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1、小專題(三)與圓的切線有關(guān)的性質(zhì)與判定(證明圓的切線常用的兩種方法:(1)已知直線與圓的交點,則該點即為切點,可連接切點與圓心,證明與已知直線垂直,簡記為:連半徑,證垂直2)未知直線與圓的交點,即切點未知,則可以過圓心作與已知直線垂直的線段,證明垂線段等于圓的半徑,簡記為:作垂直,證半徑1如圖,已知AB是O的直徑,AB4,點C在線段AB的延長線上,點D在O上,連接CD,且CDOA,OC22.求證:CD是O的切線2證明:連接OD.1由題意,CDODOAAB2,OC22,OD2CD22222(22)2OC2.OCD為直角三角形,ODC90.ODCD.又OD是O的半徑,CD是O的切線2如圖,大圓O的
2、半徑為8cm,弦AB83cm,以點O為圓心,4cm為半徑作小圓求證:直線AB與小圓相切22證明:過點O作OCAB于點C.在AOB中,AOBO,11ACAB8343(cm)OCOA2AC282(43)24(cm)1又小圓的半徑為4cm,OC的長等于小圓的半徑直線AB與小圓相切3如圖,AC是O的直徑,BC是O的弦,點P是O外一點,PBAC.(1)求證:PB是O的切線;(2)若OPBC,且OP8,C60,求O的半徑2解:(1)證明:連接OB.AC是O的直徑,ABC90,即OBCOBA90.OCOB,COBC.PBAC,PBAOBA90,即OBP90.OBPB.OB為O的半徑,PB是O的切線(2)C6
3、0,OCOB,OBC為等邊三角形,即OBC60.OPBC,POBOBC60.1OBP90,P30.OBOP4.4如圖,在eqoac(,Rt)ABC中,C90,BD平分ABC,過點D作DEBD交AB于點E,經(jīng)過B,D,E三點作O.(1)求證:AC與O相切于D點;(2)若AD15,AE9,求O的半徑2(2)若cosABC,AB12,求半圓O所在圓的半徑解:(1)證明:連接OD.ODOB,ODBOBD.又BD平分ABC,OBDDBC.ODBDBC.ODBC.而C90,ODAD.OD是O的半徑,AC與O相切于D點(2)設(shè)O半徑為r.ODAD,在eqoac(,Rt)OAD中,OA2OD2AD2.又AD1
4、5,AE9,(r9)2152r2.解得r8,即O的半徑為8.5(2018安順)如圖,在ABC中,ABAC,O為BC的中點,AC與半圓O相切于點D.(1)求證:AB是半圓O所在圓的切線;23解:(1)證明:過點O作OEAB于點E,連接OD,OA.ABAC,O是BC的中點,CAOBAO.AC與半圓O相切于點D,ODAC.OEAB,ODOE.OE為半圓O的半徑3cosABC,AB12,OBABcosABC128.OEOBOA85半圓O所在圓的半徑是85AB是半圓O所在的圓的切線(2)ABAC,O是BC的中點,AOBC.2323由勾股定理,得AOAB2OB245.11eqoac(,S)AOB2ABOE
5、2OBAO,AB3.3.(2)若BC6,tanCDA,求CD的長6如圖,D為O上一點,點C在直徑BA的延長線上,且CDACBD.(1)求證:CD是O的切線;23(2)CDAABD,tanCDAtanABD.在eqoac(,Rt)ABD中,tanABD,解:(1)證明:連接OD.OBOD,OBDBDO.CDACBD,CDAODB.AB是O的直徑,ADB90,即ADOODB90.ADOCDA90,即CDO90.ODCD.OD為O的半徑,CD是O的切線23AD2BD3CC,CDACBD.CADCDB.4CBDB33CDAD22.CD64.7(2017銅仁)如圖,已知在eqoac(,Rt)ABC中,ABC90,以AB為直徑的O與AC交于點D,點E是BC的中點,連接BD,DE.(1)若,求sinC;AB3sinABD.sinC.AD1AB3(2)求證:DE是O的切線解:(1)AB為直徑,ADBBDC90.ABDBAD90.ABC90,CBAC90.CABD.AD1,1313(2)證明:連接
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