高中數(shù)學(xué) （1.2.1 任意角的三角函數(shù)）教案 新人教A版必修4

1、PAGE 11.2 任意角的三角函數(shù)1.2.1 任意角的三角函數(shù)整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 學(xué)生已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù),它是用直角三角形邊長(zhǎng)的比來刻畫的.銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關(guān)系.任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,它與“解三角形”已經(jīng)沒有什么關(guān)系了.因此,與學(xué)習(xí)其他基本初等函數(shù)一樣,學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù),關(guān)鍵是要使學(xué)生理解三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),并能用三角函數(shù)描述一些簡(jiǎn)單的周期變化規(guī)律,解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題. 本節(jié)以銳角三角函數(shù)為引子,利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù).由于三角函數(shù)與單位圓之間的這種緊密的內(nèi)部聯(lián)系,使得我們?cè)谟懻撊呛瘮?shù)的問題時(shí),對(duì)于研究哪些問題以及用什么方

2、法研究這些問題等,都可以從圓的性質(zhì)(特別是對(duì)稱性)中得到啟發(fā).三角函數(shù)的研究中,數(shù)形結(jié)合思想起著非常重要的作用. 利用信息技術(shù),可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)、單位圓中的三角函數(shù)線之間的聯(lián)系,并在角的變化過程中,將這種聯(lián)系直觀地體現(xiàn)出來.所以,信息技術(shù)可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì).激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情,培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神;通過學(xué)生之間、師生之間的交流合作,實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境.三維目標(biāo) 1.通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義,理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù),并從任意角的三角函數(shù)定義認(rèn)識(shí)正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,理解并

3、掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào). 2.通過對(duì)任意角的三角函數(shù)定義的理解,掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等. 3.正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來,即用正弦線、余弦線、正切線表示出來. 4.能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問題.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):任意角的正弦、余弦、正切的定義,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.教學(xué)難點(diǎn):用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來刻畫三角函數(shù);三角函數(shù)符號(hào);利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值用幾何形式表示.課時(shí)安排2課時(shí)教學(xué)過程第1課時(shí)導(dǎo)入新課 思路1.我們把角的范圍推廣了,銳角三角函數(shù)

4、的定義還能適用嗎?譬如三角形內(nèi)角和為180,那么sin200的值還是三角形中200的對(duì)邊與斜邊的比值嗎?類比角的概念的推廣,怎樣修正三角函數(shù)定義?由此展開新課.另外用“單位圓定義法”單刀直入給出定義,然后再在適當(dāng)時(shí)機(jī)聯(lián)系銳角三角函數(shù),這也是一種不錯(cuò)的選擇. 思路2.教師先讓學(xué)生看教科書上的“思考”,通過這個(gè)“思考”提出用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的問題,以引導(dǎo)學(xué)生回憶銳角三角函數(shù)概念,體會(huì)引進(jìn)象限角概念后,用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)比表示銳角三角函數(shù)的意義,從而為定義任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).教科書在定義任意角的三角函數(shù)之前,作了如下鋪墊:直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)象限角為載

5、體的銳角三角函數(shù)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù).推進(jìn)新課新知探究提出問題 問題:在初中時(shí)我們學(xué)了銳角三角函數(shù),你能回憶一下銳角三角函數(shù)的定義嗎? 問題:你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎? 活動(dòng):教師提出問題,學(xué)生口頭回答,突出它是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù),教師并對(duì)回答正確的學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng),對(duì)回答不出來的同學(xué)給予提示和鼓勵(lì).然后教師在黑板上畫出直角三角形. 教師提示:前面我們對(duì)角的概念已經(jīng)進(jìn)行了擴(kuò)充,并且學(xué)習(xí)了弧度制,知道了角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)的,在此基礎(chǔ)上,我們來研究任意角的三角函數(shù).教師在直角三角形所在的平面上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,畫出角的終邊

6、;學(xué)生給出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),并用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù).圖1 如圖1,設(shè)銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點(diǎn)P(a,b),它與原點(diǎn)的距離0.過P作x軸的垂線,垂足為M,則線段OM的長(zhǎng)度為a,線段MP的長(zhǎng)度為b.根據(jù)初中學(xué)過的三角函數(shù)定義,我們有sin=,cos=,tan=.討論結(jié)果:銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù).sin=,cos=,tan=.提出問題 問題:如果改變終邊上的點(diǎn)的位置,這三個(gè)比值會(huì)改變嗎?為什么? 問題:你利用已學(xué)知識(shí)能否通過取適當(dāng)點(diǎn)而將上述三角函數(shù)的表達(dá)式簡(jiǎn)化? 活動(dòng):教師先讓學(xué)生們相互討論,并讓他們動(dòng)

7、手畫畫圖形,看看從圖形中是否能找出某種關(guān)系來.然后提問學(xué)生,由學(xué)生回答教師的問題,教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個(gè)點(diǎn),計(jì)算一下對(duì)應(yīng)的比值,獲得具體認(rèn)識(shí),并由相似三角形的性質(zhì)來證明.最后可以發(fā)現(xiàn),由相似三角形的知識(shí),對(duì)于確定的角,這三個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn)P在的終邊上的位置的改變而改變. 過圖形教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比,學(xué)生通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)取到原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)可以使表達(dá)式簡(jiǎn)化. 此時(shí)sin=b,cos=a,tan=. 在引進(jìn)弧度制時(shí)我們看到,在半徑為單位長(zhǎng)度的圓中,角的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)(符號(hào)由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定).在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點(diǎn)O為圓心,以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓.這樣,上述P點(diǎn)就是

8、的終邊與單位圓的交點(diǎn).銳角三角函數(shù)可以用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示. 同樣地,我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數(shù).圖2 如圖2所示,設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么: (1)y叫做的正弦,記作sin,即sin=y; (2)x叫做的余弦,記作cos,即cos=x; (3)叫做的正切,記作tan,即tan=(x0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù). 教師出示定義后,可讓學(xué)生解釋一下定義中的對(duì)應(yīng)關(guān)系.教師應(yīng)指出任意角的正弦、余弦、正切的定義是本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn).用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示任意角的三角函數(shù),

9、與學(xué)生在銳角三角函數(shù)學(xué)習(xí)中建立的已有經(jīng)驗(yàn)有一定的距離,與學(xué)生在數(shù)學(xué)必修一的學(xué)習(xí)中建立起來的經(jīng)驗(yàn)也有一定的距離.學(xué)生熟悉的函數(shù)y=f(x)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng),而這里給出的三角函數(shù)首先是實(shí)數(shù)(弧度數(shù))到點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng),然后才是實(shí)數(shù)(弧度數(shù))到實(shí)數(shù)(橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo))的對(duì)應(yīng),這就給學(xué)生的理解造成一定的困難.教師在教學(xué)中可以在學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)已有的幾何直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,先建立直角三角形的銳角與第一象限角的聯(lián)系,在直角坐標(biāo)系中考查銳角三角函數(shù),得出用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)(比值)表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論,然后再“特殊化”引出用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論.在此基礎(chǔ)上,再定義任意角的三角函數(shù). 在

10、導(dǎo)學(xué)過程中教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意,盡管我們從銳角三角函數(shù)出發(fā)來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù),但任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間并沒有一般與特殊的關(guān)系.教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)使學(xué)生體會(huì)到,用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù),不僅簡(jiǎn)單、方便,而且反映本質(zhì). 教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過分析三角函數(shù)定義中的自變量是什么,對(duì)應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn),函數(shù)值是什么.特別注意既表示一個(gè)角,又是一個(gè)實(shí)數(shù)(弧度數(shù)).“它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)”包含兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系.從而可以把三角函數(shù)看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù).值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).(2)sin不是sin與的

11、乘積,而是一個(gè)比值;三角函數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體,離開自變量的“sin”“tan”等是沒有意義的.討論結(jié)果:這三個(gè)比值與終邊上的點(diǎn)的位置無關(guān),根據(jù)初中學(xué)過的三角函數(shù)定義,有sin=,cos=,tan=. 由相似三角形的知識(shí),對(duì)于確定的角,這三個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn)P在的終邊上的位置的改變而改變.能.提出問題 問題:學(xué)習(xí)了任意角,并利用單位圓表示了任意角的三角函數(shù),引入一個(gè)新的函數(shù),我們可以對(duì)哪些問題進(jìn)行討論? 問題:根據(jù)三角函數(shù)的定義,正弦、余弦、正切的定義域、值域是怎樣的? 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合在數(shù)學(xué)必修一中的有關(guān)函數(shù)的問題,讓學(xué)生回顧所學(xué)知識(shí),并總結(jié)回答老師的問題,教師對(duì)學(xué)生總結(jié)的東西進(jìn)行提問,并對(duì)

12、回答正確的學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng),回答不正確或者不全面的學(xué)生給予提示和補(bǔ)充.教師讓學(xué)生完成教科書上的“探究”,教師提問或讓學(xué)生上黑板板書. 按照這樣的思路,我們一起來探究如下問題:請(qǐng)根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,先將正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表,再將這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)填入圖3中的括號(hào)內(nèi).三角函數(shù)定義域sincostan圖3 教師要注意引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā),利用坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征得定義域、函數(shù)值的符號(hào)等結(jié)論.對(duì)于正弦函數(shù)sin=y,因?yàn)閥恒有意義,即取任意實(shí)數(shù),y恒有意義,也就是說sin恒有意義,所以正弦函數(shù)的定義域是R;類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域;對(duì)于正切函數(shù)tan=,因?yàn)?/p>

13、x=0時(shí),無意義,即tan無意義,又當(dāng)且僅當(dāng)角的終邊落在縱軸上時(shí),才有x=0,所以當(dāng)?shù)慕K邊不在縱軸上時(shí),恒有意義,即tan恒有意義,所以正切函數(shù)的定義域是 +k(kZ).(由學(xué)生填寫下表)三角函數(shù)定義域sinRcosRtan|+k,kZ 三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),取決于x,y的符號(hào),當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí),縱坐標(biāo)y0,點(diǎn)P在第三、四象限時(shí),縱坐標(biāo)y0,那么:圖4 叫做的正弦,即sin=; 叫做的余弦,即cos=; 叫做的正切,即tan=(x0). 這樣定義三角函數(shù),突出了點(diǎn)P的任意性,說明任意角的三角函數(shù)值只與有關(guān),而與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無關(guān),教師要讓學(xué)生充分思考

14、討論后深刻理解這一點(diǎn).解:由已知,可得OP0=5.圖5如圖5,設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y).分別過點(diǎn)P、P0作x軸的垂線MP、M0P0,則|M0P 0|=4,|MP|=-y,|OM0|=3，|OM|=-x,OMPOM0P0,于是sin=y=;cos=x=;tan=. 點(diǎn)評(píng):本例是已知角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求角的三角函數(shù)值問題.可以先根據(jù)三角形相似將這一問題化歸到單位圓上,再由定義得解.變式訓(xùn)練 求的正弦、余弦和正切值.圖6解:在平面直角坐標(biāo)系中,作AOB=,如圖6.易知AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(,),所以sin=,cos=,tan=.例2 求證:當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí),角為第

15、三象限角. 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生討論驗(yàn)證在不同的象限內(nèi)各個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)有什么樣的關(guān)系,提示學(xué)生從三角函數(shù)的定義出發(fā)來探究其內(nèi)在的關(guān)系.可以知道:三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),取決于x,y的符號(hào),當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí),縱坐標(biāo)y0,點(diǎn)P在第三、四象限時(shí),縱坐標(biāo)y0,所以正弦函數(shù)值對(duì)于第一、二象限角是正的,對(duì)于第三、四象限角是負(fù)的;同樣地,余弦函數(shù)在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負(fù)的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負(fù)的. 證明:我們證明如果式都成立,那么為第三象限角. 因?yàn)閟in0成立,所以角的終邊可能位于第一或第三象限. 因?yàn)槭蕉汲闪?所以角的終邊只

16、能位于第三象限. 于是角為第三象限角. 反過來請(qǐng)同學(xué)們自己證明. 點(diǎn)評(píng):本例的目的是認(rèn)識(shí)不同位置的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào),其條件以一個(gè)不等式出現(xiàn),在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生把問題的條件、結(jié)論弄清楚,然后再給出證明.這一問題的解決可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.變式訓(xùn)練 (2007北京高考)已知costan0時(shí),r=,是第四象限角,sin=,sec=,10sin+3sec=10+3=-3+3=0.(2)當(dāng)k0時(shí),P(k,-3k)是第四象限內(nèi)的點(diǎn),角的終邊在第四象限;當(dāng)k0時(shí),P(k,-3k)是第二象限內(nèi)的點(diǎn),角的終邊在第二象限內(nèi),這與角的終邊在y=-3x上是一致的.變式訓(xùn)練設(shè)f(x)=sinx,求f(1

17、)+f(2)+f(3)+f(72)的值.解:f(1)=sin=,f(2)=sin=,f(3)=sin=0,f(4)=sin=,f(5)=sin=,f(6)=sin2=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.而f(7)=sin=sin,f(8)=sin=sin,f(12)=sin=sin2,f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0.同理f(13)+f(14)+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,f(67)+f(68)+f(72)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(72)=0. 求函數(shù)y=+tan的定義域. 活動(dòng):讓學(xué)生先

18、回顧求函數(shù)的定義域需要注意哪些特點(diǎn),并讓學(xué)生歸納出一些常見函數(shù)有意義的要求,根據(jù)函數(shù)有意義的特征來求自變量的范圍.對(duì)于三角函數(shù)這種特殊的函數(shù)在解三角不等式時(shí)要結(jié)合三角函數(shù)的定義進(jìn)行.求含正切函數(shù)的組合型三角函數(shù)的定義域時(shí),正切函數(shù)本身的定義域往往被忽略,教師提醒學(xué)生應(yīng)引起注意這種情況.同時(shí),函數(shù)的定義域是一個(gè)集合,所以結(jié)論要用集合形式表示. 解:要使函數(shù)y=+tan有意義,則sin0且k+(kZ). 由正弦函數(shù)的定義知道,sin0就是角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)非負(fù). 角的終邊在第一、二象限或在x軸上或在y軸非負(fù)半軸上,即2k+2k(kZ). 函數(shù)的定義域是2k+2k或+2k0,OM與x軸同

19、向,規(guī)定此時(shí)OM具有正值x;如果x0,把MP看作與y軸同向,規(guī)定此時(shí)MP具有正值y;如果y1,sin+cos1.例2 在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊或終邊所在的范圍,并由此寫出角的集合:(1)sin=;(2)sin. 活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生畫出單位圓,對(duì)于(1),可設(shè)角的終邊與單位圓交于A(x,y),則sin=y,所以要作出滿足sin=的終邊,只要在單位圓上找出縱坐標(biāo)為的點(diǎn)A,則OA即為角的終邊;對(duì)于(2),可先作出滿足sin=的角的終邊,然后根據(jù)已知條件確定角的范圍.圖8 解:(1)作直線y=交單位圓于A與B兩點(diǎn),連結(jié)OA,OB,則OA與OB為角的終邊,如圖8所示. 故滿足條件的角的集合為|=

20、2k+或=2k+,kZ. (2)作直線y=交單位圓于A與B兩點(diǎn),連結(jié)OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖中的陰影部分)即為角的終邊所在的范圍. 故滿足條件的角的集合為|2k+2k+,kZ. 點(diǎn)評(píng):在解簡(jiǎn)單的特殊值(如,等)的等式或不等式時(shí),應(yīng)首先在單位圓內(nèi)找到對(duì)應(yīng)的終邊(作縱坐標(biāo)為特殊值的直線與單位圓相交,連結(jié)交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)作射線),一般情況下,用(0,2)內(nèi)的角表示它,然后畫出滿足原等式或不等式的區(qū)域,用集合表示出來.變式訓(xùn)練 已知sin,求角的集合. 解:作直線y=交單位圓于點(diǎn)P,P,則sinPOx=sinPOx=,在0,2)內(nèi)POx=,PPx=. 滿足條件的集合為2k+2k+,kZ.思路2例1 求下列函數(shù)的定義域:(1)y=logsinx (2cosx+1);(2)y=lg(3-4sin2x). 活動(dòng):先引導(dǎo)學(xué)生求出x所滿足的條件,這點(diǎn)要提醒學(xué)生注