當(dāng)代中學(xué)生報(bào)

1、 當(dāng)代中學(xué)生報(bào)2014年高考泄露天機(jī)數(shù)學(xué)一、選擇題5.函數(shù)的圖象大致是( )5.A 因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)排除B、D；又因?yàn)楫?dāng) 時(shí), , ，所以選A.6.設(shè)函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則( ).（A）的最小正周期為，且在上為增函數(shù)（B）的最小正周期為，且在上為減函數(shù)（C）的最小正周期為，且在上為增函數(shù)（D）的最小正周期為，且在上為減函數(shù)6.B ，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)在上為減函數(shù).7. 已知一個(gè)三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個(gè)體積為的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個(gè)三棱柱的表面積是( )(A) (B) (C) (D) 7.C 此三棱柱為

2、正三棱柱，體積為的球體的半徑為，由此可以得到三棱柱的高為，底面正三角形中心到三角形各邊的距離均為，故可得到三角形的高是，三角形邊長(zhǎng)是，所以三棱柱的表面積為.8.已知直線平面，直線平面，給出下列命題,其中正確的是( ). （A） （B） （C） （D） 8.A .11. 如圖，已知為內(nèi)部（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，若目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)處取得最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）（A） （B）（C） （D）11.B 12.設(shè)的內(nèi)角的所對(duì)的邊成等比數(shù)列，則的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D） 12. C 根據(jù)成等比數(shù)列,有,則,根據(jù)三角形三邊關(guān)系,有,所以,即,消掉得,化簡(jiǎn)得：，兩邊同時(shí)除以，可得，解得.

3、則.13. 如圖，半徑為2的半圓有一內(nèi)接梯形，它的下底是O的直徑，上底的端點(diǎn)在圓周上若雙曲線以為焦點(diǎn)，且過(guò)兩點(diǎn)，則當(dāng)梯形的周長(zhǎng)最大時(shí)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為( ).（A）1 （B）22 （C）1 （D）2214.若在區(qū)間和內(nèi)各取一個(gè)數(shù)，分別記為和，則方程表示離心率小于的雙曲線的概率為( ).（A）（B）（C）（D）14.B 15.函數(shù)的圖象如圖所示,則( ).（A）8 （B） 8 （C） （D）15. 16.中，角成等差數(shù)列是成立的( ).（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件16.A 若成等差數(shù)列，則，.若，則，即，或，即或.17.對(duì)于上可導(dǎo)的任意函數(shù)

4、，若滿足，則必有( ).（A） （B）（C） （D）17.C ，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在處取得最小值，則將兩式相加得18.已知點(diǎn)三點(diǎn)不共線，且有，則有( ). (A) (B)(C) (D)18.B 設(shè)所對(duì)的邊分別為，由，得，又由正弦定理得，,所以在中，有，所以，所以.19.（理科）設(shè)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為，二項(xiàng)式系數(shù)和為，若，則展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）（A） （B） （C） （D）19.B 20.若定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對(duì)于任意的，都有，且時(shí)，有，的最大值、最小值分別為，則的值為( ).（A）2014 （B）2015 （C）4028 （D）403020.C

5、令，得，再令，將代入可得.設(shè)，則，所以.又因?yàn)椋钥傻茫院瘮?shù)是遞增的，所以.又因?yàn)?，所以的值?028.填空題23.如圖，在直角梯形中，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是 23. 建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則因?yàn)?，所以，所以?所以.24.已知直線交拋物線于兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍為_(kāi).24. 由題意知,設(shè),由得，解得(舍)或,由得的取值范圍為.25.在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，滿足，, 則的取值范圍是 .25. 26.在數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和且，則26. 27.一個(gè)多面體的直觀圖、正（主）視圖、側(cè)（左）視圖、俯視圖如下，、分別為、

6、的中點(diǎn).ABC1A1B1主視圖左視圖俯視圖 C下列結(jié)論中正確的是_.（填上所有正確項(xiàng)的序號(hào)）線與 相交；/平面；三棱錐的體積為.27. 取的中點(diǎn)D，連結(jié)、.由于、分別是所在棱的中點(diǎn)，所以可得平面,平面,所以平面.同理可證平面.又,所以平面平面,所以直線與 相交不成立，錯(cuò)誤；由三視圖可得平面.所以平面，所以，又易知，所以平面，所以，正確； 正確；因?yàn)椋哉_.綜上，正確.28.若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .28. 由得或，即或.又，所以或.因?yàn)椴坏仁綄?duì)恒成立，所以或.(1)令，則.令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，所以，所以.令，則，因?yàn)?，所以，所以，所以在上是增函?shù)

7、.易知當(dāng)時(shí)，故在上無(wú)最小值，所以在上不能恒成立.綜上所述，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.29.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，存在唯一的，使（為常?shù)）成立。則稱(chēng)函數(shù)在上的“均值”為.已知四個(gè)函數(shù)：；上述四個(gè)函數(shù)中，滿足在定義域上的“均值”為的函數(shù)是 （填上所有滿足條件函數(shù)的序號(hào)）29. 對(duì)于函數(shù) ，定義域?yàn)?，設(shè) ，由 ，得 ，所以，所以函數(shù)是定義域上“均值”為1的函數(shù)；對(duì)于函數(shù) ，定義域?yàn)?，設(shè) ,由得 ，當(dāng)時(shí) ， ，不存在實(shí)數(shù) 的值，使 ，所以該函數(shù)不是定義域上“均值”為1的函數(shù)；對(duì)于函數(shù) ，定義域是 ，設(shè) ，得 ，則 ，所以該函數(shù)是定義域上“均值”為1的函數(shù)； 對(duì)于函數(shù) ，定義域?yàn)?，設(shè) ,由 ，得 ，因

8、為，所以存在實(shí)數(shù)，使得 成立，但這時(shí)的取值不唯一，所以函數(shù)不是定義域上“均值”為1的函數(shù). 30. 已知點(diǎn)點(diǎn)是線段的等分點(diǎn)，則= 30. 由題設(shè)，知 ， ， ， ， ， ,所以 ， ， ， ， ， , , = ,解答題33.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足.在等差數(shù)列中，且是與的等比中項(xiàng).(1)求和，(2)記，求的前n項(xiàng)和.33.解： .當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，35.（理）如圖所示，四邊形為直角梯形，為等邊三角形，且平面平面，為中點(diǎn)ABECDP（1）求證：；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（3）在內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使平面，如果存在，求的長(zhǎng)；如果不存在

9、，說(shuō)明理由 解：（1）證明如下：取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭钦切?，所?因?yàn)樗倪呅问侵苯翘菪危运倪呅问瞧叫兴倪呅危?又，所以.又因?yàn)?所以平面，所以.（2)因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所?如圖所示，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系. ABECDPyxzO則，所以 ,， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則 ，令，則,所以.同理可求得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.（3）設(shè)，因?yàn)?，所以?.依題意得即解得 ，.符合點(diǎn)在內(nèi)的條件.所以存在點(diǎn)，使平面，此時(shí).36.某公園準(zhǔn)備建一個(gè)摩天輪，摩天輪的外圍是一個(gè)周長(zhǎng)為米的圓在這個(gè)圓上安裝座位，且每個(gè)座位和圓心處的

10、支點(diǎn)都有一根直的鋼管相連經(jīng)預(yù)算，摩天輪上的每個(gè)座位與支點(diǎn)相連的鋼管的費(fèi)用為元/根，且當(dāng)兩相鄰的座位之間的圓弧長(zhǎng)為米時(shí)，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個(gè)座位的總費(fèi)用為元假設(shè)座位等距離分布，且至少有兩個(gè)座位，所有座位都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價(jià)為元（1）試寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；（2）當(dāng)米時(shí)，試確定座位的個(gè)數(shù)，使得總造價(jià)最低？36.解：（1）設(shè)摩天輪上總共有個(gè)座位，則，即，定義域?yàn)? （2）當(dāng)時(shí)，.令，則， ，.當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，在時(shí)，y取到最小值，此時(shí)座位個(gè)數(shù)為個(gè) 37.已知是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)在直線的下

11、方.（1）求的取值范圍；（2）設(shè)為上的一點(diǎn)，且，過(guò)兩點(diǎn)分別作的切線，記兩切線的交點(diǎn)為. 判斷四邊形是否為梯形，并說(shuō)明理由.解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為.由題意，得直線的方程為，令，得，即直線與y軸相交于點(diǎn).因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在直線的下方，所以，解得，因?yàn)?，所?（2）結(jié)論：四邊形不可能為梯形.理由如下：假設(shè)四邊形為梯形.依題意，設(shè)，聯(lián)立方程消去y，得，由韋達(dá)定理，得，所以.同理，得.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，所以拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為.由四邊形為梯形，得或.若，則，即，因?yàn)榉匠虩o(wú)解，所以與不平行.若，則，即，因?yàn)榉匠虩o(wú)解，所以與不平行，所以四邊形不是梯形，這與假設(shè)矛盾.因此四邊

12、形不可能為梯形.38. 數(shù)列的首項(xiàng)為（），前項(xiàng)和為，且（）設(shè)，（）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，試求三個(gè)正數(shù)，的一組值，使得為等比數(shù)列，且，成等差數(shù)列38.解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，得，（）， 又由，得， 所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以（） （2）當(dāng)時(shí)， 由，得，（*），當(dāng)時(shí)，若，則（*）式不成立當(dāng)時(shí)，（*）式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，（*）式成立；當(dāng)時(shí)，有，即恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，有，；當(dāng)時(shí)，有， 綜上，的取值范圍是 （3）當(dāng)時(shí)， ， 所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，所以 又因?yàn)椋傻炔顢?shù)列，所以，即，解得 從而， 所以，當(dāng)，時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列，且，成等差數(shù)列 39.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓的直徑為的長(zhǎng)軸.如圖，是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn)，垂直于交橢圓于點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）求 面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.39.解：（1）由已知得到,所以,即.又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以,解得,所以橢圓的方程是.（2）因?yàn)橹本€且兩直線都過(guò)點(diǎn),當(dāng)斜率存在且不為0時(shí),設(shè)直線,直線,即,所以圓心到直線的距離為,所以,由得,所以,所以.令,則,.當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故面積的最大值為,此時(shí)直線的方程為.當(dāng)?shù)男甭蕿?,即時(shí), ;當(dāng)