湖南省常德市淮陽2022年高三第四次模擬考試數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入，則計算機輸出的數(shù)是（ ）ABCD2的展開式中的系數(shù)為（ ）ABC

2、D3某工廠利用隨機數(shù)表示對生產的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001，002，599,600.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（ ）A324B522C535D5784設函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，若函數(shù)在處取得極大值，則函數(shù)的圖象可能是（ ）ABCD5若的展開式中的系數(shù)為-45，則實數(shù)的值為（）AB2CD6已知，函數(shù)在區(qū)間內沒有最值，給出下列四個結論：在上單調遞增；在上沒有零點；在上只有一個零點.其中所有正確結論的編號是（ ）ABCD7已知a0，b0，a+b =1，若 =，則的最小

3、值是（ ）A3B4C5D68設是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，滿足條件是偶函數(shù)，且當時，則，的大小關系是（ ）ABCD9若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）A240B264C274D28210一個圓錐的底面和一個半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個圓錐軸截面底角的大小是（ ）ABCD11已知是虛數(shù)單位，若，則實數(shù)（ ）A或B-1或1C1D12已知中，則（ ）A1BCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知定義在上的函數(shù)的圖象關于點對稱,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點為,則_14已知為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上移動時，的內心的軌跡方程為_15在

4、中，內角的對邊長分別為，已知，且，則_16如圖是九位評委打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均分為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.18（12分）已知函數(shù).（1）當時，不等式恒成立，求的最小值；（2）設數(shù)列，其前項和為，證明：.19（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù)，試求的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，且，求的取值范圍.20（12分）已知函數(shù)（1）若，試討論的單調性；（2）若，實數(shù)為方程

5、的兩不等實根，求證：.21（12分）在中，（）求角的大??；（）若，求的值22（10分）已知函數(shù), （1）當x0時，f（x）h（x）恒成立，求a的取值范圍；（2）當x0時，研究函數(shù)F（x）=h（x）g（x）的零點個數(shù)；（3）求證：（參考數(shù)據(jù)：ln1.10.0953）參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】先明確該程序框圖的功能是計算兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再利用輾轉相除法計算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計算，中的最大公約數(shù)，所以，故當輸入，則計算機輸出的數(shù)是57.故選：B.【點睛】本題考查程序框圖的功能，做此類題一

6、定要注意明確程序框圖的功能是什么，本題是一道基礎題.2C【解析】由題意，根據(jù)二項式定理展開式的通項公式，得展開式的通項為，則展開式的通項為，由，得，所以所求的系數(shù)為.故選C.點睛：此題主要考查二項式定理的通項公式的應用，以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運算等有關方面的知識與技能，屬于中低檔題，也是?？贾R點.在二項式定理的應用中，注意區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項公式，再根據(jù)所求問題，通過確定未知的次數(shù)，求出，將的值代入通項公式進行計算，從而問題可得解.3D【解析】因為要對600個零件進行編號，所以編號必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，大于600的，重復出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個編

7、號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號內的數(shù)據(jù)依次為:，因為535重復出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為，故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應用，正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關鍵.4B【解析】由題意首先確定導函數(shù)的符號，然后結合題意確定函數(shù)在區(qū)間和處函數(shù)的特征即可確定函數(shù)圖像.【詳解】函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極大值，當時，；當時，；當時，.時，時，當或時，；當時，.故選：【點睛】根據(jù)函數(shù)取得極大值，判斷導函數(shù)在極值點附近左側為正，右側為負，由正負情況討論圖像可能成立的選項，是判斷圖像問題常見方法，有一定難度.5D【解析】將多項式的乘法式展開

8、，結合二項式定理展開式通項，即可求得的值.【詳解】所以展開式中的系數(shù)為，解得.故選：D.【點睛】本題考查了二項式定理展開式通項的簡單應用，指定項系數(shù)的求法，屬于基礎題.6A【解析】先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內沒有最值求出或.再根據(jù)已知求出，判斷函數(shù)的單調性和零點情況得解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間內沒有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上單調遞減.當時，且，所以在上只有一個零點.所以正確結論的編號 故選：A.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.7C【解析】根據(jù)題意，將a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】a0，b0，a+

9、b=1，當且僅當時取“”號答案：C【點睛】本題考查基本不等式的應用，“1”的應用，利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是最后一定要驗證等號能否成立，屬于基礎題.8C【解析】y=f（x+1）是偶函數(shù)，f（-x+1）=f（x+1），即函數(shù)f（x）關于x=1對稱當x1時，為減函數(shù)，f（log32）=f（2-log32）= f（）且=log34，log343，bac，故選C9B【解析】將三視圖還原成幾何體，然后分別求出各個面的面積，得到答案.【詳解】由三視圖可得，該幾何體

10、的直觀圖如圖所示，延長交于點，其中，所以表面積.故選B項.【點睛】本題考查三視圖還原幾何體，求組合體的表面積，屬于中檔題10D【解析】設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,再表達圓錐表面積與球的表面積公式,進而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選：D【點睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎題.11B【解析】由題意得，然后求解即可【詳解】，.又，.【點睛】本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎題12C【解析】以為基底，將用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律，即可求解.【詳解】,.故選:C.【點睛】本題考

11、查向量的線性運算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運算，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。134038.【解析】由函數(shù)圖象的對稱性得：函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關于點對稱，則，,即，得解【詳解】由知：得函數(shù)的圖象關于點對稱又函數(shù)的圖象關于點對稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點關于點對稱則故，即本題正確結果：【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象的對稱性來求值的問題，關鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對稱中心，屬中檔題14【解析】考查更為一般的問題：設P為橢圓C:上的動點，為橢圓的兩個焦點，為PF1F2的內心，求點I的軌跡方程解法一：如圖，設內切圓I與F1F2的切點為H，半徑為r，且F

12、1H=y，F(xiàn)2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，則.直線IF1與IF2的斜率之積：，而根據(jù)海倫公式，有PF1F2的面積為因此有.再根據(jù)橢圓的斜率積定義，可得I點的軌跡是以F1F2為長軸，離心率e滿足的橢圓，其標準方程為.解法二：令，則三角形PF1F2的面積：，其中r為內切圓的半徑，解得.另一方面，由內切圓的性質及焦半徑公式得：從而有消去得到點I的軌跡方程為：.本題中：，代入上式可得軌跡方程為：.154【解析】根據(jù)正弦定理與余弦定理可得：，即故答案為4161【解析】寫出莖葉圖對應的所有的數(shù)，去掉最高分，最低分，再求平均分【詳解】解：所有的數(shù)為：77，78，82，84，84，86，88，93

13、，94，共9個數(shù)，去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7個數(shù)，平均分為，故答案為1【點睛】本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計算，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）證明見解析（2）【解析】（1）取中點為，連接，根據(jù)線段關系可證明為等邊三角形，即可得；由為等邊三角形，可得，從而由線面垂直判斷定理可證明平面，即可證明.（2）以為原點，為，軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取中點為，連接，如下圖所示：因為，所以，故為等邊三角形，則.連接，因為，所

14、以為等邊三角形，則.又，所以平面.因為平面，所以.（2）由（1）知，因為平面平面，平面，所以平面，以為原點，為，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易求，則，則，.設平面的法向量，則即令，則，故.設平面的法向量，則則令，則，故，所以.由圖可知，二面角為鈍二面角角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定，由線面垂直判定線線垂直，由空間向量法求平面與平面形成二面角的大小，屬于中檔題.18（1）；（2）證明見解析.【解析】（1），分，三種情況推理即可；（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到證明.【詳解】（1）由，得.當時，方程的，因此在區(qū)間上恒為負數(shù).所以時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.又，

15、所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立；當時，方程有兩個不等實根，且滿足，所以函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上大于零，函數(shù)在區(qū)間上單增，又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零，不滿足題意；當時，在區(qū)間上，函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù)，所以在區(qū)間上恒為正數(shù)，不滿足題意；綜上可知：若時，不等式恒成立，的最小值為.（2）由第（1）知：若時，.若，則，即成立.將換成，得成立，即，以此類推，得，上述各式相加，得，又，所以.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)恒成立問題、證明數(shù)列不等式問題，考查學生的邏輯推理能力以及數(shù)學計算能力，是一道難題.19（1）；（2）.【解析】（1）求出，再求恒成立，以及恒成立時，的取值范圍；（2）由已知，在區(qū)間內恰有一個零點，

16、轉化為在區(qū)間內恰有兩個零點，由（1）的結論對分類討論，根據(jù)單調性，結合零點存在性定理，即可求出結論.【詳解】（1）由題意得，則，當函數(shù)在區(qū)間上單調遞增時，在區(qū)間上恒成立.（其中），解得.當函數(shù)在區(qū)間上單調遞減時，在區(qū)間上恒成立，（其中），解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.（2）.由，知在區(qū)間內恰有一個零點，設該零點為，則在區(qū)間內不單調.在區(qū)間內存在零點，同理在區(qū)間內存在零點.在區(qū)間內恰有兩個零點.由（1）易知，當時，在區(qū)間上單調遞增，故在區(qū)間內至多有一個零點，不合題意.當時，在區(qū)間上單調遞減，故在區(qū)間內至多有一個零點，不合題意，.令，得，函數(shù)在區(qū)間上單凋遞減，在區(qū)間上單調遞增.記的兩個零點為，

17、必有.由，得.又，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應用，涉及到函數(shù)的單調性、零點問題，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于較難題.20（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)題意得，分與討論即可得到函數(shù)的單調性；（2）根據(jù)題意構造函數(shù)，得，參變分離得，分析不等式，即轉化為，設，再構造函數(shù)，利用導數(shù)得單調性，進而得證.【詳解】（1）依題意，當時，當時，恒成立，此時在定義域上單調遞增；當時，若，；若，；故此時的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）方法1：由得令，則，依題意有，即，要證，只需證（不妨設），即證，令，設，則，在單調遞減，即，從而

18、有.方法2：由得令，則，當時，時，故在上單調遞增，在上單調遞減，不妨設，則，要證，只需證，易知，故只需證，即證令，（），則=，（也可代入后再求導）在上單調遞減，故對于時，總有.由此得【點睛】本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，屬于難題.21 (1) ;(2) .【解析】試題分析：（1）由正弦定理得到消去公因式得到所以 進而得到角A；（2）結合三角形的面積公式，和余弦定理得到，聯(lián)立兩式得到解析：（I）因為，所以，由正弦定理，得 又因為 ，所以 又因為 ， 所以 （II）由，得，由余弦定理，得，即，因為，解得 .因為 ，所以 .22（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】（1）令H（x）=h（x）f（x）=ex1aln（x+1）（x0），求得導數(shù)，討論a1和a1，判斷導數(shù)的符號，由恒成立思想可得a的范圍；（2）求得F（x）=h（x）g（x）的導數(shù)和二階導數(shù)，判斷F（x）的單調性，討論a1，a1，F(xiàn)（x）的單調性和零點個數(shù)；（3）由（1）知，當a=1時，ex1+ln（x+1）對x0恒成立，令；由（2）知，當a=1時，對x0恒成立，令，結合條件，即可得證【詳解】（）解：令H（x）=h（x）f（x）=ex1aln（x+1）（x0），則，若a1，則，H（x）0，H（x）在0，+）遞增，H（x）H（0）=0，即f（x）h