第六、七節(jié)--曲面與曲線、二次曲面(xrc)課件

1、第六節(jié) 曲面一、曲面方程的概念二、柱面和旋轉(zhuǎn)曲面三、空間曲線及其方程四、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影五、空間區(qū)域在坐標(biāo)面上的投影水桶的表面、臺燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面的實(shí)例：一、曲面方程的概念由幾何特征確定曲面方程特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為研究空間曲面有兩個(gè)基本問題：(1) 已知曲面作為滿足某些條件的點(diǎn)集，求曲面方程；(2) 已知曲面方程，研究曲面形狀.二、柱面與旋轉(zhuǎn)曲面1、柱面（cylinder）播放觀察柱面的形成過程:定義 平行于定直線并沿定曲線C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 L 叫柱面的母線.例如：

2、圓柱面 拋物柱面 橢圓柱面(4) 平面 柱面舉例拋物柱面平面從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實(shí) 例橢圓柱面雙曲柱面拋物柱面 母線 / 軸 母線/ 軸 母線/ 軸 例 指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？解平面解析幾何中空間解析幾何中斜率為1的直線方程2、旋轉(zhuǎn)曲面（surface of revolution）定義 平面上的曲線C繞該平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸,曲線C稱為母線.播放例如：球面點(diǎn)M到z軸的距離得方程 yoz坐標(biāo)面上的已知曲線f(y,z)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程. yoz 坐標(biāo)面上的已知曲線 繞 z

3、軸旋轉(zhuǎn)一周 的旋轉(zhuǎn)曲面方程為 yoz 坐標(biāo)面上的已知曲線 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周 的旋轉(zhuǎn)曲面方程為例1 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面雙葉雙曲面單葉雙曲面 xyoz旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面zxyoxyzo例5 下列方程所表示的曲面是否是旋轉(zhuǎn)曲面，若是，指明其是如何形成的.給出一個(gè)方程也要會判斷它是否表示旋轉(zhuǎn)面, 及旋轉(zhuǎn)曲面是如何形成的.解 繞z軸旋轉(zhuǎn)，故圓錐面方程為圓錐面空間曲線的一般方程 曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上（不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程）.空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.特點(diǎn)：三、空間曲線及其方程1、空間曲線的一般

4、方程空間曲線例1 方程組 表示怎樣的曲線？解表示圓柱面，表示平面，交線為橢圓.例2 方程組 表示怎樣的曲線？解上半球面,圓柱面,交線如圖.空間曲線的參數(shù)方程2、空間曲線的參數(shù)方程 動點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過t時(shí)間，運(yùn)動到M點(diǎn) 螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間t為參數(shù)，解螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比即上升的高度螺距如何將曲線 的一般方程： (*)化為參數(shù)方程？(1) 先從一般方程(*)中消去某個(gè)變量，比如z，得方程H(x,y)=0，寫出該方程在xOy面的參數(shù)方程x=x(t)，y=y(t).再把x=x(t)，y=y(t)代入(*)中的某個(gè)方程解出z=z(t)，最后在確定

5、t的變化區(qū)間，就得到了曲線的參數(shù)方程. 例5、把曲線 用參數(shù)方程表示.(2) 在一些特殊情形，(*)中的某個(gè)方程是不完全三元方程(即方程中缺了一個(gè)未知量)，則可先將這個(gè)方程化為參數(shù)方程，再將所得結(jié)果代入(*)中的另一個(gè)方程，即可求得曲線的參數(shù)方程.例6、將曲線 化為參數(shù)方程.消去變量z后得：曲線 對 xOy面的投影柱面設(shè)空間曲線 的一般方程為：投影柱面的特征：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.四、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 以空間曲線 為準(zhǔn)線，母線垂直于 xOy 面的柱面叫做曲線對 xOy 面的投影柱面空間曲線 在xOy面上的投影曲線投影曲線的研究過程的例子 .空間曲線投影曲線投影柱面曲

6、線 在 yoz 面上的投影柱面和投影曲線：曲線 在 zox面上的投影柱面和投影曲線：類似地：可定義空間曲線 ： 在其他坐標(biāo)面上的投影柱面和投影曲線.例1 求曲線 在 xoy 面的投影柱面 及投影曲線方程.例2 求曲線 在 xoy 面及 yoz 面的投影曲線方程.例3以曲線 為準(zhǔn)線, 母線平 行于z 軸的柱面方程.例4 求曲線 在坐標(biāo)面上的投影.解（1）消去變量z后得在 面上的投影為所以在 面上的投影為線段.（3）同理在 面上的投影也為線段.（2）因?yàn)榍€在平面 上，截線方程為解如圖,空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影.空間立體曲面五、空間區(qū)域在坐標(biāo)面上的投影例1解半球面和錐面的交線為一個(gè)圓,求兩曲

7、面所圍立體(即空間區(qū)域)在坐標(biāo)面的投影區(qū)域的一般方法： (1) 求兩曲面的交線方程在坐標(biāo)面的投影柱面方程， (2) 將(1)中所得方程與坐標(biāo)面方程聯(lián)立，得兩曲面的交線方程在坐標(biāo)面的投影曲線方程， (3) 投影曲線在坐標(biāo)面所圍成的閉區(qū)域.例2 求由曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面 夾在平面 與平面 之間的部分在 面的投影區(qū)域 . 例3 求上半球與圓柱體的公共部分在XOY面和XOZ面上的投影。解：曲面的交線在XOY面上的投影為所圍立體在XOY面上的投影為由消去y，可得交線在XOZ面上的投影為：因此，所圍立體在XOZ面上的投影為：a.xyozz = 0axyzo。維望尼曲線。D1.六、小結(jié)1、曲面方程

8、的概念旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.柱面的概念(母線、準(zhǔn)線).2、空間曲線的一般方程、參數(shù)方程3、空間曲線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影柱面 和投影直線思考題1方程表示怎樣的曲線？思考題2思考題1解答表示雙曲線.思考題2解答交線方程為在 面上的投影為四、二次曲面三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面. (二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 與的交線為

9、橢圓：(4) 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)abc 時(shí)為球面.(3) 截痕:為正數(shù))機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 拋物面(1) 橢圓拋物面( p , q 同號)(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.( p , q 同號)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時(shí), 截痕為(實(shí)軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）平面 上的截痕情況:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 雙曲線: 虛軸平行于x 軸）時(shí), 截痕為時(shí), 截痕為(實(shí)軸平行于z 軸;機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 相交直線: 雙曲線:

10、(2) 雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面P18 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 圖形4. 橢圓錐面橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線 .可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換得到, 見書 P316 )機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 空間曲面三元方程 球面 旋轉(zhuǎn)曲面如, 曲線繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面: 柱面如,曲面表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 二次曲面三元二次方程 橢球面

11、拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面 雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面 橢圓錐面: 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方 程平行于 y 軸的直線 平行于 yoz 面的平面 圓心在(0,0)半徑為 3 的圓以 z 軸為中心軸的圓柱面平行于 z 軸的平面思考與練習(xí)1. 指出下列方程的圖形:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. P318 題3 , 10機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 題10 答案: 在 xoy 面上 作業(yè) P318 2 ; 4; 7 ; 8 (1), (5) ; 11第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練 習(xí) 題練習(xí)題答案定義柱面觀察柱面的形

12、成過程:平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面

13、.這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.定義柱面觀察柱

14、面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.定義柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動直線 叫柱面的母線.旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋