全套課件-化工問題的建模與數(shù)學(xué)分析方法

1、化工問題的建模 與數(shù)學(xué)分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering第一章 化工問題的數(shù)學(xué)模型1、模型的意義與作用2、建模方法3、典型化工問題數(shù)學(xué)模型剖析第一章數(shù)學(xué)模型模型有什么用？0 概述： 關(guān)于化工數(shù)學(xué)的分類化工數(shù)學(xué)一個含糊的概念解決化工問題的數(shù)學(xué)，體現(xiàn)方法論的數(shù)學(xué)1. 化工實驗數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)處理與誤差分析實驗設(shè)計量綱分析與相似理論第一章數(shù)學(xué)模型模型有什么用？2.化工建模與數(shù)學(xué)分析化工問題建模模型求解與分析3.化工過程模擬與優(yōu)化流程模擬方法過程的綜合最優(yōu)化方法第一章數(shù)學(xué)模型模型有什么用？1 模型

2、的意義與作用1化學(xué)工程研究工業(yè)規(guī)模的物質(zhì)轉(zhuǎn)化規(guī)律及技術(shù)手段研究對象質(zhì)量傳遞 動量傳遞 能量傳遞化學(xué)反應(yīng)過程解決的問題裝置放大流程設(shè)計1化學(xué)工程研究工業(yè)規(guī)模的物質(zhì)轉(zhuǎn)化規(guī)律及技術(shù)手段研究對象質(zhì)量傳遞 動量傳遞 能量傳遞化學(xué)反應(yīng)過程解決的問題裝置放大流程設(shè)計第一章數(shù)學(xué)模型模型有什么用？第一章數(shù)學(xué)模型模型有什么用？化學(xué)工程發(fā)展史上的幾個重要階段19011920s：工業(yè)化學(xué)化學(xué)工程19231930s：單元操作，化工數(shù)學(xué)19401950s：傳遞現(xiàn)象，數(shù)學(xué)模擬19571960s：化學(xué)反應(yīng)工程1970s ：過程系統(tǒng)工程趨勢模型化，數(shù)學(xué)化化學(xué)工程的方法論解耦熱模研究：考察化學(xué)反應(yīng)規(guī)律冷模研究：考察流動與傳遞規(guī)律

3、數(shù)學(xué)模型：反應(yīng)器行為模擬中間實驗：三種模型的結(jié)合工業(yè)設(shè)計第一章數(shù)學(xué)模型模型有什么用？數(shù)學(xué)模型的作用正問題：模擬、優(yōu)化、控制反問題：機(jī)理辨識、參數(shù)求取典型實例印巴核實驗數(shù)學(xué)模擬技術(shù)的需求第一章數(shù)學(xué)模型模型有什么用？3 建模一般步驟認(rèn)識論的規(guī)律第一章數(shù)學(xué)模型建模方法 真實對象 物理模型 數(shù) 學(xué) 模 型 認(rèn) 識核驗表述模型標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容真實形式簡單建模關(guān)鍵合理簡化抓住主要因素，突出主要特征怎么區(qū)分主次根據(jù)建模目的根據(jù)突出問題特征第一章數(shù)學(xué)模型建模方法實例氣液傳質(zhì)的雙模模型平推流反應(yīng)器模型均想混合的攪拌釜模型第一章數(shù)學(xué)模型建模方法第一章數(shù)學(xué)模型建模方法3 化工問題的數(shù)學(xué)表述1. 守恒方程（balance e

4、quations)質(zhì)量守恒、動量守恒、能量守恒、粒數(shù)守恒通用公式：輸入項 輸出項 生成項 積累項 注意問題：對象的選擇坐標(biāo)系的選擇化學(xué)工程發(fā)展史上的幾個重要階段19011920s：工業(yè)化學(xué)化學(xué)工程19231930s：單元操作，化工數(shù)學(xué)19401950s：傳遞現(xiàn)象，數(shù)學(xué)模擬19571960s：化學(xué)反應(yīng)工程1970s ：過程系統(tǒng)工程第一章數(shù)學(xué)模型建模方法例1 均相釜式反應(yīng)器數(shù)學(xué)模型衡算對象單元圖1.3連續(xù)釜式反應(yīng)器化學(xué)工程發(fā)展史上的幾個重要階段19011920s：工業(yè)化學(xué)化學(xué)工程19231930s：單元操作，化工數(shù)學(xué)19401950s：傳遞現(xiàn)象，數(shù)學(xué)模擬19571960s：化學(xué)反應(yīng)工程1970s

5、：過程系統(tǒng)工程第一章數(shù)學(xué)模型建模方法例2 管式反應(yīng)器衡算對象微元圖1.4 管式反應(yīng)器化學(xué)工程發(fā)展史上的幾個重要階段19011920s：工業(yè)化學(xué)化學(xué)工程19231930s：單元操作，化工數(shù)學(xué)19401950s：傳遞現(xiàn)象，數(shù)學(xué)模擬19571960s：化學(xué)反應(yīng)工程1970s ：過程系統(tǒng)工程第一章數(shù)學(xué)模型建模方法輸入輸出生成速率第一章數(shù)學(xué)模型建模方法反應(yīng)器衡算方程初始與邊界條件化學(xué)工程發(fā)展史上的幾個重要階段19011920s：工業(yè)化學(xué)化學(xué)工程19231930s：單元操作，化工數(shù)學(xué)19401950s：傳遞現(xiàn)象，數(shù)學(xué)模擬19571960s：化學(xué)反應(yīng)工程1970s ：過程系統(tǒng)工程第一章數(shù)學(xué)模型建模方法例3

6、催化劑顆粒 衡算對象微元，柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)化學(xué)工程發(fā)展史上的幾個重要階段19011920s：工業(yè)化學(xué)化學(xué)工程19231930s：單元操作，化工數(shù)學(xué)19401950s：傳遞現(xiàn)象，數(shù)學(xué)模擬19571960s：化學(xué)反應(yīng)工程1970s ：過程系統(tǒng)工程第一章數(shù)學(xué)模型建模方法S0: 片型顆粒S1: 圓柱型顆粒S2：球形顆粒第一章數(shù)學(xué)模型建模方法3 化工問題的數(shù)學(xué)表述2. 本構(gòu)關(guān)系（Constitutive Relations)物理量之間滿足的本征結(jié)構(gòu)關(guān)系熱力學(xué)平衡關(guān)系動力學(xué)速率關(guān)系3.定解條件初始條件邊界條件適定性問題第一章數(shù)學(xué)模型建模方法4 無量綱化問題1. 為什么要無量綱化？減少參數(shù)數(shù)目變量規(guī)一化獲取問

7、題的特征無量綱數(shù)2.如何無量綱化？選擇自變量與因變量的特征尺度，將變量與方程無量綱化第一章數(shù)學(xué)模型建模方法例1 氣液傳質(zhì)的雙膜模型選擇第一章數(shù)學(xué)模型建模方法得第一章數(shù)學(xué)模型建模方法例2 管式反應(yīng)器第一章數(shù)學(xué)模型建模方法選取得第一章數(shù)學(xué)模型建模方法第一章數(shù)學(xué)模型建模方法例3 管道阻力問題19世紀(jì)的水力學(xué)手冊二十世紀(jì)的阻力曲線第一章數(shù)學(xué)模型建模方法3. 關(guān)于相似放大問題相似放大：模型與原型保持無量綱相似準(zhǔn)數(shù)相同對于物理過程，某些條件下可以滿足相似條件對于化學(xué)過程，難以選擇反應(yīng)體系來滿足相似條件所以，相似放大對反應(yīng)過程一般不可行數(shù)學(xué)模型放大是化學(xué)反應(yīng)工程發(fā)展的趨勢第一章數(shù)學(xué)模型典型問題5 催 化 劑

8、 顆 粒 模 型第一章數(shù)學(xué)模型典型問題物理過程特征分析顆粒內(nèi)部：傳熱快，傳質(zhì)慢顆粒外部：傳質(zhì)快，傳熱慢因此，傳質(zhì)阻力在粒內(nèi)，傳熱阻力在粒外固體熱容大，氣體濃度小因此，保留溫度變化項，忽略濃度變化項第一章數(shù)學(xué)模型典型問題合理假設(shè)顆粒內(nèi)部溫度均勻，濃度考慮為擬穩(wěn)態(tài)將兩個偏微分方程的問題簡化為兩個常微分方程的問題。第一章數(shù)學(xué)模型典型問題6 固定床反應(yīng)器的擬均相模型擬均相假設(shè)：不考慮流體固體差別1. 二維擬均相模型圖1.9 固定床中的環(huán)形微元第一章數(shù)學(xué)模型典型問題2. 一維瞬態(tài)模型Danckwerts邊界條件：第一章數(shù)學(xué)模型典型問題7 色譜過程的數(shù)學(xué)模型色譜：非均相的流動吸附分離過程1. 平衡色譜第一

9、章數(shù)學(xué)模型典型問題2. 非平衡色譜床層模型顆粒模型第一章數(shù)學(xué)模型典型問題活性位吸附模型界面平衡模型第一章數(shù)學(xué)模型典型問題8 分批結(jié)晶器與連續(xù)結(jié)晶器的粒數(shù)衡算模型 成核動力學(xué)晶體生長動力學(xué)第一章數(shù)學(xué)模型典型問題晶體生長的物理圖像圖1.12 無成核時晶種生長的粒度分布曲線圖1.13 恒速成核時的粒度分布曲線第一章數(shù)學(xué)模型典型問題晶體粒數(shù)衡算 在ll+dl區(qū)間內(nèi)由于生長而輸入的粒子數(shù) 在ll+dl區(qū)間內(nèi)由于長大而離開的粒子數(shù)在ll+dl區(qū)間內(nèi)的粒子數(shù)變化第一章數(shù)學(xué)模型典型問題因此，粒數(shù)衡算方程為第一章數(shù)學(xué)模型典型問題9 邊界層中的流動與傳遞邊界層史話邊界層圖象第一章數(shù)學(xué)模型典型問題邊界層方程的推導(dǎo)黏

10、性流體的NS方程第一章數(shù)學(xué)模型典型問題邊界層中的量級比較xl, y主要結(jié)果第一章數(shù)學(xué)模型典型問題Prandtl邊界層方程溫度邊界層與濃度邊界層邊界層中的三傳問題 謝 謝化工問題的建模 與數(shù)學(xué)分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering第二章 常微分方程1、二階線性常系數(shù)方程的解法2、二階變系數(shù)方程的級數(shù)解法3、一階微分方程組的矩陣解法4、穩(wěn)定性問題分析第二章常微分方程二階常系數(shù)方程一、 二階常系數(shù)方程的解法1。齊次方程通解設(shè)得第二章常微分方程二階常系數(shù)方程相異實根共軛復(fù)根重根2。非其次方程特

11、解：比較系數(shù)法第二章常微分方程二階變系數(shù)方程二、 二階變系數(shù)方程的解法1、級數(shù)解法廣義冪級數(shù)代入方程，比較系數(shù)法確定參數(shù)c 和 an 第二章常微分方程二階變系數(shù)方程設(shè)代入，得第二章常微分方程二階變系數(shù)方程首項xc的系數(shù)為0指標(biāo)方程第n項xn+c的系數(shù)為0 遞推公式 第二章常微分方程二階變系數(shù)方程由指標(biāo)方程的第一根c = c1可以得到方程的第一個解當(dāng)c1c2不為整數(shù)或0時，由常規(guī)方法可得第二解。當(dāng)c1、c2 為重根時，第二解為當(dāng)c1c2 為整數(shù)時，第二解為第二章常微分方程二階變系數(shù)方程2。Bessel方程及其級數(shù)解 稱為k階Bessel方程。采用冪級數(shù)解法，得首項系數(shù)為0的指標(biāo)方程第二章常微分方

12、程二階變系數(shù)方程遞推公式第一解第二章常微分方程二階變系數(shù)方程第二解分為以下三種情況 i ) k為分?jǐn)?shù) ii ) k = 0第二章常微分方程二階變系數(shù)方程第二章常微分方程二階變系數(shù)方程iii ) k為整數(shù) 第二章常微分方程二階變系數(shù)方程3、Legendre方程與Legendre 函數(shù)設(shè)代入，得第二章常微分方程二階變系數(shù)方程遞推公式根據(jù)冪級數(shù)收斂判別法知，在x =1處級數(shù)發(fā)散，但物理上函數(shù)又是有界的，因此只有參數(shù)l 取整數(shù)才能保證級數(shù)在x =1處收斂，此時級數(shù)成為Legendre多項式第二章常微分方程二階變系數(shù)方程性質(zhì)Bessel函數(shù)、Legendre函數(shù)均為正交函數(shù)族，滿足正交條件，可以作為函數(shù)

13、基將任意分片光滑的函數(shù)展開成Fourier級數(shù)，分別稱為FourierBessel級數(shù)和FourierLegendre級數(shù)。第二章常微分方程一階常系數(shù)方程組三、 一階常系數(shù)方程組的矩陣解法齊次方程第二章常微分方程一階常系數(shù)方程組設(shè)代入方程得從中可解出n個特征根和特征向量，構(gòu)成基解矩陣第二章常微分方程一階常系數(shù)方程組通解或y = Y c常數(shù) c 由初始條件確定第二章常微分方程線性穩(wěn)定性分析四、線性穩(wěn)定性分析方法穩(wěn)定性（stability)系統(tǒng)的一種動態(tài)特性，指偏離定常狀態(tài)后能否自動返回該定常態(tài)的性質(zhì),系統(tǒng)抗干擾能力的度量。定常態(tài)（steady state)穩(wěn)態(tài)（與瞬態(tài)對應(yīng)），系統(tǒng)不隨時間變化的某

14、個狀態(tài)。穩(wěn)定態(tài)（stable state)穩(wěn)定的定常態(tài)。穩(wěn) 定差之毫厘，失之毫厘不穩(wěn)定差之毫厘，失之千里第二章常微分方程線性穩(wěn)定性分析流動的穩(wěn)定性雷諾實驗、圓柱型水流反應(yīng)器的熱穩(wěn)定性飛溫與熄火平行平板間的熱對流穩(wěn)定性Benard現(xiàn)象壓桿、板殼的屈曲穩(wěn)定性穩(wěn)定性分析方法線性穩(wěn)定性分析：小擾動的線性化動態(tài)分析，獲得失穩(wěn)判據(jù)。非線性穩(wěn)定性理論：分叉、混沌，非線性科學(xué)問題。第二章常微分方程線性穩(wěn)定性分析1、線性穩(wěn)定性分析方法目的獲取失穩(wěn)判據(jù)；方法穩(wěn)態(tài)附近對小擾動線性展開，由特征根確定非線性動力系統(tǒng)定常態(tài) f(ys) = 0設(shè)x(t)為小擾動，令y(t) = ys +x(t)第二章常微分方程線性穩(wěn)定性分

15、析代入原方程，泰勒展開，保留線性項通解穩(wěn)定性判別若A的特征根都是負(fù)的，則零解是漸近穩(wěn)定的；若至少有一個根的是正的，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；若都為零，則不定。第二章常微分方程線性穩(wěn)定性分析因此，線性穩(wěn)定性分析的問題轉(zhuǎn)化為線性化方程的矩陣A的特征根的正負(fù)號判別問題。如何根據(jù)A得到穩(wěn)定性判據(jù)？Routh-Hurwitz系數(shù)判別法。 特征根方程Routh方法：如果系數(shù)aj不同號，或某些系數(shù)為零，則方程必然有大于等于零的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。第二章常微分方程線性穩(wěn)定性分析RouthHurwitz判定行列式第二章常微分方程線性穩(wěn)定性分析Routh指出，若采用如下的判定函數(shù)R iR0 = 0 , R1 = 1 , R2

16、 = 2 /1 , , Rn = n /n-1 = an則當(dāng)所有的判定函數(shù)為正值時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。Hurwitz則證明了以下定理：實系數(shù)的n次代數(shù)方程的一切根的實部都是負(fù)數(shù)的充分必要條件是所有判定行列式均大于0。第二章常微分方程線性穩(wěn)定性分析2、穩(wěn)態(tài)點的分類第二章常微分方程線性穩(wěn)定性分析1）tr24 0， 0：12 0，穩(wěn)態(tài)點為結(jié)點2）tr24 0， 0：12 0，穩(wěn)態(tài)點為鞍點第二章常微分方程線性穩(wěn)定性分析3）tr24 0，1，2都是純虛數(shù) 穩(wěn)態(tài)點為中心點第二章常微分方程線性穩(wěn)定性分析3、化學(xué)反應(yīng)器的熱穩(wěn)定性 取x = cAcAs , y = TTs 第二章常微分方程線性穩(wěn)定性

17、分析將反應(yīng)項與移熱項線性展開特征根方程第二章常微分方程線性穩(wěn)定性分析漸近穩(wěn)定性條件a)斜率條件系統(tǒng)移熱曲線的斜率必須大于系統(tǒng)放熱曲線的斜率 b)動態(tài)條件第二章常微分方程線性穩(wěn)定性分析斜率條件的物理解釋謝 謝化工問題的建模 與數(shù)學(xué)分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering第三章 一階偏微分方程1、特征線法2、非線性波與追趕現(xiàn)象第三章一階偏微分方程特征線法1.1 一階偏微分方程的定解問題偏微分方程與常微分方程求解思路的不同常微分方程：求方程通解，初、邊值定常數(shù)一階偏微分：求方程通解，初、邊值確

18、定任意函數(shù)二階偏微分：不求通解，從問題出發(fā)求解例，一階PDE 通解第三章一階偏微分方程特征線法初值問題（Cauchy問題）初、邊值問題（Riemann問題）第三章一階偏微分方程特征線法一般的一階擬線性偏微分方程的問題第三章一階偏微分方程特征線法1.2 特征線法的幾何原理向量 ( P, Q, R ) 與解曲面u=u(x,y)的法線方向相互垂直，與 ( P, Q, R ) 共線的線元(dx, dy, du)必定滿足偏微分方程，稱為特征曲線，經(jīng)過初始曲線的特征曲線的全體構(gòu)成解曲面u=u(x,y) 。第三章一階偏微分方程特征線法第三章一階偏微分方程特征線法第三章一階偏微分方程特征線法因此，特征線法的求

19、解思路是用特性曲線來編織解曲面1。求出與向量場( P, Q, R ) 共線的特征曲線；2、讓該曲線通過初始曲線第三章一階偏微分方程特征線法特征線方程解x=x(s), y=y(s), u=u(s)含任意常數(shù)，由初始曲線確定第三章一階偏微分方程特征線法解曲面由以下雙參變量形式給出參變量s 沿特征曲線方向變化，參變量 沿初始曲線方向變化。第三章一階偏微分方程特征線法例2.1 特征線方程初始曲線第三章一階偏微分方程特征線法解出 消去參變量第三章一階偏微分方程特征線法以積分常數(shù)形式給出的特征線解 特征方程通解初始曲線限制解曲面第三章一階偏微分方程特征線法例2.3 特征方程通解解曲面由初值得解第三章一階偏

20、微分方程特征線法1.3 特征線法的物理意義波 動物理量在空間的傳播過程特征線物理量的傳播軌跡，沿該軌跡的變化關(guān)系例1管道中的溶質(zhì)輸送問題第三章一階偏微分方程特征線法特征線 初始曲線解得xvt 第三章一階偏微分方程特征線法圖象矩形方波以速度v 傳播 c0 xt =0t =t1t =t2vvv第三章一階偏微分方程特征線法x-t 平面的特征線及圖解法 第三章一階偏微分方程特征線法例2線性色譜問題特征線第三章一階偏微分方程特征線法x軸給出的初值的解 t 軸給出的邊值的解 第三章一階偏微分方程特征線法x-t 平面的特征線第三章一階偏微分方程特征線法斜坡輸入時的圖象 第三章一階偏微分方程特征線法例3 有化

21、學(xué)反應(yīng)時的色譜波動圖象 濃度沿特征線傳播時呈指數(shù)衰減線性波的特點波速與因變量無關(guān)保持初始間斷和光滑性質(zhì)不變特征線不相交第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象2 非線性波與追趕現(xiàn)象1。追趕問題稀疏波身高曲線初始分布第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象特征線解得第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象圖象稀疏波xh00hh00hxxt = 0時刻的初始分布t = t1時刻的分布t1t01/4h01/2h03/4h0h0攜帶不同h值的特征線第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象2。追趕問題激波初始分布：前低后高解得第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象圖象xh00hx/h0t0t/h0t=0h=h0h=0第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象特點追趕，特征線

22、相交，不真實的多值分布，非線性本征屬性原因：形成強(qiáng)間斷激波，微分方程失效問題：補(bǔ)充間斷面上的關(guān)系第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象3。激波間斷關(guān)系x0 xsxrxll, qlr, qrdxs/dt第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象激波間斷關(guān)系熵條件處理含間斷問題的原則：分段求解第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象例1 含有激波的追趕問題間斷條件初值第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象圖象xh00hx/h0t0t/h0t=0CSI第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象例2 非線性吸附反應(yīng)器第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象特征曲線波速第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象激波間斷條件特征線光滑解第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象將光滑解代入激波間斷條件，

23、解出激波軌跡第三章一階偏微分方程追趕現(xiàn)象圖象x0cxt0t=t1S第三章一階偏微分方程色譜段塞問題3 化學(xué)劑段塞的色譜運(yùn)動問題第三章一階偏微分方程色譜段塞問題物理圖象：前沿激波； 后緣中心稀疏波 激波與稀疏波相互作用第三章一階偏微分方程色譜段塞問題特征線第三章一階偏微分方程色譜段塞問題解題思路1。運(yùn)動初期：激波與稀疏波互不干擾，分別求解；2。運(yùn)動后期：后緣侵蝕，稀疏波與激波聯(lián)立求解。第三章一階偏微分方程色譜段塞問題問題第三章一階偏微分方程色譜段塞問題特征線方程初始曲線第三章一階偏微分方程色譜段塞問題1。運(yùn)動初期激波稀疏波平臺區(qū)第三章一階偏微分方程色譜段塞問題2。運(yùn)動后期激波（濃度在變化）稀疏波

24、（給出激波濃度）聯(lián)立得到第三章一階偏微分方程色譜段塞問題激波軌跡激波濃度段塞寬度第三章一階偏微分方程小結(jié)1、關(guān)于特征線法幾何上，一階偏微分方程可以看成向量（P, Q, R ) 與曲面法向 之間的正交關(guān)系.特征線法就是先由向量（P, Q, R )求出滿足方程的特征線，再以此為元素構(gòu)造出解曲面。物理上，波動總是從初始曲線出發(fā)沿特征線傳播，特征線方程給出了波的速度和傳播中的變化關(guān)系。 第三章一階偏微分方程小結(jié)2、關(guān)于非線性波動的概念線性波的波速與因變量無關(guān)，傳播過程中保持初始間斷或光滑性質(zhì)不變，特征線不相交。非線性波容易發(fā)生追趕，形成稀疏波和激波，其類型與通量曲線的性質(zhì)和初始分布狀況兩方面因素有關(guān)。

25、處理激波問題的思路是：分段求解，聯(lián)立確定。 謝 謝化工問題的建模 與數(shù)學(xué)分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering第四章 二階偏微分方程與分離變量法1、二階方程的分類2、分離變量法3、特征值理論4、特殊函數(shù)的應(yīng)用5、典型問題分析第四章 二階偏微分方程概述化學(xué)工程中常見的PDE對流擴(kuò)散反應(yīng)方程常微分方程：求通解，初值定積分常數(shù)；一階偏微分方程：求通解，初值定任意函數(shù)；二階偏微分方程：從問題出發(fā)確定求解方法。第四章 二階偏微分方程概述二階導(dǎo)數(shù)項占優(yōu)時，一般采用以下兩種方法求解分離變量法：適用于

26、有限空間區(qū)域；積分變換法：適用于無限空間區(qū)域；均化為常微分方程求解。第四章二階偏微分方程方程的分類1 二階偏微分方程的分類令得第四章二階偏微分方程方程的分類由線性代數(shù)，可通過線性變換將特征二次型化為對角型第四章二階偏微分方程方程的分類二階方程分類：當(dāng)b2ac 0時，曲線為橢圓，方程稱為橢圓型方程當(dāng)b2ac = 0時，曲線為拋物線, 方程稱為拋物型方程當(dāng)b2 ac0時，曲線為雙曲線，方程稱為雙曲型方程 第四章二階偏微分方程方程的分類標(biāo)準(zhǔn)形式： 橢圓型方程拋物型方程 雙曲型方程第四章二階偏微分方程方程的分類物理意義：橢圓型方程位勢方程，描述與時間無關(guān)的定常分布；拋物型方程熱傳導(dǎo)方程，描述不可逆的發(fā)

27、展演變；雙曲型方程波動方程，描述可逆的雙向波動。第四章二階偏微分方程方程的分類定解問題的提法方程與初、邊值的組合初值問題(Cauchy問題)邊值問題混合問題第四章二階偏微分方程分離變量法2 分離變量法試探問題的變量分離形式的解例1設(shè)第四章二階偏微分方程分離變量法變量分離，得求X(x)的非零解，通過調(diào)整參數(shù)的值第四章二階偏微分方程分離變量法 ) 當(dāng)0時，方程的通解c1 = c2 = 0，也即(x)0 ) 當(dāng)=0時，方程的通解 c1 = c2 = 0，也即(x)0第四章二階偏微分方程分離變量法 ) 當(dāng)0時，方程通解具有如下形式 由邊界條件X(0) = 0知c1 = 0, 再由 為了有非零解c20，

28、必須sin= 0，由此確定出參數(shù) 第四章二階偏微分方程分離變量法由此得變量分離解第四章二階偏微分方程分離變量法為滿足初值，將解疊加由初值得解。第四章二階偏微分方程分離變量法例2 矩形區(qū)域的Laplace方程例3 圓形區(qū)域的Laplace方程令第四章二階偏微分方程分離變量法特征值問題解得n第四章二階偏微分方程分離變量法由邊值第四章二階偏微分方程分離變量法得得解。第四章二階偏微分方程分離變量法小結(jié)：分離變量法1、假設(shè)變量分離形式的解2、導(dǎo)出并求解特征值問題3、疊加成級數(shù)，滿足初值或邊值關(guān)鍵問題特征值問題能否通過調(diào)整不定參數(shù)獲得齊次方程的非零解。第四章二階偏微分方程分離變量法3 分離變量法非齊次方程

29、與邊界條件：化齊與展開1 、非齊邊值的處理：迭加邊值問題特解 ，化齊例1第四章二階偏微分方程分離變量法令特解v(x)要求滿足邊值，有無窮多種選擇，規(guī)范為第四章二階偏微分方程分離變量法于是，問題化為w(x,t)的齊次邊值問題方程化齊的要點，是要求疊加的特解v(x)既要滿足邊值，又要滿足原微分方程，使得化齊后的問題最簡單。第四章二階偏微分方程分離變量法例2令第四章二階偏微分方程分離變量法解出問題化齊為例3 環(huán)形區(qū)域上的熱傳導(dǎo)方程(p207)第四章二階偏微分方程分離變量法方程與邊值同時化齊第四章二階偏微分方程分離變量法2 、非齊方程的處理：級數(shù)展開難以直接分離變量，但可將所有函數(shù)按特征函數(shù)展開第四章

30、二階偏微分方程分離變量法代入方程，得第四章二階偏微分方程分離變量法第四章二階偏微分方程分離變量法小結(jié)：分離變量法的關(guān)鍵特征函數(shù)級數(shù)展開問題特征函數(shù)的存在性？特征函數(shù)的正交性？特征函數(shù)的完整性？在一般條件下需要從理論上予以回答。第四章二階偏微分方程分離變量法分離變量法的歷史發(fā)展1700s弦振動方程的三角函數(shù)試探解(Tayler)第四章二階偏微分方程分離變量法18001900sFourier方法無窮級數(shù)解特征值問題Fourier級數(shù)理論Fourier變換1800sStrumLiouville特征值理論分離變量法的理論基礎(chǔ)特殊函數(shù)的應(yīng)用第四章二階偏微分方程特征值理論4 特征值問題1、正交性的定義Fo

31、urier展開第四章二階偏微分方程特征值理論2、特征值理論定理一 存在著無窮多個實特征值定理二 當(dāng)q(x)0時, 所有特征值非負(fù) 定理三 不同的所對應(yīng)的特征函數(shù)帶權(quán)(x)正交 定理四 任意函數(shù)f (x) 可展開為特征函數(shù)yn(x)的級數(shù) 第四章二階偏微分方程特征值理論說明1、S-L特征值方程具有一般性；2、四個定理只回答了特征函數(shù)的存在性、正交性、完整性問題，可據(jù)此判斷分離變量法的可行性，給出解的結(jié)構(gòu)。但沒有給出特征值方程的求解方法。第四章二階偏微分方程特殊函數(shù)5 特殊函數(shù)的應(yīng)用 1、極坐標(biāo)系與Bessel函數(shù)令第四章二階偏微分方程特殊函數(shù)得到判斷：特征值存在，特征函數(shù)Rn(r)正交，完整第四

32、章二階偏微分方程特征函數(shù)解的構(gòu)造由正交性第四章二階偏微分方程特征值理論第四章二階偏微分方程特征值理論求特征函數(shù)R(r)，令 ，將特征值問題化為上式是0階Bessel方程，可用級數(shù)解法得到其解式中，J0 和Y0 分別為第一類和第二類Bessel函數(shù)第四章二階偏微分方程特征值理論第四章二階偏微分方程特征值理論由邊界條件確定特征值和特征函數(shù)得解第四章二階偏微分方程特征值理論2、球坐標(biāo)系與Legendre函數(shù)問題球形區(qū)域的穩(wěn)態(tài)傳熱與傳質(zhì)分離變量，令u(r, ) = H()R(r)得到第四章二階偏微分方程特征值理論特征值問題為H，作變換x = cos, 化為Legendre 方程 第四章二階偏微分方程特

33、征值理論自然邊界條件由特征值理論，特征函數(shù)存在，分離變量法可行。Legendre方程的解為無窮級數(shù)，若邊界上有限，必須相應(yīng)的特征函數(shù)為 n階的Legendre多頂式第四章二階偏微分方程特征值理論于是，問題的分離變量解為其中系數(shù)B0，A由邊界條件確定第四章二階偏微分方程特征值理論第四章二階偏微分方程典型問題1、球形催化劑顆粒的瞬態(tài)響應(yīng) 化齊邊值，令第四章二階偏微分方程典型問題S=2時，特解令得第四章二階偏微分方程典型問題再求齊次邊值問題第四章二階偏微分方程典型問題令 w(x, t) = X(x)T(t) , 得到特征值問題 作變換得第四章二階偏微分方程典型問題于是第四章二階偏微分方程典型問題2、

34、管式反應(yīng)器的動態(tài)行為 問題第四章二階偏微分方程典型問題為化齊邊值，令v(x)為固定床反應(yīng)器穩(wěn)態(tài)解第四章二階偏微分方程典型問題齊次邊值問題分離變量w = X(x)T(t) ，得特征值問題第四章二階偏微分方程典型問題化為SturmLiouville型方程非零解Xn(x)存在，帶權(quán)exp(-Pex)正交 第四章二階偏微分方程典型問題特征函數(shù)欲得非零解，要求第四章二階偏微分方程典型問題令得由x = 1處的邊界條件 確定特征值第四章二階偏微分方程典型問題第四章二階偏微分方程典型問題3、管道中的層流換熱Graetz問題第四章二階偏微分方程典型問題無量綱化后分離變量法求解, 令 第四章二階偏微分方程典型問題

35、得特征值問題冪級數(shù)解第四章二階偏微分方程典型問題由x =處的邊值確定特征值 解得第四章二階偏微分方程小結(jié)分離變量法的適用條件有限空間區(qū)域線性方程方程中系數(shù)可分離變量自變量區(qū)域可分離變量滿足SL方程的條件 謝 謝化工問題的建模 與數(shù)學(xué)分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering第五章 積分變換與矩量分析方法 1、Fourier 變換2、Laplace 變換3、基本解與傳遞函數(shù)4、矩量分析方法5、線性色譜理論第五章 積分變換與矩量分析概述積分變換一種數(shù)學(xué)運(yùn)算特點：微分的逆運(yùn)算，可將求導(dǎo)轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔e

36、運(yùn)算；應(yīng)用：積分變換性質(zhì)的利用 方程求解，化微分方程為代數(shù)方程； 頻譜分析隨機(jī)信號的譜處理方法； 傳遞函數(shù) 矩量分析第五章 積分變換與矩量分析Fourier變換1 Fourier 變換來源與發(fā)展：Fourier級數(shù)（有限區(qū)域，l，+ l ） Fourier 積分（無限區(qū)域） Fourier 變換 （，） Laplace 變換 （0 ，）定義第五章 積分變換與矩量分析Fourier變換性質(zhì)導(dǎo)數(shù) 乘積 變量平移 指數(shù)乘積卷積 像的乘積能量積分第五章 積分變換與矩量分析Fourier變換應(yīng)用解PDE三步驟對問題進(jìn)行積分變換解像函數(shù)的問題反變換，得到原函數(shù)解第五章 積分變換與矩量分析Laplace變換

37、2 Laplace 變換Fourier變換的問題變換條件苛刻（絕對可積）區(qū)間含負(fù)值 （，）改進(jìn)，令則函數(shù)f1(x)的Fourier變換就不存在上述缺陷，得Laplace變換第五章 積分變換與矩量分析Laplace變換性質(zhì)導(dǎo)數(shù) s 乘積 變量平移 指數(shù)乘積卷積 像的乘積端點性質(zhì)第五章 積分變換與矩量分析Laplace變換Laplace 逆變換1）查表法2）根據(jù)定義計算復(fù)平面上的圍道積分3）有理函數(shù)展開法化為簡單分式求逆第五章 積分變換與矩量分析基本解3 基本解與傳遞函數(shù)函數(shù)基本解E(t) 滿足物理意義單位脈沖輸入或單位點源（質(zhì)量源、動量源、熱源、點電荷）形成的響應(yīng)或分布第五章 積分變換與矩量分析

38、基本解為什么要求基本解？為了構(gòu)造一般非齊次方程 的解基本解的求取積分變換法方法優(yōu)勢：函數(shù)的積分變換恒為1，正、逆變換易例5.15第五章 積分變換與矩量分析傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)系統(tǒng)對單位脈沖輸入的響應(yīng) 基本解的像函數(shù)傳遞函數(shù)的求取積分變換法為什么要引入傳遞函數(shù)？因為不需求逆變換，可方便復(fù)雜系統(tǒng)的運(yùn)算，特別對于串連系統(tǒng)和反饋回路系統(tǒng)第五章 積分變換與矩量分析矩量分析4 矩量分析矩的概念分布函數(shù)的數(shù)字特征矩與積分變換的關(guān)系 矩量分析不求逆變換而獲得數(shù)字特征的方法第五章 積分變換與矩量分析矩量分析停留時間分布的矩量分析RTD方法思想：熱模與冷模解耦研究矩量分析：建立矩與返混參數(shù)之間關(guān)系，指導(dǎo)冷模 實驗測定

39、模型第五章 積分變換與矩量分析矩量分析傳遞函數(shù)矩與參數(shù)的關(guān)系第五章 積分變換與矩量分析矩量分析脈沖動態(tài)實驗方法原理數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)輸出信號 的各階矩測定矩值第五章 積分變換與矩量分析矩量分析5 線性色譜理論考慮外擴(kuò)散時的色譜過程床層模型顆粒模型第五章 積分變換與矩量分析矩量分析顆粒傳遞函數(shù)床層傳遞函數(shù)方差加和原理第五章 積分變換與矩量分析矩量分析同時考慮內(nèi)外擴(kuò)散的色譜過程顆粒模型第五章 積分變換與矩量分析矩量分析顆粒傳遞函數(shù)方差加和性質(zhì)串連過程的總方差等于各步方差之和第五章 積分變換與矩量分析矩量分析傳遞阻力的等效模型 在保持過程總方差相同的情況下，可以采用簡化的等效模型代替復(fù)雜的多步串連模型

40、顆粒內(nèi)外擴(kuò)散阻力的歸并等效傳質(zhì)系數(shù)第五章 積分變換與矩量分析小結(jié)傳遞阻力的等效模型 在保持過程總方差相同的情況下，可以采用簡化的等效模型代替復(fù)雜的多步串連模型顆粒內(nèi)外擴(kuò)散阻力的歸并等效傳質(zhì)系數(shù)第五章 積分變換與矩量分析矩量分析傳質(zhì)阻力與返混項的歸并等效簡化模型表觀擴(kuò)散系數(shù)等效的平衡模型第五章積分變換與矩量分析小結(jié)積分變換概念的引出及其發(fā)展Fourier級數(shù)Fourier變換Laplace變換基本解傳遞函數(shù)矩量分析上述方法在概念上都是一脈相承的。方法應(yīng)用積分變換傳遞函數(shù)各有其適用的問題與條件矩量分析謝 謝化工問題的建模 與數(shù)學(xué)分析方法 Modelling and Analytical Metho

41、ds for Problems in Chemical Engineering第六章 近似解析方法1、奇異攝動法2、試驗函數(shù)法3、正交配置法第六章近似解析方法概論解析解與數(shù)值解的比較解析解由簡單函數(shù)關(guān)系式直接給出的對應(yīng)關(guān)系 結(jié)構(gòu)簡單，計算代價小 結(jié)果可靠，直觀，便于應(yīng)用 對一般問題難以得到數(shù)值解以大量數(shù)字對應(yīng)方式給出的函數(shù)關(guān)系 適用性廣，可處理復(fù)雜問題和大規(guī)模問題 依賴于計算工具和特定算法，代價較大第六章近似解析方法概論近似解析解準(zhǔn)確解的近似解析表達(dá)式局部精確性較差，但整體規(guī)律性好形式簡單而滿足工程應(yīng)用容易得到數(shù)學(xué)問題的求解原則首先求準(zhǔn)確解析解其次求近似解析解最后采用數(shù)值解第六章 近似解析方法

42、攝動法1 攝動法攝動法將問題對小參數(shù)進(jìn)行級數(shù)展開的求解方法正則攝動：小參數(shù)直接展開的方法奇異攝動：直接展開失效后采用的專門方法或改進(jìn)方 法第六章 近似解析方法攝動法1、正則攝動與奇異攝動例1 最高次項含小參數(shù)的非線性代數(shù)方程的求解設(shè)得第六章 近似解析方法攝動法正則攝動只能得到一個根，因為直接展開失去了問題的非線性性質(zhì)。第六章 近似解析方法攝動法如果作變換 y = u/ ，得然后對u 直接展開，得到另一個根第六章 近似解析方法攝動法準(zhǔn)確解為當(dāng) 0時，其兩個根分別趨于y a和y 1 ，對應(yīng)的兩個攝動解分別稱為正則攝動解與奇異攝動解。第六章 近似解析方法攝動法例2 小參數(shù)位于非導(dǎo)數(shù)項中的情況設(shè)得第六

43、章 近似解析方法攝動法近似解與準(zhǔn)確解極為接近，這種情況下正則攝動法是奏效的。第六章 近似解析方法攝動法例3 方程最高階導(dǎo)數(shù)乘小參數(shù)的情況當(dāng) 0時，方程由二階退化成一階方程，近似解只能滿足一個邊值而難以同時滿足兩個邊值。 第六章 近似解析方法攝動法直接展開得到取x =1處的邊界條件 y0 (1) = ，y1 (1) = 0，得到 第六章 近似解析方法攝動法在 x =0 處因此，近似解不滿足x =0 處的邊值。第六章 近似解析方法攝動法分析： x =0 處存在一個邊界層邊界層的存在是小參數(shù)乘最高階導(dǎo)數(shù)問題的特征第六章 近似解析方法攝動法概念：漸近級數(shù)與收斂級數(shù)收斂級數(shù)：按變量展開的級數(shù)，如泰勒級數(shù)

44、，三角級數(shù)，冪級數(shù)等，級數(shù)的精度隨項數(shù)的增加而提高；漸近級數(shù)：按參數(shù)展開的級數(shù)系數(shù)yn(x)是由展開后的問題順序解出的，因此級數(shù)不一定收斂，一般只取級數(shù)的23項。第六章 近似解析方法攝動法2、邊界層方法基本思想：放大鏡將空間邊界層放大，使分布變平緩，突出邊界層內(nèi)的作用；慢鏡頭將時間尺度放大，使變化減緩，突出快速變化的過程。歷史來源與發(fā)展：Prandtl邊界層方程，Blasuis匹配方法，PLK方法第六章 近似解析方法攝動法邊界層方法的求解步驟1、外解直接展開2、內(nèi)解邊界層放大3、匹配內(nèi)解與外解的銜接4、合成內(nèi)解與外解的組合第六章 近似解析方法攝動法例31、外解第六章 近似解析方法攝動法2、內(nèi)解

45、邊界層放大，定義內(nèi)部坐標(biāo)第六章 近似解析方法攝動法取1以保留二階導(dǎo)數(shù)項，得令得第六章 近似解析方法攝動法解出0階近似常數(shù)C由匹配條件確定第六章 近似解析方法攝動法3、匹配Prandtl匹配原理0階近似的匹配方法得0階內(nèi)解第六章 近似解析方法攝動法4、合成加法合成法合成解外解內(nèi)解公共部分高階近似的匹配Van Dyke匹配原理 n項外解的m項內(nèi)部展開 m項內(nèi)解的n項外部展開 第六章 近似解析方法攝動法匹配后的兩項近似內(nèi)解合成后的兩項近似解第六章 近似解析方法攝動法3、時間邊界層剛性問題（stiff equs)剛性問題：具有不同時間尺度的變化問題；特點：快步驟與慢步驟共存 擬穩(wěn)態(tài)近似與定常態(tài)近似計算

46、難點：數(shù)值振蕩，多步Gear 方法奇異攝動：慢鏡頭分析，給出完整的結(jié)果第六章 近似解析方法攝動法例慢時間尺度解（0）擬穩(wěn)態(tài)近似第六章 近似解析方法攝動法快時間尺度解定常態(tài)近似第六章 近似解析方法攝動法合成與匹配Von Dyke匹配原理例：催化劑的平行失活問題反應(yīng)快、失活慢，二者均需要考慮第六章 近似解析方法攝動法無量綱化1、先求內(nèi)解，內(nèi)解可完全確定 第六章 近似解析方法攝動法令 第六章 近似解析方法攝動法得到兩項近似內(nèi)解 第六章 近似解析方法攝動法2、直接展開求外解，外解不滿足初值，含任意常數(shù)3、內(nèi)、外解匹配確定外解任意常數(shù)得到外解第六章 近似解析方法攝動法第六章 近似解析方法攝動法4、合成含

47、有快、慢尺度的統(tǒng)一解 第六章 近似解析方法攝動法第六章 近似解析方法攝動法4、移動的空間邊界層問題 非線性色譜過程的濃度前沿非線性吸附效應(yīng)與擴(kuò)散效應(yīng)之間的競爭作用移動的空間邊界層的形成求解思路外解非線性色譜問題的激波解內(nèi)解采用跟隨激波的移動坐標(biāo)系，放大邊界層匹配與合成第六章 近似解析方法攝動法問題 第六章 近似解析方法攝動法1、外解由特征線法濃度激波位置xs由匹配條件確定 第六章 近似解析方法攝動法2、邊界層內(nèi)解積分得3、匹配第六章 近似解析方法攝動法由以上Prandtl匹配條件得激波間斷關(guān)系解得激波軌跡邊界層內(nèi)解第六章 近似解析方法攝動法第六章 近似解析方法攝動法4、0階近似合成解第六章 近

48、似解析方法試驗函數(shù)法2 試驗函數(shù)方法 思想：用已知的、含待定參數(shù)的簡單函數(shù)近似代替準(zhǔn)確解，用積分形式的方程或點近似方程代替微分方程，確定不定參數(shù)。以犧牲一些局部的精確性為代價，換取對問題整體規(guī)律性的把握，在一定的近似范圍內(nèi)解決問題。要點：試驗函數(shù)的選擇殘差處理方法第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法1、試驗函數(shù)與方程殘差 例1 落石問題分析：下落速度從零增加到末速度第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法設(shè)試驗函數(shù)為 是待定參數(shù)，代入方程得到殘差 若要求在t=時刻方程成立，R()=0，得第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法由準(zhǔn)確解特點：方程只在一個點滿足，近似解“八九不離十”例2 催化劑顆粒有效系數(shù)計算 第六章 近

49、似解析方法試驗函數(shù)法設(shè)試驗函數(shù)要求方程積分滿足，得第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法取s=0，r(y)=y ，得準(zhǔn)確解 1 時，相差甚微（1%左右） ， 越大相差越大。原因：快速反應(yīng)濃度分布空心化，偏離拋物分布。第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法改進(jìn)，對于快速反應(yīng)，采用以下蛋白型試驗函數(shù)仍要求方程積分滿足，確定參數(shù)xp第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法準(zhǔn)確解 ，說明試驗函數(shù)越接近真實，結(jié)果越準(zhǔn)確。 例3 試井問題拭井：反求地層參數(shù)的工業(yè)試驗方法，壓力變化方程第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法分析：影響半徑RR() ，漏斗型分布，擬穩(wěn)態(tài)假設(shè)無窮遠(yuǎn)邊值的有限化積分平均近似擬穩(wěn)態(tài)試驗函

50、數(shù)第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法由邊界條件影響半徑為待定函數(shù)，代入積分的壓力方程，得準(zhǔn)確解第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法小結(jié)：試驗函數(shù)法試驗函數(shù)的選擇盡可能接近真實事先滿足初始與邊界條件方程殘差的處理 點近似 積分平均近似 加權(quán)積分近似第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法2、空間平均近似 例：球形顆粒上的不定常擴(kuò)散 采用拋物型試驗函數(shù): 第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法代入方程，令空間積分為0，得系數(shù)A由初始條件確定，定義空間平均濃度，得由初值為0 第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法近似解與準(zhǔn)確解的比較：長時間后準(zhǔn)確，短時間內(nèi)偏離。原因：滲透區(qū)的存在，偏離拋物型試驗函數(shù)。第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法改進(jìn)取滲透型試驗函數(shù)由空間平均近似第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法短時間解準(zhǔn)確解第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法3、邊界層動量積分方法問題：Prandtl邊界層方程，非線性PDE方程組y=0: u=v=0; y: u=U, v=0 x0: u=U, v=0第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法方法要點：在邊界層內(nèi)用積分形式的動量方程代替微分方程選擇滿