現值與凈現值

1、第三章現值與凈現值第二章介紹了財務管理中最重要的概念：貨幣的時間價值(time value of money)。貨幣的時間價值決定本期貨幣和未來期間貨幣間的關系。未來的現 金流量若考慮到時間因素時，不同時點的貨幣價值應如何轉換以本期貨幣來衡 量？我們并說明現值的概念將下一期的現金流量轉換以本期貨幣來衡量。本章將現值的概念由一期的延伸至多期。設想某廠商正考慮一個投資計劃，這個計劃需要本期1000萬元的資本支出，從明年開始的往后九年，預計每年將有 200萬元的投資收益。請問該廠商 應否選擇這個投資計劃？通常，看到這些數字后，最直接的反應是：每年 200 萬元，九年就有1800萬元的收益，1800萬

2、元大于今年1000萬元的資本支出， 所以，廠商應選擇這個投資計劃。在計算投資收益時，顯然是將明年的200萬元和后年的200萬元，甚至往后七年的200萬元皆視為相同的貨幣價值來處理。 其次，今年1000萬元的資本支出是確定的支出，但往后九年每年 200萬元的 收益卻只是推估預測值，由于投資收益受當時的景氣影響，它有不確定性存在。以上的討論看出，一旦涉及時間因素，至少有兩個問題值得探討：本期的 200萬元和未來的200萬元是否等值？若不等值，應如何將不同時間的現金流 量轉換為相同的貨幣價值？由于未來涉及不確定性投資決策者應如何考慮風 險因素？首先，我們將以下面的例子說明第二章已介紹過的現值以及終值

3、的概 念： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 例子：朱勝現任K&K公司財務經理，該公司現正考慮利用自有資金購買； 一塊位于恒春的土地，土地成本為一億元。由于墾丁公園觀光人數呈現：;快速成長，K&K公司估計這塊土地到了下一期的價值將增為 1億1500 : ：萬元。也就是說，這筆土地若在下一期出售，其資本利得為1500萬元。：I假設目前均衡利率為10%,請問K&K公司應不應該購買這塊土地？：|首先，這個購地計劃的現金流量圖為：Ii:現金流入1億1500萬元 TOC o 1-5 h z tI01現金流出 -1億元；朱勝接到決

4、策階層指示后提出評估報告，他認為這一億元若存放在，銀行，下一期K&K公司本金加利息的收入合計為：，1.1 x 1億元=1億1000萬元?！敬隧検找婧拖乱黄谕恋厥蹆r1億1500萬元相比，K&K公司當然要選擇： :購地計劃。因為，下一期出售土地預期收益1億1500萬元，比存放在銀： TOC o 1-5 h z 行的收益1億1000萬元要多出500萬元。這種計算方式是以投資收益的：終值做為評估投資計劃的比較基準。，I先勝亦可利用凈現值來比較投資計劃的收益。假設朱胖以均衡利率:10%做為折現率，下一期出售土地所得價款的現值為：，i115,000,000-PV= =104,545,455 元。1.1:由

5、于下一期收益的現值大于本期為取得土地所付出的價款，此購地計劃；的凈現值為正：.:115,000,000 元NPV = -100,000,000 元 + 0,1.1:朱勝遂建議K&K公司接受購地計劃。:Ii TOC o 1-5 h z 凈現值在投資決策過程中，扮演極重要的角色。NPV以通式表示：為：NPV= - COST+PV ,II:也就是說，NPV是未來各期收益的現值扣除本期資本支出的現值（或當：期資本支出）。，I:在上面的例子中，我們都假設未來的投資收益為確定的數字，即不存在任 何不確定性，而將風險因素的考慮放在以后章節(jié)再討論。: 例子：,:臺藝畫廊正考慮以80萬元標購一幅王秋香的80號油

6、畫，然后在明,年售出可得款87萬元，這項投資計劃若以現金流量圖表現，則為：現金流入87萬元2*01現金流出-80萬元圖中87萬元除非是在事先確定的數字，不然它應是一個預測值。假設銀行存款利率為10%,請問該畫廊是否應標購這幅畫？若我們忽略購畫和存款間風險的差異，而以存款利率10%做為資金的機會成本，下一期出售畫作所得價款的現值為：480,000 元 =436,364 元，1.1由于436,364元的現值高于本期購畫成本 400,000元，畫廊似乎應選擇此 項投資計劃。然而10%是銀行存款利率，購畫投資遠較存款的風險為高， 故我們不宜以10%做為折現率，而恰當的利率應是比10%為高以合理反 映投

7、資計劃的風險。經過仔細評估，畫廊老板認為 25%才能反映購畫計劃的風險，亦即25%才是合理的資金機會成本。 此時，下一期出售油畫收益的現值降為：480,000 元=384,000 元。1.25由于，此項投資計劃的凈現值為負：384,000元-400,000 元=-16,000 元0,依據NPV法則，畫廊不應選擇此項投資。由于投資決策涉及未來執(zhí)行期間收益的評估，而未來又充滿不確定性。這個例子說明公司經營階層如何選擇合適的利率做為計劃的折現率是投資決策 過程中最大的挑戰(zhàn)。.多期架構下的現值截至目前，我們所討論的概念或例子都僅止于一期的投資計劃，本節(jié)將現值與凈現值的概念延伸到多期的架構下。假設黃朝貸

8、出手中的1萬元現金，到了下一期她可取回本金加利息的金額 為1萬元X(1+r), r為均衡利率。一期后，黃朝除了可將所得的(1+ r)萬元用于消費或投資計劃的資本支出外，亦可將此本金加利息再借出一期。由于前 期所賺的利息，繼續(xù)當作下期的本金再生利息，這個過程稱為復利計息過程(compounding process。若黃朝決定將(1+r)再貸出一期，則第二期結束后， 黃朝取回的收益為：1 x (1+r) x (1+r) = (1+r)2 = 1 + 2r + r2,式中r2即表示將第一期所收到的利息(r)做為下一期的本金，再借出一期所 賺到的利息(r xr),即息滾息；其次，2r表示兩年期間所賺取

9、的簡單利息(simple interes兩期后，黃朝收到(1+r)2萬元后，黃朝可將(1+r)2萬元再借出一期， 第三期結束后本金加利息收入變?yōu)椋? x(1+r)2 x (1+r) = (1+r)3 = 1+ 3r + 3r2+ r3,式中3r是三年期間的簡單利息，而3r2+3r3則是為復利計息過程中，息滾息所 產生額外收入，(3r+3r2+r3)稱為復利利息(compounding interest)。復利利息 和簡單利息最根本不同之處在于簡單利息的計算是不將前期的利息當做下一 期本金，此即富蘭克林所說的：復利計息就是錢滾錢。舉例說，某人本期借出一百萬元，放款利率為9%,若以復利計息，兩年后

10、本金加利息總額為1,188,100元，若以簡單利息計息，二期后本金加利息為 1,180,000元，兩者之差為8100元。此為兩年內由息滾息的總和。這個數字看 起來不大，但不出數年這兩種計息的方式就會出現巨大金額上的差異。復利計息的威力復利計息過程中錢滾錢(或息生息)的威力到底有多大？現以 1926年 到1996年這段期間，投資在美國股市的平均報酬率為例說明之。 以T期后終 值的公式可算出若在1926年初投資美國股市1元，到了 1996年底投資收益 為 1370.95 元:1 X (1+ r)71 = 1370.95,經過計算，71年間的投資美國股市的平均報酬率(r)為10.71%。10.71%

11、的 年平均報酬率看起來似乎不高，但經過71年的復利計息過程，當初的1元在 71年后竟會產生1370.95元的收益，而復利計息的威力正在于前期利息可變 成本期及未來各期的本金再用于生息，這也是錢滾錢的威力所在。假若 將1370.95元再投資70年，1926年所投資的那一塊錢，創(chuàng)造出的收益將為1,879,503元。復利計息的威力亦可用于解釋為何遺產的贈與都不是給下一代 而是下一代的下一代。由于復利計息的威力，父母都寧愿讓其孫徒輩變得比較有錢，而非讓子女輩變得稍微有錢。.折現與現值依復利計息過程，本期所投資的 C0在T期后所創(chuàng)造的收益為：FV= Co x (1+r)T。式中FV為本期的C0在T期后的

12、終值，而T表示投資終止時間。由終值公式， 若均衡利率為9%,則本期貸出1元，兩期后就可創(chuàng)造出1.1881元的收入。假 設我們希望在兩期后能有1元的收入，在均衡利率為9%情形下，請問本期應 投資多少？這個問題可用以下數式表示：PV X (1.09)2 = 1,式中PV為兩年后1元的現值。現值所表現的是兩年后的1元以本期貨幣衡量 所得到的價值：1 PV= 0.84168。(1.09)2這個計算現值的過程稱為折現(discount)與復利過程正好相反。以折現方式 計算現值是將未來期間的貨幣轉換為以本期貨幣來衡量，而復利過程是將本期 貨幣轉換為以未來某特定期間的貨幣來衡量。如何驗證0.84168確是兩

13、年后1元的現值？我們利用復利計息公式來檢證。0.84168以9%利率借出一年，一年后可取回的本金加利息為：0.84168 X ( 1.09) =1。若將此本金加利息再借出一年，所得的本金加利息為：1= 0.84168 X (1.09)20也就是說，均衡利率為9%情形下，本期的0.84168元和兩年后的1元是等值。9% 稱為折現率，而 1/(1.09)2(或 0.84168)稱為現值因子(present value factor。 我們可利用這個因子將未來的現金流量轉換為以本期貨幣衡量。例子：阿輝購買臺北銀行所發(fā)行的第一期對對樂彩券中了頭獎，獎金 100萬元。阿輝想將它存入銀行、計劃五年后將本金

14、及利息用于購車， 而阿輝看上的車子其車價為161萬500元。假設五年內車價不變，若 阿輝將這筆獎金存入銀行,請問均衡利率水平應為多少才讓她五年后有足夠錢支付車款。首先，存入 100萬元五年的現金流量圖為：現金流出 -100萬元05 ,現金流入161萬500元由終值的公式可得：100萬元X (1+r) 5 =161.05萬元，簡單計算可 解出r為10%。假設某投資計劃在第1期至第n期間，預期每期現金流入為 Ci,此處i表示 第i期，i= 1,2,n?本期的資本支出(由于是現金流出，故以-C0表示),則未來n期投資收益的現值為：nC?PV = 2?=1(1+r)而此投資計劃的凈現值為:NPV =

15、- Con+ 2?=1C?O?(1+r)例子：j林金在澄清湖擁有一塊建地,價值2億元。日前有建商來洽談合建計:戈上合作條件是林金提供建地并負擔部分營造成本；待建物完成后，林_；金可取得其中3/4的樓層。整個合建計劃林金所面對的現金流量圖為：:- 現金流入；0現金流出 -2億元元億-2|圖中第0期、第1期以及第2期現金流出2億元是林金應分攤的營造成|本，而8億元是在第二期大樓完工后出售一半樓層所得的價款。假設目 前合理的資金機會成本為7%。請問林金應否接受此項合作計劃？ II| 首先，土地的市場價值2億元應記入為使用土地的機會成本，整個 ：合建計劃的現金流量圖變?yōu)椋海?億元J12-2億元-2億元

16、:現金流入;?，F金流出 -4億兀而合建計劃的凈現值為：-2億元6億元NPV = -4 億元 + + = -0.63 億元。1.07(1.07) 2；由于凈現值為負，故林金不應接受和建計劃。若林金忽略使用土地的機會成本，則合建計劃的凈現值變?yōu)椋?-2億元6億元NPV = -2 億元 + + = 1.37 億元0。1.07(1.07) 2依NPV法則，林金應選擇此項合建計劃。林金若未考慮到使用土地的；機會成本，將會導致錯誤的決策。3.復利計息次數到目前，我們都假設復利計息過程中一年計息一次。若一年內復利計息 超過一次，復利計息(或折現)次數對貨幣的時間價值有何影響。舉例說，銀行存款的年利率為10%

17、,每半年復利計息一次。根若本期期 初存入1,000元。六個月后，本金加利息的金額為：10%1,000 元 X ( 1+ ) = 1,050 元，2再過六過月(即存款滿一年)，本金加利息的金額就變?yōu)椋?0%1050元 X (1 + ) = 1,102.5元。2每年復利計息一次情形下，一年后本金加利息的金額為：1,000元 X 1.1 = 1,100元。兩相比較，每半年復利計息一次較每年復利計息一次所得的金額會多出2.5元。由于復利計息和簡單計息方式最大不同就是復利計息所產生的利息可轉 成本金再生利息，所以，同一期間內復利計息次數愈多，就會有愈多的利息 愈早轉為本金再生利息。假設每季復利計息一次，

18、一年后本金加利息所得的 金額為：10%1,000 元 X ( 1 + )4 = 1,103.81 元。4這個金額又比每半年復利計息所得的金額(1,102.5元)為多。假設每年復利 計息m次，則本期期初借出C0元。一年后，本金加利息的金額為：morC0. (1+ m上面的公式適用于一期本金與利息的計算。在多期的情形下，上面的公式就 變?yōu)椋簃TrC0. ( 1+ m式中T為投資終止的期間。為了方便比較，我們以有效年利率(Effective Annual Interest Rate,以EAIR簡記)來衡量不同復利計息次數的年平均報酬率。：rEAIR = (1 +) m - 1。m例子：黃朝考慮在本期

19、期初借出100萬元，年利率為24%,利息計算將采： 復利計息方式，每月計算一次。請問一年后，收益有多少？：:0.24100 萬元 X ( 1 +) 12= 126.82萬元。12此時，年平均收益率為：126.82-10026.82% = X100。1004.幾個簡化的現值公式說完了現值以及終值的概念后，本節(jié)將介紹以下幾個簡化的公式以方便 應用：一永續(xù)年金(perpetuity)一成長型永續(xù)年金(growing perpetuity)一年金(annuity)一成長型年金(growing annuity)永續(xù)年金而r為資金的機會成本永續(xù)年金是每期給付固定金額的現金流量且無終止給付的日期。永續(xù) 年金

20、最佳的例子為英國政府所發(fā)行 Consols公債。Consols公債持有人每期 都可收到固定金額的息票給付(coupon payment。請問永續(xù)年金的現值為 何？現以C表示永續(xù)年金持有人每期所收到的固定金額息票給付，其現金 流量圖為：現金流量CC.C .V*012.n .CCCPV=一+ +?,1+r(1+r) 2(1+r) 3將此式代入現值公式可得:式中最右邊的三點表示這個數列一直下去直到永遠,只要r大于零，上式右邊的總和為有限值，經過簡單的運算，上式可化簡為:CPV =r永續(xù)年金的價值就是未來各期固定現金流量（C）的現值，這個價值亦反映 債券持有人所愿意出的最高價格。永續(xù)年金的持有人若每一

21、期以所支領息票 收入做為其消費支出的財源，則她可永遠維持這個消費型態(tài)而不必擔心未來 各期消費支出的財源。C/r就是她為了永遠維持這種消費型態(tài)在本期所必須 提存的金額。若將C/r存入銀行，從下一期開始，她每期可支領的利息：若將此利息收入用于消費支出，則每期可供消費金額就等于該期息票收入 （即利息），而且可依此永遠運作下去。 TOC o 1-5 h z 例子：某一永續(xù)年金每年給付給永續(xù)年金持有人 1000元。若資金的；【機會成本為8%,請問此永續(xù)年金的價值是多少？；利用永續(xù)年金的現值公式：！:1,000 元PV= 12,500 元，0.08；假設機會成本降為5%,永續(xù)年金的現值變?yōu)椋篿1,000

22、元PV= = 20,000 元。0.05I:此例亦可看出永續(xù)年金的現值和資金機會成本r成反向變動。成長型永續(xù)年金成長型永續(xù)年金和永續(xù)年金不同之處在于成長型永續(xù)年金持有人每年 可收到的息票給付是以固定成長率增加。成長型永續(xù)年金的現金流量圖為:現金流量C C (1+g). C (1+g) n-2 C (1+g)*e012.n-1 n成長型永續(xù)年金的現值為:10CPV =C (1+g)C (1+g) N-11+r +(1+r) 2+(1+r) N式中C為下一期(即第一期)的現金流量,C (1+g) N-1為第N期的現金流量，g為現金流量的年成長率，而r為折現率。若rg,則成長型永續(xù)年金 的現值可簡化

23、為：CPV=。r - gI:例子：許根在淡水擁有一棟公寓,計劃將此公寓分租給當地學生，;預計下一年度的房租總收入為10萬元。許根在房租契約上、明訂 ；;房租和物價指數連動，即房租租金率按物價膨脹率調整。許根預測:未來各年年平均物價膨脹率為3%,均衡利率為8%,請問許根將 ：此公寓出租預期房租的現值為多少？:未來各期都有房租收入，但由于房租收入隨物價膨脹率調整，；故每年房租收入不再是固定值，而是依某固定成長率(3%)增加，： 我們將有此現金流量型態(tài)稱為成長型永續(xù)年金。將r = 8%以及各；:期房租收入代入成長型永續(xù)年金現值的定義式可得：100,000 元 100,000 (1.03)元100,0

24、00 (1.03) 2 元；PV= + + TOC o 1-5 h z 1.081.081.08 N-1 100,000 (1.03)兀+. . . +.1.08將上述例子中的數字代入成長型永續(xù)年金公式，可得:100,000 元PV= = 2,000,000 元，0.08-0.03運用成長型永續(xù)年金公式時，以下幾點值得注意：(1)現值公式中分子的C值，系指下一期而非本期的現金流量。(2)現值公式成立的條件是rg。若gr,表示現金流量成長 速度大于折現率，此將造成各期現金流量的現值不再是有 限值。換句話說，未來的現金流量隨著時間愈久遠，而對 目前的價值愈重要，此和一般現值概念相違背。一般現值11

25、概念應是未來現金流量的重要性會隨著時間愈久遠而愈 少。(3)成長型永續(xù)年金的現值公式中，假設每年取得現金流量一 次。年金年金系指在固定且有限期間內，每期給付固定金額的現金流量。大部分 財務工具具現金流量型態(tài)屬于年金型式，退休年金或房貸即是年金標準例 子。年金可用以下的現金流量圖表示：現金流量C C .C012.T年金的現值可用下列式子算出:C C(1+r) TPV= + + . . . +21+r(1+r)式中現金流量是由第1期持續(xù)到到第T期，每期現金流量為固定值 Co當 然，我們可以直接計算年金現值，以下我們將利用永續(xù)年金現值的計算公 式來說明如何計算年金的現值。首先，我們考慮以下永續(xù)年金A

26、和永續(xù)年金B(yǎng),兩者差異只在于現金流量給付的起始點，永續(xù)年金 A給付起始點為 第1期，永續(xù)年金B(yǎng)給付起始點為第T+1期。永續(xù)年金A:T+1永續(xù)年金B(yǎng):00.0 C C012. T T+1T+2 .永續(xù)年金A以第0期(當期)貨幣所表示的現值為:PV a (0)=12而永續(xù)年金B(yǎng)以第T期貨幣所表現的價值亦為:CPVb (T)=r由于PVa (0)和PVb (T)是以不同時點貨幣所衡量的價值。兩者衡量基準不同，若要比較，我們應先將 PVb (T)轉換為以本期(第0期)貨幣所 計算的價值：PVb (0)C1 xr(1+r)此時，PVa (0)和PVb (0)的差就是年金的現值:CPV = PVa (0)

27、 - PVb (0)r(1+r) T若給付期間愈長(即T值愈大)，則PV的值愈接近C/r (此因為當T值愈 來愈大時，1/ (1+r) T愈來愈接近1)。:例子：陳南日前中了計算機型千萬元彩券頭獎、獎金支付方式為連 續(xù)20年每年給付獎金50萬元。第一次獎金給付是一年后的今天。這個彩券之所以稱為千萬元彩券系因 50萬元X 20期=1000萬 元，若市場均衡利率為8%,請問頭獎的價值為多少？利用年金現值公式，可得到獎金的現值為:PV =50萬元 廣X 1 -0.08一一 , 200.08 (1.08) 20=4,90萬元。由此可知，千萬元頭獎只是廣告噱頭而已，此獎券頭獎獎金的現 值只有490萬90

28、50元而已。4.4成長型年金成長型年金和年金不同處在于給付期間內，每期現金流量是以固定成 長率增加：現金流量13C(i+g)_T-2C(i+g)_T-1C(i+g)T-1 T依永續(xù)年金現值計算方式，成長型年金的現值為:1+r1+gc r pv= 1-(r-g I式中C為在第一期期末的支付金額，g為每期支付金額的成長率，r為利率, T為成長型年金持續(xù)期間。 例子：:朱胖將于某國立大學經濟系研究所博士班畢業(yè),某科技大學提,供朱胖助理教授一職、該職年薪為 60萬元。朱胖預估她的年薪每年【調升3%,先勝目前25歲，距65歲退休年齡還有40年任職期間。目1前，市場利率為14%,請問朱胖往后40年的年薪現

29、值為多少？：為簡化計算，假設第一年年薪60萬是在第一年年終一次給付，而以后各年年薪給付亦依此方式，依成長型年金公式可得： : TOC o 1-5 h z 60萬元1.031一一一40515.46 萬兀=1- ()40 。0.14-0.03 I 1.14 一習題：1.朱一打算為其剛出生的兒子儲蓄其大學教育經費，假設朱一的兒子在16歲上大學。目前大學學雜費一年需要 10萬元，且每年以5%成長率增加。若朱一打算從明年開始,連續(xù)16年，每年存一筆固定金額的錢。若年利率 為8%,試問朱一每年應存多少錢?2.林金5年前以12%利率向銀行借了一筆20年期500萬元的房屋貸款，還款 條件為每個月償還相同金額。

30、林金付完第 60期款項后，發(fā)現年利率已降為 10%0林考慮是否以較低利率重新融資時，但房貸契約中有一條提前解 約條款：林金必須支付未歸還本金余額 5%做為解約金。在此條件下，林金 是否應決定重新融資？3. ABC公司目前正評估兩項投資計劃。計劃 A執(zhí)行后，預期往后10年，每年14有300萬元現金收益，在往后15年，每年現金收益增加為700萬元，到了 第25年就沒有任何現金收益。至于計劃 B,預期往后10年，每年有1000 萬元的現金收益；10年后，就沒有任何現金收益。公司財務管理人員評估 結果發(fā)現計劃A和計劃B的資金機會成本各為8%以及14%。(a)請問何項投資計劃的風險較高？(b)請計算兩個

31、計劃各期現金收益的現值。假設政府決定全額補助這兩項計劃的投資支出。(c)但規(guī)定ABC公司必須將投資計劃執(zhí)行完畢，中途不得轉售。請問 ABC公司應選擇那個計劃？(d) ABC公司可在計劃執(zhí)行期間，依市價出售投資計劃。請問 ABC公 司應選擇那個計劃？.朱一計劃出售位于新店的別墅。 林金出價1150萬元，以現金方式一次付清。 黃朝出價1500萬元，但無法一次付清，打算三年后再以現金方式一次付清。 若目前均衡利率為10%,請問朱一應將別墅出售給誰?.陳南擁有汽車一輛,車齡三年。林金出價 35萬元，以現金方式一次付清。 陳南亦可決定現在不賣車,再使用一年。一年后，將車子賣給中古車行可得 款30萬元，目前均衡利率為12%。(a)請問上述信息是否足以讓陳南決定現在是否該賣掉車子?(b)請補上何種信息后，陳