飛行管理問題的非線性優(yōu)化模型

1、飛 行 管 理 問 題的非線性優(yōu)化模型摘要本文研究了飛行管理問題的非線性優(yōu)化模型。在約10000米高空的某邊長160公里的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機作水平飛行。區(qū)域內(nèi)每架飛機的位置和速度向量均由計算機記錄其數(shù)據(jù)，以便進行飛行管理。當一架欲進入該區(qū)域的飛機到達區(qū)域邊緣時，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內(nèi)的其它飛機發(fā)生相撞。如果發(fā)生相撞，則應計算如何調(diào)整各架（包括新進入的）飛機的飛行方向角，以避免碰撞。借鑒物理學中質(zhì)點的概念，我們在空域平面建立了二維直角坐標系；我們討論飛機不相撞的的條件時，將每一個飛機看作半徑4km的圓，任意兩架飛機不相撞的條件為兩圓外切；進一步討論約束條件，我們

2、利用點的速度合成定理，任意兩架飛機不相撞的條件化為兩架飛機的相對速度和相對位移的夾角不小于兩飛機相撞的臨界角；模型求解過程中，我們結(jié)合多種數(shù)學軟件（AutoCAD、MATLAB、SPSS、lingo）的特點，簡化了算法。用Lingo數(shù)學軟件，我們求得了最優(yōu)解，各個飛機的調(diào)整角均不大于17，調(diào)整幅度平方和為9.46 ，檢驗后比較符合實際情況，每架飛機的初始方向角和調(diào)整角及調(diào)整幅度如下表：表1 每架飛機的初始方向角和調(diào)整角及調(diào)整幅度初始方向角4.2410004.1189003.8483002.7750004.0141000.9075000調(diào)整后的方向角4.2409994.1188993.61919

3、52.8583343.7226261.051778調(diào)整幅度-0.0000-0.0000-0.22910.0833-0.29150.1443調(diào)整的角度00-13.134.77-16.78.27飛行管理問題的非線性優(yōu)化模型一、問題的重述 在約10000米高空的某邊長160公里的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機作水平飛行。區(qū)域內(nèi)每架飛機的位置和速度向量均由計算機記錄其數(shù)據(jù)，以便進行飛行管理。當一架欲進入該區(qū)域的飛機到達區(qū)域邊緣時，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內(nèi)的其它飛機發(fā)生相撞。如果發(fā)生相撞，則應計算如何調(diào)整各架（包括新進入的）飛機的飛行方向角，以避免碰撞?，F(xiàn)假設條件如下：不相撞的標準為

4、任意兩架飛機的距離大于8公里；飛機飛行方向角調(diào)整的幅度不應超過30度；所有飛機的飛行速度均為每小時800公里；進入該區(qū)域的飛機在到達區(qū)域邊緣時，與區(qū)域內(nèi)飛機的距離應在60公里以上；最多需考慮6架飛機；不必考慮飛機離開此區(qū)域后的情況。請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學模型，列出計算步驟，對以下數(shù)據(jù)進行計算（方向角誤差不超過0.01度），要求飛機飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小。二、符號說明符號含義第i架飛機的初始方向角第i架飛機調(diào)整后的方向角第i架飛機與第j架飛機初始位置的距離（,）第i架飛機的初始位置(,)調(diào)整后第i架飛機相對于第j架飛機的速度(,)調(diào)整后第i架飛機相對于第j架飛機的位移調(diào)整后

5、第i架飛機相對于第j架飛機的速度與位移之間的夾角調(diào)整后第i架飛機與第j架飛機不相撞的臨界角備注：（1）i=1,2,，6 （2）j=1,2,，6 (3)ij (4)角度均采用弧度值三、模型的假設（1）不相撞的標準為任意兩架飛機的距離大于8公里；（2）飛機飛行方向角調(diào)整的幅度不應超過30度；（3）所有飛機的飛行速度均為每小時800公里；（4）進入該區(qū)域的飛機在到達區(qū)域邊緣時，與區(qū)域內(nèi)飛機的距離應在60公里以上；（5）最多需考慮6架飛機；（6）不必考慮飛機離開此區(qū)域后的情況；（7）計算機從記錄新進入飛機數(shù)據(jù)到給飛機發(fā)指令的間隔時間忽略不計；（8）新飛機進入時，每架飛機（包括新飛機）立即改變方向角，且

6、至多改變一次；（9）新飛機進入空域時，在空域中飛行的飛機（包括新飛機）方向已調(diào)合適，之后不會相撞。四、模型的建立1、模型分析該模型是基于假設條件的非線性規(guī)劃模型（參考文獻一）。飛機飛行的整個空域可以看成是一個二維平面，我們可以建立直角坐標系，頂點是（0，0），（160，0），（160，160），（0，160），飛機飛行的方向角是飛行方向與x軸正方向的夾角。我們可以用向量、分別表示橫縱坐標，則V可以表示成V=，S可以表示成S=。每架飛機的位置都是時間T的函數(shù)，直接研究比較困難，為此我們引入相對運動。我們根據(jù)點的速度合成定理（參考文獻二）：動點在某瞬時的絕對速度等于它在該瞬時的牽連速度與相對速度的

7、矢量和，即動點的相對速度可以由絕對速度與牽連速度的矢量差來確定。 （是絕對速度，是相對速度，是相對速度）。任意兩架飛機不相撞的條件是其距離大于8千米，因此我們考慮將每架飛機視為半徑4千米的圓心，在相對運動的情形下，兩架飛機不相撞的條件就為兩圓相離，不相撞的臨界條件是在它們之間的距離最小的時候，兩圓相切。如圖1: yB C A x 圖1飛機相對飛機運動，圖中虛線所示的位置既是與不相撞的臨界位置。這里我用到了解析幾何中的向量夾角定理（參考文獻三）求解兩個向量之間的夾角：COS(A,B)=(x1*x2+y1*y2)/(*) (其中A=x1,y1,B=x2,y2)要使兩架飛機不相撞，我們只需滿足=。由

8、飛機飛行角度調(diào)整幅度不超過30度（即/6），我們得到約束：|-|= (i=1,2,，6 j=1,2,，6 ij) （1） |-|=/6 (i=1,2,，6) （2）0=,同時，調(diào)整后的方向角與初始方向角的差值不超過/6,即|-|=/6。（2）lingo編程源代碼見附錄2（3）由lingo編程即可得最優(yōu)解（見附錄3），運行結(jié)果整理后如下表6 調(diào)整前后的方向角及調(diào)整幅度(弧度制)飛機的編號123456初始方向角4.2410004.1189003.8483002.7750004.0141000.9075000調(diào)整后的方向角4.2409994.1188993.6191952.8583343.72262

9、61.051778調(diào)整幅度-0.0000-0.0000-0.22910.0833-0.29150.1443調(diào)整的角度00-13.134.77-16.78.27總的平方代價為：0.1652067(弧度制)。六、模型的檢驗及分析1、模型的檢驗我們對調(diào)整前的方向角度與調(diào)整的角度進行比較：初始方向角24323522.515923052調(diào)整角度00-13.1394.77-16.78.27用SPSS做出調(diào)整角度的變化曲線，見圖2圖2從結(jié)果中我們就可以看出，第一架和第二架調(diào)整的幅度為0，其它幾架飛機調(diào)整的幅度=G(i,j);!約束相對飛行角度大于臨界角(即兩圓恰好相切的角度); for(row(i):for

10、(col(j)|i#EQ#j:H(i,j)=0); for(row(i):for(col(j)|i#EQ#j:V0(i,j)=0); for(row(i):for(col(j)|i#EQ#j:V1(i,j)=0); for(row(i):for(col(j):free(V1(i,j);!取消非零約束; for(row(i):for(col(j):free(V0(i,j);!取消非零約束; for(row(i):for(col(j):free(X(i,j);!取消非零約束; for(row(i):for(col(j):free(Y(i,j);!取消非零約束; for(col:free(V00);

11、!取消非零約束; for(col:free(V11);!取消非零約束; data: A=4.2410 4.1189 3.8483 2.7750 4.0141 0.9075;!初始方向角; X = 0 65 0 5 20 150 -65 0 -65 -60 -45 85 0 65 0 5 20 150 -5 60 -5 0 15 145 -20 45 -20 -15 0 130 -150 -85 -150 -145 -130 0; Y = 0 55 -15 90 -10 140 -55 0 -70 35 -65 85 15 70 0 105 5 155 -90 -35 -105 0 -100 5

12、0 10 65 -5 100 0 150 -140 -85 -155 -50 -150 0; G = 0 0.0941 0.5625 0.0889 0.3659 0.0390 0.0941 0 0.0838 0.1154 0.1014 0.0666 0.5625 0.0838 0 0.0762 0.3985 0.0371 0.0889 0.1154 0.0762 0 0.0792 0.0522 0.3659 0.1014 0.3985 0.0792 0 0.0403 0.0390 0.0666 0.0371 0.0522 0.0403 0; enddataend附錄3、lingo結(jié)果 Loca

13、l optimal solution found at iteration: 915 Objective value: 0.1652067 Variable Value Reduced Cost A( 1) 4.241000 0.000000 A( 2) 4.118900 0.000000 A( 3) 3.848300 0.000000 A( 4) 2.775000 0.000000 A( 5) 4.014100 0.000000 A( 6) 0.9075000 0.000000 B( 1) 4.240999 0.000000 B( 2) 4.118899 0.000000 B( 3) 3.6

14、19195 0.000000 B( 4) 2.858334 0.000000 B( 5) 3.722626 0.000000 B( 6) 1.051778 0.000000 V00( 1) -363.3001 0.000000 V00( 2) -447.4061 0.000000 V00( 3) -710.4796 0.000000 V00( 4) -768.1198 0.000000 V00( 5) -668.7167 0.000000 V00( 6) 396.8225 0.000000 V11( 1) -712.7503 0.000000 V11( 2) -663.1951 0.00000

15、0 V11( 3) -367.7210 0.000000 V11( 4) 223.5889 0.000000 V11( 5) -439.1105 0.000000 V11( 6) 694.6451 0.000000 G( 1, 1) 0.000000 0.000000 G( 1, 2) 0.9410000E-01 0.000000 G( 1, 3) 0.5625000 0.000000 G( 1, 4) 0.8890000E-01 0.000000 G( 1, 5) 0.3659000 0.000000 G( 1, 6) 0.3900000E-01 0.000000 G( 2, 1) 0.94

16、10000E-01 0.000000 G( 2, 2) 0.000000 0.000000 G( 2, 3) 0.8380000E-01 0.000000 G( 2, 4) 0.1154000 0.000000 G( 2, 5) 0.1014000 0.000000 G( 2, 6) 0.6660000E-01 0.000000 G( 3, 1) 0.5625000 0.000000 G( 3, 2) 0.8380000E-01 0.000000 G( 3, 3) 0.000000 0.000000 G( 3, 4) 0.7620000E-01 0.000000 G( 3, 5) 0.3985

17、000 0.000000 G( 3, 6) 0.3710000E-01 0.000000 G( 4, 1) 0.8890000E-01 0.000000 G( 4, 2) 0.1154000 0.000000 G( 4, 3) 0.7620000E-01 0.000000 G( 4, 4) 0.000000 0.000000 G( 4, 5) 0.7920000E-01 0.000000 G( 4, 6) 0.5220000E-01 0.000000 G( 5, 1) 0.3659000 0.000000 G( 5, 2) 0.1014000 0.000000 G( 5, 3) 0.39850

18、00 0.000000 G( 5, 4) 0.7920000E-01 0.000000 G( 5, 5) 0.000000 0.000000 G( 5, 6) 0.4030000E-01 0.000000 G( 6, 1) 0.3900000E-01 0.000000 G( 6, 2) 0.6660000E-01 0.000000 G( 6, 3) 0.3710000E-01 0.000000 G( 6, 4) 0.5220000E-01 0.000000 G( 6, 5) 0.4030000E-01 0.000000 G( 6, 6) 0.000000 0.000000 H( 1, 1) 0

19、.000000 0.000000 H( 1, 2) 1.906896 0.000000 H( 1, 3) 2.353088 0.000000 H( 1, 4) 2.678020 0.000000 H( 1, 5) 2.874664 0.000000 H( 1, 6) 0.3246630 0.000000 H( 2, 1) 1.906896 0.000000 H( 2, 2) 0.000000 0.000000 H( 2, 3) 1.665760 0.000000 H( 2, 4) 2.445895 0.000000 H( 2, 5) 1.756878 0.000000 H( 2, 6) 0.2

20、291439 0.000000 H( 3, 1) 2.353088 0.000000 H( 3, 2) 1.665760 0.000000 H( 3, 3) 0.000000 0.000000 H( 3, 4) 2.996838 0.000000 H( 3, 5) 1.286457 0.000000 H( 3, 6) 0.3710000E-01 0.000000 H( 4, 1) 2.678020 0.000000 H( 4, 2) 2.445895 0.000000 H( 4, 3) 2.996838 0.000000 H( 4, 4) 0.000000 0.000000 H( 4, 5)

21、3.141590 -1.485291 H( 4, 6) 0.5220000E-01 0.000000 H( 5, 1) 2.874664 0.000000 H( 5, 2) 1.756878 0.000000 H( 5, 3) 1.286457 0.000000 H( 5, 4) 3.141590 0.000000 H( 5, 5) 0.000000 0.000000 H( 5, 6) 0.4030000E-01 0.000000 H( 6, 1) 0.3246630 0.000000 H( 6, 2) 0.2291439 0.000000 H( 6, 3) 0.3710000E-01 0.0

22、00000 H( 6, 4) 0.5220000E-01 0.000000 H( 6, 5) 0.4030000E-01 0.000000 H( 6, 6) 0.000000 0.000000 V0( 1, 1) 0.000000 0.000000 V0( 1, 2) 84.10597 0.000000 V0( 1, 3) 347.1795 0.000000 V0( 1, 4) 404.8197 0.000000 V0( 1, 5) 305.4165 0.000000 V0( 1, 6) -760.1227 0.000000 V0( 2, 1) -84.10597 0.000000 V0( 2

23、, 2) 0.000000 0.000000 V0( 2, 3) 263.0735 0.000000 V0( 2, 4) 320.7137 0.000000 V0( 2, 5) 221.3106 0.000000 V0( 2, 6) -844.2286 0.000000 V0( 3, 1) -347.1795 0.000000 V0( 3, 2) -263.0735 0.000000 V0( 3, 3) 0.000000 0.000000 V0( 3, 4) 57.64018 0.000000 V0( 3, 5) -41.76292 0.000000 V0( 3, 6) -1107.302 0

24、.000000 V0( 4, 1) -404.8197 0.000000 V0( 4, 2) -320.7137 0.000000 V0( 4, 3) -57.64018 0.000000 V0( 4, 4) 0.000000 0.000000 V0( 4, 5) -99.40311 0.000000 V0( 4, 6) -1164.942 0.000000 V0( 5, 1) -305.4165 0.000000 V0( 5, 2) -221.3106 0.000000 V0( 5, 3) 41.76292 0.000000 V0( 5, 4) 99.40311 0.000000 V0( 5

25、, 5) 0.000000 0.000000 V0( 5, 6) -1065.539 0.000000 V0( 6, 1) 760.1227 0.000000 V0( 6, 2) 844.2286 0.000000 V0( 6, 3) 1107.302 0.000000 V0( 6, 4) 1164.942 0.000000 V0( 6, 5) 1065.539 0.000000 V0( 6, 6) 0.000000 0.000000 V1( 1, 1) 0.000000 0.000000 V1( 1, 2) -49.55518 0.000000 V1( 1, 3) -345.0293 0.0

26、00000 V1( 1, 4) -936.3392 0.000000 V1( 1, 5) -273.6398 0.000000 V1( 1, 6) -1407.395 0.000000 V1( 2, 1) 49.55518 0.000000 V1( 2, 2) 0.000000 0.000000 V1( 2, 3) -295.4741 0.000000 V1( 2, 4) -886.7840 0.000000 V1( 2, 5) -224.0847 0.000000 V1( 2, 6) -1357.840 0.000000 V1( 3, 1) 345.0293 0.000000 V1( 3,

27、2) 295.4741 0.000000 V1( 3, 3) 0.000000 0.000000 V1( 3, 4) -591.3099 0.000000 V1( 3, 5) 71.38947 0.000000 V1( 3, 6) -1062.366 0.000000 V1( 4, 1) 936.3392 0.000000 V1( 4, 2) 886.7840 0.000000 V1( 4, 3) 591.3099 0.000000 V1( 4, 4) 0.000000 0.000000 V1( 4, 5) 662.6994 0.000000 V1( 4, 6) -471.0562 0.000

28、000 V1( 5, 1) 273.6398 0.000000 V1( 5, 2) 224.0847 0.000000 V1( 5, 3) -71.38947 0.000000 V1( 5, 4) -662.6994 0.000000 V1( 5, 5) 0.000000 0.000000 V1( 5, 6) -1133.756 0.000000 V1( 6, 1) 1407.395 0.000000 V1( 6, 2) 1357.840 0.000000 V1( 6, 3) 1062.366 0.000000 V1( 6, 4) 471.0562 0.000000 V1( 6, 5) 113

29、3.756 0.000000 V1( 6, 6) 0.000000 0.000000 X( 1, 1) 0.000000 0.000000 X( 1, 2) 65.00000 0.000000 X( 1, 3) 0.000000 0.000000 X( 1, 4) 5.000000 0.000000 X( 1, 5) 20.00000 0.000000 X( 1, 6) 150.0000 0.000000 X( 2, 1) -65.00000 0.000000 X( 2, 2) 0.000000 0.000000 X( 2, 3) -65.00000 0.000000 X( 2, 4) -60

30、.00000 0.000000 X( 2, 5) -45.00000 0.000000 X( 2, 6) 85.00000 0.000000 X( 3, 1) 0.000000 0.000000 X( 3, 2) 65.00000 0.000000 X( 3, 3) 0.000000 0.000000 X( 3, 4) 5.000000 0.000000 X( 3, 5) 20.00000 0.000000 X( 3, 6) 150.0000 0.000000 X( 4, 1) -5.000000 0.000000 X( 4, 2) 60.00000 0.000000 X( 4, 3) -5.

31、000000 0.000000 X( 4, 4) 0.000000 0.000000 X( 4, 5) 15.00000 0.000000 X( 4, 6) 145.0000 0.000000 X( 5, 1) -20.00000 0.000000 X( 5, 2) 45.00000 0.000000 X( 5, 3) -20.00000 0.000000 X( 5, 4) -15.00000 0.000000 X( 5, 5) 0.000000 0.000000 X( 5, 6) 130.0000 0.000000 X( 6, 1) -150.0000 0.000000 X( 6, 2) -

32、85.00000 0.000000 X( 6, 3) -150.0000 0.000000 X( 6, 4) -145.0000 0.000000 X( 6, 5) -130.0000 0.000000 X( 6, 6) 0.000000 0.000000 Y( 1, 1) 0.000000 0.000000 Y( 1, 2) 55.00000 0.000000 Y( 1, 3) -15.00000 0.000000 Y( 1, 4) 90.00000 0.000000 Y( 1, 5) -10.00000 0.000000 Y( 1, 6) 140.0000 0.000000 Y( 2, 1) -55.00000 0.000000 Y( 2, 2) 0.000000 0.000000 Y( 2, 3) -7