2022年五級奧數(shù)知識講解質(zhì)數(shù)與合數(shù)

1、小學(xué)五年級奧數(shù)專題講解之“ 質(zhì)數(shù)與合數(shù)”自然數(shù)是同學(xué)們最熟悉的數(shù) .全體自然數(shù)可以按照約數(shù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類 .像 2、3、5 這樣僅有 1 和它本身兩個(gè)約數(shù)的自然數(shù)，稱為質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）. 像 4、6、8 這樣除了 1 和它本身以外，還有其它約數(shù)的自然數(shù)，稱為合數(shù) . 1 只有一個(gè)約數(shù)，就是它本身 .1 既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)、稱為單位 1. 因此，全體自然數(shù)分成了三類：數(shù)1；全體質(zhì)數(shù)；全體合數(shù) . 任何一個(gè)合數(shù)都可以分解成若干個(gè)質(zhì)因數(shù)乘積的形式，并且分法是唯一的，這個(gè)結(jié)論被稱為算術(shù)基本定理 . 問題 1 24 有多少個(gè)約數(shù)？這些約數(shù)的和是多少？分析 2423 3. 3 的約數(shù)： 1，2，2 2，2

2、 3 共 4 個(gè). 2 3 的約數(shù)： l ，3 共 2 個(gè). 根據(jù)乘法原理， 24 的約數(shù)個(gè)數(shù)為：（31） （ 11）4 28. 這 8 個(gè)約數(shù)為： l 、2、4、8、3、6、12、24. 它們的和為：1248361224 （1248）3 （1248）（1248） （ 13）（122 22 3） （ 13）15 460. 解 24 2 3 3.（31） （ 11）8. （122223） （ 13）15 4 60.答：24 有 8 個(gè)約數(shù)，這些約數(shù)的和是 60. 問題 2 有 8 個(gè)不同約數(shù)的自然數(shù)中，最小的一個(gè)是多少？分析 82 42 2 2. 因此，約數(shù)個(gè)數(shù)是8 的自然數(shù)，有三種類型： P7

3、1、P1 P32、P1 P2 P3，其中 P1、P2、P3 是不同的質(zhì)數(shù) . 解 8 2 42 2 2.2 7128，3 2 324， 2 3 530.有 8 個(gè)約數(shù)的最小自然數(shù)為 24. 分別判斷 103、437 是質(zhì)數(shù)還是合數(shù) . 問題 3分析 對于一個(gè)不很大的自然數(shù) 判斷它是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)：N（N1，N為非完全平方數(shù)） . 可用下面方法去先找出一個(gè)大于 N的最小的完全平方數(shù) K 2，再寫出 K以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)；若這些質(zhì)數(shù)都不能整除 N，則 N是質(zhì)數(shù)；若這些質(zhì)數(shù)中有一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除 N，則 N為合數(shù) . （請同學(xué)們想想這其中的道理）解 103 11 2. 而 11 以內(nèi)的質(zhì)數(shù) 2、3、5、7 都

4、不能整除 103，故 103 是質(zhì)數(shù) .43721 2. 而 21 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19. 437 1923， 437 是合數(shù) . 問題 4 將下面八個(gè)數(shù)分成兩組，使這兩組數(shù)各自的乘積相等 . 14，33，35，30，75，39，143，169. 分析 把八個(gè)數(shù)分成兩組后，應(yīng)使每組數(shù)的乘積所含的質(zhì)因數(shù)一樣 . 解 把已知的八個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：142 7，333 11.355 7，302 3 5.753 5 2，393 13，14311 13， 16913 2.14 7535 302 3 5 2 7，39 14333 1693 11 13 2，分成的兩組為：169，

5、33，35，30與 39，143，75，14或169，33，75，14與 39，143，35，30. 問題 5 一個(gè)數(shù)是 5 個(gè) 2、3 個(gè) 3、2 個(gè) 5、1 個(gè) 7 的連乘積，這個(gè)數(shù)的兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是幾？分析 設(shè)這個(gè)數(shù)為 N，則 N2 5 3 3 5 2 7. 兩位數(shù)中的最大數(shù)為 99，其它數(shù)依次為 98，97， . 那么可以從兩位數(shù)中最大的數(shù)開始找 .解 N2 5 3 3 5 2 7.993 2 11，不是 N的約數(shù) .982 7 2，不是 N的約數(shù) .97 是質(zhì)數(shù)，不是 N的約數(shù) . 962 5 3，是 N的約數(shù) .所以，所求最大的兩位數(shù)的約數(shù)是 96. 問題 6 有這樣的質(zhì)數(shù)

6、，它分別加上 10 和 14 仍為質(zhì)數(shù)，你會求這個(gè)質(zhì)數(shù)嗎？分析 從最小的質(zhì)數(shù)開始找，可以很快地找到 合條件的別的質(zhì)數(shù)呢？沒有 . 3 是符合條件的質(zhì)數(shù)，還有沒有符解 因?yàn)?31013，31417，所以 3 是符合條件的質(zhì)數(shù) . 因?yàn)?21012，21416，所以 2 是不符合條件的質(zhì)數(shù) . 我們將一切大于 2 的自然數(shù)按照被 3 除的余數(shù)分為 3n、3n1、3n2（n1 的整數(shù)）這三類 . 因?yàn)椋?3n1）143 （n5）不是質(zhì)數(shù)，（ 3n2）103 （ n4）不是質(zhì)數(shù)，而 3n 僅當(dāng) n1 時(shí)才是質(zhì)數(shù) . 所以， 3 是唯一符合條件的質(zhì)數(shù) . 問題 7 在乘積 1000 999 998 3

7、2 1 中，末尾連續(xù)有多少個(gè)零？. 因?yàn)?分析 不必真的算出這個(gè)乘積，而可以從分析末尾的零是怎樣產(chǎn)生的入手2 510，所以末尾的零只能由乘積中的質(zhì)因數(shù)2 與 5 相乘得到 . 因此，只需計(jì)算一下， 把乘積分解成質(zhì)因數(shù)的連乘積以后，有多少個(gè)質(zhì)因數(shù) 2，有多少個(gè)質(zhì)因數(shù) 5，其中哪一個(gè)的個(gè)數(shù)少，乘積的末尾就有多少個(gè)連續(xù)的零 . 解 先計(jì)算中的質(zhì)因數(shù) 5 的個(gè)數(shù) . 在 1，2， ，1000 中有 200 個(gè) 5 的倍數(shù)，它們是： 5，10， ， 1000. 在這200 個(gè)數(shù)中，有 40 個(gè)能被 2552 整除，它們是 25，50， ，1000. 在這 40 個(gè)數(shù)中，有 8 個(gè)能被 1255 3 整除，它們是 125，250， ， 1000. 在這 8 個(gè)數(shù)中，有1 個(gè)能被