北師大版七年級(上)數(shù)學(xué)知識點歸納總結(jié) (2)

1、七年級上冊 第一章 豐富的圖形世界第1節(jié) 生活中的立體圖形一、生活中常見的幾何體1、柱體：分為棱柱和圓柱（1）棱柱相關(guān)概念（如圖1-1-1所示）A、底面：兩個互相平行的平面叫做棱柱的底面。B、側(cè)面：兩個底面之外的平面叫做棱柱的側(cè)面。C、棱：相鄰兩個面的交線叫做棱柱的棱。D、側(cè)棱：相鄰兩個側(cè)面的交線叫做棱柱的側(cè)棱。E、頂點：側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點。F、高：兩個底面的距離叫做棱柱的高。分類A、按側(cè)棱是否與底面邊垂直分為：直棱柱和斜棱柱。（如圖1-1-2所示）B、按底面圖形的邊數(shù)分為：三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱（如圖1-1-3所示），它們的底面圖形的形狀依次是三角形、四邊形、五邊形、

2、六邊形【說明】長方體和正方體都是四棱柱。性質(zhì)A、棱柱的上、下底面形狀相同。B、棱柱的側(cè)面的形狀都是平行四邊形，直棱柱的側(cè)面是長方形。C、棱柱的側(cè)棱都平行且相等，直棱柱的側(cè)棱都平行且與高相等。元素間的關(guān)系A(chǔ)、底面多邊形的邊數(shù)n確定該棱柱是n棱柱B、n棱柱有2n個頂點，3n條棱，n條側(cè)棱，(n2)個面，n個側(cè)面。（2）圓柱相關(guān)概念（如圖1-1-4所示） 以長方形的一邊AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱。其中AB叫做圓柱的軸，AB的長叫做圓柱的高，所有平行于AB的線段，如DC，叫做圓柱的母線，AD與BC旋轉(zhuǎn)形成的兩個圓叫做圓柱的底面，DC旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓柱的側(cè)面。性

3、質(zhì)A、圓柱的上、下底面形狀相同，是能夠重合的兩個圓。B、圓柱有無數(shù)條母線，它們都平行且與高相等。圓柱與棱柱的異同A、相同點a、都有上、下兩個底面，且兩個底面的大小、形狀完全相同；b、它們的高都是上、下底面的距離；c、它們的體積都等于底面積乘以高，側(cè)表面積都等于底面周長乘以高。B、不同點a、圓柱的底面是圓，而棱柱的底面是多邊形；b、圓柱側(cè)面是光滑的曲面，而棱柱側(cè)面是有一條邊互相重合的順次相連的四邊形。2、錐體：分為棱錐和圓錐（1）棱錐相關(guān)概念（如圖1-1-5所示）A、底面：棱錐的多邊形叫做棱錐的底面，如四邊形ABCD。B、側(cè)面：棱錐除底面以外的各個面叫做棱錐的側(cè)面，如OAB、OBC、OCD、OD

4、A。C、側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。如OA、OB、OC、OD。D、頂點：棱錐中各個側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點，如點O。E、高：棱錐的頂點到底面的距離叫做棱錐的高。分類A、按底面是否為正多邊形且頂點與底面中心的連線是否與底面垂直分為：正棱錐與斜棱錐。（如圖1-1-6所示）B、按底面圖形的邊數(shù)分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐、六棱錐（如圖1-1-7所示），它們的底面圖形的形狀依次是三角形、四邊形、五邊形、六邊形正棱錐的性質(zhì) A、正棱錐的底面是正多邊形，側(cè)面是等腰三角形且大小、形狀完全相同。B、正棱錐的側(cè)面都相等。 元素間的關(guān)系A(chǔ)、底面多邊形的邊數(shù)n確定該棱錐是n棱錐；B、n棱錐只有1個頂點

5、，2n條棱，n條側(cè)棱，(n1)個面，n個側(cè)面。（2）圓錐相關(guān)概念（如圖1-1-8所示）以直角三角形的一條直角邊OA所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩條邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐。其中OA叫做圓錐的軸；OA的長叫做圓錐的高；點O叫做圓錐的頂點；點O與底面圓周上任意一點的連線，如OB，叫做圓錐的母線；AB旋轉(zhuǎn)形成的圓叫做圓錐的底面；OB旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。圓錐與棱錐的異同A、相同點：都只有1個底面、1個頂點、1條高；體積都等于底面積乘以高的1/3。B、不同點：圓錐的底面是圓，棱錐的底面是多邊形；圓錐的側(cè)面是光滑的曲面，棱錐的側(cè)面是有一條邊互相重合的順次相連的三角形。3、球體二、圖形的構(gòu)成

6、1、圖形是由點、線、面構(gòu)成的，點動成線、線動成面、面動成體。2、面分平面與曲面，面與面相交得到線；線分直線和曲線，線與線得到點。第2節(jié) 展開與折疊一、棱柱的表面展開圖棱柱的表面展開圖是由兩個相同的多邊形和一些長方形組成的。沿棱柱表面不同的棱剪開，可得到不同組合方式的表面展開圖。（以正方體為例）1、四個面連成一排的（如圖1-2-1所示）2、三個連成一排的（如圖1-2-2所示）3、兩個面連成一排的（如圖1-2-3所示）二、圓柱的展開圖1、圓柱的側(cè)面展開圖是一個長方形，一條邊長是底面圓的周長，另一條鄰邊是圓柱的高。2、圓柱的表面展開圖是由兩個大小相同的圓（底面）和一個長方形（側(cè)面）組成的。三、圓錐的

7、展開圖1、圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，其中扇形的半徑長是圓錐母線長，而扇形的弧長則是圓錐底面圓的周長。2、圓錐的表面展開圖是由一個圓（底面）和一個扇形（側(cè)面）組成。第3節(jié) 截一個幾何體一、截面1、概念：用一個平面去截幾何體，截出的面叫做截面。2、形狀：截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)。二、截一個幾何體所得截面的形狀1、用一個平面去截一個正方體（1）平面經(jīng)過正方體的三個相鄰的面，則截面是三角形（如圖1-3-1所示）（2）平面經(jīng)過正方體的四個面，則截面是四邊形截面是正方形（如圖1-3-2所示） 截面是長方形（如圖1-3-3所示）截面是平行四邊形（如圖1-3-4所示） 截面是

8、梯形（如圖1-3-5所示）（3）平面經(jīng)過正方體的五個面，則截面是五邊形（如圖1-3-6所示）（4）平面經(jīng)過正方體的六個面，則截面是六邊形（如圖1-3-7所示）2、用一個平面去截一個圓柱（1）截面是圓（如圖1-3-8所示） （2）截面是長方形（如圖1-3-9所示）（3）截面是橢圓（如圖1-3-10所示） （4）截面是梯形（如圖1-3-11所示）（5）截面是拱形（如圖1-3-12所示）3、用一個平面去截一個圓錐（1）截面是圓（如圖1-3-13所示） （2）截面是橢圓（如圖1-3-14所示）（3）截面是三角形（如圖1-3-15所示） （4）截面是拱形（如圖1-3-16所示）4、用一個平面去截球體，所

9、得的截面都是圓。第4節(jié) 從三個方向看物體的形狀一、常見幾何體的三種視圖名稱幾何體從正面看從左面看從上面看正方體長方體圓柱圓錐正四棱錐球【說明】（1）在所有幾何體中，只有正方體和球的三種視圖是完全相同的。 （2）圓錐的俯視圖中有一個點表示圓錐的頂點。二、由小正方體搭成的幾何體的三視圖1、根據(jù)俯視圖的形狀確定主視圖和左視圖（1）先根據(jù)俯視圖擺出幾何體，再畫出主視圖和左視圖。（2）先根據(jù)俯視圖確定主視圖和左視圖的列，再確定每列方塊的個數(shù)2、根據(jù)三種視圖判斷幾何體的形狀（1）長、寬、高的關(guān)系主視圖與俯視圖的長相等；主視圖與左視圖高相等；左視圖與俯視圖的寬相等。（2）上下、前后、左右的關(guān)系 根據(jù)主視圖分

10、清幾何體各部分上下和左右的關(guān)系；根據(jù)俯視圖分清幾何體左右和前后的關(guān)系；根據(jù)左視圖分清幾何體上下和前后的關(guān)系。第二章 有理數(shù)及其運算第1節(jié) 有理數(shù)一、正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念1、正數(shù)：比0大的數(shù)叫做正數(shù)。在正數(shù)前面放上“”表示正數(shù)，但“”常省略不寫。2、負(fù)數(shù)：比0小的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。在正數(shù)前面放上“”表示負(fù)數(shù)，而“”不能省略。【說明】（1）0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界。 （2）“”可以省略，“”不能省略。二、用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量1、用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時，哪種意義為正，是可以任意選擇的，比如向東記作“”，則向西記作“”，如果向東記作“”，則向西記作“”，但習(xí)慣上把“前

11、進(jìn)”、“上升”、“收入”等具有向上趨勢的量規(guī)定為正，而把“后退”、“下降”、“支出”等具有向下趨勢的量規(guī)定為負(fù)。如下表所示：符號具有相反意義的量收入額盈余額上升高度零上溫度增加量前進(jìn)路程海平面以上支出額虧損額下降高度零下溫度減少量后退路程海平面以下2、用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時，一定不要忘記單位。三、有理數(shù)1、相關(guān)概念（1）正整數(shù)：正數(shù)中的整數(shù)叫做正整數(shù)。 （2）負(fù)整數(shù)：負(fù)數(shù)中的整數(shù)叫做負(fù)整數(shù)。 （3）整數(shù)：正整數(shù)和負(fù)整數(shù)還有零統(tǒng)稱為整數(shù)。 （4）正分?jǐn)?shù)：正數(shù)中的分?jǐn)?shù)叫做正分?jǐn)?shù)。 （5）負(fù)分?jǐn)?shù)：負(fù)數(shù)中的分?jǐn)?shù)叫做負(fù)分?jǐn)?shù)。（6）分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。 （7）有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理

12、數(shù)。2、分類【說明】（1）任意有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)，所以屬于分?jǐn)?shù)。 （2）通常把正數(shù)和零統(tǒng)稱非負(fù)數(shù)，把負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱非正數(shù)。正整數(shù)和零統(tǒng)稱非負(fù)整數(shù)，又叫做自然數(shù)，負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱非正整數(shù)。第2節(jié) 數(shù)軸一、數(shù)軸1、概念：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。【說明】（1）數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸。 （2）數(shù)軸的三要素（原點、正方向、單位長度）缺一不可。 （3）原點的選定、正方向的取向和單位長度的確定，都是根據(jù)實際情況“規(guī)定”的。2、畫法（1）畫一條水平直線；（2）在直線上取一點作原點，表示O；（3）一般規(guī)定直線上向右的方向為正方向，用箭頭表示出來；（4）選取某一長度作

13、為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1、2、3；從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1、2、3（如圖2-2-1所示）。【說明】單位長度可根據(jù)實際需要適當(dāng)選取，但必須統(tǒng)一。 確定單位長度時，有時根據(jù)實際情況，也可以每隔兩個（或更多）單位長度取一點，如圖2-2-2所示。3、有理數(shù)與數(shù)軸上的點的關(guān)系任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示?！菊f明】（1）零用原點來表示。 （2）正有理數(shù)都可以用原點右邊的點表示。 （3）負(fù)有理數(shù)都可以用原點左邊的點表示。二、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小 數(shù)軸上兩個點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大?！菊f明】正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

14、右邊的正數(shù)大于左邊的正數(shù)，右邊的負(fù)數(shù)大于左邊的負(fù)數(shù)。 可以用a0表示a是正數(shù)，反之，若a是正數(shù)，則a0；同理，可以用a0表示a是負(fù)數(shù)，反之，若a是負(fù)數(shù)，則a0。第3節(jié) 絕對值一、相反數(shù)1、相反數(shù)的定義（1）相反數(shù)的幾何定義：在數(shù)軸上原點的兩旁，與原點距離相等的兩個點表示的數(shù)互為相反數(shù)。如圖2-3-1所示，2與2互為相反數(shù)。（2）相反數(shù)的代數(shù)定義：如果兩個數(shù)只有符號不同，那么稱其中一個數(shù)是另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)。特別地，0的相反數(shù)是0?！菊f明】在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點，位于原點的兩側(cè)，并且到原點的距離相等。 “0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分，不能把它漏掉。 一個正數(shù)的

15、相反數(shù)是一個負(fù)數(shù)，一個負(fù)數(shù)的相反數(shù)是一個正數(shù)。2、相反數(shù)的表示方法 用a表示一個數(shù)，a的相反數(shù)是a。如6的相反數(shù)是6，8的相反數(shù)是(8)?！菊f明】若a表示一個正數(shù)，則a表示一個負(fù)數(shù)，a與a互為相反數(shù)。如果a與b互為相反數(shù)，則有ab0或ab，反之亦成立。3、多重符號的化簡（1）在一個數(shù)的前面添加一個“”號，仍然與原數(shù)相同。如55（2）在一個數(shù)的前面添加一個“”號，就成為原數(shù)的相反數(shù)。如(3)3【說明】多重符號化簡，只需考慮負(fù)號的個數(shù)，而不必考慮正號的個數(shù)。 當(dāng)負(fù)號的個數(shù)為偶數(shù)時，最后符號為正；當(dāng)負(fù)號個數(shù)為奇數(shù)時，最后符號為負(fù)。二、絕對值1、絕對值的定義：在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離叫做

16、該數(shù)的絕對值?！菊f明】（1）絕對值的實質(zhì)是距離，所以任何數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，即|a|0。 （2）從數(shù)軸上看，離原點距離越遠(yuǎn)，絕對值越大；離原點距離越近，絕對值越小。 （3）絕對值最小的數(shù)是02、絕對值的表示方法用a表示一個數(shù)，a的絕對值記作“|a|”。3、絕對值的性質(zhì)（1）絕對值的非負(fù)性，即|a|0（2）正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是零。（3）互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，即|a|=|a|【說明】求一個數(shù)的絕對值，應(yīng)先判斷這個數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0； 如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)相等或互為相反數(shù)。4、利用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的大小兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大

17、的反而小。第4節(jié) 有理數(shù)的加法一、有理數(shù)加法法則1、同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。（1）兩個正數(shù)相加和為正，并把它們的絕對值相加。如32(|3|2|)5（2）兩個負(fù)數(shù)相加和為負(fù)，并把它們的絕對值相加。如3(2)(|3|2|)52、異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為0（即互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加和為0）；絕對值不等時，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。（1）當(dāng)正加數(shù)的絕對值大于負(fù)加數(shù)的絕對值時，和為正，并用正加數(shù)的絕對值減去負(fù)加數(shù)的絕對值。如5(3)(|5|3|)2；（2）當(dāng)負(fù)加數(shù)的絕對值大于正加數(shù)的絕對值時，和為負(fù)，并用負(fù)加數(shù)的絕對值減去正加數(shù)的絕對值。如5(8

18、)(|8|5|)(85)3；3、一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。如202，303，000。二、有理數(shù)的加法運算律1、加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即abba2、加法結(jié)合律：三個數(shù)相加時，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即abc(ab)ca(bc)【說明】（1）加法交換律和結(jié)合律中“兩個”和“三個”都是概數(shù)，對于兩個以上或三個以上也適用。（2）加法結(jié)合律中的結(jié)合方法：互為相反數(shù)的兩個數(shù)；同號的幾個數(shù)；能湊整的幾個數(shù)； 同分母的幾個數(shù)第5節(jié) 有理數(shù)的減法一、有理數(shù)減法法則 減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即aba(b)二、有理數(shù)減法運算的步驟1、把減號變?yōu)榧犹枺?/p>

19、減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)。2、把變化后的式子按照有理數(shù)加法法則再結(jié)合加法運算律計算出結(jié)果。第6節(jié) 有理數(shù)的加減混合運算一、有理數(shù)的加減混合運算的步驟1、運用減法法則將有理數(shù)加減混合運算統(tǒng)一為加法運算。2、將和式寫成省略加號、括號的形式。3、運用加法法則、加法運算律進(jìn)行簡便運算。二、水位的變化解題時要注意分清以誰為0點，高的記為正數(shù)，低的記為負(fù)數(shù)，然后再求出兩高度的差。第7節(jié) 有理數(shù)的乘法一、有理數(shù)乘法法則1、兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。（1）兩個正數(shù)相乘積為正，并把絕對值相乘。如32(|3|2|)6（2）兩個負(fù)數(shù)相乘積為正，并把絕對值相乘。如3(2)(|3|2|)6（3）正數(shù)與負(fù)數(shù)

20、相乘積為負(fù)，并把絕對值相乘。如2(3)(|2|3|)62、任何數(shù)與0相乘，積仍為0。如600，300，000?！菊f明】幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定。A、當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負(fù)；B、當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積為正。 幾個數(shù)相乘，只要有一個因數(shù)是0，則積為0。二、倒數(shù)1、倒數(shù)的概念如果兩個有理數(shù)的乘積為1，那么稱其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倒數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)?！菊f明】（1）如果a與b互為倒數(shù)，則有ab1，反之亦成立。 （2）倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和1。 （3）乘積為1的兩個數(shù)互為負(fù)倒數(shù)。2、倒數(shù)的性質(zhì)（2）正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，0沒有倒數(shù)。（3）互為相反數(shù)

21、的兩個數(shù)的倒數(shù)也互為相反數(shù)。三、有理數(shù)的乘法運算律1、乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。即abba2、乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者把后兩個數(shù)相乘，積不變。即abc （ab）c a（bc）3、乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加。即a(bc)abac【說明】（1）乘法分配律可以推廣為a(bcdn)abacadan（2）乘法分配律還可以逆用：abaca(bc)（3）乘法結(jié)合律中的結(jié)合方法：互為倒數(shù)的；能約分的； 能湊整的； 有共同因數(shù)的。第8節(jié) 有理數(shù)的除法一、有理數(shù)除法法則1、兩個有理數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相

22、除。2、0除以任何非0的數(shù)都得0?！菊f明】（1）0不能作除數(shù)，0作除數(shù)無意義。 （2）一般來說，兩數(shù)能整除時，應(yīng)該選擇法則1；兩數(shù)不能整除或除數(shù)為分?jǐn)?shù)時，應(yīng)選擇法則3。二、求一個數(shù)的倒數(shù)用1除以一個數(shù)，商就是這個數(shù)的倒數(shù)?！菊f明】（1）求一個整數(shù)的倒數(shù)，只要用1除以這個整數(shù)即可。 （2）求一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要將這個分?jǐn)?shù)的分子和分母顛倒位置即可。 （3）求一個小數(shù)的倒數(shù)，要先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再求該分?jǐn)?shù)的倒數(shù)即可。n個a 第9節(jié) 有理數(shù)的乘方一、乘方的意義一般地，n個相同的因數(shù)a相乘，記作an，即aaaaaan，這種求n個相同因數(shù)a的積的運算叫做乘方。乘方的結(jié)果叫做冪，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，an

23、讀作a的n次冪（或a的n次方）?！菊f明】（1）一個數(shù)可以看作它本身的一次方，指數(shù)1通常省略不寫。 （2）當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時，必須用括號將底數(shù)括起來，例如(2)3，()2。 （3）特別地，當(dāng)n2時，a2讀作“a的平方”；當(dāng)n3時，a3讀作“a的立方”。二、乘方的運算法則1、正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)。2、負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)。3、0的正數(shù)次冪都是0?！菊f明】（1）1的任何次冪都是1。 （2）1的奇數(shù)次冪等于1，1的偶數(shù)次冪等于1。 （3）任何一個不為0的數(shù)的0次冪都等于1。即a01（a0）。 （4）( a0，p0)第10節(jié) 科學(xué)記數(shù)法一、10n的意義n個0 10110，102

24、100，1031000，即101等于1后面加1個0，102等于1后面加2個0，103等于1的后面加3個0，所以10n等于1的后面加n個0，即10n1000(n為正整數(shù))。二、科學(xué)記數(shù)法一般地，一個大于10的數(shù)可以表示成a10n的形式，其中1a10，n是正整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法。第11節(jié) 有理數(shù)的混合運算一、有理數(shù)混合運算法則先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的。【說明】（1）有理數(shù)運算，加減法叫做第一級運算，乘除法叫做第二級運算，乘方和開方叫做第三級運算。一個式子中如果含有多級運算，先做第三級運算，再做第二級運算，最后做第一級運算。同一級運算按照從左往右的順序進(jìn)

25、行運算。（2）有括號時，按小括號、中括號、大括號的順序進(jìn)行運算。（3）有理數(shù)混合運算可以以加減號為界，把式子分成幾部分，每一部分單獨運算。二、有理數(shù)混合運算律1、加法交換律：abba2、加法結(jié)合律：abc（ab）ca（bc）3、乘法交換律：abba4、乘法結(jié)合律：abc （ab）c a（bc）5、乘法分配律：a（bc） abac第12節(jié) 用計算器進(jìn)行運算一、計算器的認(rèn)識1、計算器的特點：運算快、操作簡便、體積小2、計算器面板由鍵盤和顯示器兩部分組成。3、功能鍵 ON 是開啟計算器鍵 DEL 是清除鍵（清除當(dāng)前顯示的數(shù)與符號） 是運算鍵 1 2 3 是數(shù)字鍵 SHIFT 是第二功能鍵 AC 是清

26、除鍵（清除所有顯示的數(shù)與符號）二、計算器的使用使用計算器時要先開啟計算器ON鍵，以接通計算器的電源，然后按照算式的書寫順序輸入數(shù)據(jù)、按運算鍵，最后按鍵，此時顯示器上會顯示出計算結(jié)果；停止使用計算器時，要先按SHIFT鍵，再AC按健，以切斷計算器的電源。三、近似數(shù)及其精確度所謂近似數(shù)，就是與實際接近的數(shù)，使用近似數(shù)就有一個近似程度的問題，也就是精確度。一般地，求一個數(shù)的近似數(shù)按照四舍五入法，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。例如：3.333 結(jié)果取3，就叫做精確到個位（或精確到1） 結(jié)果取3.3，就叫做精確到十分位（或精確到0.1） 結(jié)果取3.33，就叫做精確到百分位（或精確到0.0

27、1） 依次類推，精確到千分位、萬分位（或精確到0.001，0.0001）第三章 整式及其加減第1節(jié) 字母表示數(shù)一、用字母表示數(shù)的應(yīng)用1、用字母表示運算律（1）加法交換律：abba（2）加法結(jié)合律：abc（ab）ca（bc）（3）乘法交換律：abba（4）乘法結(jié)合律：abc （ab）c a（bc）（5）乘法分配律：a（bc） abac2、用字母表示公式（1）用s表示路程，用t表示時間，用v表示速度，則有svt（2）用C表示周長，S表示面積，V表示體積圓的周長：Cd2r（d表示圓的直徑，r表示圓的半徑） 圓的面積：Sr2（r表示圓的半徑） 長方形的周長：C2(ab)（a、b分別表示長方形的長和寬）

28、 長方形的面積：Sab（a、b分別表示長方形的長和寬） 長方體的體積：VSh（S、h分別表示長方體的底面積和高） 圓柱的體積：VShr2h（S表示底面圓的面積，r表示底面圓的半徑，h表示圓柱的高） 圓錐體積：VShr2h（S表示底面圓面積，r表示底面圓的半徑，h表示圓柱的高）3、用字母表示數(shù)量關(guān)系（1）“a與b的和”可以表示為：ab（2）“a與b的差”可以表示為：ab（3）“a與b的積”可以表示為：ab或ab或ab二、用字母表示數(shù)的注意事項1、字母可以表示任何數(shù)。2、用字母表示實際問題中的量時，字母的取值要保證使這個問題有意義，且符合實際意義。3、在同一問題中，相同的字母必須表示相同的量，不同

29、的量必須用不同的字母表示。4、表示數(shù)的字母往往具有抽象性和不具體性，如a不一定代表負(fù)數(shù)。5、表示數(shù)的字母具有其表示的數(shù)的性質(zhì)，如相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值等。6、用字母表示數(shù)時要遵循規(guī)定的、約定俗成的表示習(xí)慣，如習(xí)慣用n表示自然數(shù)，用h表示高，用V表示體積，用S表示面積等等。7、特別地，是數(shù)字，不是字母。第2節(jié) 代數(shù)式一、代數(shù)式的概念用基本的運算符號把數(shù)和字母連接而成的式子叫做代數(shù)式?！菊f明】（1）基本的運算符號包括加、減、乘、除、乘方及開方。 （2）單獨一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。 （3）代數(shù)式不含有“”“”“”“”“”“”等表示大小關(guān)系的符號。二、代數(shù)式的書寫要求1、在代數(shù)式中，字母與字母、數(shù)字

30、與字母相乘時，乘號通常簡寫作“”或省略不寫，一般把數(shù)字寫在字母前面。例如ab可以寫作“ab”或“ab”；a4可以寫作“4a”或“4a”。2、在代數(shù)式中，數(shù)字與括號或字母與括號相乘時，乘號通常簡寫作“”或省略不寫，一般把數(shù)字或字母寫在括號前面。例如3(ab)可以寫作“3(ab)”或“3(ab)”；又例如m(ab)可以寫作“m(ab)”或“m(ab)）”。3、帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)后再與字母相乘，乘號通常簡寫作“”4、數(shù)字與數(shù)字相乘，仍用“”號。5、在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運算時，一般按照分?jǐn)?shù)的寫法來寫。例如，4(a4)可以寫作6、在實際問題中，代數(shù)式往往是有單位的，如果代數(shù)式是積或

31、商的形式，將單位寫在代數(shù)式后面即可；如果代數(shù)式是和或差的形式，則必須把代數(shù)式用括號括起來，再將單位寫在代三、列代數(shù)式1、概念：列代數(shù)式，就是用代數(shù)式表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系。2、步驟（1）認(rèn)真審題，弄清問題中涉及哪些量，以及各數(shù)量之間的關(guān)系。（2）確定用什么運算，以及運算順序。（3）按照代數(shù)式的書寫要求，規(guī)范地寫出代數(shù)式。四、代數(shù)式的值1、概念用具體的數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式指明的運算計算出的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。【說明】（1）代數(shù)式的值不是一個固定的量，它隨著代數(shù)式中字母取值的變化而變化。 （2）代數(shù)式中的字母可以取不同的數(shù)，但它所取的數(shù)必須使代數(shù)式有意義且符合實筆記本，則n必須是

32、0或正整數(shù)，否則代數(shù)式不符合實際意義。2、求代數(shù)式的值（1）步驟代入用具體數(shù)值代替代數(shù)式里的字母。計算按照代數(shù)式指明的運算計算出結(jié)果。（2）注意事項代入時，原式中的運算符號及數(shù)字不能改變。如果代數(shù)式里省略乘號，那么字母用數(shù)代替后要添上“”號。代入負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)時要加括號。計算時注意運算順序，同時考慮運用運算律簡化運算。第3節(jié) 整式單項式與多項式統(tǒng)稱整式。 一、單項式1、單項式的概念像b2、x、0.8(115%)a等，都是數(shù)與字母的乘積，這樣的代數(shù)式叫做單項式。單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式?！菊f明】（1）單項式中的數(shù)與字母之間必須是乘積關(guān)系，凡是字母出現(xiàn)在分母中的式子一定不是單項式。（2）單項式中

33、不能含有加減運算，如，2m7都不是單項式。2、單項式的系數(shù)單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)。如0.31x2y的系數(shù)是0.31，m的系數(shù)是1。3、單項式的次數(shù)一個單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)。如1.5V的次數(shù)是1，3n2的次數(shù)是2，65x2y的次數(shù)是3?！菊f明】（1）若單項式中的某個字母沒有寫指數(shù)，則它的指數(shù)是1，而不是0。 （2）單獨一個不為零的數(shù)的次數(shù)是0，數(shù)字0沒有次數(shù)。如2的次數(shù)是0。 （3）單項式的次數(shù)僅與字母有關(guān)，而與系數(shù)的指數(shù)無關(guān)。如32x2y3的次數(shù)是5。二、多項式1、多項式的概念幾個單項式的和叫做多項式。例如，abma，x2xyy2，ab21等都是多項式。2

34、、多項式的項在多項式中，每個單項式叫做多項式的項。例如，多項式x2x2可以看作是x2、x、2這三個單項式的和，所以我們把x2、x、2叫做多項式x2x2的項。3、多項式的次數(shù)在一個多項式中，次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的項數(shù)。如，多項式x23x2的次數(shù)是2，多項式2a2b3b1的次數(shù)是3。4、多項式的項數(shù)多項式中單項式的個數(shù)叫做多項式的項數(shù)。例如，多項式x22的項數(shù)是2，項分別是x2、2；多項式4a2b3b1的項數(shù)是3，項分別是4a2b、3b、1?！菊f明】（1）多項式中各單項式前面的“”和“”是這個單項式的性質(zhì)符號，多項式中的“和”指的是省略加號的代數(shù)和，所以確定多項式的項時，不能忽略它的符

35、號。（2）一個多項式含有幾項，最高次項是幾次，就叫做幾次幾項式。如4a2b3b1的項分別是4a2b、3b、1，共3項，最高次項是4a2b，它的次數(shù)是3次，所以4a2b3b1是三次三項式。（3）多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項。如多項式4a2b3b1的常數(shù)項是1。第4節(jié) 整式的加減一、合并同類項1、同類項代數(shù)式中，所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫同類項。例如，在多項式2a2b3b4a2b5b1中，2a2b與4a2b是同類項，3b與5b是同類項?！菊f明】（1）特別地，所有的常數(shù)項是同類項。 （2）同類項與項的系數(shù)無關(guān)，與項中字母的排列順序無關(guān)。例如2m2n與3nm2是同類項。2、合并同類

36、項（1）概念：把同類項合并成一項叫做合并同類項。如4a2b7a2b11a2b（2）法則：合并同類項時，把同類項的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。（3）步驟準(zhǔn)確地找出同類項，確定其系數(shù)； 把同類項的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變； 寫出合并后的結(jié)果?！菊f明】A、合并同類項的實質(zhì)是乘法分配律的逆用。如4a27a2(47)a211a2 B、如果兩個同類項的系數(shù)互為相反數(shù)，那么合并后的結(jié)果為0。 C、不是同類項的不能合并，要保留下來。只要不再有同類項，就是最后結(jié)果。二、去括號1、去括號的意義：使運算得以順利進(jìn)行。例如，化簡8a2b(5ab)，括號內(nèi)的5a和b不是同類項，不能合并，同時我們又看到8a和5

37、a，2b和b是同類項，不去括號無法合并，所以必須先去括號才能合并同類項。2、去括號的法則（1）括號前是“”號，把括號和它前面的“”號去掉后，原括號里各項的符號都不改變。例如3x2x(2y4m)3x2x2y4m。（2）括號前是“”號，把括號和它前面的“”號去掉后，原括號里各項的符號都要改變。例如3x2x(2y4m)3x2x2y4m?！菊f明】若括號前是數(shù)字因數(shù)時，應(yīng)用乘法分配律先將該數(shù)與括號內(nèi)的各項分別相乘，再去括號。例如8a2b3(5mn)= 8a2b(15m3n)= 8a2b15m3n括號內(nèi)原有幾項，去括號后仍有幾項，不能丟項。三、多位數(shù)的表示方法用每個數(shù)位上的數(shù)字乘以它所在位數(shù)，再把所得的單

38、項式相加。例如，若百位上的數(shù)字是a，十位上的數(shù)字為b，個數(shù)上的數(shù)字為c，則這個三位數(shù)可以表示為100a10bc。四、整式的加減整式的加減，實質(zhì)就是將整式中的同類項進(jìn)行合并，如果有括號，應(yīng)先去括號，再合并同類項。第5節(jié) 探索與表達(dá)規(guī)律1、從具體的、實際的問題出發(fā)，觀察各個數(shù)量的特點及相互之間的變化規(guī)律。2、由此及彼，合理聯(lián)想，大膽猜想，總結(jié)規(guī)律。3、善于類比，從不同事物中發(fā)現(xiàn)其相似或相同點。4、總結(jié)規(guī)律，作出結(jié)論，并驗證結(jié)論是否正確。5、在探索規(guī)律的過程中，要善于變換思維方式，收到事半功倍的效果。第四章 基本平面圖形第1節(jié) 線段、射線、直線一、線段、射線、直線的概念1、線段線段是一個沒有定義的原

39、始概念。我們只能描述它是“一根繃緊的琴弦”或“一根拉得很緊的線”等。線段有兩個端點。如圖4-1-1所示。2、射線線段向一個方向無限延長就形成了射線。手電筒、探照燈所射出的光線可以近似地看做射線。射線有一個端點。如圖4-1-2所示。3、直線將線段向兩個方向無限延長就形成了直線。筆直的鐵軌可以近似地看做直線。直線沒有端點。如圖4-1-3所示。二、線段、射線、直線的表示方法1、線段的表示方法（1）用兩個大寫字母表示一條線段上的兩個端點，如圖4-1-4所示，這條線段就可以表示為“線段AB”或“線段BA”。（2）用一個小寫字母表示一條線段。如圖4-1-5所示，這條線段可以表示為“線段a”，此時要在圖中標(biāo)

40、出此小寫字母。2、射線的表示方法用一個大寫字母表示射線的端點，用另一個大寫字母表示射線上除端點外的任意一點。如圖4-1-6所示，這條射線就可以表示為“射線OM”。3、直線的表示方法（1）在直線上任取兩點，用表示這兩點的大寫字母表示這條直線。如圖4-1-7所示，這條直線可以表示為“直線AB”或“直線BA”。（2）用一個小寫字母表示一條直線。如圖4-1-8所示，這條直線可以表示為“直線l ”，此時要在圖中標(biāo)出此小寫字母?！菊f明】表示線段、射線、直線時，都要在字母前面說明幾何圖形的名稱，如“線段CD”、“射線EF”、“直線MN”、“線段b”、“直線m”等。用兩個大寫字母表示直線、線段時，兩個字母沒有

41、順序，而表示射線的兩個大寫字母有順序，必須把端點字母放在前面。如圖4-1-4中所示的線段，表示為“線段AB”或“線段BA”皆可，如圖4-1-7中所示的直線，表示為“直線AB”或“直線BA”皆可，而如圖4-1-6所示的射線，只能表示為“射線OM”，卻不能表示為“射線MO”。三、直線的基本性質(zhì)1、經(jīng)過一點可以畫無數(shù)條直線，或者說，經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條。2、經(jīng)過兩點有且只有一條直線，或者說，兩點確定一條直線。四、線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系名稱區(qū)別聯(lián)系圖形表示方法界限端點長度線段用兩個大寫字母表示一條線段上的兩個端點；用一個小寫字母表示一條線段。兩方有界2個有線段、射線、直線都是直的；線段向一個方

42、向無限延長形成射線，線段向兩個方向無限延長形成直線；射線、線段都是直線的一部分，線段是射線的一部分。射線用一個大寫字母表示射線的端點，用另一個大寫字母表示射線上除端點外的任意一點。一方有界一方無限1個無直線在直線上任取兩點，用表示這兩點的大寫字母表示這條直線；用一個小寫字母表示一條直線。兩方無限0個無第2節(jié) 比較線段的長短一、線段的性質(zhì)兩點之間的所有連線中，線段最短。簡稱“兩點之間，線段最短”。二、兩點之間的距離兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。三、比較兩條線段的長短1、疊合法：即從形的角度來比較比較兩條線段AB、CD的長短，可以把它們移到同一條直線l上，使端點A與端點C重合，端點B與

43、端點D位于點A（即點C）的同側(cè)。（1）如果點D與點C重合，則線段AB與線段CD相等，記作ABCD；（2）如果點D在線段AB內(nèi)部，則線段AB大于線段CD，記作ABCD；（3）如果點D在線段AB外部，則線段AB小于線段CD，記作ABCD。2、度量法：即從數(shù)的角度來比較用刻度尺量出線段AB與線段CD的長度，再進(jìn)行比較?！菊f明】運用度量法比較線段的長短時，必須明確度量的單位，即度量單位要統(tǒng)一。 運用度量法比較線段的長短時，要盡量減小測量誤差。四、作一條線段等于已知線段（尺規(guī)作圖）五、線段的中點1、線段的中點如圖4-2-3所示，點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與BM，那么，點M叫做線段AB的中點。此

44、時AMBMAB。2、線段的三等分點如圖4-2-4所示，點M與點N把線段AB分成相等的三條線段AM、MN、NB，那么，點M與點N叫做線段AB的三等分點。此時AMMNNBAB?！菊f明】（1）依次類推，可以有線段的四等分點、五等分點、六等分點、，n等分點。（2）線段的中點有1個，把線段分成相等的2條線段；線段的三等分點有2個，把線段分成相等的3條線段；線段的四等分點有3個，把線段分成相等的4條線段，線段的n等分點有（n1）個，把線段分成相等的n條線段。第3節(jié) 角一、角的定義1、角是由兩條具有公共端點的射線組成的，兩條射線的公共端點叫做這個角的頂點，這兩條射線叫做這個角的邊。如圖4-3-1所示，角的頂

45、點是點O，角的邊是射線OA、OB。2、角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的。如圖4-3-2所示，這個角可以看成是射線AB繞著端點A旋轉(zhuǎn)到AC的位置而成的圖形?！菊f明】（1）角的兩個基本要素：一是角的頂點，二是角的邊。（2）一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)始邊與終邊成一條直線時，所成的角叫做平角。如圖4-3-3所示，射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OC和起始位置OA成一條直線時形成的角為平角；終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊與始邊重合時，所成的角叫做周角，如圖4-3-4所示，射線OA繞它的端點旋轉(zhuǎn)一周所成的角為周角。（3）1平角180 1周角360二、角的表示1、用三個大寫英文字母表示。如圖4-3-5所示

46、，圖中的角記作AOB或BOA，其中O是角的頂點，寫在中間；A和B分別是角的兩邊上的點，寫在兩邊，可以交換位置。2、用一個大寫英文字母表示。如圖4-3-6所示，圖中的角記作O。3、用一個數(shù)字表示，并在靠近頂點處畫上弧線。如圖4-3-7所示，AOC記作1，BOC記作2。.4、用小寫的希臘字母表示，并在靠近頂點處畫上弧線。如圖4-3-8所示，AOB記作，BOC記作，BOC記作。【說明】（1）用三個大寫字母表示角，任何情況下都適用，但必須把頂點寫在中間。 （2）角的頂點處只有一個角時，才可以用一個大寫字母表示，否則不能用這種方法表示。如圖4-3-9所示，AOC不能記作O，因為此以O(shè)為頂點的角不止一個。

47、三、角的度量1、工具量角器2、方法：（1）對中角的頂點對準(zhǔn)量角器的中心 （2）重合角的一邊與刻度尺的0刻線重合 （3）讀數(shù)讀出另一邊所在線的刻度數(shù)四、角的單位換算 【說明】度、分、秒之間是六十進(jìn)制。即1603600第4節(jié) 角的比較一、角的分類1、分類：銳角、直角、鈍角、平角、周角【說明】（1）銳角：090；（2）直角：90；（3）鈍角：90180； （2）平角：180；（5）周角：3602、換算關(guān)系 1周角2平角4直角 1平角2直角二、角的比較1、疊合法將兩個角的頂點及一條邊重合，另一條邊放在重合邊的同側(cè)，然后比較大小。例如，比較ABC與DEF的大小，先讓頂點B、E重合，再讓邊BA與邊ED重合

48、，使另一邊EF和BC落在BA（ED）的同側(cè)。（1）如果EF與BC也重合，如圖4-4-1所示，則ABC與DEF相等，記作ABCDEF（2）如果EF落在ABC的外部，如圖4-4-2所示，則ABC小于DEF，記作ABCDEF（3）如果EF落在ABC的內(nèi)部，如圖4-4-3所示，則ABC大于DEF，記作ABCDEF2、度量法：先用量角器量出各角的度數(shù)，再進(jìn)行比較。三、角的平分線第5節(jié) 多邊形和圓的初步認(rèn)識一、多邊形的初步認(rèn)識1、多邊形的相關(guān)概念 【說明】（1）如果一個多邊形有四條邊，就叫做四邊形；有五條邊就叫做五邊形；有六條邊就叫做六邊形，有n條邊，就叫做n邊形。 （2）n邊形有n個頂點，n條邊，n個內(nèi)

49、角。 （3）從n邊形的每一個頂點，都能引出（n3）條對角線，因為n邊形共有n個頂點，但每條對角線都重復(fù)計算了一次，從而n邊形的對角線共有條。（4）從一個多邊形的同一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把這個多邊形分割成若干個三角形。一個n邊形從一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以將其分割成（n2）個三角形。 （5）n邊形的邊數(shù)每增加1時，對角線的條數(shù)就增加n1。2、正多邊形各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。二、圓的初步認(rèn)識【說明】（1）圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。 （2）一個圓有無數(shù)條半徑，所有的半徑都相等。 （3）一個圓可以分割成若干個扇形，這些扇形的面

50、積之和等于圓的面積。（4）一個圓可以分割成若干個扇形，這些扇形的圓心角的度數(shù)之和等于360。（5）圓心角的度數(shù)360360第五章 一元一次方程第1節(jié) 認(rèn)識一元一次方程一、方程的相關(guān)概念1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程，如2x2+7x=5，8x+7=0等。2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。3、一元一次方程只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)都是1的整式方程叫做一元一次方程。如3x70， x70等。【說明】（1）判斷一個式子是不是方程必須看兩點：一是等式，二是含有未知數(shù)。 （2）“元”指“未知數(shù)”，“一元”就是“一個未知數(shù)”；“次”指“未知數(shù)的指數(shù)”，“一次”就是“未知

51、數(shù)的指數(shù)是1”。 （3）判斷一個數(shù)是不是方程的解，只需把這個數(shù)代入方程，若方程的左邊等于右邊，則這個數(shù)是方程的解，否則不是。二、等式的基本性質(zhì)基本性質(zhì)1 等式兩邊同時加上（或減去）同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式?；拘再|(zhì)2 等式兩邊同時乘同一個數(shù)（或除以同一個不等于0的數(shù)），所得結(jié)果仍是等式。三、利用等式的基本性質(zhì)解一元一次方程利用等式的基本性質(zhì)解一元一次方程，就是利用等式的基本性質(zhì)把方程axb0(a0) 第2節(jié) 求解一元一次方程一、移項1、定義：方程中的任何一項，都可以在改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項。2、目的：為了使同類項之間能進(jìn)行合并，使一元一次方程變成“axb(a

52、0)”的形式。3、原則：含有未知數(shù)的項一律向等號左邊移，常數(shù)項一律向等號右邊移。【說明】（1）移項的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)1。 （2）移項時要變號，即正號變?yōu)樨?fù)號，負(fù)號變?yōu)檎?。二、解一元一次方程的基本步驟【說明】解一元一次方程時，表中變形步驟不一定全部都有，也不一定按照自上而下的順序進(jìn)行，要根據(jù)方程的特點，靈活安排解題步驟。第36節(jié) 應(yīng)用一元一次方程一、列方程解應(yīng)用題的一般步驟1、審：審題。分析題中已知什么，求什么。明確各數(shù)量之間的關(guān)系。2、設(shè)：設(shè)未知數(shù)。一般求什么，就設(shè)什么為x（其他未知數(shù)也可以）。3、找：找等量關(guān)系。找出能夠表示應(yīng)用題全部題意的一個等量關(guān)系。4、列：列方程。根據(jù)所找的等量關(guān)

53、系列出方程。5、解：解方程。解所列方程，求出未知數(shù)的值。6、答：檢驗所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位）。二、一元一次方程的應(yīng)用1、水箱變高了（1）形狀發(fā)生了變化，而體積沒變，此時，等量關(guān)系為“變化前后體積相等”?！纠?】要鍛造一個直徑為8cm，高為4cm的圓柱形零件，至少應(yīng)截取半徑為2cm的圓鋼多長？解：設(shè)至少應(yīng)截取半徑2cm的圓鋼x cm，由題意得（）2422x 解得 x16答：至少應(yīng)截取半徑2cm的圓鋼16 cm。（2）形狀、面積發(fā)生了變化，而周長沒變，此時，等量關(guān)系為“變化前后周長相等”?！纠?】用兩根等長的鐵絲分別繞成一個正方形和圓，正方形邊長比圓的半徑長2(2)米，求這兩根等長

54、的鐵絲的長度，并通過計算比較誰的面積大。解：設(shè)圓的半徑為r米，則正方形的邊長為r2(2)米，由題意得 2r4r2(2) 解得 r4 所以鐵絲的長為2r8（米），正方形的邊長為2（米） 所以S圓r24216（米2） S正a2(2)242（米2） 因為1642，所以圓的面積大。答：鐵絲長為8米，圓的面積大。（3）形狀、體積不同，但根據(jù)題意能找出體積之間的關(guān)系，把這個關(guān)系作為等量關(guān)系?！纠?】甲水池有水68升，乙水池有水36升，兩個水池同時向外排水，每分鐘排出4升，多少分鐘后，甲水池剩下的水正好是乙水池剩下水的3倍？解：設(shè)x分鐘后，甲水池剩下的水正好是乙水池剩下水的3倍，根據(jù)題意得684x3(364

55、x)解得 x5答：5分鐘后，甲水池剩下的水正好是乙水池剩下水的3倍。2、打折銷售（1）相關(guān)概念成本價：即進(jìn)價，指商品進(jìn)貨時的價格。標(biāo)價：即原價、定價，指在銷售時標(biāo)出的價格。售價：即成交價、賣出價，指商品售價時實際價格。利潤：在銷售商品的過程中的純收入。利潤率：商品的利潤與成本價的比值。折扣：銷售價占標(biāo)價的百分比。（2）相關(guān)公式利潤售價進(jìn)價（成本價）利潤率100%100%1售價進(jìn)價利潤進(jìn)價（1利潤率）售價標(biāo)價折數(shù)0.13、“希望工程”義演（比例分配問題）（1）比例分配問題一般把其中一個量設(shè)為x，則另一個量可用含x的代數(shù)式表示出來。【例1】甲、乙兩人共80元，甲、乙錢數(shù)之比為1：3，求甲、乙兩人各

56、有多少錢？解：設(shè)甲有x元錢，則乙有3x元錢，根據(jù)題意得x3x80解得 x20所以3x32060答：甲有20元錢，乙有60元錢。（2）在比例分配問題中通常利用表格尋求等量關(guān)系，列方程得到答案。【例2】在甲處工作的有21人，在乙處工作的有12人，現(xiàn)在調(diào)來18人分別派往甲、乙兩處，使甲處工作的人數(shù)是乙處工作人數(shù)的2倍，應(yīng)往甲、乙兩處各派去多少人？解：設(shè)調(diào)派往甲處去x人，則調(diào)派往乙處去(18x)人，根據(jù)題意得調(diào)派前的人數(shù)（人）調(diào)派去的人數(shù)（人）調(diào)派后的人數(shù)（人）甲處21x21x乙處1218x12(18x)根據(jù)表格可列方程為21x212(18x)解得 x13所以18x18135答：應(yīng)該往甲、乙兩處分別派

57、去13人、5人。（3）設(shè)未知數(shù)的方法不同，方程的復(fù)雜程度也不同。因此，設(shè)未知數(shù)時要有選擇?！纠?】某團(tuán)體為“希望工程”募捐組織了一場義演，共售出1000張票，籌得票款6950元，成人票與學(xué)生票各售出多少張？（成人票8元，學(xué)生票5元）解法1：設(shè)售出的學(xué)生票為x張，則售出的成人票為(1000 x)張，根據(jù)題意得 5x8(1000 x)6950 解得 x350 所以1000 x1000350650 答：售出成人票650張，學(xué)生票350張。解法2：設(shè)所得的學(xué)生票款為x元，則所得的成人票款為(6950 x)元，根據(jù)題意得 1000 解得 x1750 所以17505350（張） (69501750)865

58、0（張） 答：售出成人票650張，學(xué)生票350張?！菊f明】本題存在兩個等量關(guān)系：學(xué)生票成人票1000張；學(xué)生票款成人票款6950元，所以本題可以有以上兩種設(shè)未知數(shù)的方法，但一般情況下，我們應(yīng)該選擇較為簡單的解法1。4、追趕小明（行程問題）（1）相遇問題：甲走的路程乙走的路程二者開始時相距的路程（2）追擊問題：速度快的走的路程速度慢的走的路程二者開始時相距的路程（3）環(huán)形跑道問題甲、乙兩人在環(huán)形跑道上同時同地反向出發(fā)，再一次相遇時，兩人所走路程之和正好是環(huán)形跑道一圈兒的長度，即甲走的路程乙走的路程環(huán)形跑道的周長。甲、乙兩人在環(huán)形跑道上同時同地同向出發(fā)，再一次相遇時，速度快的比速度慢的正好多走了環(huán)

59、形跑道一圈兒的長度，即速度快的走的路程速度慢的走的路程環(huán)形跑道的周長。（4）航行問題：順?biāo)俣褥o水速度水速 逆水速度靜水速度水速第六章 數(shù)據(jù)的收集與整理第1節(jié) 數(shù)據(jù)的收集一、收集數(shù)據(jù)的方式1、問卷調(diào)查 2、查閱資料3、實地調(diào)查 4、試驗【例1】就以下統(tǒng)計目標(biāo)，你認(rèn)為選擇何種方式收集數(shù)據(jù)比較合適？（1）班中15歲以上的學(xué)生人數(shù) （2）我國瀕臨滅絕的植物的數(shù)量（3）某種玉米種子的發(fā)芽率 （4）七年級學(xué)生周日的睡眠時間解：（1）實地調(diào)查 （2）查閱資料 （3）試驗 （4）問卷調(diào)查二、收集數(shù)據(jù)的步驟1、明確調(diào)查問題 2、確定調(diào)查對象3、選擇調(diào)查方式 4、展開調(diào)查5、記錄結(jié)果 6、得出結(jié)論【例2】為了更

60、好地組織體育活動，體育委員調(diào)查一下班里同學(xué)喜歡哪些體育項目，以便活動前準(zhǔn)備好器械。請說明應(yīng)該經(jīng)過哪些步驟？解：（1）明確調(diào)查問題喜歡哪種體育項目 （2）確定調(diào)查對象全班每位同學(xué) （3）選擇調(diào)查方式問卷調(diào)查法（4）展開調(diào)查對全班每一位同學(xué)展開問卷調(diào)查（5）記錄結(jié)果收集問卷，統(tǒng)計數(shù)據(jù) （6）得出結(jié)論喜歡各種體育項目的各有多少人第2節(jié) 普查與抽樣調(diào)查一、相關(guān)概念1、普查：為了某一特定目的而對所有考察對象進(jìn)行的全面調(diào)查叫做普查。2、總體：所要考察對象的全體稱為總體。3、個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。4、抽樣調(diào)查：從總體中抽取部分個體，根據(jù)對這一部分個體的調(diào)查估計被考察對象的整體情況，這種調(diào)查