整套課件教程-保險(xiǎn)精算原理與實(shí)務(wù)

1、1第一章 導(dǎo)論2精算科學(xué)(Actuarial Science) 精算科學(xué)是以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)的，與經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)及保險(xiǎn)理論相結(jié)合的應(yīng)用與交叉性的學(xué)科。在保險(xiǎn)和社會(huì)保障領(lǐng)域，精算科學(xué)通過(guò)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)事件及其損失的預(yù)先評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)科學(xué)的風(fēng)險(xiǎn)管理，為保險(xiǎn)和社會(huì)保障事業(yè)的財(cái)務(wù)穩(wěn)健發(fā)展提供基本保障。3保險(xiǎn)精算學(xué)的基本原理(1) 要素未來(lái)事件不確定性財(cái)務(wù)收支預(yù)先評(píng)估(2) 模型和方法模型：各因素相互關(guān)系的數(shù)學(xué)公式方法：借助精算模型實(shí)現(xiàn)預(yù)先評(píng)估(3) 精算假設(shè)對(duì)未來(lái)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生規(guī)律的假設(shè)在過(guò)去經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)對(duì)未來(lái)的判斷預(yù)先做出4基本精算原理-例按照收支對(duì)等原則 如果1人投保1年期100,000元壽險(xiǎn)，假設(shè)1年

2、內(nèi)死亡概率4.3%，在不考慮保險(xiǎn)公司的費(fèi)用、投資收益、利潤(rùn)的情況下： 保費(fèi)=期望損失=100,0000.004 3=430元（忽略利息）5精算師精算師被稱為金融、保險(xiǎn)、投資和風(fēng)險(xiǎn)管理的工程師通過(guò)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和損失的預(yù)先評(píng)價(jià)，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)事件做出預(yù)先的財(cái)務(wù)安排，保證風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)營(yíng)的財(cái)務(wù)穩(wěn)健性。6精算師的主要職業(yè)領(lǐng)域保險(xiǎn)公司（壽險(xiǎn)、非壽險(xiǎn)、健康保險(xiǎn)）養(yǎng)老金計(jì)劃社會(huì)保障銀行、投資、公司財(cái)務(wù)、金融工程法律法規(guī)教育7精算管理控制系統(tǒng)環(huán)境因素（法律、社會(huì)、人口、稅收等）風(fēng)險(xiǎn)分析產(chǎn)品設(shè)計(jì)定價(jià)監(jiān)測(cè)和分析經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)償付能力評(píng)估資產(chǎn)負(fù)債管理資產(chǎn)評(píng)估利潤(rùn)分析負(fù)債評(píng)估8怎樣成為精算師考試制度：英國(guó)精算學(xué)會(huì)、北美壽險(xiǎn)精算學(xué)、北美非壽險(xiǎn)精算

3、學(xué)會(huì)、美國(guó)養(yǎng)老金精算師學(xué)會(huì)、加拿大精算學(xué)會(huì)。教育認(rèn)可制度：澳大利亞：初級(jí)課程認(rèn)可，高級(jí)課程考試；德國(guó)、意大利、法國(guó)、瑞士、西班牙、荷蘭、巴西、墨西哥等國(guó)家主要采取學(xué)歷認(rèn)可制度。國(guó)際精算協(xié)會(huì)的精算師后續(xù)教育制度9精算職業(yè)發(fā)展1775年，英國(guó)的公平人壽社團(tuán)最早將精算師引入保險(xiǎn)領(lǐng)域。1848年，英國(guó)在世界上最早成立了精算學(xué)會(huì)1889年，美國(guó)精算學(xué)會(huì)1892年，法國(guó)精算學(xué)會(huì)1895年，國(guó)際精算協(xié)會(huì)2006年，中國(guó)精算師協(xié)會(huì)10第二章 利息理論11累積函數(shù)累積函數(shù)是單位本金的累計(jì)額，以 表示。 其中， ， 。12累積函數(shù)a(t)01ta(t)01ta(t)01t 圖2-1 圖2-2 圖2-3a(t)通常

4、為t 的連續(xù)函數(shù)，在坐標(biāo)平面上表現(xiàn)為通過(guò)（0，1）點(diǎn)的曲線，如圖2-1和圖2-2所示a(t)為增函數(shù)時(shí)才能保證總額函數(shù)的遞增性和存在正的利息。有時(shí)，當(dāng)利息定期結(jié)算時(shí)，也表現(xiàn)為不連續(xù)的階梯函數(shù)，在定期內(nèi)，為常數(shù)，定期結(jié)算后，上一個(gè)臺(tái)階，如圖2-3所示。13利息率利息率1年內(nèi)1單位本金的利息就是實(shí)際年利息率 以 表示第n個(gè)基本計(jì)息時(shí)間單位的實(shí)際利率 14單利和復(fù)利單利：只在本金上生息設(shè)第t年實(shí)際利率it，1年末的累積額為: 第2年末的累積額為:當(dāng)各年利率均為i時(shí)，有15單利和復(fù)利復(fù)利：在本金和利息上生息設(shè)第t年實(shí)際利率it，1年末的累積額為: 第2年末的累積額為:當(dāng)各年利率均為i時(shí)，有16現(xiàn)值和貼

5、現(xiàn)率17現(xiàn)值和貼現(xiàn)率在復(fù)利下，18現(xiàn)值和貼現(xiàn)率在單利下，19現(xiàn)值和貼現(xiàn)率貼現(xiàn)率：?jiǎn)挝回泿旁趩挝粫r(shí)間內(nèi)的貼現(xiàn)額，單位時(shí)間以年度衡量時(shí)，成為實(shí)際貼現(xiàn)率。 d表示一年的貼現(xiàn)率: dn表示第n年貼現(xiàn)率: 20可見(jiàn)， di現(xiàn)值和貼現(xiàn)率21現(xiàn)值和貼現(xiàn)率22現(xiàn)值和貼現(xiàn)率23名義利率與名義貼現(xiàn)率名義利率:一年結(jié)算多次的規(guī)定的年利率。 以 表示，m表示結(jié)算次數(shù)， 24名義利率與名義貼現(xiàn)率名義貼現(xiàn)率:一年結(jié)算多次的規(guī)定的年貼現(xiàn)率。 以 表示，m表示結(jié)算次數(shù)， 25利息力利息力：衡量確切時(shí)點(diǎn)上利率水平的指標(biāo)。 定義利息力為，故，26年金年金：每隔一個(gè)相等的時(shí)間間隔的一系列固定數(shù)額的收付款方式。 期首付年金期末付年金

6、27期首付年金現(xiàn)值=28期末付年金現(xiàn)值=29期首付年金終值30期末付年金終值31等額確定年金的終值和現(xiàn)值n年定期的每年1單位元期首付年金、期末付年金的現(xiàn)值和終值間關(guān)系圖 32一年多次收付的年金 對(duì)于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金現(xiàn)值，以 表示，33一年多次收付的年金 對(duì)于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期末付年金現(xiàn)值以 表示，34一年多次收付的年金 對(duì)于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金在n 年末的終值為，35一年多次收付的年金 對(duì)于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期末付年金在n 年末的終值為，36永續(xù)年金 定義：收付時(shí)期沒(méi)有限制，每隔一個(gè)間

7、隔永遠(yuǎn)連續(xù)收付的年金，相當(dāng)于前面定期年金當(dāng)時(shí)期n趨于無(wú)窮大時(shí)的值。 每年一元期末付永續(xù)年金現(xiàn)值為， 37永續(xù)年金其他永續(xù)年金現(xiàn)值為： 38變額年金變額年金是每次收付額不等的年金常見(jiàn)的有，每次收付額等差遞增或遞減每次收付額等比遞增39變額遞增年金如果在n年定期內(nèi)，第一年末收付1單位元，第2年末收付2單位元，以后每次比上一次遞增1單位元的期末付年金現(xiàn)值以 表示。 40變額遞增年金兩者相減后得代入上式后得 上述年金期首付時(shí)，年金現(xiàn)值為41變額遞減年金當(dāng)?shù)谝荒晔崭秐元，以后每隔一年收付額減少一單位元的n年定期遞減的期末付年金為， 上述定期遞減年金在期首付時(shí)，為 變額年金的終值是相應(yīng)年金現(xiàn)值與利率累積系

8、數(shù)之積 42等比遞增年金對(duì)等比遞增的年金，如果第一年1單位元，以后收付額每年遞增j比例，n年定期的年金現(xiàn)值為：43等額分期償還等額分期償還債務(wù)的方法是在規(guī)定的還款期內(nèi)每次償還相等數(shù)額的還款方式。每次償還金額為第k 期末的未償還本金余額 貸款本金是B0 ，是Bk,還款期限為n 年，每年末還款，年實(shí)際利率為i 44等額分期償還表 時(shí)期 付款金額 支付利息 償還本金 未償還貸款余額 0 1 R R(1-vn)Rvnk R R(1-vn-k+1) Rvn-k+1 n R R(1-v) Rv0 總計(jì) nR 45變額分期償還變額分期償還指每期償還的金額不等的還款方式。 原始貸款金額為B0 ，第k 期償還的

9、金額為Rk （k=1，2，,n）46例 2.26一筆金額為nR 元的貸款，年利率為i ，期限為n 年，每年償還R 元本金，其分期償還表如下： 時(shí)期 付款金額 支付利息 償還本金 未償還貸款余額 0 nR1 R (1+in)inRR(n-1)Rk R 1+i(n-k+1) i(n-k+1)R R(n-k)R n R (1+i)iR R0 總計(jì) nR +i n(n+1)/2 i n(n+1)/2 nR47償債基金償債基金的還款方法是借款人在貸款期間分期償還貸款的利息，同時(shí)為了能夠在貸款期末一次性償還貸款的本金，定期向一個(gè)“基金”供款，使該“基金”在貸款期末的積累值正好等于貸款本金。這一基金稱為償債

10、基金，其基金累計(jì)的利率與貸款利率可能相等，也可能不等。48等額償債基金等額償債基金方法下借款人每期向償債基金的儲(chǔ)蓄金額相等，設(shè)為D ，如果該償債基金每期的利率恒為j，n 為貸款期限，當(dāng)期支付的利息設(shè)為I，則借款人每期支付總金額為：假設(shè)償債基金的利率與貸款利率相等，即j =i ，則借款人每期支付總金額為，49變額償債基金設(shè)原始貸款本金為B0 ，貸款利率為i ，償債基金利率為j ，借款人在第k 期末支付的總金額為Rk （k=1，2，n），則，第k 期末向償債基金的儲(chǔ)蓄額為(Rk iB0)，償債基金在第n 期末的累積值等于原始貸款本金B(yǎng)0 ，即，當(dāng)i= j時(shí)，50債券價(jià)值按利息的支付方式，債券可分為

11、零息債券和附息債券兩種。零息債券在債券到期前不支付利息，而是在債券到期時(shí)隨本金一次性支付所累計(jì)的利息。附息債券由發(fā)行人在到期日前定期支付利息，投資者可定期獲得固定的息票收入。債券定價(jià)原理：債券的理論價(jià)格就是債券未來(lái)息票收入的現(xiàn)值和到期償還值的現(xiàn)值之和?；痉?hào)和概念：P債券的理論價(jià)格； i投資者要求的收益率或市場(chǎng)利率；F債券的面值；C債券的償還值；r債券的息票率；rF每期的息票收入；g債券的修正息票率；n息票的償還次數(shù)；K償還值按收益率i 計(jì)算的現(xiàn)值； G債券的基價(jià)，51債券價(jià)值基本公式：溢價(jià)公式：基價(jià)公式：Makeham公式：52債券的賬面價(jià)值整數(shù)息票支付周期的債券價(jià)格和賬面值第k 期末的賬

12、面值為：任意時(shí)點(diǎn)的賬面值53第三章 生命表54生命表相關(guān)定義生命表：反映在封閉人口的條件下，一批人從出生后陸續(xù)死亡的全部過(guò)程的一種統(tǒng)計(jì)表。封閉人口：指所觀察的一批人只有死亡變動(dòng)，沒(méi)有因出生的新增人口和遷入或遷出人口。 55生命表基本函數(shù)lx：存活到確切整數(shù)年齡x歲的人口數(shù)，x=0,1,-1。 ndx：在xx+n歲死亡的人數(shù)，當(dāng)n=1時(shí)，簡(jiǎn)記為dxnqx：x歲的人在xx+n歲死亡的概率，當(dāng)n=1時(shí)，簡(jiǎn)記為qx56生命表基本函數(shù)(1)(2)(3)57生命表基本函數(shù)npx： xx+n歲的存活概率,與nqx相對(duì)的一個(gè)函數(shù)。 當(dāng)n=1，簡(jiǎn)記為px 。58生命表基本函數(shù)nLx：x歲的人在xx+n生存的人年

13、數(shù)。人年數(shù)是表示人群存活時(shí)間的復(fù)合單位，1個(gè)人存活了1年是1人年，2個(gè)人每人存活半年也是1人年，在死亡均勻分布假設(shè)下，xx+n歲的死亡人數(shù)ndx平均來(lái)說(shuō)存活了n/2年，而活到lx+n歲的人存活了n年，故當(dāng)n=1時(shí)，59 ：x歲人群的平均余壽，表明未來(lái)平均存活的時(shí)間。當(dāng)x為0時(shí)，表示出生時(shí)平均余壽，即出生同批人從出生到死亡平均每人存活的年數(shù)。 生命表基本函數(shù)Tx：x歲的人群未來(lái)累積生存人年數(shù)。在均勻分布假設(shè)下，60生命表基本函數(shù)：表示x歲的人存活n年并在第n+1年死亡的概率， 或x歲的人在x+nx+n+1歲死亡的概率。：表示x歲的人在x+nx+n+m歲之間死亡的概率。61生存分布一、新生兒的生存

14、函數(shù)二、x歲余壽的生存函數(shù)三、死亡力四、整值平均余壽與中值余壽62F(x)：新生兒未來(lái)存活時(shí)間（新生兒的死亡年齡）為x的分布函數(shù)。s(x)：生存函數(shù)，它是新生兒活到x歲的概率，以概率表示為xp0。 新生兒在xz歲間死亡的概率，以概率的方式表示為：新生兒的生存函數(shù)63新生兒的生存函數(shù)生命表函數(shù)中的存活人數(shù)lx 正是生命表基數(shù)l0與x歲生存函數(shù)之積，lx=l0s(x)而s(x)曲線形狀如下圖所示，64x歲余壽的生存函數(shù)以（x）表示年齡是x歲的人，（x）的余壽以T(x)表示x歲的人在t時(shí)間內(nèi)存活的概率 tpx 當(dāng)x=0時(shí)，T(0)=X ，正是新生兒未來(lái)余壽隨機(jī)變量。x歲的人在t時(shí)間內(nèi)死亡的概率tqx

15、65x歲余壽的生存函數(shù)考慮x歲的人的剩余壽命時(shí)，往往知道這個(gè)人已經(jīng)活到了x歲 ，tqx實(shí)際是一個(gè)條件概率66x歲的人在x+tx+t+u的死亡概率 ，以概率的方式表示為： x歲余壽的生存函數(shù)67整值剩余壽命定義： 未來(lái)存活的完整年數(shù)，簡(jiǎn)記概率函數(shù)68死亡力定義： 的瞬時(shí)死亡率，簡(jiǎn)記死亡力與生存函數(shù)的關(guān)系69死亡力70實(shí)際上生命表x歲平均余壽正是T(x)隨機(jī)變量的期望值死亡力71死亡力生命表x歲死亡人數(shù)dx正是生存人數(shù)函數(shù)lx+t與死亡力之積在 01上的積分生命表x歲生存人年數(shù)Lx正是生存人數(shù)函數(shù)lx+t在01上的積分生命表x歲累積生存人年數(shù)Tx正是生存人數(shù)函數(shù)lx+t在0上的積分 72死亡力對(duì)于

16、x歲期望剩余壽命 ，可以證明：73整值平均余壽與中值余壽 x歲的整值平均余壽是指x歲未來(lái)平均存活的整數(shù)年數(shù)，不包括不滿1年的零數(shù)余壽，它是整值余壽隨機(jī)變量K(x)的期望值，以ex表示，74整值平均余壽與中值余壽 由于，所以 75整值平均余壽與中值余壽 由于故，在死亡均勻分布假設(shè)下，故，76整值平均余壽與中值余壽 中值余壽是(x)的余壽T(x)的中值，（x）在這一年齡之前死亡和之后死亡的概率均等于50 %，以m(x)表示x歲的中值余壽，則即， 77非整數(shù)年齡存活函數(shù)的估計(jì)死亡均勻分布假設(shè)死亡力恒定假設(shè)巴爾杜奇(Balducci) 假設(shè)78有關(guān)非整數(shù)年齡的假設(shè) 使用背景:生命表提供了整數(shù)年齡上的壽

17、命分布,但有時(shí)我們需要分?jǐn)?shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個(gè)整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分?jǐn)?shù)年齡的生存分布假定， 估計(jì)分?jǐn)?shù)年齡的生存狀況基本原理:插值法常用方法均勻分布假定(線性插值)常數(shù)死亡力假定(幾何插值)Balducci假定(調(diào)和插值)79死亡均勻分布假設(shè)假設(shè)死亡在整數(shù)年齡之間均勻發(fā)生，此時(shí)存活函數(shù)是線性的。80死亡均勻分布假設(shè) (0t, 0y,0t+y) 81當(dāng)假設(shè)死亡力在xx+1上恒定時(shí)， (x為整數(shù)，0t1)，死亡力恒定假設(shè) 由死亡力的定義，82死亡力恒定假設(shè)若以表示，有此時(shí)， 83巴爾杜奇(Balducci)假設(shè)以意大利精算師巴爾杜奇的名字命名，這一假設(shè)是當(dāng)x為整數(shù)，0t1時(shí)，

18、生存函數(shù)的倒數(shù)是t的線性函數(shù)，即84巴爾杜奇(Balducci)假設(shè) （其中，0t1, 0y1, 0t+y1） 此時(shí)，85三種假定下的生命表函數(shù)函數(shù)均勻分布常數(shù)死亡力Ballucci86生命表的編制一、生命表編制的一般方法二、選擇生命表87生命表編制的一般方法 時(shí)期生命表(假設(shè)同批人生命表)：采用假設(shè)同批人方法編制，描述某一時(shí)期處于不同年齡人群的死亡水平，反映了假定一批人按這一時(shí)期各年齡死亡水平度過(guò)一生時(shí)的生命過(guò)程。 Dx：某年齡x歲的死亡人數(shù)； ： x歲的平均人數(shù)，即年初x歲人數(shù)與年末x歲人數(shù)的平均數(shù)，有時(shí)也用年中人數(shù)代替。 88x歲的中心死亡率 （分年齡死亡率）為，生命表編制的一般方法 生

19、命表分年齡中心死亡率 ：生命表分年齡死亡人數(shù)在分年齡生存人年數(shù)中的比例。 89生命表編制的一般方法在死亡均勻分布假設(shè)下，有，變換后，通常 與 非常接近，實(shí)際中常用 近似 90選擇生命表選擇生命表構(gòu)造的原因需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會(huì)優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會(huì)隨時(shí)間而逐漸消失選擇生命表的使用91選擇生命表函數(shù)關(guān)系92第四章 多減因表93定義研究同批人受兩個(gè)或兩個(gè)以上減因影響陸續(xù)減少的數(shù)學(xué)模型就是多減因模型。與生命表一樣，多減因模型通常用多減因表的形式表示，稱為多減因表。94多減因表基本函數(shù) ：確切年齡x 歲時(shí)，受(1),(2)

20、,（m)等m 個(gè)減因影響的人數(shù)。或者說(shuō)x 歲暴露于m 個(gè)減因下的人數(shù)。 ：xx+n 歲由(k)減因減少的人數(shù)，k=1,2,m，當(dāng)n=1 時(shí)，記為 ：xx+n 歲由所有減因減少的總?cè)藬?shù)，當(dāng)n=1 時(shí)，記為95多減因表基本函數(shù) ：xx+n 歲由（k）減因產(chǎn)生的減少概率，也就是（k）減因使（x）離開(kāi) 的概率，當(dāng)n=1 時(shí)，記 ：x 歲的人在xx+n 由所有減因?qū)е碌臏p少概率 ：x 歲的人在xx+n 保留在原群體中的概率96減因力與生命表死亡力類似，在多減因下也有減因力，xt 時(shí)的總減因力定義為：97中心減力與中心死亡率的概念類似，在多減因分析中也有總中心減率和分減因中心減率，以 表示總中心減率，定義

21、為，98構(gòu)成多減因表的各個(gè)減因都可以依各自獨(dú)立的死亡力構(gòu)成單減因表，把由多減因表的各個(gè)減因構(gòu)成的單減因表稱為聯(lián)合單減因表，它是單獨(dú)考慮各個(gè)減因時(shí)生成的生命表。設(shè)聯(lián)合單減因表的存活函數(shù)聯(lián)合單減因表99各減因力的估計(jì)恒定假設(shè)下均勻分布假設(shè)下100聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布假設(shè)下的估計(jì)101聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布假設(shè)下的估計(jì)當(dāng)m=2 時(shí)，有，當(dāng)m=3時(shí)，有，102第五章 人壽保險(xiǎn)103傳統(tǒng)人壽保險(xiǎn)產(chǎn)品傳統(tǒng)個(gè)人壽險(xiǎn)產(chǎn)品的被保險(xiǎn)人是單個(gè)人，以被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期內(nèi)死亡或生存為保險(xiǎn)賠付或給付條件，預(yù)先規(guī)定保險(xiǎn)金額的水平及其給付方式，并根據(jù)經(jīng)驗(yàn)生命表和預(yù)定利率等預(yù)先確定保費(fèi)水平和保單退?，F(xiàn)金價(jià)值。在實(shí)踐

22、中，傳統(tǒng)個(gè)人壽險(xiǎn)產(chǎn)品又分為定期壽險(xiǎn)、終身壽險(xiǎn)、兩全保險(xiǎn)等。104定期壽險(xiǎn)均衡保費(fèi)定期壽險(xiǎn)簡(jiǎn)稱為定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)費(fèi)在約定的繳費(fèi)期內(nèi)均衡繳付，通常繳費(fèi)期與保險(xiǎn)期相同。遞增保費(fèi)定期壽險(xiǎn)的保險(xiǎn)費(fèi)在繳費(fèi)期內(nèi)遞增，在實(shí)踐中常見(jiàn)的遞增保費(fèi)定期壽險(xiǎn)是每年更新定期壽險(xiǎn)。保額遞減定期壽險(xiǎn)的死亡賠付金額隨著已投保時(shí)期的延長(zhǎng)而降低，保險(xiǎn)費(fèi)通常采取均衡方式。實(shí)踐中最常見(jiàn)的保額遞減壽險(xiǎn)是以抵押貸款余額為死亡賠付額，以還款期為保險(xiǎn)期的定期保險(xiǎn)。105兩全保險(xiǎn)定義：在規(guī)定的保險(xiǎn)期內(nèi)，如果被保險(xiǎn)人死亡，保險(xiǎn)人賠付死亡保險(xiǎn)金，如果被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)滿期存活，保險(xiǎn)人給付生存保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)產(chǎn)品。非分紅保險(xiǎn)根據(jù)精算假設(shè)和規(guī)定的保險(xiǎn)金額確定保費(fèi)

23、和現(xiàn)金價(jià)值，投保人不分享公司紅利。分紅保險(xiǎn)的投保人每年以紅利方式分享公司利潤(rùn)的一部分，實(shí)際上相當(dāng)于增加了保險(xiǎn)金額，或者在規(guī)定的保險(xiǎn)金額下減少了保險(xiǎn)費(fèi)。106死亡年年末賠付壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值引例：定期壽險(xiǎn)假如有100個(gè)40歲的人投保了1 000元5年期定期壽險(xiǎn)，死亡賠付在死亡年年末。如果預(yù)定年利率為3，各年預(yù)計(jì)的死亡人數(shù)為分別為1、2、3、4、5人，這時(shí)，每年的賠付支出及其折現(xiàn)值如表4-1所示： 107保單精算現(xiàn)值將各年的賠付現(xiàn)值加總，可以得到發(fā)行100張保單的未來(lái)賠付支出現(xiàn)值（元）：所以，平均每一保單的未來(lái)賠付現(xiàn)值為134.68元。這一現(xiàn)值被稱為這一保單的精算現(xiàn)值。108(x) ：x歲開(kāi)始投保的人

24、：對(duì)(x)的1單位元死亡年年末賠付的n年期定期壽險(xiǎn) 的精算現(xiàn)值。 ：(x)在x+kx+k+1歲間死亡，年末x+k+1歲上的1單位 元賠付在利率i下折現(xiàn)到投保時(shí)的現(xiàn)值。 ：被保險(xiǎn)人(x)在x+kx+k+1歲間死亡的概率 ：被保險(xiǎn)人(x)在x+kx+k+1歲間死亡產(chǎn)生的死亡 賠付期望現(xiàn)值基本符號(hào)109定期壽險(xiǎn)定期壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值在投保時(shí)一次性繳清方式的凈保費(fèi)稱為躉繳凈保費(fèi)， 也就是保單發(fā)行時(shí)的精算現(xiàn)值。110終身壽險(xiǎn)Ax：對(duì)(x)的1單位元死亡年年末賠付的終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。由于投保人(x)可能在k=0,1,2上死亡，因此，終身壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值A(chǔ)x正是(x)在各年死亡賠付期望現(xiàn)值之和。上式的求和上限實(shí)際為

25、-x-1其中，是生命表極限年齡，-1是按生命表能夠存活的最大年齡。111生存保險(xiǎn) ：n年純生存保險(xiǎn)精算現(xiàn)值。 定義：n年純生存保險(xiǎn)是以滿期被保險(xiǎn)人仍然存活為給付條件的生存保險(xiǎn)。112兩全保險(xiǎn) ：對(duì)(x)的1單位元n年兩全保險(xiǎn)精算現(xiàn)值。定義：對(duì)(x)的1單位元n年兩全保險(xiǎn)，是對(duì)(x)的n年定期壽險(xiǎn)和n年純生存保險(xiǎn)的合險(xiǎn)。113 ：對(duì)(x)的1單位元m年延期終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。定義：對(duì)(x)的1單位元m年延期終身壽險(xiǎn)，是從x+m歲起到被保險(xiǎn)人終身止的1單位元壽險(xiǎn)。延期m年終身壽險(xiǎn)終身壽險(xiǎn)可以看成由一個(gè)n年定期壽險(xiǎn)與一個(gè)延期n年終身壽險(xiǎn)組合 114 ：對(duì)(x)的1單位元延期m年n年定期壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值

26、。定義：對(duì)(x)的1單位元延期m年n年定期壽險(xiǎn)是從x+m歲起到x+m+n年的定期壽險(xiǎn)。延期m年的n年定期壽險(xiǎn) 115標(biāo)準(zhǔn)遞增變額壽險(xiǎn)定義：標(biāo)準(zhǔn)遞增的變額壽險(xiǎn)，是賠付額bK+1=k+1，k是從投保開(kāi)始到死亡時(shí)存活的整數(shù)年數(shù)的變額壽險(xiǎn)。(IA)x ：標(biāo)準(zhǔn)遞增的終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。 ：標(biāo)準(zhǔn)遞增的n年定期壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。 116標(biāo)準(zhǔn)遞增變額壽險(xiǎn)從標(biāo)準(zhǔn)遞增定期壽險(xiǎn)的意義出發(fā)，可以得出另外兩個(gè)不同的公式：n年標(biāo)準(zhǔn)遞增的兩全保險(xiǎn)：是n年定期遞增壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值與n年n單位元純生存保險(xiǎn)現(xiàn)值之和。其精算現(xiàn)值為， 117標(biāo)準(zhǔn)遞減變額年金定義：變額壽險(xiǎn)當(dāng)bK+1=n-k時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)遞減的定期壽險(xiǎn)。 ：標(biāo)準(zhǔn)遞減的定期壽險(xiǎn)

27、精算現(xiàn)值。118死亡時(shí)賠付的壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值定期壽險(xiǎn)：終身壽險(xiǎn)： 兩全保險(xiǎn)：（死亡均勻分布假設(shè)下）（死亡均勻分布假設(shè)下）119死亡時(shí)賠付的壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值終身遞增壽險(xiǎn)：n 年定期的死亡時(shí)賠付標(biāo)準(zhǔn)遞增壽險(xiǎn)： n 年標(biāo)準(zhǔn)遞減的死亡時(shí)賠付壽險(xiǎn)：（死亡均勻分布假設(shè)下）（死亡均勻分布假設(shè)下）（死亡均勻分布假設(shè)下）120關(guān)于 的計(jì)算 死亡時(shí)給付的壽險(xiǎn)相當(dāng)于把死亡發(fā)生年劃分成m 個(gè)相等的部分，在死亡發(fā)生的那個(gè)部分的期末給付，并對(duì)m 趨于無(wú)窮大取極限。若以 表示在死亡發(fā)生的那個(gè)m 部分末給付1 單位元的終身壽險(xiǎn)現(xiàn)值，則，121遞推公式壽險(xiǎn)現(xiàn)值的遞推公式給出了相鄰年齡上壽險(xiǎn)現(xiàn)值的關(guān)系，為壽險(xiǎn)現(xiàn)值的計(jì)算提供了一種工具，也

28、有利于深入理解壽險(xiǎn)現(xiàn)值的意義。對(duì)死亡年末賠付的1 單位元的終身壽險(xiǎn)，有，122第六章 生存年金123生存年金產(chǎn)品生存年金是以年金方式在被保險(xiǎn)人生存期內(nèi)的一系列給付，保險(xiǎn)費(fèi)通常采取在投保時(shí)一次性繳付的躉繳方式或者在一定時(shí)期內(nèi)的均衡繳付的方式。生存年金形式：即期年金（immediate annuities）延期年金(deferred annuities)定期確定的生存年金指數(shù)化年金聯(lián)合生存年金124生存年金精算現(xiàn)值 純生存保險(xiǎn)：在約定的保險(xiǎn)期滿時(shí)，如果被保險(xiǎn)人存活將得到規(guī)定的保險(xiǎn)金額的保險(xiǎn)。 【例6.1】李明今年20歲，如果他能活到60歲，將能從保險(xiǎn)公司得到1 000元的一次性給付。設(shè)利率i=6%

29、，試寫(xiě)出這筆給付在李明20歲時(shí)的現(xiàn)值。 125解：李明從20歲活到60歲的概率是 ，他在60歲獲得這筆給付的期望值是：純生存保險(xiǎn)這筆給付在李明20歲時(shí)的現(xiàn)值通過(guò)利率折現(xiàn)得到：根據(jù)附表中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（19901993年）（男女混合表）的資料得，l20 =983 992，l40=877 671，可以計(jì)算得, 所以，這筆給付的現(xiàn)值是：1 0000.891951.06-40=86.72（元）。126一般地：假設(shè)某人x歲時(shí)開(kāi)始投保，經(jīng)過(guò)n年后如果仍然存活將得到k單位元的保險(xiǎn)金，（x）存活n年的概率為 ，得到給付金的期望現(xiàn)值為：表明現(xiàn)在x歲的人有l(wèi)x個(gè)，每人存入 元，到年末在利率i的作用下，形成

30、的資金正好滿足n年末存活的人每人1元的給付。 以 表示1單位元n年純粹生存保險(xiǎn)現(xiàn)值，即 純生存保險(xiǎn)變換上式得，127與在復(fù)利下的現(xiàn)值系數(shù)vt和累積系數(shù)(1+i)t的作用類似，nEx是在利率和生者利下n年的折現(xiàn)系數(shù)， 為在利率和生者利下n年的累積系數(shù)。 純生存保險(xiǎn)它是利率累積因子(1+i)t與生存累積因子之積。128年付一次生存年金的精算現(xiàn)值定義：生存年金是以生存為條件發(fā)生給付的年金。如果被保險(xiǎn)人在規(guī)定的時(shí)期內(nèi)存活，則發(fā)生年金的收付，否則，停止收付。一般類型：終身年金、定期年金、延期年金129終身生存年金【例6.3】 張華今年30歲，從今年起，只要他存活，可以每年年初獲得1000元的給付。計(jì)算這

31、一年金的精算現(xiàn)值。解： 代入相應(yīng)的存活概率和利率，就可以計(jì)算出這一年金的精算現(xiàn)值。130期首付終身生存年金一般地，對(duì)(x)的每年1單位元期首終身生存年金，其精算現(xiàn)值以表示，它是一系列保險(xiǎn)期逐步延長(zhǎng)的純粹生存保險(xiǎn)之和，如下圖所示：其中， 0Ex=1，求和上限實(shí)際是-x-1，為方便通常寫(xiě)成。131期末付終身生存年金對(duì)（x）每年1單位元期末付終身年金，如下圖所示：其精算現(xiàn)值以ax表示： 132定期生存年金一般地，對(duì)（x）的每年1單位元n年定期期首付生存年金，精算現(xiàn)值以 表示， 類似地，對(duì)(x)的每年1單位元n年定期期末付生存年金精算現(xiàn)值為：133對(duì)（x）的n年延期每年1單位元延期期首付年金的精算現(xiàn)值

32、以延期生存年金n年延期生存年金: 從計(jì)算時(shí)點(diǎn)起延遲n年開(kāi)始收付的生存年金表示。根據(jù)定義,顯然，134延期生存年金n年延期的期末付終身生存年金現(xiàn)值為：同樣地， 135延期定期生存年金：延期年金和定期年金的一種組合形式。對(duì)(x)的n年延期m年定期每年1單位元期首付生存年金，是從x+n 起到x+n+m-1的生存年金。其支付情況下圖所示：其精算現(xiàn)值以 或 表示，根據(jù)定義,延期定期生存年金136對(duì)(x)的n年延期m年定期每年1單位元期末付生存年金，是從x+n+1 起到x+n+m的生存年金。其精算現(xiàn)值以延期定期生存年金或 表示，根據(jù)定義： 137期首付年金和期末付年金精算現(xiàn)值的關(guān)系式。 延期定期生存年金1

33、38連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值終身連續(xù)生存年金定期連續(xù)生存年金139連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值延期連續(xù)生存年金延期定期連續(xù)生存年金140生存年金與壽險(xiǎn)的關(guān)系141背景：實(shí)踐中年金常常是每半年、一季度或一個(gè)月支付一次，由于生命表不直接提供非整數(shù)年齡的存活概率和死亡概率，必須在一定的假設(shè)下近似計(jì)算。 對(duì)（x）的每年給付1元，一年給付m次的期首付終身生存年金，其精算現(xiàn)值以 表示，這一年金在每個(gè) (k=0,1,2,)上收付1/m，直到被保險(xiǎn)人死亡為止。年付m次生存年金 142近似公式對(duì)（x）的每年1單位元，每次1/m的期末付的終身生存年金精算現(xiàn)值對(duì)（x）的n年延期每年1單位元，一年m次收付的期末付生存年金精算現(xiàn)值

34、對(duì)（x）的n年延期每年1單位元一年m次收付的期末付生存年金精算現(xiàn)值對(duì)（x）的每年1單位元，每次1/m的期首付的終身生存年金精算現(xiàn)值143近似公式對(duì)（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：對(duì)（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：144當(dāng) 時(shí)，上面的年金稱為終身變額年金。變額年金：年金收付的數(shù)額隨給付時(shí)期的不同而變動(dòng)。變額年金的精算現(xiàn)值是一系列收付款在利率和生者利下現(xiàn)值之和。如果對(duì)(x)的n年定期生存年金，給付額在年齡x，x+1，x+n-1上分別為 ，則精算現(xiàn)值（Actuarial Present Value，簡(jiǎn)記為 APV）為，變額生存年金145一年給付m次，期首付變額年金精算

35、現(xiàn)值：一年給付m次，期末付變額年金精算現(xiàn)值：變額生存年金146如果年金收付額 系列為1，2，3 等差遞增，這一年金稱為標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年金，對(duì)終身期首付標(biāo)準(zhǔn)遞增年金，其精算現(xiàn)值用 表示，如下圖所示：等差遞增生存年金 147期末付終身標(biāo)準(zhǔn)遞增年金精算現(xiàn)值，期首付n年定期標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年金精算現(xiàn)值期末付n年定期標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年金精算現(xiàn)值等差遞增生存年金 148等差遞增生存年金為了得出數(shù)字結(jié)果，引入轉(zhuǎn)換函數(shù)，設(shè)有，149當(dāng)變額年金收付額 系列為n，n-1， 1等差遞減時(shí)，這時(shí)期首付的年金現(xiàn)值以 表示，如下圖所示：等差遞減生存年金 期末付的年金現(xiàn)值150設(shè) ，即 上式成為，實(shí)踐中，某些給付確定型養(yǎng)老金計(jì)劃和社

36、會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)的收付額等比例遞增，這種等比例遞增的年金精算現(xiàn)值有一個(gè)簡(jiǎn)化計(jì)算公式。如果對(duì)(x)的n年定期期首付生存年金，給付額在年齡x，x+1，x+n-1上分別為b，b(1+g)，b(1+g)2，b(1+g)n-1，其精算現(xiàn)值為，（這是一個(gè)以利率j計(jì)算的給付額為b的確定年金的精算現(xiàn)值）等比例變額生存年金151生存年金遞推公式可見(jiàn)，對(duì)(x)的終身生存年金的躉繳凈保費(fèi)，等于永續(xù)年金與一系列逐年因死亡不能得到的將來(lái)年金部分之差。152第七章 保險(xiǎn)費(fèi)153總保費(fèi)與凈保費(fèi)的意義保險(xiǎn)產(chǎn)品的出售價(jià)格就是購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)必須繳付的總保費(fèi)，或簡(jiǎn)稱保費(fèi)。理論上，保險(xiǎn)產(chǎn)品的總保費(fèi)可以分為性質(zhì)不同的兩部分，一部分是作為保險(xiǎn)金給付

37、來(lái)源的保費(fèi)，稱為凈保費(fèi)或純保費(fèi)另一部分是作為保險(xiǎn)公司補(bǔ)償費(fèi)用支出并獲得一定利潤(rùn)的保費(fèi)，稱為附加保費(fèi)。154設(shè)保險(xiǎn)金的現(xiàn)值為A，每次凈保費(fèi)為P，每次1單位的生存年金現(xiàn)值為 ，有：均衡凈保費(fèi) A=P155一般地，對(duì)(x)的1單位元n年定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金在死亡年末賠付，如保險(xiǎn)費(fèi)在t年內(nèi)繳清(tn)，這時(shí)，年繳凈保費(fèi)用 表示，由收支平衡關(guān)系式，有，當(dāng)繳費(fèi)期與保險(xiǎn)期限相等時(shí)，用 表示年繳凈保費(fèi)，定期壽險(xiǎn)年繳凈保費(fèi) 156凈保費(fèi)若保險(xiǎn)金在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)賠付，t年限期繳費(fèi)的年繳凈保費(fèi)以 表示，（在死亡均勻分布假設(shè)下） 當(dāng)t=n時(shí)，以 表示年繳凈保費(fèi)， （在死亡均勻分布假設(shè)下） 157對(duì)(x)的死亡年末賠付1單

38、位元終身壽險(xiǎn)，如果規(guī)定保費(fèi)每年一次終身繳付，這時(shí)保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值是終身生存年金精算現(xiàn)值，以Px表示這一保險(xiǎn)的年繳均衡凈保費(fèi)，有，終身壽險(xiǎn)年繳凈保費(fèi) 158死亡時(shí)賠付年繳凈保費(fèi)n年繳清保費(fèi)、1元死亡年末賠付終身壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)n年繳清保費(fèi)、1元死亡時(shí)賠付終身壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)終身壽險(xiǎn)年繳凈保費(fèi)（在死亡均勻分布假設(shè)下）實(shí)踐中，終身壽險(xiǎn)往往采取在n年內(nèi)繳費(fèi)的方式。繳費(fèi)期越多，保險(xiǎn)公司收回成本的時(shí)間越短，相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)就越低。（在死亡均勻分布假設(shè)下）159當(dāng)t=n時(shí)，年繳凈保費(fèi)以 表示，有，采取定期壽險(xiǎn)和終身壽險(xiǎn)相同的計(jì)算方法，很容易給出兩全保險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)計(jì)算公式。對(duì)(x)的1單位元n年定期兩全保險(xiǎn)，如果死亡

39、賠付在死亡年年末，保費(fèi)在t年內(nèi)每年一次、均衡繳付，tn，這時(shí)，年繳凈保費(fèi)以 表示。兩全保險(xiǎn)年繳凈保費(fèi) 160兩全保險(xiǎn)年繳凈保費(fèi)t年繳清死亡時(shí)賠付兩全保險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)在上式中，當(dāng)t=n時(shí)的年繳凈保費(fèi)n年1元純粹生存保險(xiǎn)，t年繳清的年繳凈保費(fèi)161對(duì)（x）的n年延期生存年金，若年金每年支付一次，每次1單位元，保費(fèi)在t年內(nèi)繳清(tn)。年繳均衡凈保費(fèi)以 表示，按照保險(xiǎn)金支付與凈保費(fèi)收入的平衡關(guān)系，有，延期年金年繳凈保費(fèi) 162表示每年分次等額繳費(fèi)的年繳凈保費(fèi)， 表示每年元繳付次的年金現(xiàn)值，表示保險(xiǎn)金現(xiàn)值，以收支平衡原則，有，如果保費(fèi)每半年、一季、一月等繳付一次，這時(shí)未來(lái)凈保費(fèi)現(xiàn)值是一個(gè)一年多次收付的

40、生存年金現(xiàn)值。如果以一年多次繳費(fèi)的凈保費(fèi) 163一年次繳費(fèi)凈保費(fèi)計(jì)算公式 164一年次繳費(fèi)凈保費(fèi)計(jì)算公式 165一年多次繳費(fèi)的凈保費(fèi)期首支付，一年m次繳費(fèi)的延期生存年金，年繳凈保費(fèi)：期末支付，一年m次繳費(fèi)的延期生存年金，年繳凈保費(fèi)：166退還保費(fèi)保單的凈保費(fèi)【例7.10】對(duì)(x)的n 年定期壽險(xiǎn)，如果被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期內(nèi)死亡，除了賠付10 000 元外，還退還過(guò)去已繳凈保費(fèi)的累積，假設(shè)保險(xiǎn)賠付在死亡年年末，保險(xiǎn)費(fèi)每年繳付一次，n年付清。計(jì)算下面兩種情況下的年繳均衡凈保費(fèi)。(1)退還的保費(fèi)部分不計(jì)利息。(2)退還的保費(fèi)部分以不同于保單預(yù)定利率i 的利率j 復(fù)利累計(jì)。(3)退還的保費(fèi)部分以保單定價(jià)預(yù)

41、定利率復(fù)利累計(jì)。167例題解答(1) 設(shè)每年的凈保費(fèi)為P，如果退還的保費(fèi)不計(jì)息，這時(shí)，在被保險(xiǎn)人死亡年年末退還的保費(fèi)部分是過(guò)去已繳凈保費(fèi)的累加，其給付以被保險(xiǎn)人死亡為條件，故，構(gòu)成一個(gè)定期遞增的壽險(xiǎn)，其收支平衡公式為，168例題解答(2) 如果退還的保費(fèi)部分以利率j 計(jì)息，退還保費(fèi)部分的給付額是一個(gè)隨被保險(xiǎn)人死亡時(shí)間變動(dòng)的年金終值。即， ，其現(xiàn)值變量為，169例題解答(3) 如果退還保費(fèi)的累積利率等于預(yù)定利率，這時(shí)在(2)中的E(w)成為，170總保費(fèi)在保險(xiǎn)精算實(shí)務(wù)中，傳統(tǒng)的總保費(fèi)計(jì)算方法是將總保費(fèi)分解為凈保費(fèi)和附加保費(fèi)兩部分，在凈保費(fèi)上，加上補(bǔ)償費(fèi)用和預(yù)防不利偏差的附加保費(fèi)，形成總保費(fèi)，這種

42、方法稱為凈保費(fèi)加成法。隨著精算技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，考慮更多未來(lái)變動(dòng)因素的現(xiàn)金流量定價(jià)法開(kāi)始使用，在這種方法下，保費(fèi)不需要分解為凈保費(fèi)和附加保費(fèi)，而是按照滿足未來(lái)賠付或給付、費(fèi)用、退保、稅金、紅利等所有可能支出并獲得合理利潤(rùn)的原則下，根據(jù)對(duì)未來(lái)現(xiàn)金流量的預(yù)測(cè)確定。171凈保費(fèi)加成法固定比例法變動(dòng)比例法三元素法172現(xiàn)金流量法現(xiàn)金流量法是通過(guò)對(duì)一組保單未來(lái)保單年度預(yù)期收入和預(yù)期支出的估計(jì)，研究保單組隨被保險(xiǎn)人死亡、退保、分紅、滿期等的過(guò)程，在一定的定價(jià)策略和利潤(rùn)目標(biāo)下，給出保單的定價(jià)。在現(xiàn)金流量方法下，對(duì)一個(gè)保單組，年度收入為保單組的所有保費(fèi)收入和投資收入，年度支出包括保險(xiǎn)賠付、費(fèi)用、退保、滿

43、期給付、紅利、準(zhǔn)備金增加額等，年度利潤(rùn)就是年度收入與年度支出的差。這樣，利潤(rùn)= 保費(fèi)+投資收入 費(fèi)用賠付支出退保支出紅利準(zhǔn)備金增加173第八章 責(zé)任準(zhǔn)備金174準(zhǔn)備金的意義準(zhǔn)備金(reserve)：為將來(lái)某項(xiàng)支出而預(yù)先留存的儲(chǔ)備金，是將來(lái)給付支出現(xiàn)值與將來(lái)凈保費(fèi)收入現(xiàn)值之差。 準(zhǔn)備金數(shù)額由準(zhǔn)備金計(jì)算方法、相關(guān)的保險(xiǎn)法律、法規(guī)、會(huì)計(jì)實(shí)務(wù)標(biāo)準(zhǔn)等決定。在保險(xiǎn)實(shí)踐中，給付準(zhǔn)備金的積累保證了保險(xiǎn)公司的到期償付能力。 175準(zhǔn)備金的種類 償付能力準(zhǔn)備金(Solvency Reserves) ：為評(píng)估保險(xiǎn)公司的償付能力而計(jì)算的準(zhǔn)備金。 收入準(zhǔn)備金(Earnings Reserves) ：為評(píng)估收入和盈利而計(jì)

44、算的準(zhǔn)備金。(收益=保費(fèi)收入+投資收入賠付支出展業(yè)費(fèi)用維持費(fèi)用準(zhǔn)備金提存)稅收準(zhǔn)備金(Tax Reserves) ：為評(píng)估應(yīng)稅收入或應(yīng)稅收益而計(jì)算的準(zhǔn)備金。 176凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金計(jì)算方法未來(lái)法（prospective method） ：責(zé)任準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)人未來(lái)的凈責(zé)任，用未來(lái)給付現(xiàn)值減去未來(lái)凈保費(fèi)現(xiàn)值來(lái)衡量。過(guò)去法（retrospective method） ：責(zé)任準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)人過(guò)去凈保費(fèi)收入大于賠付支出的部分，用過(guò)去凈保費(fèi)終值減去過(guò)去給付的保險(xiǎn)金終值計(jì)算。 177將來(lái)法引例8.1 假如有100個(gè)40歲的人同時(shí)投保1 000元5年定期壽險(xiǎn)，保費(fèi)在5年內(nèi)均衡繳付。設(shè)預(yù)定利率為6，預(yù)定死亡率采用C

45、L 90-93表數(shù)據(jù)，保費(fèi)繳付在保單年初，保險(xiǎn)賠付在保單年末，不考慮費(fèi)用、退保和分紅等。計(jì)算未來(lái)5年的預(yù)期凈保費(fèi)收入和預(yù)期賠付支出。178解答人均年繳均衡凈保費(fèi)為，預(yù)期凈保費(fèi)收入、預(yù)期賠付支出，如下表所示，179180推導(dǎo)1從表中數(shù)據(jù)可見(jiàn)，在2年內(nèi)，當(dāng)年凈保費(fèi)收入大于當(dāng)年保險(xiǎn)賠付支出，凈保費(fèi)有結(jié)余；但從3年起，當(dāng)年凈保費(fèi)收入不足當(dāng)年賠付支出。為了保證賠付，必須動(dòng)用過(guò)去積累的準(zhǔn)備金。 準(zhǔn)備金的數(shù)額正是保證未來(lái)賠付支出超出未來(lái)凈保費(fèi)收入的金額。 某時(shí)點(diǎn)的給付準(zhǔn)備金+未來(lái)凈保費(fèi)收入現(xiàn)值=未來(lái)賠付支出現(xiàn)值某時(shí)點(diǎn)的給付準(zhǔn)備金=未來(lái)賠付支出現(xiàn)值-未來(lái)凈保費(fèi)收入現(xiàn)值181推導(dǎo)2 引例8.1中，未來(lái)凈保費(fèi)收入

46、和賠付支出現(xiàn)金流如下圖所示： 依據(jù)上面現(xiàn)金流，可以計(jì)算凈保費(fèi)收入和賠付支出的現(xiàn)值，以及各年的給付準(zhǔn)備金。182第1年末的給付準(zhǔn)備金總額=1 140.305-1 098.75=41.329(元)第1年末人均給付準(zhǔn)備金=41.329/99.72 =0.414(元)第2年末，未來(lái)賠付支出現(xiàn)值=第1年末，未來(lái)賠付支出現(xiàn)值=推導(dǎo)3 未來(lái)凈保費(fèi)收入現(xiàn)值= 未來(lái)凈保費(fèi)收入現(xiàn)值=第2年末的給付準(zhǔn)備金=910.373-846.340=65.033 (元)第2年末人均給付準(zhǔn)備金=65.033/99.42=0.654 (元)人均給付準(zhǔn)備金正是每張有效保單需要積存的準(zhǔn)備金數(shù)額。183對(duì)于（x）歲的1單位元終身壽險(xiǎn)，如

47、果保費(fèi)每年繳付一次、終身繳付，假設(shè)死亡賠付在死亡年年末。這時(shí)，年繳凈保費(fèi)為 ，在投保后第k年末，未來(lái)給付的精算現(xiàn)值為 ，未來(lái)凈保費(fèi)的精算現(xiàn)值為 ，k年末的給付準(zhǔn)備金用 表示，有，終身壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金 184如果終身壽險(xiǎn)的保險(xiǎn)費(fèi)在h年內(nèi)繳清，k年末的責(zé)任準(zhǔn)備金用 表示。k年末的未來(lái)保費(fèi)繳付期為h-k，當(dāng)kh時(shí)，未來(lái)凈保費(fèi)現(xiàn)值為 ，當(dāng)kh時(shí)，未來(lái)凈保費(fèi)現(xiàn)值為0。因此，有，保險(xiǎn)費(fèi)在h年內(nèi)繳清185如果終身壽險(xiǎn)限期在h年繳費(fèi)， 表示為k年末責(zé)任準(zhǔn)備金如果保費(fèi)一年繳付m次，這時(shí)， 表示為終身壽險(xiǎn)終身繳費(fèi)的t年末責(zé)任準(zhǔn)備金保費(fèi)一年繳付m次186如果保險(xiǎn)費(fèi)每年一次，h年限期繳清，這時(shí)，t年末的準(zhǔn)備金 為，如果

48、終身壽險(xiǎn)在死亡時(shí)賠付，相應(yīng)的k年末保險(xiǎn)金現(xiàn)值為 ，對(duì)每年一次的終身繳費(fèi)壽險(xiǎn)，責(zé)任準(zhǔn)備金相應(yīng)的表示為保費(fèi)一年繳付m次187定期壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金定期壽險(xiǎn)給付準(zhǔn)備金的計(jì)算公式與終身壽險(xiǎn)類似，對(duì)(x)的1單位元n年死亡年末賠付定期壽險(xiǎn)，如果保險(xiǎn)費(fèi)每年一次、n年繳清，k年末的給付準(zhǔn)備金為，188定期壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金如果保費(fèi)在h年內(nèi)繳付，（hn），k年末的給付準(zhǔn)備金為，189定期壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金如果保費(fèi)在h年內(nèi)繳付（hn）、一年m次，k年末的給付準(zhǔn)備金為， 190定期壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金如果死亡賠付在死亡時(shí)，上面的保險(xiǎn)k年末給付準(zhǔn)備金為，在均勻死亡假定下，其他的計(jì)算方法同上 191對(duì)于兩全保險(xiǎn)，合同到期時(shí)保險(xiǎn)公司將要

49、支付被保險(xiǎn)人生存保險(xiǎn)金，從而最后一年末單位保額兩全保險(xiǎn)的責(zé)任準(zhǔn)備金應(yīng)該等于1。對(duì)(x)的n年兩全保險(xiǎn)，如果死亡賠付在死亡年年末，保險(xiǎn)費(fèi)在h年內(nèi)繳清、每年一次，(hn)，k年末的給付準(zhǔn)備金為，兩全保險(xiǎn)給付準(zhǔn)備金192如果n年兩全保險(xiǎn)的繳費(fèi)在h年內(nèi)、每年m次，k年末的給付準(zhǔn)備金為，兩全保險(xiǎn)給付準(zhǔn)備金193如果h年限期繳費(fèi)的n年兩全保險(xiǎn)，死亡賠付在死亡年年末，k年末的給付準(zhǔn)備金為，兩全保險(xiǎn)給付準(zhǔn)備金194延期年金給付準(zhǔn)備金對(duì)于(x)的延期n年生存年金保險(xiǎn)，保險(xiǎn)費(fèi)在n年內(nèi)每年繳付一次，第k年年末的給付準(zhǔn)備金為：195過(guò)去法引例8.2 在前面引例8.1中，可以進(jìn)一步計(jì)算出凈保費(fèi)收入與賠付支出的累積收支差

50、，以及人均累計(jì)收支差。列入下表 人均累積收支差就是過(guò)去法下的責(zé)任準(zhǔn)備金。196過(guò)去法給付準(zhǔn)備金是計(jì)算時(shí)點(diǎn)過(guò)去凈保費(fèi)收入終值與過(guò)去賠付金支出終值之差，即，時(shí)點(diǎn)過(guò)去凈保費(fèi)的累計(jì)值與過(guò)去賠付支出累計(jì)值的差額。對(duì)(x)的1單位元死亡年末賠付終身壽險(xiǎn)，如果保險(xiǎn)費(fèi)終身繳付、每年一次，這時(shí)，第k年末過(guò)去凈保費(fèi)終值為 ，第k年末過(guò)去賠付金在投保時(shí)的現(xiàn)值為 ，它在利率和生存概率下累積到k年末的終值為 ，因此，第k年末的給付準(zhǔn)備金為，過(guò)去法 197如果終身壽險(xiǎn)的保費(fèi)在h年內(nèi)定期繳付，這時(shí)，當(dāng)kh時(shí)，過(guò)去凈保費(fèi)累積到h年末為 ，再累積到k年末為 ，過(guò)去法終身壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金從而，在不同時(shí)間點(diǎn)上準(zhǔn)備金的計(jì)算公式為，19

51、8對(duì)n年繳費(fèi)的n年兩全保險(xiǎn)，n年內(nèi)過(guò)去保險(xiǎn)給付的終值為 ，注意這一終值不是 ，因?yàn)橹挥性趎年末才有滿期生存給付，n年內(nèi)只是定期壽險(xiǎn)，在第n年，準(zhǔn)備金的數(shù)額應(yīng)該正好等于生存給付額，從而有，過(guò)去法在不同險(xiǎn)種的運(yùn)用199過(guò)去法在不同險(xiǎn)種的運(yùn)用對(duì)(x)的1單位元n年延期生存年金，保險(xiǎn)費(fèi)在n年內(nèi)定期繳付，200根據(jù)具體問(wèn)題選擇使用將來(lái)法和過(guò)去法中較為簡(jiǎn)單方便的一種。一般地，計(jì)算已繳清保費(fèi)后某個(gè)時(shí)刻的給付準(zhǔn)備金時(shí)，用將來(lái)法更方便，因?yàn)檫@種情況下未來(lái)只有保險(xiǎn)金給付，沒(méi)有保費(fèi)繳付。 比如，當(dāng)kn時(shí)， ， 等，計(jì)算起來(lái)比較簡(jiǎn)單。計(jì)算尚未進(jìn)入保險(xiǎn)給付期的某時(shí)刻給付準(zhǔn)備金，用過(guò)去法更簡(jiǎn)單，因?yàn)檫@種情況下只有保險(xiǎn)費(fèi)繳

52、付，沒(méi)有保險(xiǎn)金給付。 比如，當(dāng)kn時(shí)， 。將來(lái)法和過(guò)去法的選擇 201相鄰兩期給付準(zhǔn)備金之間具有遞推關(guān)系，了解這種關(guān)系，對(duì)于深入認(rèn)識(shí)準(zhǔn)備金的實(shí)質(zhì)具有重要意義。對(duì)(x)的1單位元死亡年末賠付終身壽險(xiǎn)，保費(fèi)每年一次、終身繳付。k年末將來(lái)法給付準(zhǔn)備金的計(jì)算公式為：給付準(zhǔn)備金的遞推公式 上式兩邊同加保費(fèi)Px 由，可以得到kVx與k+1Vx之間的關(guān)系202這一等式表明，k年末的給付準(zhǔn)備金 加上t+1年初的凈保費(fèi)收入 ，正好等于k+1年的死亡給付在k年末的現(xiàn)值 與t+1年末給付準(zhǔn)備金在利率和生者利下在t年末的現(xiàn)值給付準(zhǔn)備金的遞推公式 203給付準(zhǔn)備金的遞推公式每年的凈保費(fèi)Px正好滿足死亡給付和相鄰兩期給付

53、準(zhǔn)備金的差額。lx+k人k年末的給付準(zhǔn)備金加他們繳付的凈保費(fèi)的總和在k+1年末等于在第k+1年發(fā)生的死亡每人1單位元的給付額和k+1年末的給付準(zhǔn)備金。 每年的凈保費(fèi)一方面是為保險(xiǎn)人承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)凈額的繳費(fèi)，一方面是為增加給付準(zhǔn)備金的繳費(fèi)。 204給付準(zhǔn)備金的遞推公式法克勒(Fackler)準(zhǔn)備金累計(jì)公式： 第n年末的給付準(zhǔn)備金等于每年凈保費(fèi)的累積與保險(xiǎn)成本累積的差額。可以從0V=0出發(fā)，在已知保單凈保費(fèi)下，依次計(jì)算出1V，2V，等。對(duì)n年定期保險(xiǎn)，如果已知nV，可到推出n-1V，n-2V等。 205會(huì)計(jì)年度末給付準(zhǔn)備金 保險(xiǎn)年度又稱契約年度，是從保險(xiǎn)契約成立日為起點(diǎn)的年度，即從契約成立日到下年同一

54、日為一年。會(huì)計(jì)年度又稱業(yè)務(wù)年度，通常等同于日歷年度，會(huì)計(jì)年度末的給付準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)公司在年度決算日的累積給付準(zhǔn)備金，它可以由保險(xiǎn)年度末給付準(zhǔn)備金推算出來(lái)。206會(huì)計(jì)年度末給付準(zhǔn)備金 對(duì)(x)的終身壽險(xiǎn)，假設(shè)在第j+1保險(xiǎn)年度末死亡給付為bj+1，每年凈保費(fèi)為Pj，在j+1年初繳付，j=0,1,2。由給付準(zhǔn)備金的遞推公式，對(duì)t為整數(shù)，0h1，t+h時(shí)點(diǎn)的給付準(zhǔn)備金t+hV為，在死亡均勻分布假設(shè)下 ，有(1)(2)(3)207上式可以計(jì)算會(huì)計(jì)年度末的給付準(zhǔn)備金。其中tV為保險(xiǎn)年度末給付準(zhǔn)備金，t+hV為會(huì)計(jì)年度末給付準(zhǔn)備金。實(shí)踐中，當(dāng)i，qx+t很小時(shí)，1+i，px+t， 及1-hqx+t可大約近似

55、為1，此時(shí)會(huì)計(jì)年度末給付準(zhǔn)備金208會(huì)計(jì)年度末給付準(zhǔn)備金計(jì)算示意圖 209假設(shè)死亡給付在保險(xiǎn)年度末，當(dāng)0h1/2時(shí)，對(duì)t+h時(shí)點(diǎn)的給付準(zhǔn)備金 ，有，半年一次繳付的情況 在死亡均勻分布假設(shè)下，有，當(dāng)1/2h1時(shí)，遞推公式可以近似為， 210一年m次繳費(fèi)時(shí)，若h為 的整數(shù)倍數(shù)，設(shè) ，k為整數(shù)時(shí)，有，一年m次繳費(fèi)的情況若 ，k為整數(shù)， 時(shí)，有，211修正的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金一種常用的解決保單第一年費(fèi)用超支的方法是費(fèi)用占用一部分凈保費(fèi)，少提準(zhǔn)備金，再?gòu)囊院蟾髂晔杖〉臓I(yíng)業(yè)費(fèi)用中逐年歸還，以補(bǔ)足第一年應(yīng)提的準(zhǔn)備金數(shù)額。這種對(duì)均衡凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金進(jìn)行調(diào)整的方法稱為修正的責(zé)任準(zhǔn)備金方法。每年均衡保費(fèi)為G，均衡凈

56、保費(fèi)為P，均衡附加保費(fèi)為G-P。假設(shè)保單第一年由費(fèi)用占用一部分凈保費(fèi)，使凈保費(fèi)成為，第二年到第k 年由費(fèi)用的歸還，實(shí)際凈保費(fèi)成為，k 為保費(fèi)調(diào)整期，n 為保費(fèi)繳付期212修正的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金的一般方法以均衡凈保費(fèi)現(xiàn)值等于實(shí)際凈保費(fèi)現(xiàn)值作為計(jì)算調(diào)整后凈保費(fèi)的平衡公式213修正的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金的一般方法修正的給付準(zhǔn)備金以V mod 表示，采用與均衡凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金相同的計(jì)算方法，在調(diào)整的凈保費(fèi)下，可以計(jì)算出修正的責(zé)任準(zhǔn)備金。當(dāng)tkn 時(shí)，用將來(lái)法，有 用過(guò)去法時(shí)，有當(dāng)tk 時(shí)，t 年末的責(zé)任準(zhǔn)備金就是均衡凈保費(fèi)給付準(zhǔn)備金。214完全初年定期修正法把第一年凈保費(fèi)規(guī)定為一年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值，并在整個(gè)繳

57、費(fèi)期修正責(zé)任準(zhǔn)備金的方法稱為完全初年定期修正法（Full Preliminary Term），簡(jiǎn)稱為FPT 法。在完全初年定期修正法下，第一年的凈保費(fèi)用 FPT 表示，第二年以后的凈保費(fèi)用 FPT 表示，k 年末的責(zé)任準(zhǔn)備金用kVFPT表示。A(1)表示在x+1 歲時(shí)一保險(xiǎn)的現(xiàn)值，則215對(duì)(x)的m 年1 單位元兩全保險(xiǎn)，繳費(fèi)期為n，則，完全初年定期修正法216將來(lái)法：其中， 和 分別表示t時(shí)刻未來(lái)保險(xiǎn)金和生存年金現(xiàn)值。過(guò)去法：其中， 和 分別表示t時(shí)刻過(guò)去生存年金和已付保險(xiǎn)金終值。本章小結(jié)分別表示t時(shí)刻過(guò)去生存年金和已付保險(xiǎn)金終值。1給付責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算方法有將來(lái)法和過(guò)去法兩種。217本章

58、小結(jié)2給付準(zhǔn)備金基本遞推關(guān)系： 3會(huì)計(jì)年度末的給付準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)公司在年度決算日的累積給付準(zhǔn)備金，它可以由保險(xiǎn)年度末給付準(zhǔn)備金推算出來(lái)。在死亡均勻假設(shè)下，可近似為： 是t年末和t+1年末給付準(zhǔn)備金的線性插值與t+h時(shí)點(diǎn)未經(jīng)過(guò)保費(fèi)之和。 218第九章 聯(lián)合保險(xiǎn)219聯(lián)合生存狀態(tài)聯(lián)合生存狀態(tài)(joint-life status)是以投保集團(tuán)中每個(gè)成員都存活為狀態(tài)生存，以集團(tuán)中的第一個(gè)發(fā)生死亡為狀態(tài)死亡的狀態(tài)。設(shè)聯(lián)合投保集團(tuán)是由年齡分別為 x1 , x2 , , xm 的m 個(gè)個(gè)體組成，其聯(lián)合生存狀態(tài)表示為(x1,x2 , , xm)。在獨(dú)立性假設(shè)下，聯(lián)合生存狀態(tài)(xy)至少“存活”到時(shí)間t 的概率t

59、 pxy滿足對(duì)F T(t) 關(guān)于t 求導(dǎo)，可得T 的概率密度函數(shù)220聯(lián)合生存狀態(tài)在獨(dú)立性假設(shè)下，時(shí)間t 狀況(xy)的“死亡”力以xy(t) 表示在第k 個(gè)整數(shù)年中，聯(lián)合生存狀況(xy)的“死亡”概率為聯(lián)合生存狀況(x+k:y+k)在一年內(nèi)“死亡”的概率可用個(gè)體死亡概率寫(xiě)成聯(lián)合生存狀況(xy)在第k+1 年死亡的概率為221最后生存狀況最后生存狀態(tài)是以投保集團(tuán)中至少一個(gè)成員存活為狀態(tài)的存活，以全部成員的死亡為狀態(tài)的死亡的狀態(tài)。最后生存狀況的余壽為， T= maxT (x1), T(x2), T(xm) ，假設(shè)狀況中個(gè)體的余壽隨機(jī)變量相互獨(dú)立。有，222最后生存狀況223聯(lián)合狀態(tài)余壽隨機(jī)變量期

60、望值對(duì)于一般狀況（u），其余壽T=T(u)，根據(jù)余壽均值的定義，有，如（u）是聯(lián)合生存狀況（xy），則對(duì)最后生存狀況，則有可以得到以下關(guān)系224聯(lián)合狀態(tài)下的精算現(xiàn)值對(duì)于一般狀態(tài)（u），壽險(xiǎn)現(xiàn)值A(chǔ) u是狀況（u）的整值余壽變量K=K(u)在K +1年末賠付的精算現(xiàn)值。對(duì)于在狀況（u）“死亡”時(shí)賠付1 單位元的保險(xiǎn)，保單生效時(shí)的現(xiàn)值隨機(jī)變量和躉繳凈保費(fèi)分別為，具體地，對(duì)于聯(lián)合生存狀況(xy)，有由獨(dú)立性假設(shè)，上式可寫(xiě)成225聯(lián)合狀態(tài)下的精算現(xiàn)值對(duì)于每年連續(xù)支付1 單位直至狀況（u）“死亡”的生存年金，有對(duì)于聯(lián)合生存狀況(xy)，即只有在兩人同時(shí)存活時(shí)才支付年金，有226最后生存狀況與聯(lián)合生存狀況2