guān)系，這一回假設(shè)1998年與普通年份的預(yù)期基點(diǎn)相同，但

57、變化幅度不同，也就是斜率不同。 虛擬變量的另一個(gè)用途，可以從圖6-4看出。 例6-4 四、 檢驗(yàn)回歸模型結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性 一般情況兩個(gè)或兩個(gè)以上回歸方程的差異在于 截矩，也許在于斜率或者兩者都有。 設(shè)重建時(shí)期收入與儲(chǔ)蓄的理論模型為： 設(shè)重建后時(shí)期收入與儲(chǔ)蓄的理論模型為： （一）回歸模型的結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問(wèn)題的提出1、 和 就是說(shuō)兩個(gè)回歸相同(重合回歸 Coincident regression） 2、但 就是說(shuō)兩個(gè)回歸的差異僅在于位置即截距的不同(平行回歸parallel regression） 回歸模型（6.2.4），（6.2.5）代表以下四種可能情形 3、 但 就是說(shuō)，兩個(gè)回歸的截距相同但斜率相異

58、（匯合回歸 Concurrent regression）。4、 且 就是說(shuō)，兩個(gè)回歸完全不同（相異回歸 Dissimilar regression）。 圖6-6 給出了所有這些可能的情形 鄒檢驗(yàn)的基本假設(shè)：(a) 和（b） 和 是獨(dú)立分布（相互獨(dú)立的） 鄒檢驗(yàn)按下列步驟進(jìn)行 （二）傳統(tǒng)判別結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性方法存在的缺陷步驟1：合并全部n1和n2次觀測(cè)值，用以估計(jì)模型中的參數(shù)（即 將（6.2.4），（6.2.5）合并）步驟2：分別估計(jì)（6.2.4）和（6.2.5）中的參數(shù) 即分別求出模型（6.2.4），（6.2.5）的線性回歸方程），并求得它們的殘差平方和，且分別記為 和 步驟3：求出服從自由度為（）

59、的分布。 步驟4： 在鄒檢驗(yàn)的基本假設(shè)下，可以證明： 服從自由度為： 的F分布。 固定資產(chǎn)投資與GDP的例子步驟1： 步驟2，緊縮政策前、緊縮政策后步驟3： 步驟4：(三) 虛擬變量法比較兩個(gè)回歸方程的結(jié)構(gòu)注意： (1) 按相加性（additive）形式，將虛擬變量引入 能使我們區(qū)分兩個(gè)時(shí)期的截距。 （2）按乘積性（multiplicative）形式，將虛擬 變量 引入能使我們區(qū)分兩個(gè)時(shí)期的級(jí)差系數(shù) 通過(guò)虛擬變量的使用可大大簡(jiǎn)化上面介紹的鄒檢驗(yàn)步驟。雖然在任一種情況下應(yīng)用鄒檢驗(yàn)和應(yīng)用虛擬變量檢驗(yàn)法得到的一般結(jié)論都一樣的，但虛擬變量法有些優(yōu)越性 虛擬變量技術(shù)比鄒檢驗(yàn)優(yōu)越： 1 我們只需求出單一的

60、回歸方程（6.2.9），兩個(gè)時(shí)期的回歸方程可由取D的不同值而 得到。 2 所求的單一的回歸方程（6.2.9），可用做各種假設(shè)檢驗(yàn)。比方說(shuō),對(duì)級(jí)差系數(shù) 作假設(shè)檢驗(yàn): 若接受 ，就可接受兩個(gè)回歸方程有相同截距的假設(shè)。否則，則認(rèn)為兩個(gè)回歸方程有不同的截距。類似地，對(duì)級(jí)差斜率系數(shù) 作假設(shè)檢驗(yàn)： ，若接受 ，則我們認(rèn)為兩個(gè)回歸方程有相同的斜率；若拒絕 ，則我們就不能接受兩個(gè)回歸方程有相同斜率的假設(shè)。整個(gè)回歸方程結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性的檢驗(yàn)，可用F檢驗(yàn)來(lái)判斷 3. 鄒檢驗(yàn)沒(méi)有明白地告訴我們 哪一個(gè)系數(shù)、 截距或斜率在這兩個(gè)時(shí)期相異； 或者兩個(gè) 系數(shù)均相異。 虛擬變量法有著明顯的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)樗粌H告訴我們兩個(gè)回歸是否有