湖南省長沙市湖南師大附中高三下學期二模考試數學試（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁湖南師大附中2022屆模擬試卷（二）數 學注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效3考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知集合，集合A中至少有2個元素，則（ ）ABCD2設等比數列的首項為，公比為q，則“，且”是“對于任意N*

2、，都有”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件3現(xiàn)有5個小朋友站成一排照相，如果甲、乙兩人必須相鄰，而丙、丁兩人不能相鄰，那么不同的站法共有（ ）A12種B16種C24種D36種4已知，則（ ）ABCD5中國古代數學家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明了勾股定理（西方稱之為“畢達哥拉斯定理”）如圖，四個完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個大正方形，角為直角三角形中的一個銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面積S1與大正方形面積S2之比為1：25，則（ ）ABCD6設數列滿足，點（n，）對任意的，都有（1，2），則數列的前n項和為為（ ）ABCD7拋物線（）的焦點

3、為F，其準線與雙曲線相交于A、B兩點，若ABF為等邊三角形，則p=（ ）A3B6C4D88設函數恰有兩個極值點（其中e為自然對數的底數，e=2.71828），則實數t的取值范圍是（ ）ABCD二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分9設復數，則下列命題中正確的是（ ）ABCz的虛部是D若，則正整數n的最小值是310如圖是一塊高爾頓板示意圖，在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過程中，每次碰到小木釘

4、后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號為0，1，2，3，10，用X表示小球落入格子的號碼，則（ ）BCD11已知P是橢圓C：上的動點，過點Q（1，）的直線與橢圓交于M，N兩點，則（ ）A橢圓C的焦距為B橢圓C的離心率為C當Q為MN中點時，直線MN的斜率為D若F1PF2=90，則F1PF2的面積為112截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經過適當的截角，即截去四面體的四個頂點所產生的多面體如圖所示，將棱長為3a的正四面體沿棱的三等分點做平行于底面的截面得到的所有棱長均為a的截角四面體，則下列說法正確的有（ ）A該截角四面體的表面積為B該截角四面體的體積為C該截角

5、四面體的外接球的表面積為D該截角四面體中，二面角ABCD的余弦值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13寫出一個具有性質的函數_的定義域為（0，）；當時，14已知ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的點，AP=，過P、M、N的平面交上底面于PQ，點Q在棱CD上，則PQ=_15設直線與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為，則實數m的值是_16已知函數（，e為自然對數的底數，e=2.71828）當a=2時，函數在點P（1，f（1）處的切線方程為_；若對成立，則實數a的最大值為_四、解答題：本題共6小題，共70分解

6、答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（本小題滿分10分）已知數列的前n項和為，（）（1）求數列的通項公式；（2）若，則在數列中是否存在連續(xù)的兩項，使得它們與后面的某一項依原來順序構成等差數列？若存在，請舉例寫出此三項；若不存在，請說明理由18（本小題滿分12分）某商場準備在五一期間舉行促銷活動，根據市場調查，該商場決定從2種服裝，2種家電，3種日用品這3類商品中，任意選出3種商品進行促銷活動（1）試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率；（2）商場對選出的某商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品現(xiàn)價的基礎上將價格提高150元，同時，若顧客購買該商品，則允許有3次抽獎的機會，若中獎，

7、則每次中獎都獲得數額為m元的獎金假設顧客每次抽獎時獲獎與否的概率都是，請問：商場應將每次中獎獎金數額m最高定為多少元，才能使促銷方案對商場有利？19（本小題滿分12分）在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形AA1B1B是菱形，ABAC，平面AA1B1B平面ABC，平面A1B1C1與平面AB1C的交線為l（1）證明：A1BB1C；（2）已知ABB1=60，AB=AC=2，l上是否存在點P，使A1B與平面ABP所成角為60？若存在，求B1P的長度；若不存在，說明理由20（本小題滿分12分）一條直角走廊的平面圖如圖所示，寬為2米，現(xiàn)有一輛轉動靈活的平板車，其平板面為矩形ABCD，它的寬為1米（1）若平

8、板車被卡在此直角走廊內，如圖，設PAB=（rad），試用表示平板車的長度；（2）要想平板車能順利通過直角走廊，其長度不能超過多少米？21（本小題滿分12分）已知雙曲線C：（，）的右焦點為F（2，0），O為坐標原點，點A，B分別在C的兩條漸近線上，點F在線段AB上，且OAAB，（1）求雙曲線C的方程；（2）過點F作直線l交C于P，Q兩點，問：在x軸上是否存在定點M，使為定值？若存在，求出定點M的坐標及這個定值；若不存在，說明理由22（本小題滿分12分）已知函數（1）若a=1，比較與的大??；（2）討論函數的零點個數PAGE 答案第 = 1頁，共 = sectionpages 2 2頁PAGE 17

9、頁答案第 = !異常的公式結尾頁，共 = sectionpages 17 17頁參考答案：1D【解析】【分析】由于集合中至少有2個元素，所以,從而可求出的取值范圍【詳解】解：因為集合中至少有2個元素，所以，解得，故選：D2A【解析】【分析】根據充分條件和必要條件的定義，結合等比數列的性質分析判斷即可【詳解】若，且，則，所以，反之，若，則，所以，且或，且，所以“，且”是“對于任意，都有”的充分不必要條件.故選：A3C【解析】【分析】先將甲乙相綁在一起，再將甲乙與第五個小朋友排列，然后將丙丁插入三個空，結合根據分布計數原理，即可求解.【詳解】根據題意，先將甲乙相綁在一起，內部有種排列；再將甲乙與第

10、五個小朋友排列有種方法；然后將丙丁插入三個空，有種方法，根據分布計數原理，可得共有方法種.故選：C.4D【解析】【分析】比較、的大小關系，利用指數函數和對數函數的單調性可判斷各選項的正誤.【詳解】，即，所以，則，即A錯誤；，所以，即BC都錯誤，D正確.故選：D.5C【解析】【分析】根據題意得到，結合，求得，利用三角函數的基本關系式，求得，結合兩角和的正弦公式，即可求解.【詳解】如圖所示，由圖中小正方形的面積與大正方形面積之比為，可得，因為，可得，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以.故選：C.6A【解析】【分析】由，得到，結合等差數列的求和公式，即可求解.【詳解】因為，可得，所以是公差為2

11、的等差數列，由，得，所以.故選：A.7B【解析】【分析】表達出B點坐標，代入雙曲線方程，即可求解【詳解】由題意得：，因為ABF為等邊三角形，所以，所以，將代入方程得：.故選：B8C【解析】恰有兩個極值點，則恰有兩個不同的解，求出可確定是它的一個解，另一個解由方程確定，令通過導數判斷函數值域求出方程有一個不是1的解時t應滿足的條件.【詳解】由題意知函數的定義域為，.因為恰有兩個極值點，所以恰有兩個不同的解，顯然是它的一個解，另一個解由方程確定，且這個解不等于1.令，則，所以函數在上單調遞增，從而，且.所以，當且時，恰有兩個極值點，即實數的取值范圍是.故選：C【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調

12、性與極值，函數與方程的應用，屬于中檔題.9AD【解析】【分析】根據復數的運算法則和復數的分類，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，所以，所以A正確；對于B中，由，則B正確；對于C中，由，可得z的虛部是，則C錯誤；對于D中，由，可得，所以，得正整數n的最小值是3，所以D正確.故選：AD.10AD【解析】【分析】根據題意，小球在下落過程中共碰撞小木釘次數，結合獨立重復試驗的概率公式和方差的公式，即可求解.【詳解】設事件A表示小球向右下落，設X等于事件A發(fā)生的次數，則X等于落入格子的號碼，而小球在下落過程中共碰撞小木釘10次，所以，則，所以，所以A正確，B不正確；又由，所以C不正確，D正確.故

13、選：AD.11CD【解析】【分析】由題知，進而根據離心率公式和焦距可判斷A，C；對于B，利用中點弦的直線的斜率公式直接計算即可判斷；對于D選項，結合橢圓定義得，進而計算面積即可判斷.【詳解】解：由題知，所以，故焦距為，故A選項錯誤；對于B選項，當為中點時，由中點弦公式得，故B選項錯誤；對于C選項，橢圓的離心率為，故C選項正確；對于D選項，則，即，代入數據得，所以的面積為，故D選項正確；故選：CD12ABC【解析】【分析】根據截角四面體的定義，還原為正四面體，然后利用正四面體的相關性質逐項求解判斷；【詳解】如圖所示：由正四面體中，題中截角四面體由4個邊長為的正三角形，4個邊長為的正六邊形構成，故

14、，A正確；棱長為的正四面體的高，B正確；設外接球的球心為O，的中心為，的中心為，截角四面體上下底面距離為，C正確；易知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為負值，D錯誤，故選：ABC.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是將幾何體還原為正四面體，結合正四面體的相關性質而得解.13（答案不唯一）【解析】【分析】結合函數的定義域、函數的法則和單調性即可求解，滿足題意的答案不唯一.【詳解】由知，對數函數形式的函數滿足要求，又由知，在定義城上是增函數，故符合題意，故答案為：（答案不唯一）.14【解析】【分析】先求出DPDQ，再利用勾股定理得解.【詳解】MN/平面ABCD，平面PMNQ平面ABCDPQ，MN平面PQ

15、NM，MN/PQ，易知DPDQ，故PQ.故答案為：15【解析】【詳解】試題分析：由圓的標準方程找出圓心坐標和半徑r，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到已知直線的距離d，再由弦AB的長，利用垂徑定理及勾股定理列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值由圓的方程，得到圓心坐標為（1，2），半徑 r=2，圓心到直線的距離 d=16 【解析】【分析】求出導函數，計算得切線斜率，由點斜式得切線方程并化簡，不等式進行同構變形為，引入函數，由導數得其單調性，不等式轉化為，取對數參數分離，再引入函數，由導數得其最小值，從而得參數范圍、最值【詳解】由題意當時，則，所以函數在點處的切線方程為，即.因為，即，

16、則，令，在上恒成立，故在上單調遞減，故，得，即，記，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，故的最小值是，故，即實數a的最大值是.故答案為：；.17(1)(2)存在，【解析】【分析】（1）先求出，再當時，由，得，兩式相減整理可得，從而可求出其通項公式，（2）由（1）得，然后可得，構成等差數列(1)當時，可得；當時，所以，即，因為，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，所以.(2)由，當，顯然不適合；，適合，即，構成公差為的等差數列.18(1)；(2)100元.【解析】【分析】（1）求出任選3種商品的試驗所含基本事件總數，利用古典概率公式結合對立事件求解作答.（2）根據給定條件，求出顧客3次抽獎

17、所獲獎金總額的期望，再列出不等式求解作答.(1)從2種服裝，2種家電，3種日用品中，任選出3種商品一共有種選法，選出的3種商品中沒有日用品的選法有種，所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為.(2)顧客在3次抽獎中所獲得的獎金總額X是一個隨機變量，其所有可能值為0，m，2m，3m，當時，表示顧客在3次抽獎中都沒有獲獎，則有，同理，因此，顧客在3次抽獎中所獲得的獎金總額的期望，要使促銷方案對商場有利，應使顧客獲獎獎金總額的期望值不大于商場的提價數額，即，解得，所以商場應將中獎獎金數額最高定為100元，才能使促銷方案對商場有利.19(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【解析】【分析】（1

18、）由四邊形為菱形，得到，根據平面平面ABC，證得，進而得到平面，從而證得；（2）取中點D，連接AD，證得平面，以為原點，以，方向分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設，得到，求得平面的一個法向量，結合向量的夾角公式，列出方程，即可求解.(1)證明：因為四邊形為菱形，所以，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，又因為，所以平面，又由平面，所以，因為，所以平面，又因為平面，所以.(2)解：上不存在點P，使與平面ABP所成角為60，理由如下：取中點D，連接AD，因為，所以，又，所以為等邊三角形，所以，因為，所以，又因為平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面，以為原點，以，方向分別為x軸，y軸

19、，z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，可得,則，因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，假設l上存在一點P，使與平面ABP所成角為60，設，則，所以，設為平面的一個法向量，則，取，則，可取，又由，所以，即，此方程無解，因此上不存在點P，使與平所成角為.20(1)(2)【解析】【分析】（1）延長CD交邊PA，PB分別相交于E，F(xiàn)，得到，且，結合，即可求解；（2）設，得到，利用導數求得函數的單調性與最小值，結合最小值，即可求解.(1)解：由題意，延長CD直角走廊的邊PA，PB分別相交于E，F(xiàn)，則，其中，又由，可得，于是，其中.(2)解：設，則，于是，又，因此，因為恒成立，因此函

20、數在上是減函數，所以，故平板車被此走廊卡住的最小長度為，從而平板車長不大于，能在此走廊轉彎，平板車的長度大于，則不能在此走廊轉彎，故要想平板車能順利通過此走廊，其長度不能超過米.21(1)(2)存在，【解析】【分析】（1）不妨設點在第一象限，即可表示出，根據得到方程，即可求出，從而得到，再根據及，求出、，即可得解；（2）設點，分別求出直線與坐標軸垂直時的值，根據為定值，得到方程，即可求出及的坐標，再對直線不與坐標軸垂直時，設直線的方程為、，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，表示出從而計算可得；(1)解：不妨設點在第一象限，則.因為，則，.由已知，即，即.因為，則，即.因為為漸近線OA的傾斜角，則，即.又，則，.所以雙曲線C