微分形式的基本方程流體力學(xué)課件

1、 B3.1 微分形式的質(zhì)量守恒方程B3.1.1 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性原理 不可壓縮流體流進(jìn)控制體的質(zhì)量應(yīng)等于流出控制體的質(zhì)量， 稱(chēng)其為流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性原理。 17世紀(jì)，哈維發(fā)現(xiàn)人體血液循環(huán)理論 質(zhì)量守恒在易變形的流體中的體現(xiàn)流動(dòng)連續(xù)性。 歷史上對(duì)連續(xù)性的認(rèn)識(shí)古 代，漏壺、水流計(jì)時(shí)16世紀(jì)，達(dá)芬奇指出河水流速與河橫截面積成反比18世紀(jì)，達(dá)朗貝爾推導(dǎo)不可壓縮流體微分形式連續(xù)性方程B3.1.1 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性原理(2-1)B3.1.1 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性(2-2)17世紀(jì)哈維：血液循環(huán)理論 解剖發(fā)現(xiàn)：從心臟到動(dòng)脈末端血液?jiǎn)蜗?流動(dòng)，從靜脈末端到心臟也 是單向流動(dòng) 定量測(cè)量：每小時(shí)流出心臟血液245kg

2、大膽預(yù)言：從動(dòng)脈到靜脈再回心臟 45年后發(fā)現(xiàn)：毛細(xì)血管的存在血液循環(huán)理論流體連續(xù)性原理的勝利血液循環(huán)圖B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程 x，y，z方向凈流出質(zhì)量為因密度變化引起的質(zhì)量減少為由質(zhì)量守恒定律單位時(shí)間單位體積內(nèi)邊長(zhǎng)為 , , 的長(zhǎng)方體控制體元，內(nèi)x方向凈流出的質(zhì)量B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程(2-1)B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程(2-2)用場(chǎng)量公式并運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，微分形式連續(xù)性方程為或改寫(xiě)為：左邊代表一點(diǎn)鄰域內(nèi)流體體積的相對(duì)膨脹速率，右邊代表密度相對(duì)減少率。連續(xù)性方程適用于任何同種流體。不可壓縮流體連續(xù)性方程例B3.1.2 不可壓縮流動(dòng)連續(xù)性方程 已知：不可壓縮流體

3、平面流動(dòng)（C為常數(shù)）求： v 解： 由不可壓縮流動(dòng)連續(xù)性方程的二維形式可得（B3.1.11）當(dāng)f(x) = 0，表示位于原點(diǎn)的點(diǎn)渦流動(dòng)； 當(dāng)f(x) = U，表示點(diǎn)渦流疊加y方向速度為U的均流；討論： 本例說(shuō)明對(duì)不可壓縮流動(dòng)，任一點(diǎn)的各速度分量不能是任意的,而是受到（B3.1.11）式制約的。B3.2 作用在流體元上的力B3.2.1 體積力和表面力1.體積力長(zhǎng)程力穿越空間作用到流體元上萬(wàn)有引力電磁力慣性力與流體元體積成正比體積力單位質(zhì)量流體上的體積力 單位體積流體上的體積力 B3.2.1 體積力和表面力(2-1)B3.2.1 體積力和表面力(2-2)2.表面力短程力通過(guò)接觸面作用壓強(qiáng)粘性切應(yīng)力

4、與表面面積和方位有關(guān)表面力表面力定義：作用在單位平面面積元上的短程力。n面積元外法線單位矢n面積元內(nèi)法線單位矢（注意： 和 不一定與 垂直）B3.2.2 重力場(chǎng)在直角坐標(biāo)系的重力場(chǎng)中稱(chēng)為重力勢(shì)，代表單位質(zhì)量流體具有的重力勢(shì)能B3.2.2 重力場(chǎng)B3.2.3 應(yīng)力場(chǎng)1.運(yùn)動(dòng)粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的表面應(yīng)力用過(guò)該點(diǎn)三個(gè)坐標(biāo)面上三組表面力分量唯一確定應(yīng)力狀態(tài)與作用力的大小、方向、作用面方位有關(guān)上的應(yīng)力分量為上的應(yīng)力分量為上的應(yīng)力分量為B3.2.3 應(yīng)力場(chǎng)(4-1)應(yīng)力矩陣作用在任意方位面元上的表面應(yīng)力表面應(yīng)力的分量式B3.2.3 應(yīng)力場(chǎng)(4-2)作用在外法矢沿x軸向的面積元dAx上三個(gè)應(yīng)力分量如圖

5、示B3.2.3 應(yīng)力場(chǎng)(4-3)2.靜止流體中的應(yīng)力狀態(tài)靜止流體的應(yīng)力狀態(tài)結(jié)論：靜止流體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)只用一個(gè)標(biāo)量靜壓強(qiáng)p表示.只有法向應(yīng)力無(wú)切應(yīng)力B3.2.3 應(yīng)力場(chǎng)(4-4)3.應(yīng)力的常用表達(dá)式運(yùn)動(dòng)粘性流體中的(平均)壓強(qiáng)在法向應(yīng)力中把壓強(qiáng)分離出來(lái)為附加法向應(yīng)力分量（與流體元線應(yīng)變率有關(guān)） 壓強(qiáng)矩陣 偏應(yīng)力矩陣 應(yīng)力矩陣表示為 例B3.2.3 平面線性剪切流中的應(yīng)力狀態(tài) 已知：平面線性剪切流求： 應(yīng)力狀態(tài) 解:附加法向應(yīng)力切應(yīng)力討論：附加法向應(yīng)力與該方向的線應(yīng)變率有關(guān)，平面線性剪切流中任一點(diǎn)處在x、y方向的線應(yīng)變率均為零，因此相應(yīng)的附加法向應(yīng)力也均為零，x, y方向的法向應(yīng)力均等于平衡壓

6、強(qiáng)；粘性切應(yīng)力則在全流場(chǎng)保持常數(shù)。 法向應(yīng)力（k為常數(shù)）例B3.2.3A 剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng):純旋轉(zhuǎn)(2-1) 已知：二維不可壓縮平面流場(chǎng)為求： 試分析該流場(chǎng)中的應(yīng)力狀態(tài) （k為常數(shù)）解：附加法向應(yīng)力流體中任一點(diǎn)的法向應(yīng)力為 切向應(yīng)力為討論：（1）線應(yīng)變率處處為零，附加法向應(yīng)力為零，全流場(chǎng) 的法向應(yīng)力均等于平衡壓強(qiáng)。（2）角變形率也處處為零，全流場(chǎng)的粘性切應(yīng)力為零，流體和剛體一樣作定軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。例B3.2.3A 剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng):純旋轉(zhuǎn)(2-2) B3.3 微分形式的動(dòng)量方程按牛頓第二定律，長(zhǎng)方體流體元的運(yùn)動(dòng)方程為 各面元上 x 方向表面應(yīng)力的分量如圖示。B3.3 微分形式的動(dòng)量方程(2-1) 表面力合

7、力 dFsx 由應(yīng)力梯度造成x方向的體積力分量為 將dFsx和dFbx代入運(yùn)動(dòng)方程，并利用 和質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，可化為 同理可得 上式稱(chēng)為粘性流體運(yùn)動(dòng)一般微分方程，適用于任何流體。 B3.3 微分形式的動(dòng)量方程(2-2)B3.4 納維斯托克斯方程 斯托克斯假設(shè)：1.將牛頓粘性定律從一維推廣到三維； 2.流體各向同性； 3.靜止時(shí)法向應(yīng)力等于靜壓強(qiáng)。 均代入粘性流體運(yùn)動(dòng)一般微分方程對(duì)牛頓流體（常數(shù)）B3.4 納維斯托克斯方程(4-1) 不可壓縮條件（常數(shù)）B3.4 納維斯托克斯方程(4-2) 可得均質(zhì)不可壓縮牛頓流體的納維-斯托克斯方程(NS方程)NS方程的適用條件是：常數(shù)常數(shù)，B3.4 納維斯托克

8、斯方程(4-3) NS方程的矢量式為NS方程的意義和求解： 物理意義是：慣性力與體積力、壓力、粘性力平衡 u、v、w、p，方程組是封閉的； 加上連續(xù)性方程 ，四個(gè)方程求解四個(gè)未知數(shù) 在邊界條件較簡(jiǎn)單時(shí)可求解析解;在邊界條件較復(fù)雜時(shí)可求數(shù)值解; 對(duì)不同的流動(dòng)專(zhuān)題可作不同程度的簡(jiǎn)化（見(jiàn)專(zhuān)題篇）。 B3.4 納維斯托克斯方程(4-4) NS方程平衡方程相對(duì)平衡方程歐拉方程慣性力體積力粘性力壓力00B3.5 邊界條件與初始條件 1.常見(jiàn)邊界條件(1)固體壁面粘性流體：不滑移條件(圖a) 無(wú)粘性流體：法向速度連續(xù)(圖b) v = v固 vn = v n固 (2)外流無(wú)窮遠(yuǎn)條件v = v， p = p B

9、3.5 邊界條件與初始條件 (2-1)(3)內(nèi)流出入口條件v = vin (out)， p = p in (out) (4)自由面條件2.初始條件定常流時(shí)無(wú)初始條件不定常流時(shí)給出某時(shí)刻的參數(shù)值：v(t0), p (t0), (t0) 等B3.5 邊界條件與初始條件(2-2) 例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性層流(3-1)已知：不可壓牛頓流體在重力作用下沿斜坡()作定常層流流動(dòng)，流層深h，自由面上為大氣壓（p0）。(a)求： (1) 速度分布 (2) 壓強(qiáng)分布 (3) 切應(yīng)力分布 (4) 流量 解：在圖示坐標(biāo)系中連續(xù)性方程和NS方程為(b)(c)例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性層流(3-2)

10、因v0，由（a）式由（c）式由邊界條件(1): y=h, p=0 , C(x)=,壓強(qiáng)分布為且，由(b)式積分兩次流量 速度分布為討論：壓強(qiáng)和切應(yīng)力為線性分布，速度分布為y的二次函數(shù)，流量為h 的三次函數(shù)。 切應(yīng)力分布例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性層流(3-3)由邊界條件(2): y=0 , u=0 可得 C2 =0由邊界條件(3): y=b , B3.6壓強(qiáng)場(chǎng) 由NS方程粘性流動(dòng)絕對(duì)平衡相對(duì)平衡無(wú)粘性流動(dòng)B3.6 壓強(qiáng)場(chǎng) B3.6.1 靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布 均質(zhì)靜止流體 = 常數(shù)，uvw0在重力場(chǎng)中上式說(shuō)明：z方向壓強(qiáng)梯度由單位體積流體的重力決定。積分可得B3.6.1 靜止重力流體中

11、的壓強(qiáng)分布 (3-1)1.壓強(qiáng)分布一般表達(dá)式由N-S方程可得B3.6.1 靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布(3-2)2.具有自由液面的重力液體 壓強(qiáng)公式為自由面上的壓強(qiáng)，h為淹深(1)在垂直方向壓強(qiáng)與淹深成線性關(guān)系 (2)在水平方向壓強(qiáng)保持常數(shù) B3.6.1 靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布(3-3)3.等壓面在連通的同種流體中的等壓強(qiáng)面稱(chēng)為等壓面。在靜止重力流體中的等壓面為水平面h常數(shù)右圖中33 為等壓面非等壓面11 為不連通液體22 為不同液體例B3.6.1 靜壓強(qiáng)分布圖B3.6.2 壓強(qiáng)計(jì)示方式與單位壓強(qiáng)計(jì)示方式習(xí)慣上取壓強(qiáng)基準(zhǔn)真空度 完全真空絕對(duì)壓強(qiáng)表壓強(qiáng)大氣壓強(qiáng)B3.6.2 壓強(qiáng)計(jì)算方法與單位(2-

12、1)由壓強(qiáng)公式p0提供壓強(qiáng)基準(zhǔn)B3.6.2 壓強(qiáng)計(jì)算方法與單位(2-2) 2.壓強(qiáng)單位標(biāo)準(zhǔn)大氣壓atm(標(biāo)準(zhǔn)國(guó)際大氣模型)液柱高：國(guó)際單位制（SI）：帕斯卡Pa 毫米汞柱mmHg（血壓計(jì)）米水柱mH2O （水頭高）測(cè)壓管高度 h = pA /g例B3.6.2 單管測(cè)壓計(jì)（21）已知：圖示密封容器中液體(),在A點(diǎn)接上單管測(cè)壓計(jì)求： 與測(cè)壓管高度h 的關(guān)系解：(表壓強(qiáng))h為被測(cè)點(diǎn)的淹深，稱(chēng)為測(cè)壓管高度.討論：液面在壓強(qiáng) 推動(dòng)下上升至 h 高度，壓強(qiáng)勢(shì)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能。 壓強(qiáng)勢(shì)能重力勢(shì)能例B3.6.2 U形管測(cè)壓計(jì)（22）解：沿U 形管右支液面取等壓面，列平衡方程已知：圖示封閉容器中為水, U形管水銀測(cè)壓計(jì)中h =10cm求： ( ,表壓強(qiáng) 真空壓強(qiáng) 絕對(duì)壓強(qiáng)）例B3.6.2A U形管差壓計(jì)解：沿U 形管左支液面取等壓面11已知：圖示盛滿(mǎn)水封閉容器高差 , U形管水銀測(cè)壓計(jì)中液面差h =10cm求： ( ,表壓強(qiáng) 絕對(duì)壓強(qiáng)）B3.6.3 運(yùn)動(dòng)流場(chǎng)中的壓強(qiáng)分布 壓強(qiáng)系數(shù)1