微分形式的基本方程流體力學課件

1、 B3.1 微分形式的質(zhì)量守恒方程B3.1.1 流體運動的連續(xù)性原理 不可壓縮流體流進控制體的質(zhì)量應等于流出控制體的質(zhì)量， 稱其為流體運動的連續(xù)性原理。 17世紀，哈維發(fā)現(xiàn)人體血液循環(huán)理論 質(zhì)量守恒在易變形的流體中的體現(xiàn)流動連續(xù)性。 歷史上對連續(xù)性的認識古 代，漏壺、水流計時16世紀，達芬奇指出河水流速與河橫截面積成反比18世紀，達朗貝爾推導不可壓縮流體微分形式連續(xù)性方程B3.1.1 流體運動的連續(xù)性原理(2-1)B3.1.1 流體運動的連續(xù)性(2-2)17世紀哈維：血液循環(huán)理論 解剖發(fā)現(xiàn)：從心臟到動脈末端血液單向 流動，從靜脈末端到心臟也 是單向流動 定量測量：每小時流出心臟血液245kg

2、大膽預言：從動脈到靜脈再回心臟 45年后發(fā)現(xiàn)：毛細血管的存在血液循環(huán)理論流體連續(xù)性原理的勝利血液循環(huán)圖B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程 x，y，z方向凈流出質(zhì)量為因密度變化引起的質(zhì)量減少為由質(zhì)量守恒定律單位時間單位體積內(nèi)邊長為 , , 的長方體控制體元，內(nèi)x方向凈流出的質(zhì)量B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程(2-1)B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程(2-2)用場量公式并運用質(zhì)點導數(shù)概念，微分形式連續(xù)性方程為或改寫為：左邊代表一點鄰域內(nèi)流體體積的相對膨脹速率，右邊代表密度相對減少率。連續(xù)性方程適用于任何同種流體。不可壓縮流體連續(xù)性方程例B3.1.2 不可壓縮流動連續(xù)性方程 已知：不可壓縮流體

3、平面流動（C為常數(shù)）求： v 解： 由不可壓縮流動連續(xù)性方程的二維形式可得（B3.1.11）當f(x) = 0，表示位于原點的點渦流動； 當f(x) = U，表示點渦流疊加y方向速度為U的均流；討論： 本例說明對不可壓縮流動，任一點的各速度分量不能是任意的,而是受到（B3.1.11）式制約的。B3.2 作用在流體元上的力B3.2.1 體積力和表面力1.體積力長程力穿越空間作用到流體元上萬有引力電磁力慣性力與流體元體積成正比體積力單位質(zhì)量流體上的體積力 單位體積流體上的體積力 B3.2.1 體積力和表面力(2-1)B3.2.1 體積力和表面力(2-2)2.表面力短程力通過接觸面作用壓強粘性切應力

4、與表面面積和方位有關表面力表面力定義：作用在單位平面面積元上的短程力。n面積元外法線單位矢n面積元內(nèi)法線單位矢（注意： 和 不一定與 垂直）B3.2.2 重力場在直角坐標系的重力場中稱為重力勢，代表單位質(zhì)量流體具有的重力勢能B3.2.2 重力場B3.2.3 應力場1.運動粘性流體中的應力狀態(tài)一點的表面應力用過該點三個坐標面上三組表面力分量唯一確定應力狀態(tài)與作用力的大小、方向、作用面方位有關上的應力分量為上的應力分量為上的應力分量為B3.2.3 應力場(4-1)應力矩陣作用在任意方位面元上的表面應力表面應力的分量式B3.2.3 應力場(4-2)作用在外法矢沿x軸向的面積元dAx上三個應力分量如圖

5、示B3.2.3 應力場(4-3)2.靜止流體中的應力狀態(tài)靜止流體的應力狀態(tài)結(jié)論：靜止流體中一點的應力狀態(tài)只用一個標量靜壓強p表示.只有法向應力無切應力B3.2.3 應力場(4-4)3.應力的常用表達式運動粘性流體中的(平均)壓強在法向應力中把壓強分離出來為附加法向應力分量（與流體元線應變率有關） 壓強矩陣 偏應力矩陣 應力矩陣表示為 例B3.2.3 平面線性剪切流中的應力狀態(tài) 已知：平面線性剪切流求： 應力狀態(tài) 解:附加法向應力切應力討論：附加法向應力與該方向的線應變率有關，平面線性剪切流中任一點處在x、y方向的線應變率均為零，因此相應的附加法向應力也均為零，x, y方向的法向應力均等于平衡壓

6、強；粘性切應力則在全流場保持常數(shù)。 法向應力（k為常數(shù)）例B3.2.3A 剛體旋轉(zhuǎn)流動:純旋轉(zhuǎn)(2-1) 已知：二維不可壓縮平面流場為求： 試分析該流場中的應力狀態(tài) （k為常數(shù)）解：附加法向應力流體中任一點的法向應力為 切向應力為討論：（1）線應變率處處為零，附加法向應力為零，全流場 的法向應力均等于平衡壓強。（2）角變形率也處處為零，全流場的粘性切應力為零，流體和剛體一樣作定軸旋轉(zhuǎn)運動。例B3.2.3A 剛體旋轉(zhuǎn)流動:純旋轉(zhuǎn)(2-2) B3.3 微分形式的動量方程按牛頓第二定律，長方體流體元的運動方程為 各面元上 x 方向表面應力的分量如圖示。B3.3 微分形式的動量方程(2-1) 表面力合

7、力 dFsx 由應力梯度造成x方向的體積力分量為 將dFsx和dFbx代入運動方程，并利用 和質(zhì)點導數(shù)概念，可化為 同理可得 上式稱為粘性流體運動一般微分方程，適用于任何流體。 B3.3 微分形式的動量方程(2-2)B3.4 納維斯托克斯方程 斯托克斯假設：1.將牛頓粘性定律從一維推廣到三維； 2.流體各向同性； 3.靜止時法向應力等于靜壓強。 均代入粘性流體運動一般微分方程對牛頓流體（常數(shù)）B3.4 納維斯托克斯方程(4-1) 不可壓縮條件（常數(shù)）B3.4 納維斯托克斯方程(4-2) 可得均質(zhì)不可壓縮牛頓流體的納維-斯托克斯方程(NS方程)NS方程的適用條件是：常數(shù)常數(shù)，B3.4 納維斯托克

8、斯方程(4-3) NS方程的矢量式為NS方程的意義和求解： 物理意義是：慣性力與體積力、壓力、粘性力平衡 u、v、w、p，方程組是封閉的； 加上連續(xù)性方程 ，四個方程求解四個未知數(shù) 在邊界條件較簡單時可求解析解;在邊界條件較復雜時可求數(shù)值解; 對不同的流動專題可作不同程度的簡化（見專題篇）。 B3.4 納維斯托克斯方程(4-4) NS方程平衡方程相對平衡方程歐拉方程慣性力體積力粘性力壓力00B3.5 邊界條件與初始條件 1.常見邊界條件(1)固體壁面粘性流體：不滑移條件(圖a) 無粘性流體：法向速度連續(xù)(圖b) v = v固 vn = v n固 (2)外流無窮遠條件v = v， p = p B

9、3.5 邊界條件與初始條件 (2-1)(3)內(nèi)流出入口條件v = vin (out)， p = p in (out) (4)自由面條件2.初始條件定常流時無初始條件不定常流時給出某時刻的參數(shù)值：v(t0), p (t0), (t0) 等B3.5 邊界條件與初始條件(2-2) 例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性層流(3-1)已知：不可壓牛頓流體在重力作用下沿斜坡()作定常層流流動，流層深h，自由面上為大氣壓（p0）。(a)求： (1) 速度分布 (2) 壓強分布 (3) 切應力分布 (4) 流量 解：在圖示坐標系中連續(xù)性方程和NS方程為(b)(c)例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性層流(3-2)

10、因v0，由（a）式由（c）式由邊界條件(1): y=h, p=0 , C(x)=,壓強分布為且，由(b)式積分兩次流量 速度分布為討論：壓強和切應力為線性分布，速度分布為y的二次函數(shù)，流量為h 的三次函數(shù)。 切應力分布例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性層流(3-3)由邊界條件(2): y=0 , u=0 可得 C2 =0由邊界條件(3): y=b , B3.6壓強場 由NS方程粘性流動絕對平衡相對平衡無粘性流動B3.6 壓強場 B3.6.1 靜止重力流體中的壓強分布 均質(zhì)靜止流體 = 常數(shù)，uvw0在重力場中上式說明：z方向壓強梯度由單位體積流體的重力決定。積分可得B3.6.1 靜止重力流體中

11、的壓強分布 (3-1)1.壓強分布一般表達式由N-S方程可得B3.6.1 靜止重力流體中的壓強分布(3-2)2.具有自由液面的重力液體 壓強公式為自由面上的壓強，h為淹深(1)在垂直方向壓強與淹深成線性關系 (2)在水平方向壓強保持常數(shù) B3.6.1 靜止重力流體中的壓強分布(3-3)3.等壓面在連通的同種流體中的等壓強面稱為等壓面。在靜止重力流體中的等壓面為水平面h常數(shù)右圖中33 為等壓面非等壓面11 為不連通液體22 為不同液體例B3.6.1 靜壓強分布圖B3.6.2 壓強計示方式與單位壓強計示方式習慣上取壓強基準真空度 完全真空絕對壓強表壓強大氣壓強B3.6.2 壓強計算方法與單位(2-

12、1)由壓強公式p0提供壓強基準B3.6.2 壓強計算方法與單位(2-2) 2.壓強單位標準大氣壓atm(標準國際大氣模型)液柱高：國際單位制（SI）：帕斯卡Pa 毫米汞柱mmHg（血壓計）米水柱mH2O （水頭高）測壓管高度 h = pA /g例B3.6.2 單管測壓計（21）已知：圖示密封容器中液體(),在A點接上單管測壓計求： 與測壓管高度h 的關系解：(表壓強)h為被測點的淹深，稱為測壓管高度.討論：液面在壓強 推動下上升至 h 高度，壓強勢能轉(zhuǎn)化為重力勢能。 壓強勢能重力勢能例B3.6.2 U形管測壓計（22）解：沿U 形管右支液面取等壓面，列平衡方程已知：圖示封閉容器中為水, U形管水銀測壓計中h =10cm求： ( ,表壓強 真空壓強 絕對壓強）例B3.6.2A U形管差壓計解：沿U 形管左支液面取等壓面11已知：圖示盛滿水封閉容器高差 , U形管水銀測壓計中液面差h =10cm求： ( ,表壓強 絕對壓強）B3.6.3 運動流場中的壓強分布 壓強系數(shù)1