高考大題專項(六)　概率與統(tǒng)計

1、 高考大題專項(六)概率與統(tǒng)計1.某廠分別用甲、乙兩種工藝生產(chǎn)同一種零件,尺寸在223,228內(nèi)(單位:mm)的零件為一等品,其余為二等品.在兩種工藝生產(chǎn)的零件中,各隨機(jī)抽取10個,其尺寸的莖葉圖如圖所示.(1)分別計算抽取的兩種工藝生產(chǎn)的零件尺寸的平均數(shù);(2)已知甲工藝每天可生產(chǎn)300個零件,乙工藝每天可生產(chǎn)280個零件,一等品利潤為30元/個,二等品利潤為20元/個.視頻率為概率,試根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)判斷采用哪種工藝生產(chǎn)該零件每天獲得的利潤更高?2.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值.經(jīng)數(shù)據(jù)處理后得到該樣本的頻率分布直方圖,其中質(zhì)量指標(biāo)值不大于1.50的莖葉圖如

2、圖所示,以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在各區(qū)間內(nèi)的頻率代替相應(yīng)區(qū)間的概率.(1)求圖中a,b,c的值;(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(說明:同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表;方差的計算只需列式正確);(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于1.50的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的90%”的規(guī)定?3.為響應(yīng)陽光體育運(yùn)動的號召,某縣中學(xué)生足球活動正如火如荼地開展,該縣為了解本縣中學(xué)生的足球運(yùn)動狀況,根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全縣24 000名中學(xué)生(其中男生14 000人,女生10 000人)中抽取120名,統(tǒng)計他們平均每天足球運(yùn)動的時間,如下表:(

3、平均每天足球運(yùn)動的時間單位為小時,該縣中學(xué)生平均每天足球運(yùn)動的時間范圍是0,3)男生平均每天足球運(yùn)動的時間分布情況:平均每天足球運(yùn)動的時間0,0.5)0.5,1)1,1.5)1.5,2)2,2.5)2.5,3人數(shù)23282210 x女生平均每天足球運(yùn)動的時間分布情況:平均每天足球運(yùn)動的時間0,0.5)0.5,1)1,1.5)1.5,2)2,2.5)2.5,3人數(shù)51218103y(1)請根據(jù)樣本估算該校男生平均每天足球運(yùn)動的時間(結(jié)果精確到0.1);(2)若稱平均每天足球運(yùn)動的時間不少于2小時的學(xué)生為“足球健將”.低于2小時的學(xué)生為“非足球健將”.請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表,

4、并通過計算判斷,能否有90%的把握認(rèn)為是否為“足球健將”與性別有關(guān)?性別足球健將非足球健將總計男生女生總計若在足球活動時間不足1小時的男生中抽取2名代表了解情況,求這2名代表都是足球運(yùn)動時間不足半小時的概率.參考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6354.2018年8月8日是我國第十個全民健身日,其主題是:新時代全民健身動起來.某市為了解全民健身情況,隨機(jī)從某小區(qū)居民中抽取了

5、40人,將他們的年齡分成7段:10,20),20,30),30,40),40,50),50,60),60,70),70,80后得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試求這40人年齡的平均數(shù)、中位數(shù)的估計值;(2)若從樣本中年齡在50,70)的居民中任取2人贈送健身卡,求這2人中至少有1人年齡不低于60歲的概率;已知該小區(qū)年齡在10,80內(nèi)的總?cè)藬?shù)為2 000,若18歲以上(含18歲)為成年人,試估計該小區(qū)年齡不超過80歲的成年人人數(shù).5.在國際風(fēng)帆比賽中,成績以低分為優(yōu)勝,比賽共11場,并以最佳的9場成績計算最終的名次.在一次國際風(fēng)帆比賽中,前7場比賽結(jié)束后,排名前8位的選手積分如下表:運(yùn)動員比

6、賽場次總分1234567891011A322242621B1351104428C986111228D784431835E3125827542F4116936847G10121281210771H12126127121273(1)根據(jù)表中的比賽數(shù)據(jù),比較A與B的成績及穩(wěn)定情況;(2)從前7場平均分低于6.5的運(yùn)動員中,隨機(jī)抽取2個運(yùn)動員進(jìn)行興奮劑檢查,求至少1個運(yùn)動員平均分不低于5分的概率;(3)請依據(jù)前7場比賽的數(shù)據(jù),預(yù)測冠亞軍選手,并說明理由.6.某服裝店對過去100天其實(shí)體店和網(wǎng)店的銷售量(單位:件)進(jìn)行了統(tǒng)計,制成頻率分布直方圖如下:(1)若將上述頻率視為概率,已知該服裝店過去100天的

7、銷售中,實(shí)體店和網(wǎng)店銷售量都不低于50件的概率為0.24,求過去100天的銷售中,實(shí)體店和網(wǎng)店至少有一邊銷售量不低于50件的天數(shù);(2)若將上述頻率視為概率,已知該服裝店實(shí)體店每天的人工成本為500元,門市成本為1 200元,每售出一件利潤為50元,求該門市一天獲利不低于800元的概率;(3)根據(jù)銷售量的頻率分布直方圖,求該服裝店網(wǎng)店銷售量中位數(shù)的估計值(精確到0.01).7.隨著新課程改革和高考綜合改革的實(shí)施,高中教學(xué)以發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,學(xué)習(xí)評價更關(guān)注學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.為此,我市于2018年舉行第一屆高中文科素養(yǎng)競賽,競賽結(jié)束后,為了評估我市高中學(xué)生的文科素養(yǎng),從所有參賽學(xué)

8、生中隨機(jī)抽取1 000名學(xué)生的成績(單位:分)作為樣本進(jìn)行估計,將抽取的成績整理后分成五組,從左到右依次記為50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)請補(bǔ)全頻率分布直方圖并估計這1 000名學(xué)生成績的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)采用分層抽樣的方法從這1 000名學(xué)生的成績中抽取容量為40的樣本,再從該樣本成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行問卷調(diào)查,求至少有一名學(xué)生成績不低于90分的概率;(3)我市決定對本次競賽成績排在前180名的學(xué)生給予表彰,授予“文科素養(yǎng)優(yōu)秀標(biāo)兵”稱號.一名學(xué)生本次競賽成績?yōu)?

9、9分,請你判斷該學(xué)生能否被授予“文科素養(yǎng)優(yōu)秀標(biāo)兵”稱號.8.某市100 000名職業(yè)中學(xué)高三學(xué)生參加了一項綜合技能測試,從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的測試成績,制作了以下的測試成績X(滿分是184分)的頻率分布直方圖.市教育局規(guī)定每個學(xué)生需要繳考試費(fèi)100元.某企業(yè)根據(jù)這100 000 名職業(yè)中學(xué)高三學(xué)生綜合技能測試成績來招聘員工,劃定的招聘錄取分?jǐn)?shù)線為172分,且補(bǔ)助已經(jīng)被錄取的學(xué)生每個人400+100(X-172)元的交通和餐補(bǔ)費(fèi).(1)已知甲、乙兩名學(xué)生的測試成績分別為168分和170分,求技能測試成績X的中位數(shù),并對甲、乙的成績作出客觀的評價;(2)令Y表示每個學(xué)生的繳費(fèi)或獲得交通和餐補(bǔ)費(fèi)

10、的代數(shù)和,把Y用X的函數(shù)來表示,并根據(jù)頻率分布直方圖估計Y800的概率.參考答案高考大題專項(六)概率與統(tǒng)計1.解 (1)x甲=110(217+218+222+225+226+227+228+231+233+234)=226.1 mm;x乙=110(218+219+221+224+224+225+226+228+230+232)=224.7 mm.(2)由抽取的樣本可知,應(yīng)用甲工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品的概率為25,二等品的概率為35,故采用甲工藝生產(chǎn)該零件每天獲得的利潤:w甲=3002530+3003520=7 200元;應(yīng)用乙工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品、二等品的概率均為12,故采用乙工藝生產(chǎn)該零件

11、每天獲得的利潤:w乙=2801230+2801220=7 000元.因?yàn)閣甲w乙,所以采用甲工藝生產(chǎn)該零件每天獲得的利潤更高.2.解 (1)由頻率分布直方圖和莖葉圖得51000.1=a,101000.1=b,a+b+3+4+c=10.1,解得a=0.5,b=1,c=1.5.(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為x=1.350.50.1+1.4510.1+1.5530.1+1.6540.1+1.751.50.1=1.6,估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的方差s2=(1.35-1.6)20.05+(1.45-1.6)20.1+(1.55-1.6)20.4+(1.75-1.6)20.15=0.010 5.(3

12、)質(zhì)量指標(biāo)值不低于1.50的產(chǎn)品占比為0.30+0.40+0.15=0.852.706,能有90%的把握認(rèn)為是否為“足球健將”與性別有關(guān);記不足半小時的兩人為a,b,足球運(yùn)動時間在0.5,1)內(nèi)的3人為1,2,3,則總的基本事件有10個,取2名代表都是足球運(yùn)動時間不足半小時的基本事件是(a,b),故所求概率為110.4.解 (1)平均數(shù)x=150.15+250.2+350.3+450.15+550.1+(65+75)0.05=37.前三組的頻率之和為0.15+0.2+0.3=0.65,故中位數(shù)落在第3組,設(shè)中位數(shù)為x,則(x-30)0.03+0.15+0.2=0.5,解得x=35,即中位數(shù)為3

13、5.(2)樣本中,年齡在50,70)的人共有400.15=6人,其中年齡在50,60)的有4人,設(shè)為a,b,c,d,年齡在60,70)的有2人,設(shè)為x,y.則從中任選2人共有如下15個基本事件:(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(c,d),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y).至少有1人年齡不低于60歲的共有如下9個基本事件:(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y).記“這2人中至少有1人年齡不低于60歲”為事件A,故所求概率P(A)

14、=915=35.樣本中年齡在18歲以上的居民所占頻率為1-(18-10)0.015=0.88,故可以估計,該小區(qū)年齡不超過80歲的成年人人數(shù)約為2 0000.88=1 760.5.解 (1)由表格中的數(shù)據(jù),我們可以分別求出運(yùn)動員A和B前7場比賽積分的平均數(shù)和方差,作為度量兩運(yùn)動員比賽的成績及穩(wěn)定性的依據(jù).運(yùn)動員A的平均分x1=1721=3,方差s12=17(3-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(4-3)2+(6-3)2=2;運(yùn)動員B的平均分x2=1728=4,方差s22=17(1-4)2+(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(10-4)2+(4-4)2+(

15、4-4)2=8,從平均分和積分的方差來看,運(yùn)動員A的平均積分及積分的方差都比運(yùn)動員B的小,也就是說,在前7場比賽過程中,運(yùn)動員A的成績較為優(yōu)秀,且表現(xiàn)也較為穩(wěn)定.(2)表中平均分低于6.5分的運(yùn)動員共有5個,其中平均分低于5分的運(yùn)動員有3個,平均分不低于5分且低于6.5分的運(yùn)動員有2個,從這5個數(shù)據(jù)中任取2個,基本事件總數(shù)n=10,從3個運(yùn)動員中任取2人的事件數(shù)為3,至少1個運(yùn)動員平均分不低于5分的對立事件是取到的兩人的平均分都低于5分,所以至少1個運(yùn)動員平均分不低于5分的概率P=1-310=710.(3)盡管此時還有4場比賽沒有進(jìn)行,但這里我們可以假設(shè)每位運(yùn)動員在各自的11場比賽中發(fā)揮的水平

16、大致相同,因而可以把前7場比賽的成績看作總體的一個樣本,并由此估計每位運(yùn)動員最后的成績,從已結(jié)束的7場比賽的積分來看,運(yùn)動員A的成績最為出色,而且表現(xiàn)最為穩(wěn)定,故預(yù)測A運(yùn)動員獲得最后的冠軍,而運(yùn)動員B和C平均分相同,但運(yùn)動員C得分整體呈下降趨勢,所以預(yù)測運(yùn)動員C將獲得亞軍.6.解 (1)由題意,網(wǎng)店銷售量不低于50件共有(0.068+0.046+0.010+0.008)5100=66(天),實(shí)體店銷售量不低于50件的天數(shù)為(0.032+0.020+0.0122)5100=38(天),實(shí)體店和網(wǎng)店銷售量都不低于50件的天數(shù)為1000.24=24(天),故實(shí)體店和網(wǎng)店至少有一邊銷售量不低于50的天

17、數(shù)為66+38-24=80(天).(2)由題意,設(shè)該實(shí)體店一天售出x件,則獲利為50 x-1 700800 x50.設(shè)該實(shí)體店一天獲利不低于800元為事件A,則P(A)=P(x50)=(0.032+0.020+0.012+0.012)5=0.38.故該實(shí)體店一天獲利不低于800元的概率為0.38.(3)因?yàn)榫W(wǎng)店銷售量頻率分布直方圖中,銷售量低于50件的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)5=0.340.5,故網(wǎng)店銷售量的中位數(shù)的估計值為50+0.5-0.340.34552.35(件).7.解 (1)成績落在60,70)的頻率為1-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.4

18、0,補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖:樣本的平均數(shù)x=550.30+650.40+750.15+850.10+950.05=67(分).(2)由分層抽樣知,成績在80,90)內(nèi)的學(xué)生中抽取4人,記為a1,a2,a3,a4,成績在90,100內(nèi)的學(xué)生中抽取2人,記為b1,b2,則滿足條件的所有基本事件為:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共15個,記“至少有一名學(xué)生成績不低于9”為事件A,則事件A包含的基本事件有:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共9個.故所求概率為P(A)=915=35.(3)因?yàn)?801 000=0.18,所以由頻率分布直方圖可以