2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共10小題，共50分。1.已知集合M={x∣?3<x<0},N={x∣?1≤x<4}，則M∩N=(

)A.{x∣?1≤x<0} B.{x∣x>?3}

C.{x∣?3<x<4} D.{x∣x<4}2.下列函數(shù)中，與函數(shù)f(x)=x有相同圖象的是(

)A.f(x)=lnex B.f(x)=elnx3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是(

)A.f(x)=3x+13x B.f(x)=x?4.已知sinα?π6=3A.35 B.?35 C.45.如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線段ABC，則不等式fx≥x?22的解集是(

)A.[?2,0]∪[3,4] B.(?∞,0]∪[3,+∞)

C.(0,3) D.0,36.已知α∈R，則“α∈0,π2”是“sin(π?α)=A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.設(shè)a=0.41.6,b=0.4A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.a<c<b8.將函數(shù)fx的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與函數(shù)gx=xA.?6 B.?2 C.2 9.已知x,y∈R，則(

)A.log22x?1+2y?1≤x+y10.已知函數(shù)f(x)=12x?1,x<0ax?x2,x≥0，其中a∈R.若f(x)在(?1,t)A.(?1,0] B.(0,2] C.(2,4] D.(4,+∞)二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.函數(shù)f(x)=1x?3的定義域?yàn)?/p>

12.已知a,b,c∈R，命題p：若a>b>c，則ab2<cb2.能說(shuō)明p為假命題的一組a，b，c的值為a=

，b=

，13.已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，f(2)=1，若?1≤f(3x?1)≤0，則x的取值范圍是

．14.已知α∈[0,2π)，若點(diǎn)(sinα?cosα,tanα?sin15.已知fx是定義在R上的函數(shù)，若?T∈R，且T≠0，使得?x∈R，都有fx+T=Tfx，則稱函數(shù)f①函數(shù)fx=x具有性質(zhì)②函數(shù)fx=sin③若函數(shù)fx具有性質(zhì)P，且fx是偶函數(shù)，則④若函數(shù)fx具有性質(zhì)P，且fx是奇函數(shù)，則T,0是其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

．三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(1)計(jì)算求值：827(2)解關(guān)于x的不等式：(ⅰ)2x?3(ⅱ)x217.已知函數(shù)f(x)=sin2x+(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)x∈?π6,18.在某種藥物研究試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)其在血液內(nèi)的濃度y(單位：毫克/毫升)與時(shí)間t(單位：小時(shí))滿足函數(shù)關(guān)系y=alnt+1,0≤t≤2kt,t>2，其中a，k為大于0的常數(shù)．已知該藥物在血液內(nèi)的濃度是一個(gè)連續(xù)變化的過(guò)程，且在(1)直接寫(xiě)出a，k的值；(2)當(dāng)該藥物濃度不小于最大值一半時(shí)，稱該藥物有效．求該藥物有效的時(shí)間長(zhǎng)度T(單位：小時(shí))．19.已知函數(shù)f(x)=loga(1)若f14=2(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，若函數(shù)g(x)=fx在a,2a上的最大值與最小值的差為12(3)設(shè)函數(shù)?(x)=a?2x?f(x)，當(dāng)5<a<6時(shí)，?(x)的零點(diǎn)x0∈(m,m+1)m∈N20.已知函數(shù)f(x)=ex+x+3,x≤0,?x2(1)求m及f(?1)的值；(2)求證：?x∈(?∞,1)，都有x+3<f(x)≤x+4；(3)若函數(shù)g(x)=|f(x)?(x+n)|(n∈R)在(?∞,1)上存在最大值，直接寫(xiě)出n的取值范圍．21.已知集合A,B,A?Z,B?Z,A,B中都至少有3個(gè)元素，且A，B滿足：①?x,y∈A，且x≠y，總有|x+y|∈B；②?x,y∈B，且x≠y，總有|x?y|∈A．(1)若集合B={1,2,3}，直接寫(xiě)出所有滿足條件的集合A；(2)已知?1∈A，(ⅰ)若x,y∈A，且y>x>0，求證：y?x∈A．(ⅱ)求證：N??A．參考答案1.A

2.A

3.B

4.B

5.D

6.A

7.C

8.B

9.B

10.C

11.3,+∞

12.1(答案不唯一，滿足a>b>c即可)

；

；

；0；?1

13.?114.π415.②③④

16.(1)原式=3(2)(ⅰ)因?yàn)?x?3x?1>1，可得等價(jià)于x?2x?1>0，解得x>2或所以不等式的解集為xx2或(ⅱ)因?yàn)閤2<ax(a∈R)，即令xx?a=0，解得x=0或若a>0，不等式解集為x|0<x<a；若a=0，不等式解集為?；若a<0，不等式解集為x|a<x<0．

17.(1)因?yàn)閒(x)=sin所以f(x)的最小正周期T=2π令2kπ?π2≤2x+所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間kπ?π(2)因?yàn)閤∈?π6,π當(dāng)2x+π6=π2，即x=當(dāng)2x+π6=?π6或2x+π6=7π

18.(1)因?yàn)樵撍幬镌谘簝?nèi)的濃度是一個(gè)連續(xù)變化的過(guò)程，函數(shù)y=alnt+1,0≤t≤2k所以a>0，aln所以a=2，k=4ln(2)由(1)y=令y≥ln若0≤t≤2，則2lnt+1≥若t>2，則4ln3t所以該藥物有效的時(shí)間長(zhǎng)度T為4?3?1

19.(1)因?yàn)閒14=lo且a>0,a≠1，所以a=1(2)因?yàn)?<a<1，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，logax>0可知g(x)=fx在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在且g(a)=1，g(1)=0，若函數(shù)g(x)=fx在a,2a上的最大值與最小值的差為12，可得2a<1可知g(x)在a,2a上單調(diào)遞減，則logaa?lo所以a的值為14(3)因?yàn)?(x)=a?2x?logax又因?yàn)閥=a?2x,y=?logax可知?(x)在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，且a?4>1,log可得?2則?(x)的唯一零點(diǎn)x0∈(2,3)，所以

20.(1)∵函數(shù)f(x)=ex+x+3,x≤0,?x2+mx+4,0<x<1∴f(x)=e故f(?1)=e(2)證明：由(1)知f(x)=當(dāng)x≤0時(shí)，∵0<e∴x+3<e當(dāng)0<x<1時(shí)，∵0<x∴?1<?x2<0綜上，?x∈(?∞,1)，都有x+3<f(x)≤x+4．(3)由(1)知g(x)=f(x)?(x+n)當(dāng)x≤0時(shí)，∵0<ex≤1當(dāng)0<x<1時(shí)，∵0<x2<1當(dāng)n≥4時(shí)，g(x)=由于函數(shù)y=?ex?3+n在(?∞,0]上單調(diào)遞減，函數(shù)y=故函數(shù)g(x)=f(x)?(x+n)=?當(dāng)n≤3時(shí)，g(x)=由于函數(shù)y=ex+3?n在(?∞,0]上單調(diào)遞增，函數(shù)y=?故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g(x)=f(x)?(x+n)=e當(dāng)3<n<4時(shí)，不妨設(shè)方程g(x)=0的兩根分別為x1(xg(x)=|f(x)?(x+n)|={易知函數(shù)g(x)在(?∞,x1)和(0,x2要使函數(shù)g(x)=f(x)?(x+n)在(?∞,1)上存在最大值，需使g(0)≥n?33<n<4，即4?n≥n?33<n<4綜上，若函數(shù)g(x)=|f(x)?(x+n)|(n∈R)在(?∞,1)上存在最大值，n的取值范圍為(?∞,7

21.(1)因?yàn)锽={1,2,3}，又?x,y∈B，且x≠y，總有|x?y|∈A，所以3?1∈A,3?2∈A，即1∈A,2∈A，設(shè)t∈A,t≠1,t≠2，由?x,y∈A，且x≠y，總有|x+y|∈B，可得t+1∈B,所以t=0或t=?3或t=?4，但?3+?4所以滿足條件的集合A有0,1,2，?3,1,2，?3,0,1,2，?4,1,2；(2)(ⅰ)又?1∈A，x,y∈A，y>x>0，A?Z，由①知，y+?1=y?1∈B，由②知，y?1?x?1(ⅱ)因?yàn)锽中至少有3個(gè)元素，B?Z，不妨設(shè)B=p,q,r，其中p<q<r，p,q,r則q?p,r?p,所以A中至少存在兩個(gè)正整數(shù)，不妨設(shè)m,n∈N?，m,n∈A，m<n，又由①知，m?1=m+?1∈B，n?1=n+?1由②知，n+m?m?1=n+1∈A，故由m,n∈