線性控制14章課件

1、第14章 線性時(shí)不變系統(tǒng)的綜合 控制系統(tǒng)的分析和綜合是控制系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容。 控制系統(tǒng)的分析是建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上分析系統(tǒng)的各項(xiàng)性能及其與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和外部作用間的關(guān)系。 控制系統(tǒng)綜合的任務(wù)是設(shè)計(jì)控制器，尋求改善系統(tǒng)性能的各種控制規(guī)律，以保證系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)都滿足要求。 根據(jù)綜合目標(biāo)提法的不同，可將系統(tǒng)綜合分為兩類：通常把綜合目標(biāo)僅是為了使系統(tǒng)性能滿足某種籠統(tǒng)指標(biāo)要求的，成為常規(guī)綜合；綜合目標(biāo)是要確保系統(tǒng)性能指標(biāo)在某種意義下達(dá)到最優(yōu)的，稱為最優(yōu)綜合。 本章只討論常規(guī)綜合。第14章 線性時(shí)不變系統(tǒng)的綜合2 14.1 反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)1 14.2 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置 14.3 狀

2、態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì) 14.4 帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的綜合3234第14章 線性時(shí)不變系統(tǒng)的綜合414.1.1 狀態(tài)反饋14.1.2 輸出反饋 14.1 反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)14.1.3 反饋控制系統(tǒng)的能控能觀性 狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。 圖14-4 多輸入-多輸出系統(tǒng)狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)示意圖14.1.1 狀態(tài)反饋5以單輸入-單輸出系統(tǒng)為例，其狀態(tài)空間描述為： 狀態(tài)反饋控制規(guī)律為 狀態(tài)反饋K的引入，沒有引入新的狀態(tài)變量，也不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但可以通過K陣的選擇自由地改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)獲

3、得所要求的性能。經(jīng)過狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 閉環(huán)特征多項(xiàng)式: 14.1.1 狀態(tài)反饋6 輸出反饋有兩種形式，最常見的是將系統(tǒng)的輸出量乘以相應(yīng)的系數(shù)反饋到輸入端與參考輸入相加，其和作為受控對(duì)象的控制輸入。經(jīng)典控制理論中所討論的就是這種反饋。 多輸入-多輸出系統(tǒng)的輸出反饋系統(tǒng)的這種形式見教材 P244 圖14-2所示。圖14-2 多輸入-多輸出系統(tǒng)輸出反饋結(jié)構(gòu)II示意圖14.1.2 輸出反饋7輸出反饋控制規(guī)律為 由此可見,經(jīng)過輸出反饋后,閉環(huán)系統(tǒng)同樣沒有引入新的狀態(tài)變量,僅僅是系統(tǒng)矩陣A變成了A-BHC。 14.1.2 輸出反饋8輸出反饋的另一種形式是輸出量乘以相應(yīng)的系數(shù)反饋到狀態(tài)微分處。

4、圖14-1 多輸入-多輸出系統(tǒng)輸出反饋結(jié)構(gòu) I 示意圖14.1.2 輸出反饋9 不管是狀態(tài)反饋還是輸出反饋，都可以改變系統(tǒng)矩陣A，但這并不表明兩者具有等同的功能。 輸出反饋HC相當(dāng)于狀態(tài)反饋中的K，但是mn,故H可選擇的自由度比K小，只相當(dāng)于部分狀態(tài)反饋，僅當(dāng)C為nn時(shí)，HC的作用才和K的作用相當(dāng)。 14.1.2 輸出反饋101114.1.3 反饋控制系統(tǒng)的能控能觀性 由于引入反饋，系統(tǒng)狀態(tài)的系數(shù)矩陣發(fā)生變化，對(duì)系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性、響應(yīng)特性、穩(wěn)定性等都有影響。定理14-1 狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng) 的能控性，但卻不一定能保持系統(tǒng)的能觀測(cè)性。1.加入狀態(tài)反饋不影響系統(tǒng)的能控性 14.1.3 反

5、饋控制系統(tǒng)的能控能觀性12證明：為簡(jiǎn)單起見，以單輸入-單輸出系統(tǒng)為例。 原系統(tǒng) 和狀態(tài)反饋系統(tǒng) 的能控性判別陣分別為：這表明 的列向量可以由 的列向量的線性組合來表示。 1314.1.3 反饋控制系統(tǒng)的能控能觀性 若原來系統(tǒng)能控，則加上任意的狀態(tài)反饋后，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)也能控；若原來系統(tǒng)不能控，則無論用什么K陣作狀態(tài)反饋，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)仍然不能控。這一性質(zhì)稱為狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。14.1.3 反饋控制系統(tǒng)的能控能觀性14關(guān)于狀態(tài)反饋不一定能保持系統(tǒng)的能觀測(cè)性舉一反例說明：其能觀測(cè)判別陣：原系統(tǒng)能觀測(cè) a.引入狀態(tài)反饋k= 其能觀測(cè)判別陣：反饋系統(tǒng)不能觀測(cè)15b.引入狀態(tài)反饋k=0 1

6、其能觀測(cè)判別陣：反饋系統(tǒng)能觀測(cè) 這表明狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的能觀測(cè)性。14.1.3 反饋控制系統(tǒng)的能控能觀性16例 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為: 試分析系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋K=3 1后的能控性和能觀測(cè)性。 14.1.3 反饋控制系統(tǒng)的能控能觀性17解：容易驗(yàn)證原系統(tǒng)是能控又能觀測(cè)的。引入狀態(tài)反 饋K=3 1后系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： 系統(tǒng)能控 系統(tǒng)不能觀測(cè) 狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng) 的能控性，但卻不一定能保持系統(tǒng)的能觀測(cè)性。這反映在傳遞函數(shù)上出現(xiàn)了零極點(diǎn)相消現(xiàn)象 1814.1.3 反饋控制系統(tǒng)的能控能觀性經(jīng)過狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 14.1.3 反饋控制系統(tǒng)的能控能觀性192加入輸出反饋不改變

7、系統(tǒng)的能觀測(cè)性，對(duì)系統(tǒng)的能控性的影響因輸出反饋的位置不同而不同。 定理14-2 輸出至參考輸入反饋引入的輸出反饋不改變受控系統(tǒng) 的能控性和能觀測(cè)性。 圖14-2 多輸入-多輸出系統(tǒng)輸出反饋結(jié)構(gòu)II示意圖14.1.3 反饋控制系統(tǒng)的能控能觀性20證明：因?yàn)檫@種輸出反饋中的HC等效與狀態(tài)反饋中的K，那么輸出反饋也保持了受控系統(tǒng)的能控性不變。 關(guān)于能觀測(cè)性不變，可由能觀測(cè)性判別矩陣（仍以單輸入-單輸出系統(tǒng)為例）。 仿照定理14-1的證明方法，同樣可以把 看作 經(jīng)初等變換的結(jié)果，而初等變換不改變矩陣的秩，因此能觀測(cè)性保持不變。 14.1.3 反饋控制系統(tǒng)的能控能觀性21 極點(diǎn)配置方法在某種程度上類似與

8、根軌跡法，它們都是把閉環(huán)極點(diǎn)配置在希望的位置上。它們的基本區(qū)別在于：根軌跡法只把主導(dǎo)極點(diǎn)配置到希望的位置，而極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)是把所有閉環(huán)極點(diǎn)都配置到希望的位置。 極點(diǎn)配置：就是通過選擇反饋矩陣K，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所希望的動(dòng)態(tài)性能。這里需要解決兩個(gè)問題：第一：極點(diǎn)可任意配置的條件； 第二：確定極點(diǎn)配置所需要的K陣。 14.2 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置222314.2.1 極點(diǎn)配置定理14.2.2 系統(tǒng)極點(diǎn)配置 14.2 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置14.2.3 狀態(tài)反饋的應(yīng)用狀態(tài)反饋下閉環(huán)系 統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題一.任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充分必要條件 定理14-3 教材P249 采

9、用狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在任意位置的充分必要條件是受控對(duì)象 完全能控。 14.2.1 極點(diǎn)配置定理24二.極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)步驟 P250 第一步，判斷系統(tǒng) 是否完全能控，只有完全能控，才能任意配置極點(diǎn),計(jì)算原系統(tǒng)的特征方程：化 為能控標(biāo)準(zhǔn)型： 14.2.1 極點(diǎn)配置定理25第二步，加入狀態(tài)反饋陣 ，計(jì)算 的特征多項(xiàng)式 14.2.1 極點(diǎn)配置定理26第三步，由所給的n個(gè)期望特征值 ，計(jì)算 期望的多項(xiàng)式 第四步，比較兩個(gè)特征值的系數(shù)，從中求出 第五步，把對(duì)應(yīng)于 的變換，得 到對(duì)應(yīng)于原狀態(tài)x的反饋陣k。 14.2.1 極點(diǎn)配置定理27例14-2 教材P253 某受控對(duì)象的傳遞函數(shù)為： 試設(shè)計(jì)狀態(tài)

10、反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為-2， ，閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖見教材P253圖14-7。14.2.2 系統(tǒng)極點(diǎn)配置28解： 因?yàn)閭鬟f函數(shù)沒有零、極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象，所以受控對(duì)象是能控的?？梢匀我馀渲脴O點(diǎn)。 加入狀態(tài)反饋陣 ，計(jì)算的特征多項(xiàng)式 由所給的期望特征值-2， ，計(jì)算期望的多項(xiàng)式 14.2.2 系統(tǒng)極點(diǎn)配置29 比較 各項(xiàng)系數(shù) 14.2.2 系統(tǒng)極點(diǎn)配置30圖14-7 閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖14.2.2 系統(tǒng)極點(diǎn)配置31例 已知單輸入線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為-2，-1+j，-1-j。解： 系統(tǒng)的能控判別陣： 原系統(tǒng)能控，可以任意配置極點(diǎn)。14.2.2 系統(tǒng)極點(diǎn)配置3

11、2 由于原系統(tǒng)不是能控標(biāo)準(zhǔn)型，化為能控標(biāo)準(zhǔn)型。變換陣14.2.2 系統(tǒng)極點(diǎn)配置33加入狀態(tài)反饋陣 ，計(jì)算的特征多項(xiàng)式 計(jì)算期望的多項(xiàng)式比較 各項(xiàng)系數(shù) 14.2.2 系統(tǒng)極點(diǎn)配置34 方法二：若不將原系統(tǒng)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型14.2.2 系統(tǒng)極點(diǎn)配置35比較 各項(xiàng)系數(shù) 14.2.2 系統(tǒng)極點(diǎn)配置36 在極點(diǎn)配置定理中，“任意配置”是和系統(tǒng)可控是等價(jià)的。若不要求任意配置，就不一定要求系統(tǒng)可控。因此給定一組期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分的特征值時(shí)，才是可配置的。 三.不完全能控系統(tǒng)的極點(diǎn)配置14.2.2 系統(tǒng)極點(diǎn)配置37推論：對(duì)n維不完全能控的線性定常系統(tǒng) 系統(tǒng)能控部分特征值： 系統(tǒng)不能控部分特

12、征值： 系統(tǒng)期望特征值組 那么，若 全部屬于 則必存在狀態(tài)反饋陣K實(shí)現(xiàn)指定的期望極點(diǎn)配置； 若 部分屬于 則必不存在狀態(tài)反饋陣K實(shí)現(xiàn)指定的期望極點(diǎn)配置。14.2.2 系統(tǒng)極點(diǎn)配置38 系統(tǒng)鎮(zhèn)定是指，對(duì)受控系統(tǒng)通過反饋使其極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部，保證系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定。 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題是極點(diǎn)配置問題的一種特殊情況，只要求把極點(diǎn)配置在根平面的左側(cè)，而不要求嚴(yán)格配置在期望的位置上。14.2.3 狀態(tài)反饋的應(yīng)用狀態(tài)反饋下閉環(huán)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題39定理 采用狀態(tài)反饋使不完全能控系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的不能控極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部。 例14-9 設(shè)被控對(duì)象的狀態(tài)方程為： 試分析是否存在狀態(tài)反饋,使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。解:14

13、.2.3 狀態(tài)反饋的應(yīng)用狀態(tài)反饋下閉環(huán)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題40根據(jù)定理需要對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行能控性分解來分析該不完全能控系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋是否穩(wěn)定。 可見，不能控極點(diǎn)為-2，該系統(tǒng)能通過狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。414214.3.1 狀態(tài)估計(jì)14.3.2 全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)14.3.3 降維觀測(cè)器 14.3 狀態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)42 在很多情況下，只有被控對(duì)象的輸入量和輸出量能夠用傳感器測(cè)量，而多數(shù)狀態(tài)變量不易測(cè)量或不可能測(cè)得，于是提出了利用被控對(duì)象的輸入量和輸出量建立狀態(tài)觀測(cè)器（又稱狀態(tài)估計(jì)器、狀態(tài)重構(gòu)器）來重構(gòu)狀態(tài)的問題。狀態(tài)觀測(cè)器的定義：14.3.1 狀態(tài)估計(jì)4314.3.1 狀態(tài)估計(jì)44狀態(tài)觀測(cè)器的

14、實(shí)現(xiàn)：定理 如果線性定常系統(tǒng) 完全能觀，則其狀態(tài)矢量x可由輸出y和輸入u進(jìn)行重構(gòu)。 14.3.1 狀態(tài)估計(jì)45證明：14.3.1 狀態(tài)估計(jì)46 根據(jù)定理可以構(gòu)造一個(gè)新系統(tǒng)z，以原系統(tǒng)的y、u為輸入，輸出z經(jīng)變換后得到狀態(tài)矢量x。 由于x(t)是由輸入和輸出測(cè)量值及各階導(dǎo)數(shù)組成，導(dǎo)致干擾放大，因此觀測(cè)器無法準(zhǔn)確。這樣的觀測(cè)器沒有工程價(jià)值。14.3.1 狀態(tài)估計(jì)47一.全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì) 全維(階)觀測(cè)器：重構(gòu)狀態(tài)向量的維數(shù)等于被控對(duì)象狀態(tài)向量的維數(shù)。 一個(gè)最簡(jiǎn)單直觀的方法是利用計(jì)算機(jī)構(gòu)成一個(gè)與實(shí)際系統(tǒng)具有同樣動(dòng)態(tài)方程的模型系統(tǒng),用模型系統(tǒng)的狀態(tài)變量作為系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計(jì)值,如圖(教材265 圖

15、14-16)狀態(tài)觀測(cè)器的極點(diǎn)配置14.3.2 全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)4814.3.2 全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)49觀測(cè)器估計(jì)誤差 應(yīng)滿足方程式 定理14-9 教材P265 若n維線性定常系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的，則可用上圖中所示的全維狀態(tài)觀測(cè)器重構(gòu)出其所有的狀態(tài)。反饋矩陣H可以按任意給定的極點(diǎn)位置來選擇，所給定的極點(diǎn)位置將決定狀態(tài)誤差向量衰減到零的速度。14.3.2 全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)50例14-10 （教材 P266）已知受控對(duì)象傳遞函數(shù)為試設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器，極點(diǎn)配置在-10，-10。解：傳遞函數(shù)無零、極點(diǎn)對(duì)消，受控系統(tǒng)完全能觀測(cè)。將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化成狀態(tài)空間描述，并寫成能控型實(shí)現(xiàn)，有 將觀測(cè)器增益矩陣G寫成： 14.3.2

16、 全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)51根據(jù)給定的期望極點(diǎn)，求出期望的觀測(cè)器特征方程為：觀測(cè)器方程為14.3.2 全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)52322uy322u322y14.3.2 全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)53 8.5 23.5322u322+14.3.2 全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)545514.3.3 降維觀測(cè)器 全維觀測(cè)器是建立在對(duì)原系統(tǒng)模擬的基礎(chǔ)上，其維數(shù)和受控系統(tǒng)維數(shù)相同。實(shí)際上，系統(tǒng)的輸出矢量y來產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測(cè)器的維數(shù)?？梢宰C明，若系統(tǒng)能觀，輸出矩陣的秩是m，則它的m個(gè)狀態(tài)分量可由y直接獲得，那么，其余的（n-m）維的降維觀測(cè)器進(jìn)行重構(gòu)即可。降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法有很多，下面介紹其一般設(shè)計(jì)方法。 降維觀測(cè)器是設(shè)計(jì)分為兩步。

17、首先，通過線性變換把狀態(tài)按能檢測(cè)性分解成 和 。其中（n-m）維 需要重構(gòu)，而m維 可由y直接獲得。然后，對(duì) 構(gòu)造（n-m）維觀測(cè)器。14.3.3 降維觀測(cè)器例14-11 已知系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為試設(shè)計(jì)一降維觀測(cè)器，其極點(diǎn)為-10。5814.3.3 降維觀測(cè)器解： 該狀態(tài)表達(dá)式已是標(biāo)準(zhǔn)形式，即 是可直接由y測(cè)量的， 是待重構(gòu)的，其設(shè)計(jì)步驟如下： 因?yàn)镕的期望極點(diǎn) ，故它的期望特征多項(xiàng)式為 得即 再求出F,G,H。于是，系統(tǒng)的降維觀測(cè)器狀態(tài)空間表達(dá)式為595814.4.1 系統(tǒng)的描述14.4.2 閉環(huán)系統(tǒng)的基本特性 14.4 帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的綜合引入了狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)如下：14-1

18、6 用全維狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋原理結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)觀測(cè)器部分受控系統(tǒng) 14.4 帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的綜合59 由對(duì)象、觀測(cè)器和狀態(tài)反饋組合而成的閉環(huán)系統(tǒng)的方塊圖如圖所示。通常把反饋增益陣和觀測(cè)器一起稱為控制器 14.4 帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的綜合6014.4.1 系統(tǒng)的描述6114.4.1 系統(tǒng)的描述622. 當(dāng)觀測(cè)器被引入后，狀態(tài)反饋系統(tǒng)部分是否會(huì)改變已經(jīng)設(shè)計(jì)好的觀測(cè)器極點(diǎn)配置，其觀測(cè)器輸出反饋陣G是否需要重新設(shè)計(jì)？ 疑問：1. 用觀測(cè)器提供的估計(jì)值 代替真實(shí)狀態(tài)x實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，為保證系統(tǒng)的期望特征值，其狀態(tài)反饋陣K是否需要重新設(shè)計(jì)？14.4.1 系統(tǒng)的描述63分離定理 若被控系統(tǒng)(A,B,C)既能控