高等數(shù)學(xué)第六版第七章微分方程-PPT課件

1、第七章 微分方程 積分問(wèn)題 微分方程問(wèn)題 推廣 第七章 第一節(jié) 微分方程的基本概念 與一階微分方程解法 一階微分方程的基本概念與解法引例 幾何問(wèn)題物理問(wèn)題 第七章 引例1. 一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的解: 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式:(C為任意常數(shù))由 得 C = 1,因此所求曲線方程為由 得切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 . 引例2. 列車(chē)在平直路上以的速度行駛, 制動(dòng)時(shí)獲得加速度求制動(dòng)后列車(chē)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解: 設(shè)列車(chē)在制動(dòng)后 t 秒行駛了s 米 ,已知由前一式兩次積分, 可得利用后兩式可得因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為說(shuō)明: 利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后

2、多少時(shí)間列車(chē)才能停住 , 以及制動(dòng)后行駛了多少路程 . 即求 s = s (t) .常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程 .方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(本章內(nèi)容)( n 階顯式微分方程)一、微分方程的基本概念一般地 , n 階常微分方程的形式是的階.分類(lèi)或引例2 使方程成為恒等式的函數(shù).通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程 確定通解中任意常數(shù)的條件.n 階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.特解引例1 通解:特解:微分方程的解 不含任意常數(shù)的解, 定解條件 其圖形稱為積分曲線.其圖形稱為積分曲線族.例1. 驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的解,的特解 . 解:

3、 這說(shuō)明是方程的解 . 是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),利用初始條件易得: 故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件 求所滿足的微分方程 .例2. 已知曲線上點(diǎn) P(x, y) 處的法線與 x 軸交點(diǎn)為 Q解: 如圖所示, 令 Y = 0 , 得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)即點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為且線段 PQ 被 y 軸平分, 1、可分離變量微分方程 或 可分離變量方程。 形如的微分方程稱為解法：可分離變量方程的解法:兩邊積分, 得 則有稱為方程的隱式通解.二、一階微分方程的解法例1. 求微分方程的通解.解: 分離變量得兩邊積分得即( C 為任意常數(shù) )或說(shuō)明: 在求解過(guò)程中每一步不一定是同解變形

4、,因此可能增、減解.( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )例2. 解初值問(wèn)題解: 分離變量得兩邊積分得即由初始條件得 C = 1,( C 為任意常數(shù) )故所求特解為例3. 求下述微分方程的通解:解: 令 則故有即解得( C 為任意常數(shù) )所求通解:練習(xí):解法 1 分離變量即( C 0 )解法 2故有積分( C 為任意常數(shù) )所求通解:例4. 子的含量 M 成正比,求在衰變過(guò)程中鈾含量 M(t) 隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律. 解: 根據(jù)題意, 有(初始條件)對(duì)方程分離變量, 即利用初始條件, 得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:已知 t = 0 時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)?/p>

5、例5.成正比,求解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對(duì)方程分離變量,然后積分 :得利用初始條件, 得代入上式后化簡(jiǎn), 得特解并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)( t = 0 ) 速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. t 足夠大時(shí)2、齊次方程形如的方程叫做齊次方程 .令代入原方程得兩邊積分, 得積分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分離變量: 例1. 解微分方程解:代入原方程得分離變量?jī)蛇叿e分得故原方程的通解為( 當(dāng) C = 0 時(shí), y = 0 也是方程的解)( C 為任意常數(shù) )例2. 解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說(shuō)明: 顯然

6、 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 為任意常數(shù))求解過(guò)程中丟失了. 3、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量?jī)蛇叿e分得故通解為稱為齊次方程 ;對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2. 解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得例1. 解方程 解: 先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解. 令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為4、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方

7、程的通解.解法:(線性方程)例4. 求方程的通解.解: 令則方程變形為其通解為將代入, 得原方程通解: 一、可降階高階微分方程 第七章 二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第二節(jié)一、 可降階的高階微分方程 1、 型的微分方程2、 型的微分方程3、 型的微分方程1、令因此即同理可得依次通過(guò) n 次積分, 可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解 .型的微分方程 一、可降階高階微分方程 例1. 解: 型的微分方程 設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分, 得原方程的通解2、例2. 求解解: 代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為3、型的微分方程 令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,

8、得原方程的通解例3. 求解代入方程得兩端積分得(一階線性齊次方程)故所求通解為解:例4. 解初值問(wèn)題解: 令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與 x 軸圍成的三角形面例4.二階可導(dǎo), 且上任一點(diǎn) P(x, y) 作該曲線的切線及 x 軸的垂線,區(qū)間 0, x 上以解:于是在點(diǎn) P(x, y) 處的切線傾角為 ,滿足的方程 .積記為( 99 考研 )再利用 y (0) = 1 得利用得兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得定解條件為方程化為利用定解條件得得故所求曲線方程為二、 高階線性微分方程 解的結(jié)構(gòu) 2、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) 3、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) 1、

9、二階線性微分方程 第七章 的方程，叫二階線性微分方程。二階線性齊次微分方程二階線性非齊次微分方程的方程，叫 n 階線性微分方程。1、二階線性微分方程的概念形如一般地，形如二、 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 證畢2、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個(gè)解,也是該方程的解.證:代入方程左邊, 得(疊加原理) 定理1.說(shuō)明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解 并不是通解但是則為解決通解的判別問(wèn)題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無(wú)關(guān)概念. 定義:是定義在區(qū)間 I 上的 n 個(gè)函數(shù),使得則稱這 n個(gè)函數(shù)在 I 上線性相關(guān), 否則稱為線性無(wú)關(guān).例如， 在( ,

10、)上都有故它們?cè)谌魏螀^(qū)間 I 上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間 I 上則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,必需全為 0 ,可見(jiàn)在任何區(qū)間 I 上都 線性無(wú)關(guān).若存在不全為 0 的常數(shù)兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為 0 的使( 無(wú)妨設(shè)線性無(wú)關(guān)常數(shù)思考:中有一個(gè)恒為 0, 則必線性相關(guān)(證明略)線性無(wú)關(guān)定理 2.是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特解, 則數(shù)) 是該方程的通解.例如, 方程有特解且常數(shù),故方程的通解為推論. 是 n 階齊次方程 的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解, 則方程的通解為3、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) 是二階非齊次方程的一個(gè)特解, Y (x) 是相應(yīng)齊次方

11、程的通解,定理 3.則是非齊次方程的通解 .證: 將代入方程左端, 得是非齊次方程的解,又Y 中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如, 方程有特解對(duì)應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而 也是通解 .定理 4.分別是方程的特解,是方程的特解. (非齊次方程之解的疊加原理) 定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程. 定理 5.是對(duì)應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)特解, 給定 n 階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解, 是任意例3.提示:都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,二者線性無(wú)關(guān) .

12、(反證法可證)(89 考研 )例4. 已知微分方程個(gè)解求此方程滿足初始條件的特解 .解:是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無(wú)關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三 第三節(jié)常系數(shù)齊次線性微分方程 第七章 二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得稱為微分方程的特征方程,1. 當(dāng)時(shí), 有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解:因此方程的通解為( r 為待定常數(shù) ),所以令的解為 則微分其根稱為特征根.2. 當(dāng)時(shí), 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根則微分方程有一個(gè)特解設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u = x , 則得因此原方程的通解為3. 當(dāng)時(shí), 特征方

13、程有一對(duì)共軛復(fù)根這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解: 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無(wú)關(guān)特解:因此原方程的通解為總結(jié):特征方程:實(shí)根 特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .二階常系數(shù)齊次線性微分方程:若特征方程含 k 重復(fù)根若特征方程含 k 重實(shí)根 r , 則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)特征方程: 推廣:例1.的通解.解: 特征方程特征根:因此原方程的通解為例2. 求解初值問(wèn)題解: 特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問(wèn)題的解為第四節(jié) 第七章 常系數(shù)非齊次線性微分方程 一、二、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為非齊次方程

14、特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法則有形如的特解，其中其中 為實(shí)數(shù) ,為 m 次多項(xiàng)式 .此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時(shí), k=0,1,2一、 待定多項(xiàng)式 .為 m 次對(duì)非齊次方程例1.的一個(gè)特解.解: 本題而特征方程為不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為代入方程 :比較系數(shù), 得于是所求特解為例2. 的通解. 解: 本題特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù), 得因此特解為代入方程得所求通解為例3. 求解定解問(wèn)題解: 本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得于是所求解為解得對(duì)非齊次方程則可設(shè)特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述