2018年屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)立體幾何：（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與三視圖、表面積和體積（解析版）

1、 31/31 【知識(shí)歸納梳理】一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱eq blcrc (avs4alco1(底面：互相平行,側(cè)面：都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)面的交線都,平行且相等)(2)棱錐eq blcrc (avs4alco1(底面：是多邊形,側(cè)面：都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形)(3)棱臺(tái)棱錐被平行于棱錐底面的平面所截,截面與底面之間的部分.2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到.(2)圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)得到.(3)圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到,也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到.(4)球可以由半圓面或圓面

2、繞直徑旋轉(zhuǎn)得到.注意(1)認(rèn)識(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征時(shí),易忽視定義,可借助于幾何模型強(qiáng)化對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí).(2)臺(tái)體可以看成是由錐體截得的,但一定強(qiáng)調(diào)截面與底面平行.二、空間幾何體的三視圖與直觀圖1.空間幾何體的三視圖(1)空間幾何體的三視圖包括正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖,分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.(2)三視圖的畫法基本要求：長對(duì)正,高平齊,寬相等.畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高,正俯一樣長,側(cè)俯一樣寬；看不到的線畫虛線.注意若相鄰兩物體的表面相交,則表面的交線是它們的分界線,在三視圖中,要注意實(shí)、虛線的區(qū)別.2.空間幾何體的

3、直觀圖畫空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)_畫法,基本步驟是：(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸,兩軸相交于點(diǎn)O,畫直觀圖時(shí),把它們畫成對(duì)應(yīng)的x軸、y軸,兩軸相交于點(diǎn)O,且使xOy 45(或135) .(2)已知圖形中平行于x軸、y軸的線段,在直觀圖中分別平行于x軸、y軸.(3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中長度保持不變,平行于y軸的線段,長度變?yōu)樵瓉淼囊话?(4)在已知圖形中過O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面,在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z軸也垂直于xOy平面,已知圖形中平行于z軸的線段,在直觀圖中仍平行于z軸且長度不變.注意按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：S直觀

4、圖eq f(r(2),4)S原圖形,S原圖形2eq r(2)S直觀圖.三、空間幾何體的表面積和體積1.空間幾何體的表面積當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí),得到圓柱；當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑為零時(shí),得到圓錐,由此可得：S圓柱側(cè)2rleq o(,sup7(rr)S圓臺(tái)側(cè)(rr)leq o(,sup7(r0)S圓錐側(cè)rl注意組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.2.空間幾何體的體積(1)柱體:V柱體Sh；V圓柱r2h.(2)錐體:V錐體eq f(1,3)Sh；V圓錐eq f(1,3)r2h.(3)臺(tái)體:V臺(tái)體eq f(1,3)(Seq r(SS)S)h；V圓臺(tái)eq f(1,3)h(r2rrr2).3.球

5、體(1)球的表面積公式：S4R2；球的體積公式Veq f(4,3)R3(2)正方體與球：正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓,如圖所示.設(shè)正方體的棱長為a,則|OJ|req f(a,2)(r為內(nèi)切球半徑).與正方體各棱相切的球：截面圖為正方形EFHG的外接圓,則|GO|Req f(r(2),2)a.正方體的外接球：截面圖為正方形ACC1A1的外接圓,則|A1O|Req f(r(3),2)a.(3)正四面體與球：如圖,設(shè)正四面體的棱長為a,內(nèi)切球的半徑為r,外接球的半徑為R,取AB的中點(diǎn)為D,連接CD,SE為正四面體的高,在截面三角形SDC內(nèi)作一個(gè)與邊SD和DC相切,圓心在高SE上的圓

6、.因?yàn)檎拿骟w本身的對(duì)稱性,內(nèi)切球和外接球的球心同為O.此時(shí),COOSR,OEr,SE eq r(f(2,3)a,CEeq f(r(3),3)a,則有Rr eq r(f(2,3)a,R2r2|CE|2eq f(a2,3),解得Req f(r(6),4)a,req f(r(6),12)a.【第1講：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖】題型1:空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【典型例題】例1(1)設(shè)有以下四個(gè)命題：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；底面是矩形的平行六面體是長方體；四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形；棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)；直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐.其中真

7、命題的序號(hào)是_.解析：命題符合平行六面體的定義,故命題是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直,故命題是錯(cuò)誤的；正確,如圖1,PD平面ABCD,其中底面ABCD為矩形,可證明PAB,PCB為直角,這樣四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；命題由棱臺(tái)的定義知是正確的；錯(cuò)誤,當(dāng)以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸時(shí),其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐.如圖2所示,它是由兩個(gè)同底圓錐形成的.答案：(2)以下命題：直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱；圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)；棱錐截去一個(gè)小棱錐后剩余部分是棱臺(tái).其中正確的命題序號(hào)是_.【答案】例2(1)

8、用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體,各個(gè)截面都是圓面,則這個(gè)幾何體一定是()A.圓柱B.圓錐C.球體 D.圓柱、圓錐、球體的組合體解析：選C截面是任意的且都是圓面,則該幾何體為球體.(2)下列結(jié)論正確的是()A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長都相等,則該棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線解析：選DA錯(cuò)誤,如圖1是由兩個(gè)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,它的各個(gè)面都是三角形,但它不是三棱錐；B錯(cuò)誤,如圖2,若ABC不是直角三角形,或ABC是直角三角

9、形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐；C錯(cuò)誤,若該棱錐是六棱錐,由題設(shè)知,它是正六棱錐.易證正六棱錐的側(cè)棱長必大于底面邊長,這與題設(shè)矛盾.圖1圖2【變式訓(xùn)練】1.判斷正誤(1)有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱()(2)有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐()(3)用一個(gè)平面去截一個(gè)球,截面是一個(gè)圓面()答案：(1)(2)(3)2.下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱；若過兩個(gè)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱；若四個(gè)側(cè)面兩兩全等,則該四棱柱為直四棱柱；若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等,則該四棱柱為直四棱柱.其

10、中,真命題的編號(hào)是_.【答案】3.給出四個(gè)命題：各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；對(duì)角面是全等矩形的六面體一定是長方體；有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；長方體一定是正四棱柱.其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A題型2:空間幾何體的三視圖與直觀圖【典型例題】例1(1)一個(gè)長方體去掉一個(gè)小長方體,所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示,則該幾何體的俯視圖為()【答案】C(2)如圖由若干個(gè)相同的小立方體組成的幾何體的俯視圖,其中小立方體中的數(shù)字表示相應(yīng)位置的小立方體的個(gè)數(shù),則該幾何體的側(cè)視圖為()解析：選C由俯視圖知側(cè)視圖從左到右能看到的小立方體個(gè)數(shù)分別為2,

11、3,1.(3)已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示,俯視圖是邊長為2的正三角形,則該三棱錐的側(cè)視圖可能為()【答案】B(4)一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示,則其俯視圖為()【答案】C(5)如圖所示,E、F分別為正方體ABCDA1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,則四邊形BFD1E在該正方體的面DCC1D1上的投影是_.(填序號(hào))【答案】例2(1)(2014某)某空間幾何體的正視圖是三角形,則該幾何體不可能是()A.圓柱 B.圓錐 C.四面體 D.三棱柱【答案】A考向1因?yàn)閳A錐、四面體、三棱柱的正視圖均可以是三角形,而圓柱無論從哪個(gè)方向看均不可能是三角形

12、,故選A.(2)(2014課標(biāo))如圖,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體是()A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱解析B由題知,該幾何體的三視圖為一個(gè)三角形,兩個(gè)四邊形,分析可知該幾何體為三棱柱,故選B.(3)(教材例題改編)已知空間幾何體的三視圖如圖,則該幾何體是由_組合而成.答案：圓柱和正四棱柱(4)(教材習(xí)題改編)如圖,長方體ABCDABCD被截去一部分,其中EHAD,則剩下的幾何體是_,截去的幾何體是_.答案：五棱柱三棱柱(5)(2015某期末)一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4

13、解析 D滿足條件的四棱錐的底面為矩形,且一條側(cè)棱與底面垂直,如圖所示,易知該四棱錐四個(gè)側(cè)面均為直角三角形.例3(1)利用斜二測(cè)畫法得到的以下結(jié)論,正確的是_.(寫出所有正確的序號(hào))三角形的直觀圖是三角形；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；正方形的直觀圖是正方形；圓的直觀圖是橢圓；菱形的直觀圖是菱形.【答案】(2)用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖,邊AB平行于y軸,BC,AD平行于x軸.已知四邊形ABCD的面積為2eq r(2) cm2,則原平面圖形的面積為()A.4 cm2B.4eq r(2) cm2C.8 cm2D.8eq r(2) cm2解析：選C依題意可知BAD45,則原平面圖形為

14、直角梯形,上下底面的長與BC,AD相等,高為梯形ABCD的高的2eq r(2)倍,所以原平面圖形的面積為8 cm2.(3)(2014某)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號(hào)的四個(gè)圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為()A.和B.和C.和D.和解析：選D在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中作出棱長為2的正方體,在該正方體中作出四面體,如圖所示,由圖可知,該四面體的正視圖為,俯視圖為.選D.【變式訓(xùn)練】1.(2011課標(biāo)全國)在一個(gè)幾何體的三視圖中,正視圖和俯視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()【答案】D2

15、.(2015某一診)若一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖是兩個(gè)全等的正方形,則這個(gè)幾何體的俯視圖不可能是()解析C由題意知,俯視圖的長度和寬度相等,故C不可能.3.(2015某三模)已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示,俯視圖是邊長為2的正三角形,側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形,則該三棱錐的正視圖可能為()解析：選C當(dāng)正視圖為等腰三角形時(shí),則高應(yīng)為2,且應(yīng)為虛線,排除A,D；當(dāng)正視圖是直角三角形,由條件得一個(gè)直觀圖如圖所示,中間的線是看不見的線PA形成的投影,應(yīng)為虛線,故答案為C.4.(2015某一調(diào))已知底面為正方形的四棱錐,其一條側(cè)棱垂直于底面,那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的()解析C

16、選項(xiàng)A,B,D中的俯視圖,正方形內(nèi)的線應(yīng)該為另一條對(duì)角線,當(dāng)四棱錐的直觀圖為右圖時(shí),它的三視圖是C.5.一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示,則其俯視圖不可能為：長方形；正方形；圓；橢圓.其中正確的是_.答案：6.(2016某文)將一個(gè)長方形沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()A B C D【答案】B7.(2015東北三校聯(lián)考)利用斜二測(cè)畫法可以得到：三角形的直觀圖是三角形；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；正方形的直觀圖是正方形；菱形的直觀圖是菱形.以上結(jié)論正確的是_.答案：8.(2015某模擬)用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平

17、面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形,則原來的圖形是()解析：選A由直觀圖可知,在直觀圖中多邊形為正方形,對(duì)角線長為eq r(2),所以原圖形為平行四邊形,位于y軸上的對(duì)角線長為2eq r(2).9.(2013某)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是()【答案】D考向1由三視圖可知該幾何體為一個(gè)上部為圓臺(tái)、下部為圓柱的組合體,圓臺(tái)的下底面和圓柱的底面恰好重合.10.(2014某)一個(gè)幾何體的直觀圖如圖,下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是()【答案】B俯視圖為在水平投射面上的正投影,結(jié)合幾何體可知選B.【第2講：空間幾何體的三視圖與表面積和體積】題型3:空間幾何體的三視圖與表面積【典

18、型例題】例1(1)(2015石景山一模)正三棱柱的側(cè)(左)視圖如圖所示,則該正三棱柱的側(cè)面積為_.解析：由側(cè)(左)視圖知：正三棱柱的高(側(cè)棱長)為2,底邊上的高為eq r(3),所以底邊邊長為2,側(cè)面積為32212.答案：12(2)(2014日照一模)如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖,其俯視圖是面積為8eq r(2)的矩形.則該幾何體的表面積是().A.8 B.208eq r(2)C.16 D.248eq r(2)解析由已知俯視圖是矩形,則該幾何體為一個(gè)三棱柱,根據(jù)三視圖的性質(zhì),俯視圖的矩形寬為2eq r(2),由面積8eq r(2),得長為4,則該幾何體的表面積為S2eq f(1,2)222

19、eq r(2)4224208eq r(2).答案B(3)(2014某模擬)如圖所示,一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形,俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓,那么這個(gè)幾何體的表面積為().A.4 B.eq f(3,2) C.3 D.2解析由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)圓柱,S表2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)211eq f(3,2).答案B(4)(2016某某聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸,可得這個(gè)幾何體的表面積是_.【解析】由題意知,該幾何體是一個(gè)側(cè)放的圓錐,圓錐底面位于右側(cè),底面圓的半徑為1,圓錐的高為2,易知其母線長為eq r(5),所以

20、其表面積為S1(1eq r(5)eq r(5).【答案】eq r(5)(5)(2016課標(biāo) = 3 * ROMAN * MERGEFORMAT III)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為()A.1836eq r(5) B.5418eq r(5)C.90 D.81解析B考向2由圖可知,該幾何體為四棱柱,S表2S底2S前2S側(cè)23223623eq r(3262)183618eq r(5)5418eq r(5).例2(1)已知棱長為a,各面均為等邊三角形的四面體SABC,則它的表面積為_.解析：過S作SDBC,BCa,SDeq f(r(3),2)a

21、SSBCeq f(r(3),4)a2,表面積S4eq f(r(3),4)a2eq r(3)a2.答案：eq r(3)a2(2)(2015)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的表面積是()A.2eq r(5) B.4eq r(5) C.22eq r(5) D.5【解析】作出三棱錐的示意圖如圖,在ABC中,作AB邊上的高CD,連接SD.在三棱錐SABC中,SC底面ABC,SC1,底面三角形ABC是等腰三角形,ACBC,AB邊上的高CD2,ADBD1,斜高SDeq r(5),ACBCeq r(5).S表SABCSSACSSBCSSABeq f(1,2)22eq f(1,2)1eq r(5)eq f

22、(1,2)1eq r(5)eq f(1,2)2eq r(5)22eq r(5).(3)(2015某模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是菱形,則該幾何體的側(cè)面積為()A.eq r(3)eq r(6)B.eq r(3)eq r(5)C.eq r(2)eq r(6)D.eq r(2)eq r(5)解析：選C由三視圖還原為空間幾何體,如圖所示,則有OAOB1,ABeq r(2).又PB平面ABCD,PBBD,PBAB,PDeq r(221)eq r(5),PAeq r(212)eq r(3),從而有PA2DA2PD2,PADA,該幾何體的側(cè)面積S2eq f(1,2)eq r(2)12eq f

23、(1,2)eq r(2)eq r(3)eq r(2)eq r(6).(4)(2016房山一模)某四棱錐的三視圖如圖所示,則最長的一條側(cè)棱的長度為()A.eq r(2) B.eq r(3) C.eq r(5) D.eq r(6)3.C考向1由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形,且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,直觀圖如圖所示,其中PA面ABCD,PA1,AD1,CD1,AB2,PDeq r(2),PCeq r(3),而在RtPAB中,PBeq r(PA2AB2)eq r(1222)eq r(5)eq r(3),故最長的側(cè)棱為PB,其長度為eq r(5),故選C.(5)(2014課標(biāo))如圖所示

24、,網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長的棱的長度為()A.6eq r(2) B.4eq r(2) C.6 D.4【解析】由三視圖可知該幾何體為圖中棱長為4的正方體中的三棱錐PABC.由圖可知,最長棱為PCeq r(424222)6.例3(1)已知某幾何體的三視圖的正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰梯形,俯視圖是兩個(gè)同心圓,如圖所示,則該幾何體的表面積為_.解析由三視圖知該幾何體為上底直徑為2,下底直徑為6,高為2eq r(3)的圓臺(tái),則幾何體的表面積S19(13)eq r(2r(3)222)26.答案：26(2)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的

25、表面積為_.解析如圖所示：該幾何體為長為4,寬為3,高為1的長方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1,高為1的圓柱后剩下的部分.S表(413431)221121238.答案38(3)(2015課標(biāo))圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為1620,則r()A.1 B.2 C.4 D.8解析B由題意知,該幾何體是由半個(gè)圓柱與半個(gè)球組合得到的.則表面積S2r22eq f(1,2)r24r22r25r24r22016,r2.(4)2014某理某幾何體的三視圖如下圖所示,則該幾何體的表面積為()A.54 B.60 C.66 D.7

26、2【答案】B【解析】在長方體中構(gòu)造幾何體,如右圖所示,經(jīng)檢驗(yàn)該幾何體的三視圖滿足題設(shè)條件.其表面積,故選擇(5)(2014某)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的表面積為()A.21eq r(3) B.18eq r(3)C.21 D.18解析A由三視圖知,該多面體是由正方體割去兩個(gè)角后剩下的部分,如圖所示,則SS正方體2S三棱錐側(cè)2S三棱錐底2423eq f(1,2)112eq f(r(3),4)(eq r(2)221eq r(3).【變式訓(xùn)練】1.(2015西城期末)已知一個(gè)正三棱柱的所有棱長均相等,其側(cè)(左)視圖如圖所示,那么此三棱柱正(主)視圖的面積為_.解析：由正三棱柱三視圖還原直

27、觀圖可得正(主)視圖是一個(gè)矩形,其中一邊的長是側(cè)(左)視圖中三角形的高,另一邊是棱長.因?yàn)閭?cè)(左)視圖中三角形的邊長為2,所以高為eq r(3),所以正視圖的面積為2eq r(3).答案：2eq r(3)2.(2015某一檢)如果一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是半徑等于5的圓,那么這個(gè)空間幾何體的表面積等于()A.100B.eq f(100,3)C.25D.eq f(25,3)解析：選A易知該幾何體為球,其半徑為5,則表面積為S4R2100.3.(2013某)已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于().A.1 B.eq r(2) C.e

28、q f(r(2)1,2) D.eq f(r(2)1,2)解析由俯視圖的面積為1可知,該正方體的放置如圖所示,當(dāng)正視圖的方向與正方體的側(cè)面垂直時(shí),正視圖的面積最小,其值為1,當(dāng)正視圖的方向與正方體的對(duì)角面BDD1B1或ACC1A1垂直時(shí),正視圖的面積最大,其值為eq r(2),由于正視圖的方向不同,因此正視圖的面積S1,eq r(2).故選C.答案C4.(2014某)將邊長為1的正方形以其一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的側(cè)面積是()A.4B.3C.2 D.解析：選C由幾何體的形成過程知所得幾何體為圓柱,底面半徑為1,高為1,其側(cè)面積S2rh2112.5.(2013某一模)具有如圖所示

29、的正視圖和俯視圖的幾何體中,體積最大的幾何體的表面積為().A.3 B.73eq r(2)C.eq f(7,2) D.14解析由正視圖和俯視圖可知,該幾何體可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圓柱.由圖可知四棱柱的體積最大.四棱柱的高為1,底面邊長分別為1,3,所以表面積為2(131131)14.答案D6.(2015某某模擬)把邊長為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起,形成的三棱錐ABCD的正(主)視圖與俯視圖如圖所示,則其側(cè)(左)視圖的面積為()A.eq f(r(2),2) B.eq f(1,2)C.eq f(r(2),4) D.eq f(1,4)解析D由正(主)視圖與俯視圖可得

30、三棱錐ABCD的一個(gè)側(cè)面與底面垂直,其側(cè)(左)視圖是直角三角形,且直角邊長均為eq f(r(2),2),所以側(cè)(左)視圖的面積為Seq f(1,2)eq f(r(2),2)eq f(r(2),2)eq f(1,4).7.(2016某一模)如圖,網(wǎng)格紙中的小正方形的邊長均為1,圖中粗線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體的表面積為()A.eq f(1,2)(eq r(22)3eq r(2)4) B.eq f(1,2)(eq r(22)3eq r(2)8)C.eq f(1,2)(eq r(22)eq r(2)8) D.eq f(1,2)(eq r(22)2eq r(2)8)解析B根據(jù)三視圖可知

31、該幾何體是底面為直角三角形的三棱錐,其表面積Seq f(1,2)eq r(2)eq r(2)eq f(1,2)eq r(2)3eq f(1,2)23eq f(1,2)eq r(2)eq r(11)eq f(1,2)(eq r(22)3eq r(2)8),故選B.8.(2016課標(biāo))如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A.20 B.24 C.28 D.32解析CS表r22r4eq f(1,2)2rR4162eq r(22（2r(3)）2)28.9 .(2013某文)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.180 B.200 C.220 D.240【答

32、案】D 10.(2014某理)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示,則此幾何體的表面積是( )A.90cm2B.129cm2 C.132cm2D.138cm2【答案】D【解析】由三視圖知：幾何體是直三棱柱與直四棱柱的組合體,其中直三棱柱的側(cè)棱長為3,底面是直角邊長分別為3、4的直角三角形,四棱柱的高為6,底面為矩形,矩形的兩相鄰邊長為3和4,幾何體的表面積S=246+36+33+234+234+(4+5)3=48+18+9+24+12+27=138(cm2).11.(2017理)某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的最長棱的長度為().A.3eq r(2)B.2eq r(3)C.2eq r(

33、2)D.2解析 幾何體四棱錐如圖所示,最長棱為正方體的體對(duì)角線,即.故選B.12.(2017全國1理)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形,該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形,這些梯形的面積之和為().A.10B.12C.14D.16解析由三視圖可畫出立體圖,如圖所示,該多面體只有兩個(gè)相同的梯形的面,.故選B.題型4:空間幾何體的三視圖與體積【典型例題】例1(1)(2013某)某幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為_.解析該幾何體為一個(gè)半圓錐,故其體積為Veq f(1,3)eq f(1,2)1222eq f(,3).答

34、案eq f(,3)(2)(2015某二調(diào))一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖與左(側(cè))視圖均為半徑是2的圓,則這個(gè)幾何體的體積是()A.16B.14C.12D.8解析：選D由三視圖可知,該幾何體為一個(gè)球切去四分之一個(gè)球后剩余的部分,由于球的(3)(2013某)某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示,則四棱臺(tái)的體積是().A.4 B.eq f(14,3) C.eq f(16,3) D.6解析由四棱臺(tái)的三視圖可知該四棱臺(tái)的上底面是邊長為1的正方形；下底面是邊長為2的正方形,高為2.由棱臺(tái)的體積公式可知該四棱臺(tái)的體積Veq f(1,3)(12eq r(1222)22)2eq f(14,3),故選B.答案B(4

35、)(2016某)已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長為2的等腰三角形,該三棱錐的正視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是_.解析考向3【解析】由題可知錐體的高為1,底面積為eq f(1,2)2eq r(3)1eq r(3),V錐eq f(1,3)eq r(3)1eq f(r(3),3).【答案】eq f(r(3),3)例2(1)(2015某)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的體積是()A.8 cm3 B.12 cm3 C.eq f(32,3)cm3 D.eq f(40,3)cm3解析C由題意得,該幾何體由一個(gè)正方體與一個(gè)正四棱錐組合而成,所以體積V23eq f(1,3)222eq f(32,

36、3).(2)(2017某理)由一個(gè)長方體和兩個(gè)eq f(1,4)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為.解析該幾何體的體積為.(3)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的體積(單位：cm3)是().A.eq f(,2)1 B.eq f(,2)3 C.eq f(3,2)1 D.eq f(3,2)3解析由三視圖可知,直觀圖是由半個(gè)圓錐與一個(gè)三棱錐構(gòu)成,半圓錐體積為,三棱錐體積為,所以幾何體體積.故選A.(4)(2013課標(biāo))某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為().A.168 B.88C.1616 D.816解析由三視圖可知該幾何體由長方體和圓柱的一半組成.其

37、中長方體的長、寬、高分別為4,2,2,圓柱的底面半徑為2、高為4.所以V224eq f(1,2)224168.故選A.(5)(2015某某模擬)已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積(單位：cm3)為_.解析eq f(r(3),3)由三視圖,該組合體上部是一個(gè)三棱錐,下部是一圓柱由圖中數(shù)據(jù)知V圓柱121三棱錐垂直于底面的側(cè)面是邊長為2的等邊三角形,且邊長是2,故其高即為三棱錐的高,高為eq r(3),故棱錐高為eq r(3)由于棱錐底面為一等腰直角三角形,且斜邊長為2,故兩直角邊長都是eq r(2),底面三角形的面積是eq f(1,2)eq r(2)eq r(2)1, 故V棱錐eq

38、f(1,3)1eq r(3)eq f(r(3),3),故該幾何體的體積是eq f(r(3),3).例3(1)(2015某實(shí)驗(yàn)?zāi)M)設(shè)下圖是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A.eq f(2,3) B.8eq f(,3) C.82 D. 8eq f(2,3)解析D由三視圖可知,幾何體為正方體內(nèi)挖去一個(gè)圓錐,所以該幾何體的體積為V正方體V錐23eq f(1,3)(122)8eq f(2,3).(2)(2013某)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是_.解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)部挖去一個(gè)正四棱柱,圓柱底面圓半徑為2,高為4,故體積為16；正四棱柱底面邊長為2,高為4,故體積

39、為16,所以幾何體的體積為1616.(3)(2015某天一聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.12 B.8 C.12 D.6解析C由三視圖可知,原幾何體是底面邊長為2的正方形,高為3的棱柱,里面挖去一個(gè)半徑為1的球,所以所求幾何體的體積為12,故選C.(4)(2017全國2理)如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得,則該幾何體的體積為().A.90 B.63C.42 D.36解析該幾何體可視為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為6的圓柱的一半,如圖所示.故選B.(5)(2015某統(tǒng)考)某幾何體的三視圖如圖所示,則

40、該幾何體的體積為()A.816 B.816C.88 D.168解析：選B由三視圖可知：幾何體為一個(gè)半圓柱去掉一個(gè)直三棱柱.半圓柱的高為4,底面半圓的半徑為2,直三棱柱的底面為斜邊是4的等腰直角三角形,高為4,故幾何體的體積Veq f(1,2)224eq f(1,2)424816.例4(1)(2014某模擬)如圖所示,已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均為1,且AA1底面ABC,則三棱錐B1ABC1的體積為 ().A.eq f(r(3),12)B.eq f(r(3),4)C.eq f(r(6),12)D.eq f(r(6),4)解析三棱錐B1ABC1的體積等于三棱錐AB1BC1的體積,三棱錐

41、AB1BC1的高為eq f(r(3),2),底面積為eq f(1,2),故其體積為eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(r(3),2)eq f(r(3),12).(2)(2012某)如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,E,F分別為線段AA1,B1C上的點(diǎn),則三棱錐D1EDF的體積為_.一般解法 三棱錐D1EDF的體積即為三棱錐FDD1E的體積.因?yàn)镋,F分別為AA1,B1C上的點(diǎn),所以在正方體ABCDA1B1C1D1中EDD1的面積為定值eq f(1,2),F到平面AA1D1D的距離為定值1,所以eq f(1,3)eq f(1,2)1eq f(1,6).優(yōu)美解法E點(diǎn)移到A點(diǎn)

42、,F點(diǎn)移到C點(diǎn),則eq f(1,3)eq f(1,2)111eq f(1,6).答案eq f(1,6)(3)(2014某)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的體積為()A.eq f(23,3 ) B.eq f(47,6)C.6 D.7解析：選A如圖,由三視圖可知,該幾何體是由棱長為2的正方體從右后和左下分別截去一個(gè)小三棱錐得到的,其體積為V82eq f(1,3)1eq f(1,2)11eq f(23,3).(4)(2014某)三棱錐PABC中,D,E分別為PB,PC的中點(diǎn),記三棱錐DABE的體積為V1,PABC的體積為V2,則eq f(V1,V2)_.解析如圖,設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h

43、,三角形PAB的面積為S,則V2eq f(1,3)Sh,V1VEADBeq f(1,3)eq f(1,2)Seq f(1,2)heq f(1,12)Sh,所以eq f(V1,V2)eq f(1,4).(5)(2013某)如圖,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點(diǎn),設(shè)三棱錐FADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2,則V1V2_.解析設(shè)三棱柱A1B1C1ABC的高為h,底面三角形ABC的面積為S,則V1eq f(1,3)eq f(1,4)Seq f(1,2)heq f(1,24)Sheq f(1,24)V2,即V1V2124.答案124例5(1)

44、(2015課標(biāo))九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛解析B設(shè)圓錐的底面半徑為r,eq f(1,4)2r8,req f(16,),Veq f(1,4)eq f(1,3)eq f(162,2)5eq f(320,9).設(shè)米堆共有x斛,則1.62xeq f(320,9)

45、,解得x22(斛).(2)(2015某)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè),則新的底面半徑為_.解析設(shè)新的底面半徑為r,根據(jù)題意得eq f(1,3)524228eq f(1,3)r248r2,即28r2196,req r(7).【答案】eq r(7)【變式訓(xùn)練】1.(2013某文)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是()A.eq f(1,6)B.eq f(1,3)C.eq f(2,3)D.【答案】B 2.(2016某)已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形,該四棱錐的三視圖

46、如圖所示(單位：m),則該四棱錐的體積為_m3.解析依題意得,該四棱錐底面平行四邊形的一邊長為2,高為1.又依據(jù)正視圖知該四棱錐高為3,V四棱錐eq f(1,3)Sheq f(1,3)2132(m3).【答案】23.(2016課標(biāo))如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑,若該幾何體的體積是eq f(28,3),則它的表面積是()A.17 B.18 C.20 D.28解析A由三視圖可知該幾何體為球去掉一個(gè)eq f(1,8)球.設(shè)球的半徑為R,則Veq f(7,8)eq f(4,3)R3eq f(28,3),得R2.故其表面積Seq f(7,8)4R23eq f(1,

47、4)R214317.4.(2015某)在梯形ABCD中,ABCeq f(,2),ADBC,BC2AD2AB2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eq f(2,3) B.eq f(4,3) C.eq f(5,3) D.2解析如圖,過點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E,梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑,線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑,ED為高的圓錐,如圖所示,該幾何體的體積為VV圓柱V圓錐AB2BCeq f(1,3)CE2DE122eq f(1,3)121eq f(5,3).5.(2014

48、某)一個(gè)六棱錐的體積為2eq r(3),其底面是邊長為2的正六邊形,側(cè)棱長都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為_.解析：由題意可知,該六棱錐是正六棱錐,設(shè)該六棱錐的高為h,則eq f(1,3)6eq f(r(3),4)22h2eq r(3),解得h1,底面正六邊形的中心到其邊的距離為eq r(3),故側(cè)面等腰三角形底邊上的高為eq r(r(3)21)2,故該六棱錐的側(cè)面積為eq f(1,2)12212.答案：126.(2014某)設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1,S2,體積分別為V1,V2,若它們的側(cè)面積相等,且eq f(S1,S2)eq f(9,4),則eq f(V1,V2)的值是_.【解析】設(shè)甲

49、、乙兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1,h1,r2,h2,由側(cè)面積相等,即2r1h12r2h2,得eq f(h1,h2)eq f(r2,r1).又eq f(S1,S2)eq f(req oal(2,1),req oal(2,2)eq f(9,4),所以eq f(r1,r2)eq f(3,2),則eq f(V1,V2)eq f(req oal(2,1)h1,req oal(2,2)h2)eq f(req oal(2,1),req oal(2,2)eq f(h1,h2)eq f(req oal(2,1),req oal(2,2)eq f(r2,r1)eq f(r1,r2)eq f(3,2).【答案】

50、eq f(3,2)7.(2014某)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m),則該幾何體的體積為_m3.解析：該幾何體是一個(gè)組合體,上半部分是一個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)圓柱.因?yàn)閂圓錐eq f(1,3)222eq f(8,3),V圓柱1244,所以該幾何體體積Veq f(8,3)4eq f(20,3).答案：eq f(20,3)8.(2016某)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.eq f(1,3)eq f(2,3) B.eq f(1,3)eq f(r(2),3)C.eq f(1,3)eq f(r(2),6) D.1eq f(r(2),6)解析C由三視圖可知

51、,四棱錐的底面是邊長為1的正方形,半球的直徑為eq r(1212)eq r(2),所以四棱錐的體積為eq f(1,3)121eq f(1,3),半球的體積為eq f(1,2)eq f(4,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)eq sup12(3)eq f(r(2),6),所以此組合體的體積為eq f(1,3)eq f(r(2),6).9.(2013某)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示,則此幾何體的體積等于.答案24 cm310.(2014某)某幾何體三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.82B.8C.8eq f(,2)D.8eq f(,4)解析：選B直觀

52、圖為棱長為2的正方體割去兩個(gè)底面半徑為1的eq f(1,4)圓柱,所以該幾何體的體積為232122eq f(1,4)8.11.(2014課標(biāo)文)正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為eq r(3),D為BC中點(diǎn),則三棱錐AB1DC1的體積為()A.3 B.eq f(3,2) C.1 D.eq f(r(3),2)【解析】如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,ADBC,AD平面B1DC1,VAB1DC1eq f(1,3)SB1DC1ADeq f(1,3)eq f(1,2)2eq r(3)eq r(3)1,故選C.12.(2015課標(biāo))一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如

53、圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.eq f(1,8) B.eq f(1,7) C.eq f(1,6) D.eq f(1,5)解析D如圖所示為正方體被一個(gè)平面截去后剩余部分的幾何體.設(shè)正方體棱長為a,eq f(VAA1B1D1,V剩)eq f(f(1,3)f(1,2)a2a,a3f(1,3)f(1,2)a2a)eq f(1,5).13.(2016某某二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.eq f(16,3) B.eq f(20,3) C.eq f(15,2) D.eq f(13,2)解析D該幾何體可視為正方體截去兩個(gè)三棱錐所得,所以其體積為8eq f(4,3)

54、eq f(1,6)eq f(13,2).故選D.14.(2014課標(biāo)理)如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm),圖中粗線畫出的是某零件的三視圖,該零件由一個(gè)底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯切削得到,則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()A.eq f(17,27) B.eq f(5,9) C.eq f(10,27) D.eq f(1,3)【答案】 C【解析】題型5:與球有關(guān)的切、接問題【典型例題】例1(1)2017全國 = 2 * ROMAN * MERGEFORMAT II文長方體的長、寬、高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為_.解析：易知球O為

55、長方體的外接球,其直徑2R為長方體體對(duì)角線的長(2)(2013某)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單組合體,如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長為2的正方形,則該球的表面積是_.解析由三視圖知,棱長為2的正方體內(nèi)接于球,故正方體的體對(duì)角線長為2eq r(3),即為球的直徑.所以球的表面積為S4eq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(3),2)212.(3)(2014某)已知底面邊長為1,側(cè)棱長為eq r(2)的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,則該球的體積為()A.eq f(32,3)B.4C.2D.eq f(4,3)解析：選D因?yàn)樵撜睦庵耐饨忧?/p>

56、的半徑是四棱柱體對(duì)角線的一半,所以半徑req f(1,2)eq r(1212r(2)2)1,所以V球eq f(4,3)13eq f(4,3).故選D.例2(1)(2015某某模擬)四面體ABCD中,共頂點(diǎn)A的三條棱兩兩相互垂直,且其長分別為2,3,4.若四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則這個(gè)球的表面積為_.【解析】依題意,原幾何體是一個(gè)三棱錐,可以看作一條棱與底面垂直且其長度為3,底面是一個(gè)直角三角形,兩直角邊長分別為2,4,這個(gè)幾何體可以看作是長、寬、高分別為4,2,3的長方體的一部分,則其外接球的半徑為Req f(1,2)eq r(422232)eq f(r(29),2),故這個(gè)球

57、的表面積為S4R24eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(29),2)eq sup12(2)29.(2)(2013某)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若AB3,AC4,ABAC,AA112,則球O的半徑為( )().A.eq f(3r(17),2) B.2eq r(10) C.eq f(13,2)D.3eq r(10)解析因?yàn)樵谥比庵蠥B3,AC4,AA112,ABAC,所以BC5,且BC為過底面ABC的截面圓的直徑,取BC中點(diǎn)D,則OD底面ABC,則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi),矩形BCC1B1的對(duì)角線長即為球的直徑,所以2req r(12252)13,即

58、req f(13,2).(3)已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上,當(dāng)正六棱柱的底面邊長為eq r(6)時(shí),其高的值為()A.3eq r(3)B.eq r(3)C.2eq r(6)D.2eq r(3)解析：選D設(shè)正六棱柱的高為h,則可得(eq r(6)2eq f(h2,4)32,解得h2eq r(3).例3(1)(2014大綱)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為()A.eq f(81,4)B.16C.9D.eq f(27,4)解析：選A如圖所示,設(shè)球半徑為R,底面中心為O且球心為O,正四棱錐PABCD中AB2,AOeq r(2).PO4,

59、在RtAOO中,AO2AO2OO2,R2(eq r(2)2(4R)2,解得Req f(9,4),該球的表面積為4R24eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,4)2eq f(81,4),故選A.(2)(2016某某一模)一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如圖所示,則該幾何體的外接球半徑為()A.eq f(1,2) B.eq f(r(3),16) C.eq f(r(17),4) D.eq f(17,4)解析 D如圖所示,直觀圖為三棱錐PABC,ABBC,平面PAC平面ABC,過P作PDAC于D,則D是AC的中點(diǎn),PD平面ABC,則外接球球心O在線段PD上.由三視圖得PDeq r(5232)4,A

60、C6eq r(2).設(shè)外接球的半徑為r,在直角三角形ODC中,由OD2OC2CD2得(4r)2r2(3eq r(2)2,解得req f(17,4).(3)(2015某模擬)若一個(gè)正四面體的表面積為S1,其內(nèi)切球的表面積為S2,則eq f(S1,S2)_.解析：設(shè)正四面體棱長為a,則正四面體表面積為S14eq f(r(3),4)a2eq r(3)a2,其內(nèi)切球半徑為正四面體高的eq f(1,4),即req f(1,4)eq f(r(6),3)aeq f(r(6),12)a,因此內(nèi)切球表面積為S24r2eq f(a2,6),則eq f(S1,S2)eq f(r(3)a2,f(,6)a2)eq f(