專題04 拋物線與阿基米德三角形（原卷版）-【高考總復(fù)習(xí)】2022高考數(shù)學(xué)滿分突破之解析幾何篇

1、專題04 拋物線與阿基米德三角形【突破滿分數(shù)學(xué)之秒殺技巧與答題模板】：拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍的三角形，這個三角形又常被稱為阿基米德三角形阿基米德三角形的得名，是因為阿基米德本人最早利用逼近的思想證明 如下結(jié)論：拋物線與阿基米德三角形定理：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二下面來逐一介紹阿基米德三角形的一些推論:如圖，已知是拋物線準線上任意一點，過作拋物線的切線、分別交拋物線于、兩點，為 中點，則：1.若過焦點，則的端點的兩條切線的交點在其準線上2.阿基米德三角形底邊上的中線平行于坐標軸，即3.過拋物線的焦點4

2、.5.阿基米德三角形面積的最小值為【考點精選例題精析】：例1（1）（2021全國高二課時練習(xí)）拋物線上任意兩點，處的切線交于點，稱為“阿基米德三角形”，當線段經(jīng)過拋物線的焦點時，具有以下特征：點必在拋物線的準線上；若經(jīng)過拋物線的焦點的一條弦為，“阿基米德三角形”為，且點的縱坐標為4，則直線的方程為（ ）ABCD（2）（2020云南師大附中高三月考（理）過拋物線的焦點作拋物線的弦與拋物線交于、兩點，為的中點，分別過、兩點作拋物線的切線、相交于點.又常被稱作阿基米德三角形.下面關(guān)于的描述：點必在拋物線的準線上；設(shè)、，則的面積的最小值為；平行于軸.其中正確的個數(shù)是（ ）ABCD【變式訓(xùn)練1-1】（2

3、020昆明市云南師大附中高三（理）阿基米德（公元前287年公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家.他研究拋物線的求積法得出著名的阿基米德定理，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形.如圖，為阿基米德三角形.拋物線上有兩個不同的點，以A，B為切點的拋物線的切線相交于P.給出如下結(jié)論，其中正確的為（ ）（1）若弦過焦點，則為直角三角形且；（2）點P的坐標是；（3）的邊所在的直線方程為；（4）的邊上的中線與y軸平行（或重合）.A（2）（3）（4）B（1）（2）C（1）（2）（3）D（1）（3）（4）【變式訓(xùn)練1-2】（2019福

4、建廈門雙十中學(xué)高二期中）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線上.設(shè)拋物線，弦過焦點，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為ABCD【變式訓(xùn)練1-3】（2021浙江高三期末）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常稱為阿基米德三角形，因為阿基米德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的已知為拋物線上兩點，則在A點處拋物線C的切線的斜率為_；弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為_例2.(2020年模擬題精選)已知拋物線的

5、焦點為，點在拋物線上，點的縱坐標為8，且。（1）求拋物線的方程；（2）若點是拋物線準線上的任意一點，過點作直線與拋物線相切于點，證明：【變式訓(xùn)練2-1】已知拋物線的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，AB所在直線經(jīng)過拋物線的焦點F，過A、B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為M.證明：為定值.例3已知拋物線的焦點為，過點的直線分別交拋物線于兩點（1）若以為直徑的圓的方程為，求拋物線的標準方程；（2）過點分別作拋物線的切線，證明：的交點在定直線上【變式訓(xùn)練3-1】已知動點在軸上方，且到定點距離比到軸的距離大.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線與曲線交于，兩點，點，分別異于原點，在曲線的，兩

6、點處的切線分別為，且與交于點，求證：在定直線上.例4已知點是拋物線的頂點，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點是的外接圓的圓心，點到軸的距離為，點，求的最大值.【變式訓(xùn)練4-1】已知點是拋物線的頂點，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點是的外接圓的圓心，求點的軌跡方程.【變式訓(xùn)練4-2】拋物線的焦點為，過且垂直于軸的直線交拋物線于兩點，為原點，的面積為2.（1）求拋物線的方程.（2）為直線上一個動點，過點作拋物線的切線，切點分別為，過點作的垂線，垂足為，是否存在實數(shù)，使點在直線上移動時，垂足恒為定點？若不存在，說明理由；若存在，求出的

7、值，并求定點的坐標.【達標檢測】：A卷 基礎(chǔ)鞏固1（2021全國高三專題練習(xí)（文）數(shù)學(xué)家阿基米德建立了這樣的理論：“任何由直線與拋物線所圍成的弓形，其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四.”如圖，直線與拋物線交于兩點，兩點在軸上的射影分別為，從長方形內(nèi)任取一點，則該點落在陰影部分的概率為（ ）ABCD2（2021全國高二課時練習(xí)）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線上.設(shè)拋物線，弦過焦點，為阿基米德三角形，則為（ ）.A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D隨位置變化

8、前三種情況都有可能關(guān)系3（2020全國（理）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用窮竭法建立了這樣的結(jié)論：“任何由直線和拋物線所包圍的弓形，其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四.”如圖，已知直線交拋物線于A，B兩點，點A，B在y軸上的射影分別為D，C.從長方形ABCD中任取一點，則根據(jù)阿基米德這一理論，該點位于陰影部分的概率為（ ）ABCD4（2020云南高三（理）拋物線上任意兩點處的切線交于點，稱為“阿基米德三角形”.當線段經(jīng)過拋物線焦點時，具有以下特征：點必在拋物線的準線上；為直角三角形，且；.若經(jīng)過拋物線焦點的一條弦為，阿基米德三角形為，且點的縱坐標為4，則直線的方程為（ ）ABCD5.(2014

9、年遼寧卷)已知點在拋物線：的準線上，過點的直線與在第一象限相切于點，記的焦點為，則直線的斜率為 ( )A. B. C. D.6. 拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線上設(shè)拋物線y2=2px（p0），弦AB過焦點，ABQ為阿基米德三角形，則ABQ為（）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D隨Q位置變化前三種情況都有可能7. 已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點,點P,Q的橫坐標分別為4,2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點A,則點A的縱坐標為_.8.已知點 P

10、 3, 2在拋物線 C： y 2 2 px p 0的準線上，過點 P 的直線與拋物線 C 相切于 A，B 兩點，則直線 AB 的斜率為（）2A1B3CD 39（2021福建高三期中）被譽為“數(shù)學(xué)之神”之稱的阿基米德最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經(jīng)過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之于二，這個結(jié)論就是著名的阿基米德定理，在平面直角坐標系中，已知直線：與拋物線：交于，兩點，則弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為_.10（2021河南高二期中（理）被譽為“數(shù)學(xué)之神”之稱的阿基米德（前287前212），是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家

11、、天文學(xué)家，他最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經(jīng)過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二，這個結(jié)論就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被稱為阿基米德三角形在平面直角坐標系中，是焦點為的拋物線上的任意一點，且的最小值是若直線與拋物線交于，兩點，則弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為_11已知拋物線C：x22py（p0），直線l交C于A，B兩點，且A，B兩點與原點不重合，點M（1，2）為線段AB的中點（1）若直線l的斜率為1，求拋物線C的方程；（2）分別過A，B兩點作拋物線C的切線，若兩條切線交于點S，證明點S在一條定直線上12已知

12、拋物線的焦點為，是拋物線上的兩個動點，且，過，兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為.（1）若直線與，軸分別交于點，且的面積為，求的值；（2）記的面積為，求的最小值，并指出最小時對應(yīng)的點的坐標.B卷 能力提升13（多選題）阿基米德是偉大的物理學(xué)家，更是偉大的數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)對高中教材中的拋物線做過系統(tǒng)而深入的研究，定義了拋物線阿基米德三角形：拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線圍成的三角形稱為拋物線阿基米德三角形.設(shè)拋物線：上兩個不同點橫坐標分別為，以為切點的切線交于點.則關(guān)于阿基米德三角形的說法正確的有（ ）A若過拋物線的焦點，則點一定在拋物線的準線上B若阿基米德三角形為正三角形，則其面積為C若阿基米

13、德三角形為直角三角形，則其面積有最小值D一般情況下，阿基米德三角形的面積14（2021蘇州市第三中學(xué)校）（多選題）阿基米德（公元前287年公元前212年是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他研究拋物線的求積法，得出一個著名的阿基米德定理，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.拋物線的弦與過弦的端點的兩切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”，如圖所示，在拋物線上有兩個不同的點A，B，坐標分別為，以A，B為切點的切線PA，PB相交于點P，給出以下結(jié)論，其中正確的為（ ）A點P的坐標是B的邊AB所在的直線方程為：C的面積為D的邊AB上的中線平行（或重合）于y軸15（2018上海交大附中高二月考）過拋物

14、線的一條弦的中點作平行于拋物線對稱軸的平行線（或與對稱軸重合），交拋物線于一點，稱以該點及弦的端點為頂點的三角形為這條弦的阿基米德三角形（簡稱阿氏三角形）.現(xiàn)有拋物線:，直線：（其中，是常數(shù)，且），直線交拋物線于，兩點，設(shè)弦的阿氏三角形是.（1）指出拋物線的焦點坐標和準線方程；（2）求的面積（用，表示）；（3）稱的阿氏為一階的；、的阿氏、為二階的；、的阿氏三角形為三階的；，由此進行下去，記所有的階阿氏三角形的面積之和為，探索與之間的關(guān)系，并求.16已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點（）若在線段上，是的中點，證明；（）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.17如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|1.（）求p的值；（）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M.求M的橫坐標的取值范圍.18設(shè)拋物線