第11章-機械波基礎(chǔ)-課件

1、波 動第十一章（Wave）1第十一章 機械波基礎(chǔ)11.1 機械波的形成與傳播 11.2 平面簡諧波的表達(dá)式 波動微分方程11.3 波的能量與能流11.4 聲波*11.5 惠更斯原理11.6 波的疊加原理 波的干涉11.7 駐波 半波損失11.8 多普勒效應(yīng)2波動是振動的傳播過程.振動是激發(fā)波動的波源.機械波電磁波波動機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播.交變電磁場在空間的傳播.兩類波的不同之處機械波的傳播需有傳播振動的介質(zhì);電磁波的傳播可不需介質(zhì).能量傳播反射折射干涉衍射兩類波的共同特征前言3波源介質(zhì)+彈性作用機械波一 機械波的形成產(chǎn)生條件：1）波源；2）彈性介質(zhì). 波是運動狀態(tài)的傳播，介質(zhì)的質(zhì)點并不隨

2、波傳播.注意機械波：機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播.11.1 機械波的形成與傳播4橫波：質(zhì)點振動方向與波的傳播方向相垂直的波.（僅在固體中傳播 ）二 橫波與縱波 特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷.5縱波：質(zhì)點振動方向與波的傳播方向互相平行的波.（可在固體、液體和氣體中傳播） 特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部.6水的流動性和不可壓縮性作二維運動縱向運動橫向運動作(橢)圓運動水表面的波既非橫波又非縱波：水波中水質(zhì)元問：水波是縱波還是橫波？答：水波即不是是縱波也不是橫波是混合波。橫波縱波7波線（wave line）表示波的傳播方向的射線（波射線）波面（wave surface）媒質(zhì)振動相位相同的點組成的面（

3、同相面）波前（wave front）某時刻波到達(dá)的最前面的波(振)面球面波平面波波線 波面波前波前波振面是平面的波三 波線 波面 波前8*球 面 波平 面 波波前波面波線9四 波長 波的周期和頻率 波速 波長 ：沿波的傳播方向，兩個相鄰的、相位差為 的振動質(zhì)點之間的距離，即一個完整波形的長度.OyAA-10 周期 ：波前進(jìn)一個波長的距離所需要的時間. 頻率 ：周期的倒數(shù)，即單位時間內(nèi)波動所傳播的完整波的數(shù)目. 波速 ：波動過程中，某一振動狀態(tài)（即振動相位）單位時間內(nèi)所傳播的距離（相速）.注意周期或頻率只決定于波源的振動!波速只決定于媒質(zhì)的性質(zhì)！11波速 與介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)， 為介質(zhì)的密度.如聲音

4、的傳播速度空氣，常溫左右，混凝土橫 波固體縱 波液、氣體G切變模量Y彈性模量B體積模量12 例1 在室溫下，已知空氣中的聲速 為340 m/s，水中的聲速 為1450 m/s ，求頻率為200 Hz和2000 Hz 的聲波在空氣中和水中的波長各為多少？在水中的波長解由 ，頻率為200 Hz和2000 Hz 的聲波在空氣中的波長周期或頻率只決定于波源的振動!波速決定于媒質(zhì)的性質(zhì)！13一、 簡諧波（simple harmonic wave）波稱為簡諧波（余弦波）如果波傳播的擾動是簡諧振動的話，這樣的一維平面簡諧波的表達(dá)式（波函數(shù)）以機械波的橫波為例，設(shè)平面波沿 x方向以速度 u 傳播，媒質(zhì)均勻、無

5、限大，無吸收。11.2 平面簡諧波的表達(dá)式 波動微分方程14或：沿波的傳播方向,各質(zhì)元的相位依次落后。 抓住概念：某時刻某質(zhì)元的相位（振動狀態(tài)） 將在較晚時刻于“下游”某處出現(xiàn)。如何寫出平面（一維）簡諧波的波函數(shù)？ 須知三個條件： 1. 某參考點的振動方程( A, , ) 2. 波長 (或 u)u T 3. 波的傳播方向15點 P以速度u 沿 x 軸正向傳播的平面簡諧波。取平衡位置在坐標(biāo)原點o處的質(zhì)元作參考，o點的振動表達(dá)式為：時間推遲方法，設(shè)任意一點 p 坐標(biāo)為 x方法一：（或由運動的重復(fù)關(guān)系）點O 的振動狀態(tài)16t 時刻點 P 的運動 時刻點O 的運動則點P 振動方程: 波函數(shù)P*O17點

6、 P 比點 O 落后的相位：P*O相位落后法由相位關(guān)系：P點相位落后波源o的振動相位，所以就在o點振動表達(dá)式的基礎(chǔ)上改變相位因子就得到了P的振動表達(dá)式解法二：18O點 P 振動方程: 波函數(shù)19 波動方程的其它形式波數(shù)波數(shù)-表示單位長度上波的相位變化 波動方程的復(fù)數(shù)表示20 質(zhì)點的振動速度，加速度：211)向x軸負(fù)向傳播向x軸正向傳播平面諧波一般表達(dá)：負(fù)（正）號代表向 x 正（負(fù)）向傳播的簡諧波討論222）波的表達(dá)式的物理意義當(dāng)坐標(biāo) x 確定(即考察波線上的某一點) 表達(dá)式變成t 關(guān)系 表達(dá)了 x 點的振動 如圖：Ttox點的振動曲線23波線上各點的簡諧運動圖24 當(dāng)時刻 t 確定(即某一瞬時

7、) 表達(dá)式變成-x關(guān)系 表達(dá)了 t 時刻空間各 點移分布波形圖 如圖:xot 時刻的波形曲線（空間周期）25 ab x = x2 - x1xu傳播方向圖中b點比a點的相位落后：從波形圖可看出在同一時刻，距波源 o 分別為x1、x2兩質(zhì)點的相位差:（記住?。?6當(dāng) x、t 都變化時 表達(dá)了波線上所有質(zhì)元在各個時刻的位移，波函數(shù)表示波形沿傳播方向的運動情況（行波） 如圖：xot 時刻的波形曲線（ 亦稱空間周期）t + 時刻的波形曲線所以波動方程描述了波形的傳播27OO 時刻時刻28 1）波動方程？ 例1 一平面簡諧波沿 O x 軸正方向傳播， 已知振幅 ， ， . 在 時坐標(biāo)原點處的質(zhì)點位于平衡位

8、置沿 O y 軸正方向運動 . 求 解 ： 寫出波動方程的標(biāo)準(zhǔn)式O292）求 波形圖.波形方程o2.01.0-1.0 時刻波形圖303） 處質(zhì)點的振動規(guī)律并做圖 . 處質(zhì)點的振動方程01.0-1.02.0O1234*1234處質(zhì)點的振動曲線1.031 例2 一平面簡諧波以速度 沿直線傳播,波線上點 A 的簡諧運動方程 .1）以 A 為坐標(biāo)原點，寫出波動方程ABCD5m9m8m322）以 B 為坐標(biāo)原點，寫出波動方程ABCD5m9m8m333）寫出傳播方向上點C、點D 的簡諧運動方程ABCD5m9m8m點 C 的相位比點 A 超前點 D 的相位落后于點 A 344）分別求出 BC ，CD 兩點間

9、的相位差A(yù)BCD5m9m8m35一.機械波的能量 能量密度1. 機械波的能量每個質(zhì)元振動所具有的動能每個質(zhì)元形變所具有的勢能之和11.3 波的能量 和能流以沿 x 軸傳播的平面簡諧橫波為例：質(zhì)量質(zhì)量線密度36質(zhì)元振動的動能質(zhì)元形變勢能由波的表達(dá)式:(彈性勢能 =彈性拉力作的功)二項式定理展開略高次項37線元總機械能:38 質(zhì)元總能量振動系統(tǒng)：系統(tǒng)與外界無能量交換。波動質(zhì)元：每個質(zhì)元都與周圍媒質(zhì)交換能量。行波-通常指有振動狀態(tài)和能量傳播的波。（與駐波區(qū)別）討論393、平均能量密度2、能量密度（energy density）：（特征）- 單位體積中波的能量- 一周期內(nèi)能量密度的平均值402.平均能

10、流二、能流密度(功率密度) 波的強度 1.能流 單位時間內(nèi)通過某面積 的能量- 一周期內(nèi)能流的平均值41二、 能流密度(功率密度) 波的強度 3.能流密度（energy flux density） 單位時間內(nèi)垂直通過單位面積的能量(即通過單位面積的能流)4.平均能流密度（也稱波的強度）(記住!)普適結(jié)論42 利用 和能量守恒，可以證明，對無吸收媒質(zhì)，有：平面波球面波 柱面波 r 場點到波源的距離三、平面波和球面波的振幅能流密度是矢量，其方向與波速方向相同。43例:在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波在行進(jìn)方向上振幅不變。所以： 證 介質(zhì)無吸收，通過兩個平面的平均能流相等.44例 證明球面波的振

11、幅與離開其波源的距離成反比，并求球面簡諧波的波函數(shù). 證 介質(zhì)無吸收，通過兩個球面的平均能流相等.即式中 為離開波源的距離， 為 處的振幅.45一平面簡諧波在彈性媒質(zhì)中傳播時，某一時刻在傳播方向上媒質(zhì)中某質(zhì)元在負(fù)的最大位移處，則它的能量是： ？（1）動能為零，勢能最大；（2）動能為零，勢能為零；（3）動能最大，勢能最大；（4）動能最大，勢能為零。（2）提示：自測題：46一平面簡諧波，頻率為300HZ，波速為340米/秒，在截面積為 的管內(nèi)空氣中傳播，若在10秒內(nèi)通過截面的能量為 ，求：（1）通過截面的平均能流；（2）波的平均能流密度；（3）波的平均能量密度？【解】：（1）通過截面的平均能流:自

12、測題：47（2）波的平均能流密度:（3）波的平均能量密度:4811.5 惠更斯原理（Huygens principle） 前面討論了波動的基本概念，現(xiàn)在討論與波的傳播特性有關(guān)的現(xiàn)象、原理和規(guī)律。 由于某些原因，波在傳播中，其傳播方向、頻率和振幅都有可能改變。惠更斯原理給出的方法（惠更斯幾何作圖法）是一種處理波傳播方向的普遍方法。49一、惠更斯原理1、 原理內(nèi)容: 媒質(zhì)中任意波面上的各點，都可看作是發(fā)射子波（次級波）的波源（點源），其后的任一時刻，這些子波面的包絡(luò)面（包跡）就是波在該時刻的波前。2、 原理的應(yīng)用:已知 t 時刻的波面 t+t 時刻的波面，從而可進(jìn)一步給出波的傳播方向。50t+t時

13、刻波面ut波傳播方向t 時刻波面平面波t + t球面波例如，均勻各向同性媒質(zhì)內(nèi)波的傳播：ut51大量實驗說明了惠更斯原理的正確性。不足:(1)不能正確說明某些波動現(xiàn)象(如干涉)；二. 波的衍射（wave diffraction）衍射：波傳播過程中，當(dāng)遇到障礙物時，能繞過障礙物邊緣而偏離直線傳播的現(xiàn)象。(2)沒有說明各個子波在傳播中對某一點的振動空究竟有多少貢獻(xiàn)。52入射波衍射波障礙物入射波衍射波障礙物a例如：相對于波長而言，障礙物的線度越大衍射現(xiàn)象越不明顯;障礙物的線度越小衍射現(xiàn)象越明顯。波通過小孔波的衍射現(xiàn)象可用惠更斯原理解釋。53一 波的疊加原理 幾列波相遇之后， 仍然保持它們各自原有的特

14、征（頻率、波長、振幅、振動方向等）不變，并按照原來的方向繼續(xù)前進(jìn)，好象沒有遇到過其他波一樣. 在相遇區(qū)域內(nèi)任一點的振動，為各列波單獨存在時在該點所引起的振動位移的矢量和.11.6 波的疊加原理 波的干涉54波的獨立傳播原理：有幾列波同時在媒質(zhì)中傳播時，它們的傳播特性（波長、頻率、波速、波形）不會因其它波的存在而發(fā)生影響趣稱：和平共處55細(xì)雨綿綿獨立傳播56 （仍可辨出不同樂器的音色、旋律） 紅、綠光束空間交叉相遇（紅仍是紅、綠仍是綠）（仍能分別接收不同的電臺廣播） 聽樂隊演奏 空中無線電波很多波的疊加原理：在它們相遇處，質(zhì)元的位移為各波單獨在該處幾列波可以保持各自的特點（方向、振幅、波長、頻率

15、）同時通過同一媒質(zhì)，產(chǎn)生位移的矢量和。日?，F(xiàn)象：57 疊加原理由波動方程的線性所決定，當(dāng)波強度過大時 (如爆炸聲,強激光) ，媒質(zhì)形變與彈力的關(guān)系不再呈線性，疊加原理也就不再成立了。 對于電磁波的情形：其解同樣滿足疊加原理。麥克斯韋方程組的各個方程都是線性的，則如果 D = E 和 B = H 也是線性關(guān)系，E或H的每個分量的波動方程也是線性方程。附注:58二 、波的干涉現(xiàn)象 波疊加時在空間出現(xiàn)穩(wěn)定的振動加強和減弱的分布叫波的干涉。水波盤中水波的干涉59頻率相同、振動方向相同、相位差恒定的兩列波相遇時，使某些地方振動始終加強，而使另一些地方振動始終減弱的現(xiàn)象，稱為波的干涉現(xiàn)象.波的干涉60 相

16、干條件： 頻率相同； 振動方向相同； 有恒定的相位差。能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的波稱干涉波其波源稱相干波源以下分析干涉現(xiàn)象的產(chǎn)生及確定干涉加強和減弱的條件?61設(shè)兩相距很近的相干波若兩波源分別經(jīng)r1 , r2 , 到P點相遇,且振幅分別為A1 , A2，則在P點引起的分振動分別是：*62相位差: P點合振動：合振幅強度加強、減弱條件：63 加強條件 (干涉相長 ) 由知（干涉相長）若 A1 = A2 , 則 Imax = 4 I1振動始終加強64 減弱條件 (干涉相消)（干涉相消） 若 A1=A2 ,則 Imin= 0干涉是能量的重新分布振動始終減弱65 加強條件 減弱條件 20= 10特例：波程差相位

17、差P70頁例11.4即討論僅因波程差引起的相位差其他66 例 如圖所示，A、B 兩點為同一介質(zhì)中兩相干波源.其振幅皆為5cm，頻率皆為100Hz，但當(dāng)點 A 為波峰時，點B 適為波谷.設(shè)波速為10m/s，試寫出由A、B發(fā)出的兩列波傳到點P 時干涉的結(jié)果.解:15m20mABP 設(shè) A 的相位較 B 超前，則 .點P 合振幅6711.7 駐波（standing wave）下面研究一種特殊的、常見的干涉現(xiàn)象一、 駐波的形成能夠傳播的波叫行波（travelling wave）。兩列振幅相等的相干的行波沿相反方向傳播而疊加時，就形成駐波，它是一種常見的重要干涉現(xiàn)象。駐波的形成682At = 0y0 x

18、0t = T/8xx0t = T/20 xt = T/4波節(jié)波腹/4-/4x02A-2A/2xt = 3T/8069 設(shè)兩列行波分別沿 x 軸的正向和反向傳播，二、 駐波表達(dá)式 駐波的特點設(shè)在 x = 0 處兩波的初相均為 0，則：1、駐波表達(dá)式70yA合A2A1令如圖 不具備傳 播的特征表示各點都做簡諧振動，振幅隨位置不同而不同.上式不滿足:.不是行波.駐波的振幅與位置有關(guān)各質(zhì)點都在作同頻率的簡諧運動71波腹：振幅最大與干涉加強條件得到的結(jié)果相同波節(jié)波腹72波節(jié)：振幅為零與干涉減弱條件得到的結(jié)果相同始終不振動波節(jié)波腹732.駐波的特點：振幅各處不等大，波腹 (2A) , 波節(jié)(0)。振幅：

19、駐波是分段的振動，設(shè)兩相鄰波節(jié)間為一段,則 相位中沒有x 坐標(biāo)，故相位并不傳播駐波。相位：相鄰波腹（節(jié)）間距 相鄰波腹和波節(jié)間距74必一正一負(fù)。 相鄰兩段中各點振動 相位相反。（為什么？）因為，相鄰兩段的同一段中各點振動相位相同；75合能流密度為平均說來沒有能量的傳播，但各質(zhì)元間仍有能量的交換。能量由兩端向中間傳，瞬時位移為0，勢能為0，能量由中間向兩端傳，動能最大。動能勢能。 能量：勢能動能。76例題：如圖所示可以是某時刻的駐波波形,也可以是某時刻的行波波形,圖中 為波長.就駐波而言, x1 , x2 兩點間的相位差為_;就行波而言, x1 , x2 兩點間的相位差_?y(m)x(m)A0-

20、Ax1x277三、“半波損失”0反射波 y1入射波 y1xn大 波密媒質(zhì)n小 波疏媒質(zhì)相對而言（2）波疏波密，反射波有相位突變，（1）波密波疏，反射波和入射波同相，無半波損失。半波損失78如下圖示：入射波反射波另外一種描述：（1）反射端為自由端，無半波損失; （2）反射端為固定端，有半波損失。79入射和反射波的波形如下：波腹相位不變波疏媒質(zhì)波密媒質(zhì)x駐波波節(jié)駐波相位突變 波疏媒質(zhì)波密媒質(zhì)x入射波入射波反射波反射波波密波疏波疏波密80 波在一定邊界內(nèi)傳播時就會形成各種駐波。如兩端固定的弦，L或系統(tǒng)的固有頻率或簡正頻率T 弦中的張力波速形成駐波必須滿足以下條件： 弦的線密度四、兩端固定的弦中的駐波

21、81基頻n =1二次諧頻n =2三次諧頻n =3 每種可能的穩(wěn)定振動方式稱作系統(tǒng)的一個固有振動或簡正模式注意：駐波的波形和能量都“不傳播”，所以不是波動，而是一種特殊形式的振動。82一沿x軸方向傳播的入射波的表達(dá)式為 ，在x = 0處發(fā)生反射，反射點為一節(jié)點，求：（1）反射波的表達(dá)式；（2）駐波的表達(dá)式；（3）波節(jié)、波腹的位置坐標(biāo)?！窘狻浚豪}P76頁11.6（1）由題意知，波反射時有 的相位突變，所以反射波的表達(dá)式為83（2）據(jù)波的疊加原理，駐波的表達(dá)式為：（3）形成波節(jié)的各點，振幅為零，則：84即：形成波腹的各點，振幅最大，則：位置坐標(biāo)：85即：位置坐標(biāo)：位置坐標(biāo)如圖示：86例題：沿弦線傳

22、播的一入射波在x=L處（B點）發(fā)生反射，反射點為自由端，設(shè)振幅不變，且反射波的表達(dá)式為 ，則入射波的表達(dá)式為： ？y0LBx【解】：B為反射波的波源，其振動方程為：O為B點的波源，其振動方程為：87沿波線上任取一點，它到參考點的距離為x，其振動方程為：88發(fā)射頻率接收頻率人耳聽到的聲音的頻率與聲源的頻率相同嗎？ 接收頻率單位時間內(nèi)觀測者接收到的振動次數(shù)或完整波數(shù).只有波源與觀察者相對靜止時才相等.11.8 多普勒效應(yīng) (Doppler effect)89 多普勒效應(yīng)：由于波源和觀察者的運動，而使觀測的頻率不同于波源頻率的現(xiàn)象。一、機械波的多普勒效應(yīng)設(shè) 運動在波源 S 和觀測者R的連線方向上，以二者相向運動的方向為速度的正方向。uvS 0vR 0SR(波的頻率)（對媒質(zhì)）（對媒質(zhì)）（波源頻率）（觀測頻率）90一 波源不動，觀察者相對介質(zhì)以速度 運動91此時，uSvS = 0RvRvR 0(R接近S)，vR 0R,S反向(彼此遠(yuǎn)離)運動，vs, vR0,故有:警車駛離觀察者時,Vs 0,VR 0,則上式為:(2)聲波(警車)與客車上的觀察者作同向運動時,觀察者接收的頻率為:101第1題. 已知一沿 x 軸負(fù)向傳播的平面簡諧波在t = 2s 時的波形曲線如圖所示,寫出原點的振動表達(dá)