四直線、平面平行判定及其性質(zhì)

1、第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)【最新考綱】1以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理2能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題.夯實膽基I夯實膽基II基礎(chǔ)梳理1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)2.面面平行的判定與性質(zhì)P判定性質(zhì)定義定理圖形abak/Z7n/T7/a/條件口程=0aa/bqaa/amU禺結(jié)論/ab/aa(a=0a/b(1)a丄a,b丄a?a/b;(2)a丄a,a丄B?a/B.I學(xué)情自測(質(zhì)疑夯基)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“”，錯誤的打“X”.)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平TOCo

2、1-5hz面平行.()若直線a/平面a,Pa，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條.()如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.()如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()答案：x(2)X(3)X(4)V下列命題中正確的是()A.若a,b是兩條直線，且a/b,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面BB.若直線a和平面a滿足a/a,那么a與a內(nèi)的任何直線平行C.平行于同一條直線的兩個平面平行D.若直線a,b和平面a滿足a/b,a/a,b?a，貝Sb/a解析：選項A中，a/B或a?B,A不正確.選項B中，a與a內(nèi)的直線平行或異面，B錯.C中的兩個平面平行或相交

3、，C不正確.由線面平行的性質(zhì)與判定，選項D正確.答案：D（2015北京卷）設(shè)a,B是兩個不同的平面，m是直線且m?a.“m/B”是“a/8的（）A.充分而不必要條件必要而不充分條件充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：由m?a,m/8a/.8但m?a,a/8m/8,m/8是“all8的必要不充分條件.答案：B在正方體ABCDAiBiCiDi中，E是DD“的中點，貝SBDi與平面ACE的位置關(guān)系是.解析：如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是厶BDDi的中位線，二EFBDi,又EF?平面ACE,BDi?平面ACE,BDi/平面ACE答案：平行5.設(shè)aB,丫為三個不同的平面，a,b為

4、直線，給出下列條件：a?a,b?B,a/3,b/a；a/y,B/Y；a丄丫,B丄Y;a丄a,b丄3,a/b其中能推出all3的條件是（填上所有正確的序號）.解析：在條件或條件中，a/3或與3相交.由allY丫a/3,條件滿足.在中，a丄a,a/b?b丄a，從而a/3滿足.答案：_名師微博通法領(lǐng)悟一種關(guān)系三種平行間的轉(zhuǎn)化關(guān)系性質(zhì)定理丄判定定理判定定理工丄力一線罕平仃靈T線面平仃替IT面早平仃判定定理其中線面平行是核心，線線平行是基礎(chǔ)，要注意它們之間的靈活轉(zhuǎn)化.三個防范一一證明平行問題應(yīng)注意的三個問題1在推證線面平行時，一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤.在面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條

5、相交直線”這一條件.如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，易誤認為這兩個平面平行，實質(zhì)上也可以相交.怎磊盤施高效提能I訓(xùn)|林咸冊A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.（經(jīng)典再現(xiàn)）設(shè)I為直線，a,B是兩個不同的平面.下列命題中正確的是（）A.若l/a,I/B,貝卩allBB.若I丄a,I丄B,貝卩allBC.若I丄a,I/B,貝yallBD.若a丄B,I/a,貝卩I丄B解析：選項A，若I/a,I/B,貝a和B可能平行也可能相交,故錯誤;選項B,若I丄aI丄B，貝a/B,故正確；選項C,若I丄aI，則x丄B,故錯誤；選項D，若a丄伏l/a，則與B的位置關(guān)系有三種可能：I丄B,I/B,I?B,故錯誤.故選

6、B.答案：B2.正方體ABCDAiBiCiDi中，E,F,G分別是A1B1,CD,B1C1的中點，則正確命題是（）AE丄CGAE與CG是異面直線C.四邊形AECiF是正方形D.AE/平面BCiF解析：由正方體的幾何特征知，AE與平面BCCiBi不垂直，則AE丄CG不成立；由于EG/AiCi/AC，故A,E,G,C四點共面，所以AE與CG是異面直線錯誤；在四邊形AECiF中，AE=ECi=CiF=AF，但AF與AE不垂直，故四邊形AECiF是正方形錯誤；由于AE/CiF，由線面平行的判定定理，可得AE/平面BCiF.答案：D3.（2016吉林九校聯(lián)考）已知m,n為兩條不同的直線，a,B,丫為三個

7、不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若mIIa,nIIa,貝卩mIIn若man丄a，貝Umln若allp,m/n,m/a,貝Un/3D.若a丄y,3丄丫，貝卩allp解析：對于選項A,m/anla,則h與n可以平行，可以相交，可以異面，故A錯誤；對于選項B,由線面垂直的性質(zhì)定理知，m/n,故B正確；對于選項C,n可以平行3也可以在3內(nèi)，故C錯；對于選項D,口與3可以相交，D錯.答案：B（2014遼寧卷）已知m,n表示兩條不同直線，a表示平面.下列說法正確的是（）A.若m/a，n/a，貝m/nB.若mJa，n?a，貝mJnC.若mJa，mJn,貝卩n/aD.若m/a，mJn,貝卩nJa解析：

8、若m/a,n/a，貝m,n平行、相交或異面，A錯；若mJa，n?a,則mJn,因為直線與平面垂直時，它垂直于平面內(nèi)任一直線,B正確；若m丄a,mJn,貝卩n/a或n?a,C與昔;若m/a,mJn,則n與a可能相交，可能平行，也可能n?a,D錯.答案：B在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列結(jié)論中，錯誤的是（）AC丄BDAC/截面PQMNAC=BDD.異面直線PM與BD所成的角為45解析：因為截面PQMN是正方形，所以MN/QP，貝卩MN/平面ABC,由線面平行的性質(zhì)知MN/AC,貝SAC/截面PQMN,同理可得MQ/BD，又MN丄QM,貝卩AC丄BD，故A、B正確.又因為BD/MQ

9、，所以異面直線PM與BD所成的角等于PM與QM所成的角，即為45,故D正確.答案：C二、填空題若直線a丄b,且直線a/平面a,則直線b與平面a的位置關(guān)系是.解析：當b與a相交或b?a或b/a時，均有滿足直線a丄b,且直線a/平面a的情形.答案：b/a或b?a或b與a相交如圖所示，正方體ABCDAiBiCiDi中，AB=2,點E為AD的中點，點F在CD上.若EF/平面ABiC，則線段EF的長度等于.解析：由于在正方體ABCDAiBiCiDi中，AB=2,AC=22又E為AD中點，EF/平面ABiC,EF?平面ADC,平面ADCA平面ABiC=AC,EF/AC，/F為DC中點，二EF=；AC=2.

10、答案：28.（20i6承德模擬）如圖所示，在正四棱柱ABCDAiBiCiDi中，E,F,G,H分別是棱CCi,CiDi,DiD,DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件時就有MN/平面BiBDDi（注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況）解析：連結(jié)HN,FH,FN，貝SFH/DD“，HNBD,平面FHN/平面B1BDD1,只需MFH,貝SMN?平面FHN,MN/平面BiBDDi.答案：點M在線段FH上（或點M與點H重合）三、解答題9.如圖所示，四棱柱ABCDAiBiCiDi的底面ABCD是正方形，0是底面中心，AiO丄底面ABCD,AB=

11、AAi=2（i）證明：平面AiBD/平面CDiBi；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的體積.證明：由題設(shè)知，BBiDD1,二四邊形BBiDiD是平行四邊形，二BDB1D1.又BD?平面CD1B1，/BD/平面CDiBi.A1D1B1C1BC,.四邊形A1BCD1是平行四邊形，*A1B/DsC.又A1B?平面CD1B1,/A1B/平面CD1B1.又BDAA1B=B,.平面A“BD/平面CD“B仆解：vAQ丄平面ABCD,A0是三棱柱ABDA1B1D1的高.又AO=；AC=1,AA1=2,.人1。=AA10A2=1.又Saabd=2%；2X2=1,V三棱柱ABDA1B1D1=SaabdA1O=1.

12、10.(2015江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC丄BC,BC=CC1,設(shè)AB1的中點為D,B“CABC“=E求證:DE/(2)BC丄ABi.證明：(1)由題意知，E為BiC的中點,又D為ABi的中點，因此DE/AC.又因為DE?平面AAiCiC,AC?平面AAiCiC,所以DE/平面AAiCiC(2)因為棱柱ABCAiBiCi是直三棱柱,所以CCi丄平面ABC.因為AC?平面ABC，所以AC丄CCi.因為AC丄BC,CCi?平面BCCiBi,BC?平面BCCiBi,BCPCCi=C,所以AC丄平面BCCiBi.又因為BCi?平面BCCiBi，所以BCilAC.因為BC=C

13、Ci,所以矩形BCCiBi是正方形,因此BCiJBiC.因為AC,BiC?平面BiAC,ACCBiC=C,所以BCi丄平面BiAC.又因為ABi?平面BiAC，所以BCilAB仆B級能力提升TOCo1-5hz1.（20i6西安聯(lián)考）設(shè)a,b是兩條直線，a,B是兩個不同的平面，則allB的一個充分條件是（）A.存在一條直線a,ala,alB存在一條直線a,a?a,alp存在兩條平行直線a,b,a?a,b?B,alB,blaD.存在兩條異面直線a,b,a?a,b?B,alp,bla解析：對于A，兩個平面還可以相交，若解析：對于A，兩個平面還可以相交，若alB,則存在一條直線a,alaalB所以A是

14、alB的一個必要條件；同理，B也是alB的一個必要條件；易知C不是alB的一個充分條件，而是一個必要條件；對于D，可以通過平移把兩條異面直線平移到一個平面中，成為相交直線，則有alB,所以D是alB的一個充分條件.答案：D2.如圖所示，棱柱ABCAiBiCi的側(cè)面BCCiBi是菱形，設(shè)D是AiCi上的點且AiBl平面BiCD，則AiD:DCi的值為.ClCl解析:AiB/平面BiCD且平面AiBCf平面BQD=OD,AB/OD,四邊形BCCiBi是菱形，O為BCi的中點，為AiCi的中點，則AiDDCi=1.答案：i3.（20i4安徽卷）如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為217點G,E,F,H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點，平面GEFH丄平面ABCD,BC/平面GEFH.(1)證明：GH/EF.若EB=2,求四邊形GEFH的面積.(1)證明：vBC/平面GEFH,BC?平面PBC，且平面PBCA平面GEFH=GH所以GH/BC同理，可證EF/BC因此GH/EF.解：連接AC,BD交于點O,BD交EF于點K，連接0P,GK,因為PA=PC,點O是AC的中點，所以PO丄AC,同理可得PO丄BD,又BDAAC=O,且AC,BD都在底面內(nèi)，所以PO丄底面ABCD,又因為平面GEFH丄平面ABCD，且PO?平面GEF