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1、第五節(jié) 綜合例題注： 設(shè)A為n階方陣，則稱為A的一個(gè)m次矩陣多項(xiàng)式?？梢詺w納證明若 為對(duì)角陣，則 例3 設(shè)n階方陣A的伴隨矩陣為A*,證明： （1）若|A|0，則| A*|0。 （2）| A*|A|n1。證明：由伴隨矩陣的定義顯然有 AA*= A*A=|A|En,兩邊取行列式即得 |A|A*|=det(|A|En)|A|n,故當(dāng)|A|不等于0時(shí)，（2）是顯然的。而只要我們證明了（1），則（2）對(duì)于|A|0的矩陣A也是成立的。下面我們證明（1）。(反證法）假設(shè)則| A*|0，則A*可逆，于是在AA*=|A|En兩邊右乘(A*)1,有 A |A|En (A*)1O（因?yàn)閨A|0），因此A的伴隨矩陣

2、A*應(yīng)該為O。與假設(shè)矛盾！例4 設(shè)A為n階方陣滿足A2A2EO，證明A和A2E均可逆，求它們的逆矩陣。 解 由A2A2EO易得 (AE)A=2E, 即 (AE)A=E.故由逆矩陣的定義可得A可逆，且類似可求得(A2E)(A3E)=4E.即 作業(yè)（同濟(jì)三版）P6669：3，4(1)(2)(5)， 11(1)(5)(用伴隨矩陣法和初等變換方法兩種方法各作一遍) 21.P9395: 1(3)，12例5 設(shè) ，且A可逆，證明 |Q|=|A|DCA1B|（行列式第一降階定理） 證明：對(duì)分塊矩陣作初等行變換和列變換，將之化為分塊對(duì)角陣。用初等方陣的記號(hào)表示出來,即在上式兩邊取行列式即得要證明的結(jié)論。（由此

3、例可解63題）習(xí)題補(bǔ)充題提示：7，8題：要用到方程組的通解的思想，可先不管。2729：先把要求的矩陣的一般形式B設(shè)出來，再根據(jù)ABBA得到n2個(gè)等式確定出B的元素或元素之間的關(guān)系。(繁但不難）3537：C對(duì)稱的充要條件為CCT。 C反對(duì)稱的充要條件為CCT。38: A對(duì)稱的充要條件為aij=aji.57: 用初等列變換將矩陣化為主對(duì)角線為1的下三角矩陣。然后用初等方陣的記號(hào)把所作的初等變換過程表示出來即可。6465，77：先設(shè) ，用分塊矩陣乘法由AA1E解出A1的4個(gè)子陣。66：用65題的結(jié)論作為方法。68：用分塊矩陣的初等行變換化為分塊三角陣，再取行列式。74：先求出f(x)，g(x)的表達(dá)式，在代x為A。7980：數(shù)學(xué)歸納法

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