公開課《二項式定理》教學設(shè)計

1、學習必備歡迎下載標簽:標題篇一：二項式定理公開課教案二項式定理教案2010-5-24一:教學目標1.掌握二項式定理及其歸納過程2.培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和揭示事物內(nèi)在客觀規(guī)律能力和邏輯推理能力3.養(yǎng)成嚴謹?shù)乃季S習慣，培養(yǎng)對數(shù)學的興趣二教學知識點1.二項式定理：（a+b）n=Can+Can1b1+Cabr+Cbn（nN*）2.通項公式：Tr+1=Can_rbr（r=0,1,n）（二）能力訓練要求.1.理解并掌握二項式定理，從項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、通項幾個特征熟記它的展開式2.能運用展開式中的通項公式求展開式中的特定項.（三）德育滲透目標1.提高學生的歸納推理能力.2.樹立由特殊到一般的歸納意識.三:教學重點與

2、難點：重點：分析的二次展開式，并歸納得到二項式定理難點：在二項式展開的過程中，發(fā)現(xiàn)各項及各項系數(shù)的規(guī)律二項式定理（a+b）n=Can+Can1b+Cabr+Cbn有以下特征：（1）展開式共有n+1項.（2）字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n.（3）各項的系數(shù)C,C,CCnn稱為二項式系數(shù).2.展開式的通項公式Tr+1=Can_rbr,其中r=0,1,2,n表示展開式中第r+1項.3.當a=1,b=x時，（1+x）n=1+Cx+Cx2+Cxr+xn.注意點:1.展開式中某一項的二項式系數(shù)與該項的系數(shù)區(qū)別.2.通項公式的靈活應(yīng)用.教學方法啟發(fā)引導法教學過程.課題

3、導入師在初中，我們學過兩個重要公式，即（a+b）2=a2+2ab+b2;（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3.那么，將（a+b）4,以至于（a+b）5,（a+b）6展開后，它的各項是什么呢？.講授新課師不妨，我們來研究一下這兩式的特點，看它們的展開式是否有什么規(guī)律可循？學習必備歡迎下載不難發(fā)現(xiàn)，（a+b）2=a2+2ab+b2=Ca2+Cab+Cb2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3=Ca3+Ca2b+Cab2+b3.即，等號右邊的展開式的每一項，是從每個括號里任取一個字母的乘積，因而各項的次數(shù)相同.（這樣看來，a+b）4的展開式應(yīng)有下面形式的各項：a4,a3b,a2b2,a

4、b3,b4.這些項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)，也就是展開式中各項的系數(shù)是什么呢？生（討論）（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）在上面4個括號中：每個都不取b的情況有1種，即C種，所以a4的系數(shù)是C；恰有1個取b的情況有C種，所以a3b的系數(shù)是C；恰有2個取b的情況有C種，所以a2b2的系數(shù)是C;恰有3個取b的情況有C種，所以ab3的系數(shù)是C；4個都取b的情況有C種，所以b4的系數(shù)是C.也就是說，（a+b）4=Ca4+Ca3b+Ca2b2+Cab3+Cb4.依此類推，對于任意正整數(shù)n，上面的關(guān)系也是成立的.即：（a+b）n=Can+Can1b1+Canrbr+Cbn（nN*）此公式所

5、表示的定理.我們稱為二項式定理，右邊的多項式叫做（a+b）n的二項展開式，它一共有n+1項，其中各項的系數(shù)C（r=0,1,2,n）叫做二項式系數(shù).式中的Canrbr叫做二項展開式的通項，用Tr+1表示，即通項為展開式的第r+1項：Tr+1=Canrbr.另外，在二項式定理中，如果設(shè)a=1,b=x,則得到：（1+x）n=1+Cx+Cx2+Cxr+xn.師下面我們結(jié)合幾例來熟練此定理.例1展開（1+）4.x分析：只需設(shè)a=1,b=，用二項式定理即可展開.）+C（）2+C（）3+C（）4解：（1+）4=1+C（.例2例3求（x+a）12的展開式中的倒數(shù)第4項.分析：應(yīng)先確定其項數(shù)，然后再利用通項公式

6、求得.解：（x+a）12的展開式共有13項，所以倒數(shù)第4項是它的第10項，由通項公式得.例4（1）求（1+2x）7的展開式的第4項的系數(shù)；（2）求（xx）9的展開式中x3的系數(shù).7（32（x）的展開式的第4項是T3+1=C1732x）解：1）1+23333=Cx=358x=280 x.所以展開式第4項的系數(shù)是280.注：（1+2x）7的展開式的第4項的二項式系數(shù)是C=35.（2）（x）9的展開式的通項是.由題意得：92r=3,即:r=3x3的系數(shù)是（1）3C=84.評述：此類問題一般由通項公式入手分析，要注意系數(shù)和二項式系數(shù)的概念區(qū)別.課堂練習生（自練）課本P121(B版)P117(A版)練習

7、16.1.（x-2）9的展開式中，第6項的二項式系數(shù)是（）A.4032B.-4032C.126D.-126學習必備歡迎下載2.(1-2x)15的展開式中的各項系數(shù)和是（）A.1B.-1C.215D.315思考:試想一想所有二項式系數(shù)之和為多少?_.課時小結(jié)通過本節(jié)學習，要掌握二項式定理及其通項公式.課后作業(yè)（一）1.課本P1175、6.(A版),P121(B版)5、6（二）1.預(yù)習：課本P121P124.篇二：人教版高中數(shù)學二項式定理教學設(shè)計(全國一等獎)二項式定理（第1課時）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：二項式定理的發(fā)現(xiàn)與證明內(nèi)容解析：本節(jié)是高中數(shù)學人教A版選修23第一章第3節(jié)的內(nèi)容二項式定理是多

8、項式乘法的特例，是初中所學多項式乘法的延伸，此內(nèi)容安排在組合計數(shù)模型之后，隨機變量及其分布之前，既是組合計數(shù)模型的一個應(yīng)用，也是為學習二項分布作準備由于二項式定理的發(fā)現(xiàn)，可以通過從特殊到一般進行歸納概括，在歸納概括過程中還可以用到組合計數(shù)模型，因此，這部分內(nèi)容對于培養(yǎng)學生數(shù)學抽象與數(shù)學建模素養(yǎng)有著不可忽略的價值教學中應(yīng)當引起充分重視二、目標和目標解析目標：（1）能通過多項式乘法，歸納概括出二項式定理內(nèi)容，并會用組合計數(shù)模型證明二項式定理（2）能從數(shù)列的角度認識二項式的展開式及其通項的規(guī)律，并能通過特例體會二項式定理的簡單應(yīng)用（3）通過二項式定理的發(fā)現(xiàn)過程培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，以及用二項式定理

9、這個模型培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)目標解析：（1）二項式展開式是依多項式乘法獲得的特殊形式，因此從多項式乘法出發(fā)去發(fā)現(xiàn)二項式定理符合學生的認知規(guī)律但歸納概括的結(jié)論，如果不加以嚴格的證明不符合數(shù)學的基本要求因此，在歸納概括的過程中，用好組合模型不僅可以更自然地得到結(jié)論，還能為證明二項式定理提供方法（2）由于二項展開式是一個復雜的多項式如果不把其看成一個數(shù)列的和，引進數(shù)列的通項幫助理解與應(yīng)用，學生很難短期內(nèi)對定理有深入的認識因此，通過一些特例，建立二項式展開式與數(shù)列及數(shù)列和的聯(lián)系，是達成教學目標的一個重要途徑（3）數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學教學的重要目標，但數(shù)學核心素養(yǎng)需要在每一堂課中尋找機會去落實在二項式定理

10、的教學中，從特殊的二項式展開式的特征歸納概括一般二項式展開式的規(guī)律是進行數(shù)學抽象教學的很好機會；同時利用組合計數(shù)模型證明二項式定理，以及利用二項式定理這個模型解決問題，也是進行數(shù)學建模教學的好機會基于上述分析，本節(jié)課的教學重點定為：發(fā)現(xiàn)并證明二項式定理三、教學問題診斷分析1教學問題一：現(xiàn)在的學生字母運算能力普遍偏弱，多個多項式的乘法對運算要求又較高，而本節(jié)課又需要進行多個多項式的乘法去觀察展開式的特征，因此，解決運算問題是本節(jié)課的第一個教學問題解決方案：運用圖形計算器的代數(shù)運算功能，可以讓學生快速得到正確結(jié)果，讓學生把主要精力用在觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律上學習必備歡迎下載2教學問題二：怎樣發(fā)現(xiàn)二項式展開

11、式的規(guī)律是本節(jié)課的第二個教學問題這不僅是本節(jié)課的重點，也是教學難點解決方案：通過比較多項式(a1?b1)(a2?b2)(a3?b3)展開式中項與項的異同點，得出(a?b)n的展開式的項的規(guī)律，從而得到二項式定理的內(nèi)容3教學問題三：如何證明二項式定理是第三個教學問題學生很容易把發(fā)現(xiàn)二項式展開式的過程就當成二項式定理的證明過程二項式定理的證明可以用數(shù)學歸納法，但難度較大較為恰當?shù)倪x擇是把發(fā)現(xiàn)二項式定理過程中用到的組合計數(shù)模型來證明解決方案：通過對(a?b)3的展開式項的分析，并用組合數(shù)進行刻畫，由此用組合數(shù)對一般的展開式進行刻畫基于上述情況，本節(jié)課的教學難點定為：發(fā)現(xiàn)及歸納二項式展開式系數(shù)的規(guī)律四

12、、教學策略分析本節(jié)課的教學目標與教學問題為我們選擇教學策略提供了啟示為了讓學生通過觀察、歸納得到二項式定理，應(yīng)該為學生創(chuàng)造積極探究的平臺因此，在教學過程中使用TI-圖形計算器既可以解決多項式乘法的復雜計算問題，也可以讓學生從被動學習狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動學習狀態(tài)中來在教學設(shè)計中，采取問題引導方式來組織課堂教學問題的設(shè)置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學重點，突破教學難點在教學過程中，重視二項式定理的發(fā)現(xiàn)與證明，讓學生體會到從特殊到一般是數(shù)學抽象的基本過程，同時，定理的證明與定理的應(yīng)用其實就是數(shù)學模型的建立與應(yīng)用的典范因此，本節(jié)課的教學是實施數(shù)學具體內(nèi)容的教學與核心素養(yǎng)

13、教學有機結(jié)合的嘗試五、教學過程與設(shè)計篇三：人教版高中數(shù)學二項式定理教學設(shè)計(全國一等獎)課題：1.3.1二項式定理（人教A版高中課標教材數(shù)學選修2-3）二項式定理教學設(shè)計一、教學內(nèi)容解析二項式定理是人教A版選修2-3第一章第三節(jié)的知識內(nèi)容，它是初中學習的多項式乘法的繼續(xù)在計數(shù)原理之后學習二項式定理，一方面是因為它的證明要用到計數(shù)原理，可以把它作為計數(shù)原理的一個應(yīng)用，另一方面也是解決整除、近似計算、不等式證明的有力工具，同時也是后面的數(shù)學期望等內(nèi)容的基礎(chǔ)知識，二項式定理起著承上啟下的作用另外，由于二項式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，利用二項式定理可進一步深化對組合數(shù)的認識總之，二項式定理是綜合性較強的

14、、具有聯(lián)系不同內(nèi)容作用的知識二、教學目標設(shè)置新課標指出教學目標應(yīng)體現(xiàn)學生學會知識與技能的過程也同時成為學生學會學習，形成正確價值觀的過程新課標要求：用計數(shù)原理分析(a?b)2，(a?b)3，(a?b)4的展開式，歸納類比得到二項式定理，并能用計數(shù)原理證明掌握二項展開式的通項公式，解決簡單問題；學會討論二項式系數(shù)性質(zhì)的方法根據(jù)新課標的理念及本節(jié)課的教學要求，制定了如下教學目標：1.學生在二項式定理的發(fā)現(xiàn)推導過程中，掌握二項式定理及推導方法、二項展開式、通項公式的特點，并能運用二項式定理計算或證明一些簡單的問題2.學生經(jīng)歷二項式定理的探究過程，體驗“從特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從一般到特殊指導實踐”的思

15、想方法，獲得觀察、歸納、類比、猜想及證明的理性思維探究能力3.通過二項展開式的探究，培養(yǎng)學生積極主動、勇于探索、不斷創(chuàng)新的精神，感受合作探究的樂趣，感受數(shù)學內(nèi)在的和諧、對稱美及數(shù)學符號應(yīng)用的簡潔美結(jié)合數(shù)學史，激發(fā)學生愛國熱情和民族自豪感三、學情分析學習必備歡迎下載有利因素授課對象是高二的學生，具有一般的歸納推理能力，思維較活躍，初步具備了用聯(lián)系的觀點分析問題的能力學生剛剛學習了計數(shù)原理和排列組合的知識，對本節(jié)(a?b)n展開式中各項系數(shù)的研究會有很大幫助不利因素本節(jié)內(nèi)容思維量較大，對思維的嚴謹性和分類討論、歸納推理等能力有較高要求，學生學習起來有一定難度在數(shù)學學習過程中，大部分學生習慣于重視定

16、理、公式的結(jié)論，而不重視其形成過程四、教法策略分析遵循“以學生為主體、教師是數(shù)學課堂活動的組織者、引導者和參與者”的現(xiàn)代教育原則，采用“啟發(fā)式教學法”，學生主要采用“探究式學習法”，并利用多媒體輔助教學本課以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學生知識的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，倡導學生主動參與，通過不斷探究、發(fā)現(xiàn)，在師生互動、生生互動中，完成二項式定理的探究，讓學習過程成為學生心靈愉悅的主動認知過程五、教學過程引入：通過“牛頓發(fā)現(xiàn)二項式定理”的歷史引入課題提出問題：(a?b)2?？(a?b)3?？(a?b)4?？那么(a?b)9?(a?b)n的展開式是什么？，【設(shè)計意圖】學生的學習遵循“歷史發(fā)

17、生原理”把二項式定理發(fā)現(xiàn)的歷史融入新課導入，既能引起學生的興趣，符合新課程理念，還能提升課堂品味創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學情景能激發(fā)學生的學習興趣，為學生提供良好的學習環(huán)境數(shù)學的來源，一是來自數(shù)學外部現(xiàn)實社會的發(fā)展需要；二是來自數(shù)學內(nèi)部的矛盾，即數(shù)學本身發(fā)展的需要這個問題將“多項式展開有哪些項”包含其中，為后面的研究做好鋪墊（二）體驗感知探究歸納1歸納特點總結(jié)規(guī)律【設(shè)計意圖】由特殊到一般的歸納總結(jié)，離不開大量特殊實例的觀察只有將大量具體實例進行整體和局部多方面的分析，才能得到接近一般性規(guī)律的結(jié)論也只有對得出各種結(jié)論進行整合，才能讓學生順暢的抓住展開過程的兩個要點，即項的結(jié)構(gòu)和項的系數(shù)，才能讓學生有目的的進

18、一步進行探討和分析2項的結(jié)構(gòu)特點（學生敘述展開過程中各項是如何形成的如果學生的敘述中沒有說明從每個因式中取一個字母相乘得到展開式的項，老師提出預(yù)備問題：展開式的各項是由同一個因式中的字母相乘得到的嗎？）師：根據(jù)多項式乘法法則，(a?b)的展開式就是從每個因式中任取一項相乘得到展開式的項n【設(shè)計意圖】多項式乘法法則是展開式的運算基礎(chǔ)，同時也為用組合數(shù)表示系數(shù)創(chuàng)設(shè)情境而學生對于多項式乘法法則的理論敘述不夠順暢通過教師強調(diào)多項式乘法法則，讓學生思維建立舊知識與新知識聯(lián)系，為下面系數(shù)的確定做好鋪墊本節(jié)課的重點就是利用多項式的乘法法則和計數(shù)原理對展開式中各項進行分析該問題的提出，符合學生的思維發(fā)展規(guī)律，

19、能準確地檢驗學生對問題分析能力和解決方法的掌握，突出體現(xiàn)本節(jié)課的思維方法（三）知識建構(gòu)形成定理0n1n?1kn?kknn(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab?Cnb(n?N*)二項式定理證明：(a?b)n是n個(a?b)相乘，每個(a?b)在相乘時，有兩種選擇，選a或選b，由分步計學習必備歡迎下載數(shù)原理可知展開式共有2項（包括同類項），其中每一項都是ann?kbk(k?0,1,?n)的形式，對于每一項an?kbk，它是由k個(a?b)選了b，nk個(a?b)選了a得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當于從n個(a?b)k中取k個b的組合數(shù)Cn，將它們合并同類項，就得二項展開式，這就是二項式定理二項式定理

20、的公式特征：展開式中每一項的次數(shù)都是n；展開式共n?1項；按照字母a降冪排列，次數(shù)由n遞減到0，字母b升冪排列，次數(shù)由0遞增到n；kn?kkkn?kkCnab是展開式的第k?1項；Cnab叫二項展開式的通項，用Tk?1表示k各項的系數(shù)Cn(k?0,1,?n)叫二項式系數(shù)【設(shè)計意圖】先由學生獨立完成，然后組織討論完成有特殊到一般的歸納過程，訓練學生的類比、聯(lián)想、歸納的探究能力在討論過程中要明確每一項的形式及相應(yīng)的個數(shù)（四）鞏固新知提升能力,【設(shè)計意圖】通過例題讓學生熟悉二項展開式及其通項，區(qū)分二項式系數(shù)和系數(shù)，培養(yǎng)學生的運算能力設(shè)計題目考察學生的學習情況各個題目設(shè)計的比較有梯度，逐漸加大難度，符

21、合學生的認知水平（五）回顧反思歸納總結(jié)知識方面：二項式定理，通項，二項式系數(shù)；思想方法：從特殊到一般；觀察歸納類比猜想證明【設(shè)計意圖】小結(jié)可以鍛煉學生的概括能力、語言表達能力，可以使學生加深對本節(jié)課的認識，掌握基本數(shù)學思維方法（六）課下作業(yè)思維延伸一、P36:13二、1.求12的展開式的中間一項；31101)展開式中含5的項的系數(shù)2xx222.求(1?思維延伸：探究(a?b?c)5的展開式中abc的系數(shù)【設(shè)計意圖】通過課下作業(yè)使學生深入理解知識，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、增強主動探究的意識和能力六、板書設(shè)計教學設(shè)計說明，高中數(shù)學的學科價值在于以下三個方面：傳遞初等數(shù)學知識；進行邏輯推理訓練；培養(yǎng)學科

22、精神數(shù)學學習的關(guān)鍵在于理解，重視知識的形成過程，而不是死板的公式應(yīng)用新課標指出：學生的學習活動不應(yīng)只限于對概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受，獨立思考、自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等都是學習數(shù)學的重要方式因此，課堂教學中應(yīng)該是“用教材”而不是“教教材”教師要敢于放手，營造寬松的教學氛圍，關(guān)注學生的主體參與、師生互動、生生互動，著重培養(yǎng)學生研究數(shù)學的意識和發(fā)展數(shù)學的能力，提升學生提出問題、研究問題的能力，竭盡全力培養(yǎng)學生探索創(chuàng)新的意識在這過程中，要努力把表現(xiàn)的機會讓給學生，讓學生在直接體驗中構(gòu)建自己的知識體系本節(jié)課堂教學中，遵循“以學生為主體、教師是數(shù)學課堂活動的組織者、引導者和參與者

23、”的現(xiàn)代教育原則，采用“啟發(fā)式教學法”，分為：創(chuàng)設(shè)情境、探究歸納、知識建構(gòu)、鞏固新知、歸納總結(jié)五個階段努力使學生有足夠的思維活動體驗，教師根據(jù)學生的思維特征和認知規(guī)律，在學生數(shù)學學習經(jīng)驗的基礎(chǔ)上去設(shè)置問題例如本節(jié)中，由特殊到一般的數(shù)學思維方法，需要對特殊情形進行觀察歸納要想提高歸納的準確性，就需要較多的實例進行觀察特別是“組合知識的運用”，當n較小時，學生意識不到用組合的知識解釋項的系數(shù)只學習必備歡迎下載有當n較大時，各項系數(shù)的確定才能凸顯出組合知識的優(yōu)勢因此，在題目設(shè)置時，準備了(a?b)2，(a?b)3，(a?b)4三個展開式讓學生觀察歸納，否則關(guān)于“組合知識的運用”就成了教師的告知問題解

24、決是數(shù)學教育的核心，課堂教學中，在學生原有認知的基礎(chǔ)上，設(shè)置“好”的問題串是非常重要的，因為教師對問題設(shè)置如何，直接決定了學生的思維方向和思維深度，教學中以問題為主線，由問題驅(qū)動，激發(fā)學生探究結(jié)論的欲望，使學生的思維始終處于“提出問題、解決問題”的狀態(tài)中本節(jié)課在“多項式乘法法則”“組合知識的運用”兩個方面，學生無法自主完成思維方法的提升，教師通過設(shè)置恰當?shù)膯栴}引導學生分析思維過程，為學生在理論層面總結(jié)提升在探究的環(huán)節(jié)，教師的作用是“激活”而不是“告知”，要把隱藏在學生思想深處的思維方法引導出來教師作為學生數(shù)學探究活動的設(shè)計者、活動實施的調(diào)控者，直接影響和決定了學生的學習熱情及課堂效果本節(jié)課中，

25、課遵循學生的認識規(guī)律，由特殊到一般，由感性到理性重視學生的參與過程，問題引導，師生互動重在培養(yǎng)學生觀察問題，發(fā)現(xiàn)問題，歸納推理問題的能力學生能學到很多數(shù)學經(jīng)驗：在二項展開式探究過程中，運用組合理解算理、利用數(shù)列知識理解通項、運用賦值法得到相關(guān)結(jié)論等，滲透數(shù)學學習的策略與方法，在組織學生數(shù)學探究中，積極動手、動腦，實現(xiàn)思維建構(gòu)、不斷積累數(shù)學經(jīng)驗，從而形成自主探究的學習習慣，達到理想的教育教學效果點評二項式定理作為一節(jié)命題課，更應(yīng)該重視學生數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，良好思維品質(zhì)的生成何磊老師深讀課標和教材，清晰制定了具體可測的教學目標，深刻挖掘了二項式定理的數(shù)學本質(zhì)；結(jié)合學生的認知基礎(chǔ)和心理特點，設(shè)計了層層