整套課件教程-保險精算原理與實務

1、1第一章 導論2精算科學(Actuarial Science) 精算科學是以概率論與數(shù)理統(tǒng)計為基礎(chǔ)的，與經(jīng)濟學、金融學及保險理論相結(jié)合的應用與交叉性的學科。在保險和社會保障領(lǐng)域，精算科學通過對風險事件及其損失的預先評價，實現(xiàn)科學的風險管理，為保險和社會保障事業(yè)的財務穩(wěn)健發(fā)展提供基本保障。3保險精算學的基本原理(1) 要素未來事件不確定性財務收支預先評估(2) 模型和方法模型：各因素相互關(guān)系的數(shù)學公式方法：借助精算模型實現(xiàn)預先評估(3) 精算假設對未來風險發(fā)生規(guī)律的假設在過去經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，根據(jù)對未來的判斷預先做出4基本精算原理-例按照收支對等原則 如果1人投保1年期100,000元壽險，假設1年

2、內(nèi)死亡概率4.3%，在不考慮保險公司的費用、投資收益、利潤的情況下： 保費=期望損失=100,0000.004 3=430元（忽略利息）5精算師精算師被稱為金融、保險、投資和風險管理的工程師通過對風險和損失的預先評價，對風險事件做出預先的財務安排，保證風險經(jīng)營的財務穩(wěn)健性。6精算師的主要職業(yè)領(lǐng)域保險公司（壽險、非壽險、健康保險）養(yǎng)老金計劃社會保障銀行、投資、公司財務、金融工程法律法規(guī)教育7精算管理控制系統(tǒng)環(huán)境因素（法律、社會、人口、稅收等）風險分析產(chǎn)品設計定價監(jiān)測和分析經(jīng)驗數(shù)據(jù)償付能力評估資產(chǎn)負債管理資產(chǎn)評估利潤分析負債評估8怎樣成為精算師考試制度：英國精算學會、北美壽險精算學、北美非壽險精算

3、學會、美國養(yǎng)老金精算師學會、加拿大精算學會。教育認可制度：澳大利亞：初級課程認可，高級課程考試；德國、意大利、法國、瑞士、西班牙、荷蘭、巴西、墨西哥等國家主要采取學歷認可制度。國際精算協(xié)會的精算師后續(xù)教育制度9精算職業(yè)發(fā)展1775年，英國的公平人壽社團最早將精算師引入保險領(lǐng)域。1848年，英國在世界上最早成立了精算學會1889年，美國精算學會1892年，法國精算學會1895年，國際精算協(xié)會2006年，中國精算師協(xié)會10第二章 利息理論11累積函數(shù)累積函數(shù)是單位本金的累計額，以 表示。 其中， ， 。12累積函數(shù)a(t)01ta(t)01ta(t)01t 圖2-1 圖2-2 圖2-3a(t)通常

4、為t 的連續(xù)函數(shù)，在坐標平面上表現(xiàn)為通過（0，1）點的曲線，如圖2-1和圖2-2所示a(t)為增函數(shù)時才能保證總額函數(shù)的遞增性和存在正的利息。有時，當利息定期結(jié)算時，也表現(xiàn)為不連續(xù)的階梯函數(shù)，在定期內(nèi)，為常數(shù)，定期結(jié)算后，上一個臺階，如圖2-3所示。13利息率利息率1年內(nèi)1單位本金的利息就是實際年利息率 以 表示第n個基本計息時間單位的實際利率 14單利和復利單利：只在本金上生息設第t年實際利率it，1年末的累積額為: 第2年末的累積額為:當各年利率均為i時，有15單利和復利復利：在本金和利息上生息設第t年實際利率it，1年末的累積額為: 第2年末的累積額為:當各年利率均為i時，有16現(xiàn)值和貼

5、現(xiàn)率17現(xiàn)值和貼現(xiàn)率在復利下，18現(xiàn)值和貼現(xiàn)率在單利下，19現(xiàn)值和貼現(xiàn)率貼現(xiàn)率：單位貨幣在單位時間內(nèi)的貼現(xiàn)額，單位時間以年度衡量時，成為實際貼現(xiàn)率。 d表示一年的貼現(xiàn)率: dn表示第n年貼現(xiàn)率: 20可見， di現(xiàn)值和貼現(xiàn)率21現(xiàn)值和貼現(xiàn)率22現(xiàn)值和貼現(xiàn)率23名義利率與名義貼現(xiàn)率名義利率:一年結(jié)算多次的規(guī)定的年利率。 以 表示，m表示結(jié)算次數(shù)， 24名義利率與名義貼現(xiàn)率名義貼現(xiàn)率:一年結(jié)算多次的規(guī)定的年貼現(xiàn)率。 以 表示，m表示結(jié)算次數(shù)， 25利息力利息力：衡量確切時點上利率水平的指標。 定義利息力為，故，26年金年金：每隔一個相等的時間間隔的一系列固定數(shù)額的收付款方式。 期首付年金期末付年金

6、27期首付年金現(xiàn)值=28期末付年金現(xiàn)值=29期首付年金終值30期末付年金終值31等額確定年金的終值和現(xiàn)值n年定期的每年1單位元期首付年金、期末付年金的現(xiàn)值和終值間關(guān)系圖 32一年多次收付的年金 對于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金現(xiàn)值，以 表示，33一年多次收付的年金 對于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期末付年金現(xiàn)值以 表示，34一年多次收付的年金 對于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金在n 年末的終值為，35一年多次收付的年金 對于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期末付年金在n 年末的終值為，36永續(xù)年金 定義：收付時期沒有限制，每隔一個間

7、隔永遠連續(xù)收付的年金，相當于前面定期年金當時期n趨于無窮大時的值。 每年一元期末付永續(xù)年金現(xiàn)值為， 37永續(xù)年金其他永續(xù)年金現(xiàn)值為： 38變額年金變額年金是每次收付額不等的年金常見的有，每次收付額等差遞增或遞減每次收付額等比遞增39變額遞增年金如果在n年定期內(nèi)，第一年末收付1單位元，第2年末收付2單位元，以后每次比上一次遞增1單位元的期末付年金現(xiàn)值以 表示。 40變額遞增年金兩者相減后得代入上式后得 上述年金期首付時，年金現(xiàn)值為41變額遞減年金當?shù)谝荒晔崭秐元，以后每隔一年收付額減少一單位元的n年定期遞減的期末付年金為， 上述定期遞減年金在期首付時，為 變額年金的終值是相應年金現(xiàn)值與利率累積系

8、數(shù)之積 42等比遞增年金對等比遞增的年金，如果第一年1單位元，以后收付額每年遞增j比例，n年定期的年金現(xiàn)值為：43等額分期償還等額分期償還債務的方法是在規(guī)定的還款期內(nèi)每次償還相等數(shù)額的還款方式。每次償還金額為第k 期末的未償還本金余額 貸款本金是B0 ，是Bk,還款期限為n 年，每年末還款，年實際利率為i 44等額分期償還表 時期 付款金額 支付利息 償還本金 未償還貸款余額 0 1 R R(1-vn)Rvnk R R(1-vn-k+1) Rvn-k+1 n R R(1-v) Rv0 總計 nR 45變額分期償還變額分期償還指每期償還的金額不等的還款方式。 原始貸款金額為B0 ，第k 期償還的

9、金額為Rk （k=1，2，,n）46例 2.26一筆金額為nR 元的貸款，年利率為i ，期限為n 年，每年償還R 元本金，其分期償還表如下： 時期 付款金額 支付利息 償還本金 未償還貸款余額 0 nR1 R (1+in)inRR(n-1)Rk R 1+i(n-k+1) i(n-k+1)R R(n-k)R n R (1+i)iR R0 總計 nR +i n(n+1)/2 i n(n+1)/2 nR47償債基金償債基金的還款方法是借款人在貸款期間分期償還貸款的利息，同時為了能夠在貸款期末一次性償還貸款的本金，定期向一個“基金”供款，使該“基金”在貸款期末的積累值正好等于貸款本金。這一基金稱為償債

10、基金，其基金累計的利率與貸款利率可能相等，也可能不等。48等額償債基金等額償債基金方法下借款人每期向償債基金的儲蓄金額相等，設為D ，如果該償債基金每期的利率恒為j，n 為貸款期限，當期支付的利息設為I，則借款人每期支付總金額為：假設償債基金的利率與貸款利率相等，即j =i ，則借款人每期支付總金額為，49變額償債基金設原始貸款本金為B0 ，貸款利率為i ，償債基金利率為j ，借款人在第k 期末支付的總金額為Rk （k=1，2，n），則，第k 期末向償債基金的儲蓄額為(Rk iB0)，償債基金在第n 期末的累積值等于原始貸款本金B(yǎng)0 ，即，當i= j時，50債券價值按利息的支付方式，債券可分為

11、零息債券和附息債券兩種。零息債券在債券到期前不支付利息，而是在債券到期時隨本金一次性支付所累計的利息。附息債券由發(fā)行人在到期日前定期支付利息，投資者可定期獲得固定的息票收入。債券定價原理：債券的理論價格就是債券未來息票收入的現(xiàn)值和到期償還值的現(xiàn)值之和?；痉柡透拍睿篜債券的理論價格； i投資者要求的收益率或市場利率；F債券的面值；C債券的償還值；r債券的息票率；rF每期的息票收入；g債券的修正息票率；n息票的償還次數(shù)；K償還值按收益率i 計算的現(xiàn)值； G債券的基價，51債券價值基本公式：溢價公式：基價公式：Makeham公式：52債券的賬面價值整數(shù)息票支付周期的債券價格和賬面值第k 期末的賬

12、面值為：任意時點的賬面值53第三章 生命表54生命表相關(guān)定義生命表：反映在封閉人口的條件下，一批人從出生后陸續(xù)死亡的全部過程的一種統(tǒng)計表。封閉人口：指所觀察的一批人只有死亡變動，沒有因出生的新增人口和遷入或遷出人口。 55生命表基本函數(shù)lx：存活到確切整數(shù)年齡x歲的人口數(shù)，x=0,1,-1。 ndx：在xx+n歲死亡的人數(shù)，當n=1時，簡記為dxnqx：x歲的人在xx+n歲死亡的概率，當n=1時，簡記為qx56生命表基本函數(shù)(1)(2)(3)57生命表基本函數(shù)npx： xx+n歲的存活概率,與nqx相對的一個函數(shù)。 當n=1，簡記為px 。58生命表基本函數(shù)nLx：x歲的人在xx+n生存的人年

13、數(shù)。人年數(shù)是表示人群存活時間的復合單位，1個人存活了1年是1人年，2個人每人存活半年也是1人年，在死亡均勻分布假設下，xx+n歲的死亡人數(shù)ndx平均來說存活了n/2年，而活到lx+n歲的人存活了n年，故當n=1時，59 ：x歲人群的平均余壽，表明未來平均存活的時間。當x為0時，表示出生時平均余壽，即出生同批人從出生到死亡平均每人存活的年數(shù)。 生命表基本函數(shù)Tx：x歲的人群未來累積生存人年數(shù)。在均勻分布假設下，60生命表基本函數(shù)：表示x歲的人存活n年并在第n+1年死亡的概率， 或x歲的人在x+nx+n+1歲死亡的概率。：表示x歲的人在x+nx+n+m歲之間死亡的概率。61生存分布一、新生兒的生存

14、函數(shù)二、x歲余壽的生存函數(shù)三、死亡力四、整值平均余壽與中值余壽62F(x)：新生兒未來存活時間（新生兒的死亡年齡）為x的分布函數(shù)。s(x)：生存函數(shù)，它是新生兒活到x歲的概率，以概率表示為xp0。 新生兒在xz歲間死亡的概率，以概率的方式表示為：新生兒的生存函數(shù)63新生兒的生存函數(shù)生命表函數(shù)中的存活人數(shù)lx 正是生命表基數(shù)l0與x歲生存函數(shù)之積，lx=l0s(x)而s(x)曲線形狀如下圖所示，64x歲余壽的生存函數(shù)以（x）表示年齡是x歲的人，（x）的余壽以T(x)表示x歲的人在t時間內(nèi)存活的概率 tpx 當x=0時，T(0)=X ，正是新生兒未來余壽隨機變量。x歲的人在t時間內(nèi)死亡的概率tqx

15、65x歲余壽的生存函數(shù)考慮x歲的人的剩余壽命時，往往知道這個人已經(jīng)活到了x歲 ，tqx實際是一個條件概率66x歲的人在x+tx+t+u的死亡概率 ，以概率的方式表示為： x歲余壽的生存函數(shù)67整值剩余壽命定義： 未來存活的完整年數(shù)，簡記概率函數(shù)68死亡力定義： 的瞬時死亡率，簡記死亡力與生存函數(shù)的關(guān)系69死亡力70實際上生命表x歲平均余壽正是T(x)隨機變量的期望值死亡力71死亡力生命表x歲死亡人數(shù)dx正是生存人數(shù)函數(shù)lx+t與死亡力之積在 01上的積分生命表x歲生存人年數(shù)Lx正是生存人數(shù)函數(shù)lx+t在01上的積分生命表x歲累積生存人年數(shù)Tx正是生存人數(shù)函數(shù)lx+t在0上的積分 72死亡力對于

16、x歲期望剩余壽命 ，可以證明：73整值平均余壽與中值余壽 x歲的整值平均余壽是指x歲未來平均存活的整數(shù)年數(shù)，不包括不滿1年的零數(shù)余壽，它是整值余壽隨機變量K(x)的期望值，以ex表示，74整值平均余壽與中值余壽 由于，所以 75整值平均余壽與中值余壽 由于故，在死亡均勻分布假設下，故，76整值平均余壽與中值余壽 中值余壽是(x)的余壽T(x)的中值，（x）在這一年齡之前死亡和之后死亡的概率均等于50 %，以m(x)表示x歲的中值余壽，則即， 77非整數(shù)年齡存活函數(shù)的估計死亡均勻分布假設死亡力恒定假設巴爾杜奇(Balducci) 假設78有關(guān)非整數(shù)年齡的假設 使用背景:生命表提供了整數(shù)年齡上的壽

17、命分布,但有時我們需要分數(shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分數(shù)年齡的生存分布假定， 估計分數(shù)年齡的生存狀況基本原理:插值法常用方法均勻分布假定(線性插值)常數(shù)死亡力假定(幾何插值)Balducci假定(調(diào)和插值)79死亡均勻分布假設假設死亡在整數(shù)年齡之間均勻發(fā)生，此時存活函數(shù)是線性的。80死亡均勻分布假設 (0t, 0y,0t+y) 81當假設死亡力在xx+1上恒定時， (x為整數(shù)，0t1)，死亡力恒定假設 由死亡力的定義，82死亡力恒定假設若以表示，有此時， 83巴爾杜奇(Balducci)假設以意大利精算師巴爾杜奇的名字命名，這一假設是當x為整數(shù)，0t1時，

18、生存函數(shù)的倒數(shù)是t的線性函數(shù)，即84巴爾杜奇(Balducci)假設 （其中，0t1, 0y1, 0t+y1） 此時，85三種假定下的生命表函數(shù)函數(shù)均勻分布常數(shù)死亡力Ballucci86生命表的編制一、生命表編制的一般方法二、選擇生命表87生命表編制的一般方法 時期生命表(假設同批人生命表)：采用假設同批人方法編制，描述某一時期處于不同年齡人群的死亡水平，反映了假定一批人按這一時期各年齡死亡水平度過一生時的生命過程。 Dx：某年齡x歲的死亡人數(shù)； ： x歲的平均人數(shù)，即年初x歲人數(shù)與年末x歲人數(shù)的平均數(shù)，有時也用年中人數(shù)代替。 88x歲的中心死亡率 （分年齡死亡率）為，生命表編制的一般方法 生

19、命表分年齡中心死亡率 ：生命表分年齡死亡人數(shù)在分年齡生存人年數(shù)中的比例。 89生命表編制的一般方法在死亡均勻分布假設下，有，變換后，通常 與 非常接近，實際中常用 近似 90選擇生命表選擇生命表構(gòu)造的原因需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失選擇生命表的使用91選擇生命表函數(shù)關(guān)系92第四章 多減因表93定義研究同批人受兩個或兩個以上減因影響陸續(xù)減少的數(shù)學模型就是多減因模型。與生命表一樣，多減因模型通常用多減因表的形式表示，稱為多減因表。94多減因表基本函數(shù) ：確切年齡x 歲時，受(1),(2)

20、,（m)等m 個減因影響的人數(shù)?；蛘哒fx 歲暴露于m 個減因下的人數(shù)。 ：xx+n 歲由(k)減因減少的人數(shù)，k=1,2,m，當n=1 時，記為 ：xx+n 歲由所有減因減少的總?cè)藬?shù)，當n=1 時，記為95多減因表基本函數(shù) ：xx+n 歲由（k）減因產(chǎn)生的減少概率，也就是（k）減因使（x）離開 的概率，當n=1 時，記 ：x 歲的人在xx+n 由所有減因?qū)е碌臏p少概率 ：x 歲的人在xx+n 保留在原群體中的概率96減因力與生命表死亡力類似，在多減因下也有減因力，xt 時的總減因力定義為：97中心減力與中心死亡率的概念類似，在多減因分析中也有總中心減率和分減因中心減率，以 表示總中心減率，定義

21、為，98構(gòu)成多減因表的各個減因都可以依各自獨立的死亡力構(gòu)成單減因表，把由多減因表的各個減因構(gòu)成的單減因表稱為聯(lián)合單減因表，它是單獨考慮各個減因時生成的生命表。設聯(lián)合單減因表的存活函數(shù)聯(lián)合單減因表99各減因力的估計恒定假設下均勻分布假設下100聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布假設下的估計101聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布假設下的估計當m=2 時，有，當m=3時，有，102第五章 人壽保險103傳統(tǒng)人壽保險產(chǎn)品傳統(tǒng)個人壽險產(chǎn)品的被保險人是單個人，以被保險人在保險期內(nèi)死亡或生存為保險賠付或給付條件，預先規(guī)定保險金額的水平及其給付方式，并根據(jù)經(jīng)驗生命表和預定利率等預先確定保費水平和保單退?，F(xiàn)金價值。在實踐

22、中，傳統(tǒng)個人壽險產(chǎn)品又分為定期壽險、終身壽險、兩全保險等。104定期壽險均衡保費定期壽險簡稱為定期壽險，保險費在約定的繳費期內(nèi)均衡繳付，通常繳費期與保險期相同。遞增保費定期壽險的保險費在繳費期內(nèi)遞增，在實踐中常見的遞增保費定期壽險是每年更新定期壽險。保額遞減定期壽險的死亡賠付金額隨著已投保時期的延長而降低，保險費通常采取均衡方式。實踐中最常見的保額遞減壽險是以抵押貸款余額為死亡賠付額，以還款期為保險期的定期保險。105兩全保險定義：在規(guī)定的保險期內(nèi)，如果被保險人死亡，保險人賠付死亡保險金，如果被保險人在保險滿期存活，保險人給付生存保險金的保險產(chǎn)品。非分紅保險根據(jù)精算假設和規(guī)定的保險金額確定保費

23、和現(xiàn)金價值，投保人不分享公司紅利。分紅保險的投保人每年以紅利方式分享公司利潤的一部分，實際上相當于增加了保險金額，或者在規(guī)定的保險金額下減少了保險費。106死亡年年末賠付壽險精算現(xiàn)值引例：定期壽險假如有100個40歲的人投保了1 000元5年期定期壽險，死亡賠付在死亡年年末。如果預定年利率為3，各年預計的死亡人數(shù)為分別為1、2、3、4、5人，這時，每年的賠付支出及其折現(xiàn)值如表4-1所示： 107保單精算現(xiàn)值將各年的賠付現(xiàn)值加總，可以得到發(fā)行100張保單的未來賠付支出現(xiàn)值（元）：所以，平均每一保單的未來賠付現(xiàn)值為134.68元。這一現(xiàn)值被稱為這一保單的精算現(xiàn)值。108(x) ：x歲開始投保的人

24、：對(x)的1單位元死亡年年末賠付的n年期定期壽險 的精算現(xiàn)值。 ：(x)在x+kx+k+1歲間死亡，年末x+k+1歲上的1單位 元賠付在利率i下折現(xiàn)到投保時的現(xiàn)值。 ：被保險人(x)在x+kx+k+1歲間死亡的概率 ：被保險人(x)在x+kx+k+1歲間死亡產(chǎn)生的死亡 賠付期望現(xiàn)值基本符號109定期壽險定期壽險精算現(xiàn)值在投保時一次性繳清方式的凈保費稱為躉繳凈保費， 也就是保單發(fā)行時的精算現(xiàn)值。110終身壽險Ax：對(x)的1單位元死亡年年末賠付的終身壽險的精算現(xiàn)值。由于投保人(x)可能在k=0,1,2上死亡，因此，終身壽險精算現(xiàn)值A(chǔ)x正是(x)在各年死亡賠付期望現(xiàn)值之和。上式的求和上限實際為

25、-x-1其中，是生命表極限年齡，-1是按生命表能夠存活的最大年齡。111生存保險 ：n年純生存保險精算現(xiàn)值。 定義：n年純生存保險是以滿期被保險人仍然存活為給付條件的生存保險。112兩全保險 ：對(x)的1單位元n年兩全保險精算現(xiàn)值。定義：對(x)的1單位元n年兩全保險，是對(x)的n年定期壽險和n年純生存保險的合險。113 ：對(x)的1單位元m年延期終身壽險的精算現(xiàn)值。定義：對(x)的1單位元m年延期終身壽險，是從x+m歲起到被保險人終身止的1單位元壽險。延期m年終身壽險終身壽險可以看成由一個n年定期壽險與一個延期n年終身壽險組合 114 ：對(x)的1單位元延期m年n年定期壽險的精算現(xiàn)值

26、。定義：對(x)的1單位元延期m年n年定期壽險是從x+m歲起到x+m+n年的定期壽險。延期m年的n年定期壽險 115標準遞增變額壽險定義：標準遞增的變額壽險，是賠付額bK+1=k+1，k是從投保開始到死亡時存活的整數(shù)年數(shù)的變額壽險。(IA)x ：標準遞增的終身壽險的精算現(xiàn)值。 ：標準遞增的n年定期壽險的精算現(xiàn)值。 116標準遞增變額壽險從標準遞增定期壽險的意義出發(fā)，可以得出另外兩個不同的公式：n年標準遞增的兩全保險：是n年定期遞增壽險精算現(xiàn)值與n年n單位元純生存保險現(xiàn)值之和。其精算現(xiàn)值為， 117標準遞減變額年金定義：變額壽險當bK+1=n-k時，稱為標準遞減的定期壽險。 ：標準遞減的定期壽險

27、精算現(xiàn)值。118死亡時賠付的壽險精算現(xiàn)值定期壽險：終身壽險： 兩全保險：（死亡均勻分布假設下）（死亡均勻分布假設下）119死亡時賠付的壽險精算現(xiàn)值終身遞增壽險：n 年定期的死亡時賠付標準遞增壽險： n 年標準遞減的死亡時賠付壽險：（死亡均勻分布假設下）（死亡均勻分布假設下）（死亡均勻分布假設下）120關(guān)于 的計算 死亡時給付的壽險相當于把死亡發(fā)生年劃分成m 個相等的部分，在死亡發(fā)生的那個部分的期末給付，并對m 趨于無窮大取極限。若以 表示在死亡發(fā)生的那個m 部分末給付1 單位元的終身壽險現(xiàn)值，則，121遞推公式壽險現(xiàn)值的遞推公式給出了相鄰年齡上壽險現(xiàn)值的關(guān)系，為壽險現(xiàn)值的計算提供了一種工具，也

28、有利于深入理解壽險現(xiàn)值的意義。對死亡年末賠付的1 單位元的終身壽險，有，122第六章 生存年金123生存年金產(chǎn)品生存年金是以年金方式在被保險人生存期內(nèi)的一系列給付，保險費通常采取在投保時一次性繳付的躉繳方式或者在一定時期內(nèi)的均衡繳付的方式。生存年金形式：即期年金（immediate annuities）延期年金(deferred annuities)定期確定的生存年金指數(shù)化年金聯(lián)合生存年金124生存年金精算現(xiàn)值 純生存保險：在約定的保險期滿時，如果被保險人存活將得到規(guī)定的保險金額的保險。 【例6.1】李明今年20歲，如果他能活到60歲，將能從保險公司得到1 000元的一次性給付。設利率i=6%

29、，試寫出這筆給付在李明20歲時的現(xiàn)值。 125解：李明從20歲活到60歲的概率是 ，他在60歲獲得這筆給付的期望值是：純生存保險這筆給付在李明20歲時的現(xiàn)值通過利率折現(xiàn)得到：根據(jù)附表中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗生命表（19901993年）（男女混合表）的資料得，l20 =983 992，l40=877 671，可以計算得, 所以，這筆給付的現(xiàn)值是：1 0000.891951.06-40=86.72（元）。126一般地：假設某人x歲時開始投保，經(jīng)過n年后如果仍然存活將得到k單位元的保險金，（x）存活n年的概率為 ，得到給付金的期望現(xiàn)值為：表明現(xiàn)在x歲的人有l(wèi)x個，每人存入 元，到年末在利率i的作用下，形成

30、的資金正好滿足n年末存活的人每人1元的給付。 以 表示1單位元n年純粹生存保險現(xiàn)值，即 純生存保險變換上式得，127與在復利下的現(xiàn)值系數(shù)vt和累積系數(shù)(1+i)t的作用類似，nEx是在利率和生者利下n年的折現(xiàn)系數(shù)， 為在利率和生者利下n年的累積系數(shù)。 純生存保險它是利率累積因子(1+i)t與生存累積因子之積。128年付一次生存年金的精算現(xiàn)值定義：生存年金是以生存為條件發(fā)生給付的年金。如果被保險人在規(guī)定的時期內(nèi)存活，則發(fā)生年金的收付，否則，停止收付。一般類型：終身年金、定期年金、延期年金129終身生存年金【例6.3】 張華今年30歲，從今年起，只要他存活，可以每年年初獲得1000元的給付。計算這

31、一年金的精算現(xiàn)值。解： 代入相應的存活概率和利率，就可以計算出這一年金的精算現(xiàn)值。130期首付終身生存年金一般地，對(x)的每年1單位元期首終身生存年金，其精算現(xiàn)值以表示，它是一系列保險期逐步延長的純粹生存保險之和，如下圖所示：其中， 0Ex=1，求和上限實際是-x-1，為方便通常寫成。131期末付終身生存年金對（x）每年1單位元期末付終身年金，如下圖所示：其精算現(xiàn)值以ax表示： 132定期生存年金一般地，對（x）的每年1單位元n年定期期首付生存年金，精算現(xiàn)值以 表示， 類似地，對(x)的每年1單位元n年定期期末付生存年金精算現(xiàn)值為：133對（x）的n年延期每年1單位元延期期首付年金的精算現(xiàn)值

32、以延期生存年金n年延期生存年金: 從計算時點起延遲n年開始收付的生存年金表示。根據(jù)定義,顯然，134延期生存年金n年延期的期末付終身生存年金現(xiàn)值為：同樣地， 135延期定期生存年金：延期年金和定期年金的一種組合形式。對(x)的n年延期m年定期每年1單位元期首付生存年金，是從x+n 起到x+n+m-1的生存年金。其支付情況下圖所示：其精算現(xiàn)值以 或 表示，根據(jù)定義,延期定期生存年金136對(x)的n年延期m年定期每年1單位元期末付生存年金，是從x+n+1 起到x+n+m的生存年金。其精算現(xiàn)值以延期定期生存年金或 表示，根據(jù)定義： 137期首付年金和期末付年金精算現(xiàn)值的關(guān)系式。 延期定期生存年金1

33、38連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值終身連續(xù)生存年金定期連續(xù)生存年金139連續(xù)生存年金給付現(xiàn)值延期連續(xù)生存年金延期定期連續(xù)生存年金140生存年金與壽險的關(guān)系141背景：實踐中年金常常是每半年、一季度或一個月支付一次，由于生命表不直接提供非整數(shù)年齡的存活概率和死亡概率，必須在一定的假設下近似計算。 對（x）的每年給付1元，一年給付m次的期首付終身生存年金，其精算現(xiàn)值以 表示，這一年金在每個 (k=0,1,2,)上收付1/m，直到被保險人死亡為止。年付m次生存年金 142近似公式對（x）的每年1單位元，每次1/m的期末付的終身生存年金精算現(xiàn)值對（x）的n年延期每年1單位元，一年m次收付的期末付生存年金精算現(xiàn)值

34、對（x）的n年延期每年1單位元一年m次收付的期末付生存年金精算現(xiàn)值對（x）的每年1單位元，每次1/m的期首付的終身生存年金精算現(xiàn)值143近似公式對（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：對（x）的n年定期一年m次期末付年金，精算現(xiàn)值為：144當 時，上面的年金稱為終身變額年金。變額年金：年金收付的數(shù)額隨給付時期的不同而變動。變額年金的精算現(xiàn)值是一系列收付款在利率和生者利下現(xiàn)值之和。如果對(x)的n年定期生存年金，給付額在年齡x，x+1，x+n-1上分別為 ，則精算現(xiàn)值（Actuarial Present Value，簡記為 APV）為，變額生存年金145一年給付m次，期首付變額年金精算

35、現(xiàn)值：一年給付m次，期末付變額年金精算現(xiàn)值：變額生存年金146如果年金收付額 系列為1，2，3 等差遞增，這一年金稱為標準等差遞增年金，對終身期首付標準遞增年金，其精算現(xiàn)值用 表示，如下圖所示：等差遞增生存年金 147期末付終身標準遞增年金精算現(xiàn)值，期首付n年定期標準等差遞增年金精算現(xiàn)值期末付n年定期標準等差遞增年金精算現(xiàn)值等差遞增生存年金 148等差遞增生存年金為了得出數(shù)字結(jié)果，引入轉(zhuǎn)換函數(shù)，設有，149當變額年金收付額 系列為n，n-1， 1等差遞減時，這時期首付的年金現(xiàn)值以 表示，如下圖所示：等差遞減生存年金 期末付的年金現(xiàn)值150設 ，即 上式成為，實踐中，某些給付確定型養(yǎng)老金計劃和社

36、會養(yǎng)老保險的收付額等比例遞增，這種等比例遞增的年金精算現(xiàn)值有一個簡化計算公式。如果對(x)的n年定期期首付生存年金，給付額在年齡x，x+1，x+n-1上分別為b，b(1+g)，b(1+g)2，b(1+g)n-1，其精算現(xiàn)值為，（這是一個以利率j計算的給付額為b的確定年金的精算現(xiàn)值）等比例變額生存年金151生存年金遞推公式可見，對(x)的終身生存年金的躉繳凈保費，等于永續(xù)年金與一系列逐年因死亡不能得到的將來年金部分之差。152第七章 保險費153總保費與凈保費的意義保險產(chǎn)品的出售價格就是購買保險必須繳付的總保費，或簡稱保費。理論上，保險產(chǎn)品的總保費可以分為性質(zhì)不同的兩部分，一部分是作為保險金給付

37、來源的保費，稱為凈保費或純保費另一部分是作為保險公司補償費用支出并獲得一定利潤的保費，稱為附加保費。154設保險金的現(xiàn)值為A，每次凈保費為P，每次1單位的生存年金現(xiàn)值為 ，有：均衡凈保費 A=P155一般地，對(x)的1單位元n年定期壽險，保險金在死亡年末賠付，如保險費在t年內(nèi)繳清(tn)，這時，年繳凈保費用 表示，由收支平衡關(guān)系式，有，當繳費期與保險期限相等時，用 表示年繳凈保費，定期壽險年繳凈保費 156凈保費若保險金在被保險人死亡時賠付，t年限期繳費的年繳凈保費以 表示，（在死亡均勻分布假設下） 當t=n時，以 表示年繳凈保費， （在死亡均勻分布假設下） 157對(x)的死亡年末賠付1單

38、位元終身壽險，如果規(guī)定保費每年一次終身繳付，這時保險費的現(xiàn)值是終身生存年金精算現(xiàn)值，以Px表示這一保險的年繳均衡凈保費，有，終身壽險年繳凈保費 158死亡時賠付年繳凈保費n年繳清保費、1元死亡年末賠付終身壽險的年繳凈保費n年繳清保費、1元死亡時賠付終身壽險的年繳凈保費終身壽險年繳凈保費（在死亡均勻分布假設下）實踐中，終身壽險往往采取在n年內(nèi)繳費的方式。繳費期越多，保險公司收回成本的時間越短，相應的風險就越低。（在死亡均勻分布假設下）159當t=n時，年繳凈保費以 表示，有，采取定期壽險和終身壽險相同的計算方法，很容易給出兩全保險的年繳凈保費計算公式。對(x)的1單位元n年定期兩全保險，如果死亡

39、賠付在死亡年年末，保費在t年內(nèi)每年一次、均衡繳付，tn，這時，年繳凈保費以 表示。兩全保險年繳凈保費 160兩全保險年繳凈保費t年繳清死亡時賠付兩全保險的年繳凈保費在上式中，當t=n時的年繳凈保費n年1元純粹生存保險，t年繳清的年繳凈保費161對（x）的n年延期生存年金，若年金每年支付一次，每次1單位元，保費在t年內(nèi)繳清(tn)。年繳均衡凈保費以 表示，按照保險金支付與凈保費收入的平衡關(guān)系，有，延期年金年繳凈保費 162表示每年分次等額繳費的年繳凈保費， 表示每年元繳付次的年金現(xiàn)值，表示保險金現(xiàn)值，以收支平衡原則，有，如果保費每半年、一季、一月等繳付一次，這時未來凈保費現(xiàn)值是一個一年多次收付的

40、生存年金現(xiàn)值。如果以一年多次繳費的凈保費 163一年次繳費凈保費計算公式 164一年次繳費凈保費計算公式 165一年多次繳費的凈保費期首支付，一年m次繳費的延期生存年金，年繳凈保費：期末支付，一年m次繳費的延期生存年金，年繳凈保費：166退還保費保單的凈保費【例7.10】對(x)的n 年定期壽險，如果被保險人在保險期內(nèi)死亡，除了賠付10 000 元外，還退還過去已繳凈保費的累積，假設保險賠付在死亡年年末，保險費每年繳付一次，n年付清。計算下面兩種情況下的年繳均衡凈保費。(1)退還的保費部分不計利息。(2)退還的保費部分以不同于保單預定利率i 的利率j 復利累計。(3)退還的保費部分以保單定價預

41、定利率復利累計。167例題解答(1) 設每年的凈保費為P，如果退還的保費不計息，這時，在被保險人死亡年年末退還的保費部分是過去已繳凈保費的累加，其給付以被保險人死亡為條件，故，構(gòu)成一個定期遞增的壽險，其收支平衡公式為，168例題解答(2) 如果退還的保費部分以利率j 計息，退還保費部分的給付額是一個隨被保險人死亡時間變動的年金終值。即， ，其現(xiàn)值變量為，169例題解答(3) 如果退還保費的累積利率等于預定利率，這時在(2)中的E(w)成為，170總保費在保險精算實務中，傳統(tǒng)的總保費計算方法是將總保費分解為凈保費和附加保費兩部分，在凈保費上，加上補償費用和預防不利偏差的附加保費，形成總保費，這種

42、方法稱為凈保費加成法。隨著精算技術(shù)和計算機技術(shù)的發(fā)展，考慮更多未來變動因素的現(xiàn)金流量定價法開始使用，在這種方法下，保費不需要分解為凈保費和附加保費，而是按照滿足未來賠付或給付、費用、退保、稅金、紅利等所有可能支出并獲得合理利潤的原則下，根據(jù)對未來現(xiàn)金流量的預測確定。171凈保費加成法固定比例法變動比例法三元素法172現(xiàn)金流量法現(xiàn)金流量法是通過對一組保單未來保單年度預期收入和預期支出的估計，研究保單組隨被保險人死亡、退保、分紅、滿期等的過程，在一定的定價策略和利潤目標下，給出保單的定價。在現(xiàn)金流量方法下，對一個保單組，年度收入為保單組的所有保費收入和投資收入，年度支出包括保險賠付、費用、退保、滿

43、期給付、紅利、準備金增加額等，年度利潤就是年度收入與年度支出的差。這樣，利潤= 保費+投資收入 費用賠付支出退保支出紅利準備金增加173第八章 責任準備金174準備金的意義準備金(reserve)：為將來某項支出而預先留存的儲備金，是將來給付支出現(xiàn)值與將來凈保費收入現(xiàn)值之差。 準備金數(shù)額由準備金計算方法、相關(guān)的保險法律、法規(guī)、會計實務標準等決定。在保險實踐中，給付準備金的積累保證了保險公司的到期償付能力。 175準備金的種類 償付能力準備金(Solvency Reserves) ：為評估保險公司的償付能力而計算的準備金。 收入準備金(Earnings Reserves) ：為評估收入和盈利而計

44、算的準備金。(收益=保費收入+投資收入賠付支出展業(yè)費用維持費用準備金提存)稅收準備金(Tax Reserves) ：為評估應稅收入或應稅收益而計算的準備金。 176凈保費責任準備金計算方法未來法（prospective method） ：責任準備金是保險人未來的凈責任，用未來給付現(xiàn)值減去未來凈保費現(xiàn)值來衡量。過去法（retrospective method） ：責任準備金是保險人過去凈保費收入大于賠付支出的部分，用過去凈保費終值減去過去給付的保險金終值計算。 177將來法引例8.1 假如有100個40歲的人同時投保1 000元5年定期壽險，保費在5年內(nèi)均衡繳付。設預定利率為6，預定死亡率采用C

45、L 90-93表數(shù)據(jù)，保費繳付在保單年初，保險賠付在保單年末，不考慮費用、退保和分紅等。計算未來5年的預期凈保費收入和預期賠付支出。178解答人均年繳均衡凈保費為，預期凈保費收入、預期賠付支出，如下表所示，179180推導1從表中數(shù)據(jù)可見，在2年內(nèi)，當年凈保費收入大于當年保險賠付支出，凈保費有結(jié)余；但從3年起，當年凈保費收入不足當年賠付支出。為了保證賠付，必須動用過去積累的準備金。 準備金的數(shù)額正是保證未來賠付支出超出未來凈保費收入的金額。 某時點的給付準備金+未來凈保費收入現(xiàn)值=未來賠付支出現(xiàn)值某時點的給付準備金=未來賠付支出現(xiàn)值-未來凈保費收入現(xiàn)值181推導2 引例8.1中，未來凈保費收入

46、和賠付支出現(xiàn)金流如下圖所示： 依據(jù)上面現(xiàn)金流，可以計算凈保費收入和賠付支出的現(xiàn)值，以及各年的給付準備金。182第1年末的給付準備金總額=1 140.305-1 098.75=41.329(元)第1年末人均給付準備金=41.329/99.72 =0.414(元)第2年末，未來賠付支出現(xiàn)值=第1年末，未來賠付支出現(xiàn)值=推導3 未來凈保費收入現(xiàn)值= 未來凈保費收入現(xiàn)值=第2年末的給付準備金=910.373-846.340=65.033 (元)第2年末人均給付準備金=65.033/99.42=0.654 (元)人均給付準備金正是每張有效保單需要積存的準備金數(shù)額。183對于（x）歲的1單位元終身壽險，如

47、果保費每年繳付一次、終身繳付，假設死亡賠付在死亡年年末。這時，年繳凈保費為 ，在投保后第k年末，未來給付的精算現(xiàn)值為 ，未來凈保費的精算現(xiàn)值為 ，k年末的給付準備金用 表示，有，終身壽險責任準備金 184如果終身壽險的保險費在h年內(nèi)繳清，k年末的責任準備金用 表示。k年末的未來保費繳付期為h-k，當kh時，未來凈保費現(xiàn)值為 ，當kh時，未來凈保費現(xiàn)值為0。因此，有，保險費在h年內(nèi)繳清185如果終身壽險限期在h年繳費， 表示為k年末責任準備金如果保費一年繳付m次，這時， 表示為終身壽險終身繳費的t年末責任準備金保費一年繳付m次186如果保險費每年一次，h年限期繳清，這時，t年末的準備金 為，如果

48、終身壽險在死亡時賠付，相應的k年末保險金現(xiàn)值為 ，對每年一次的終身繳費壽險，責任準備金相應的表示為保費一年繳付m次187定期壽險責任準備金定期壽險給付準備金的計算公式與終身壽險類似，對(x)的1單位元n年死亡年末賠付定期壽險，如果保險費每年一次、n年繳清，k年末的給付準備金為，188定期壽險責任準備金如果保費在h年內(nèi)繳付，（hn），k年末的給付準備金為，189定期壽險責任準備金如果保費在h年內(nèi)繳付（hn）、一年m次，k年末的給付準備金為， 190定期壽險責任準備金如果死亡賠付在死亡時，上面的保險k年末給付準備金為，在均勻死亡假定下，其他的計算方法同上 191對于兩全保險，合同到期時保險公司將要

49、支付被保險人生存保險金，從而最后一年末單位保額兩全保險的責任準備金應該等于1。對(x)的n年兩全保險，如果死亡賠付在死亡年年末，保險費在h年內(nèi)繳清、每年一次，(hn)，k年末的給付準備金為，兩全保險給付準備金192如果n年兩全保險的繳費在h年內(nèi)、每年m次，k年末的給付準備金為，兩全保險給付準備金193如果h年限期繳費的n年兩全保險，死亡賠付在死亡年年末，k年末的給付準備金為，兩全保險給付準備金194延期年金給付準備金對于(x)的延期n年生存年金保險，保險費在n年內(nèi)每年繳付一次，第k年年末的給付準備金為：195過去法引例8.2 在前面引例8.1中，可以進一步計算出凈保費收入與賠付支出的累積收支差

50、，以及人均累計收支差。列入下表 人均累積收支差就是過去法下的責任準備金。196過去法給付準備金是計算時點過去凈保費收入終值與過去賠付金支出終值之差，即，時點過去凈保費的累計值與過去賠付支出累計值的差額。對(x)的1單位元死亡年末賠付終身壽險，如果保險費終身繳付、每年一次，這時，第k年末過去凈保費終值為 ，第k年末過去賠付金在投保時的現(xiàn)值為 ，它在利率和生存概率下累積到k年末的終值為 ，因此，第k年末的給付準備金為，過去法 197如果終身壽險的保費在h年內(nèi)定期繳付，這時，當kh時，過去凈保費累積到h年末為 ，再累積到k年末為 ，過去法終身壽險責任準備金從而，在不同時間點上準備金的計算公式為，19

51、8對n年繳費的n年兩全保險，n年內(nèi)過去保險給付的終值為 ，注意這一終值不是 ，因為只有在n年末才有滿期生存給付，n年內(nèi)只是定期壽險，在第n年，準備金的數(shù)額應該正好等于生存給付額，從而有，過去法在不同險種的運用199過去法在不同險種的運用對(x)的1單位元n年延期生存年金，保險費在n年內(nèi)定期繳付，200根據(jù)具體問題選擇使用將來法和過去法中較為簡單方便的一種。一般地，計算已繳清保費后某個時刻的給付準備金時，用將來法更方便，因為這種情況下未來只有保險金給付，沒有保費繳付。 比如，當kn時， ， 等，計算起來比較簡單。計算尚未進入保險給付期的某時刻給付準備金，用過去法更簡單，因為這種情況下只有保險費繳

52、付，沒有保險金給付。 比如，當kn時， 。將來法和過去法的選擇 201相鄰兩期給付準備金之間具有遞推關(guān)系，了解這種關(guān)系，對于深入認識準備金的實質(zhì)具有重要意義。對(x)的1單位元死亡年末賠付終身壽險，保費每年一次、終身繳付。k年末將來法給付準備金的計算公式為：給付準備金的遞推公式 上式兩邊同加保費Px 由，可以得到kVx與k+1Vx之間的關(guān)系202這一等式表明，k年末的給付準備金 加上t+1年初的凈保費收入 ，正好等于k+1年的死亡給付在k年末的現(xiàn)值 與t+1年末給付準備金在利率和生者利下在t年末的現(xiàn)值給付準備金的遞推公式 203給付準備金的遞推公式每年的凈保費Px正好滿足死亡給付和相鄰兩期給付

53、準備金的差額。lx+k人k年末的給付準備金加他們繳付的凈保費的總和在k+1年末等于在第k+1年發(fā)生的死亡每人1單位元的給付額和k+1年末的給付準備金。 每年的凈保費一方面是為保險人承擔的風險凈額的繳費，一方面是為增加給付準備金的繳費。 204給付準備金的遞推公式法克勒(Fackler)準備金累計公式： 第n年末的給付準備金等于每年凈保費的累積與保險成本累積的差額?？梢詮?V=0出發(fā)，在已知保單凈保費下，依次計算出1V，2V，等。對n年定期保險，如果已知nV，可到推出n-1V，n-2V等。 205會計年度末給付準備金 保險年度又稱契約年度，是從保險契約成立日為起點的年度，即從契約成立日到下年同一

54、日為一年。會計年度又稱業(yè)務年度，通常等同于日歷年度，會計年度末的給付準備金是保險公司在年度決算日的累積給付準備金，它可以由保險年度末給付準備金推算出來。206會計年度末給付準備金 對(x)的終身壽險，假設在第j+1保險年度末死亡給付為bj+1，每年凈保費為Pj，在j+1年初繳付，j=0,1,2。由給付準備金的遞推公式，對t為整數(shù)，0h1，t+h時點的給付準備金t+hV為，在死亡均勻分布假設下 ，有(1)(2)(3)207上式可以計算會計年度末的給付準備金。其中tV為保險年度末給付準備金，t+hV為會計年度末給付準備金。實踐中，當i，qx+t很小時，1+i，px+t， 及1-hqx+t可大約近似

55、為1，此時會計年度末給付準備金208會計年度末給付準備金計算示意圖 209假設死亡給付在保險年度末，當0h1/2時，對t+h時點的給付準備金 ，有，半年一次繳付的情況 在死亡均勻分布假設下，有，當1/2h1時，遞推公式可以近似為， 210一年m次繳費時，若h為 的整數(shù)倍數(shù)，設 ，k為整數(shù)時，有，一年m次繳費的情況若 ，k為整數(shù)， 時，有，211修正的凈保費責任準備金一種常用的解決保單第一年費用超支的方法是費用占用一部分凈保費，少提準備金，再從以后各年收取的營業(yè)費用中逐年歸還，以補足第一年應提的準備金數(shù)額。這種對均衡凈保費責任準備金進行調(diào)整的方法稱為修正的責任準備金方法。每年均衡保費為G，均衡凈

56、保費為P，均衡附加保費為G-P。假設保單第一年由費用占用一部分凈保費，使凈保費成為，第二年到第k 年由費用的歸還，實際凈保費成為，k 為保費調(diào)整期，n 為保費繳付期212修正的凈保費責任準備金的一般方法以均衡凈保費現(xiàn)值等于實際凈保費現(xiàn)值作為計算調(diào)整后凈保費的平衡公式213修正的凈保費責任準備金的一般方法修正的給付準備金以V mod 表示，采用與均衡凈保費責任準備金相同的計算方法，在調(diào)整的凈保費下，可以計算出修正的責任準備金。當tkn 時，用將來法，有 用過去法時，有當tk 時，t 年末的責任準備金就是均衡凈保費給付準備金。214完全初年定期修正法把第一年凈保費規(guī)定為一年定期壽險現(xiàn)值，并在整個繳

57、費期修正責任準備金的方法稱為完全初年定期修正法（Full Preliminary Term），簡稱為FPT 法。在完全初年定期修正法下，第一年的凈保費用 FPT 表示，第二年以后的凈保費用 FPT 表示，k 年末的責任準備金用kVFPT表示。A(1)表示在x+1 歲時一保險的現(xiàn)值，則215對(x)的m 年1 單位元兩全保險，繳費期為n，則，完全初年定期修正法216將來法：其中， 和 分別表示t時刻未來保險金和生存年金現(xiàn)值。過去法：其中， 和 分別表示t時刻過去生存年金和已付保險金終值。本章小結(jié)分別表示t時刻過去生存年金和已付保險金終值。1給付責任準備金的計算方法有將來法和過去法兩種。217本章

58、小結(jié)2給付準備金基本遞推關(guān)系： 3會計年度末的給付準備金是保險公司在年度決算日的累積給付準備金，它可以由保險年度末給付準備金推算出來。在死亡均勻假設下，可近似為： 是t年末和t+1年末給付準備金的線性插值與t+h時點未經(jīng)過保費之和。 218第九章 聯(lián)合保險219聯(lián)合生存狀態(tài)聯(lián)合生存狀態(tài)(joint-life status)是以投保集團中每個成員都存活為狀態(tài)生存，以集團中的第一個發(fā)生死亡為狀態(tài)死亡的狀態(tài)。設聯(lián)合投保集團是由年齡分別為 x1 , x2 , , xm 的m 個個體組成，其聯(lián)合生存狀態(tài)表示為(x1,x2 , , xm)。在獨立性假設下，聯(lián)合生存狀態(tài)(xy)至少“存活”到時間t 的概率t

59、 pxy滿足對F T(t) 關(guān)于t 求導，可得T 的概率密度函數(shù)220聯(lián)合生存狀態(tài)在獨立性假設下，時間t 狀況(xy)的“死亡”力以xy(t) 表示在第k 個整數(shù)年中，聯(lián)合生存狀況(xy)的“死亡”概率為聯(lián)合生存狀況(x+k:y+k)在一年內(nèi)“死亡”的概率可用個體死亡概率寫成聯(lián)合生存狀況(xy)在第k+1 年死亡的概率為221最后生存狀況最后生存狀態(tài)是以投保集團中至少一個成員存活為狀態(tài)的存活，以全部成員的死亡為狀態(tài)的死亡的狀態(tài)。最后生存狀況的余壽為， T= maxT (x1), T(x2), T(xm) ，假設狀況中個體的余壽隨機變量相互獨立。有，222最后生存狀況223聯(lián)合狀態(tài)余壽隨機變量期

60、望值對于一般狀況（u），其余壽T=T(u)，根據(jù)余壽均值的定義，有，如（u）是聯(lián)合生存狀況（xy），則對最后生存狀況，則有可以得到以下關(guān)系224聯(lián)合狀態(tài)下的精算現(xiàn)值對于一般狀態(tài)（u），壽險現(xiàn)值A(chǔ) u是狀況（u）的整值余壽變量K=K(u)在K +1年末賠付的精算現(xiàn)值。對于在狀況（u）“死亡”時賠付1 單位元的保險，保單生效時的現(xiàn)值隨機變量和躉繳凈保費分別為，具體地，對于聯(lián)合生存狀況(xy)，有由獨立性假設，上式可寫成225聯(lián)合狀態(tài)下的精算現(xiàn)值對于每年連續(xù)支付1 單位直至狀況（u）“死亡”的生存年金，有對于聯(lián)合生存狀況(xy)，即只有在兩人同時存活時才支付年金，有226最后生存狀況與聯(lián)合生存狀況2