押第14題 數(shù)列（新高考）（解析）

1、押第14題 數(shù)列數(shù)列是高考每年必考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn),每年的高考試題中或者有1道解答題或者有2道客觀題，若有2道客觀題，至少有1道是基礎(chǔ)題，數(shù)列基礎(chǔ)題一般具有小巧活的特點(diǎn)，考查熱點(diǎn)一是等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的計(jì)算，二是等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，三是與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化試題求解數(shù)列基礎(chǔ)題要注意方程思想的應(yīng)用，即把所求問題轉(zhuǎn)化為利用解方程求基本量.1.方程思想求等差數(shù)列基本量等差數(shù)列中，已知5個(gè)元素a1，an，n，d，Sn中的任意三個(gè)，便可求出其余兩個(gè)除已知a1，d，n求an，Sn可以直接用公式外，其他情況一般都要列方程或方程組求解，因此這種問題蘊(yùn)含著方程思想注意，我們把a(bǔ)1，d叫做等差數(shù)列的基本元素

2、將所有其他元素都轉(zhuǎn)化成基本元素是解決等差數(shù)列問題的一個(gè)非常2.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的方法(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(3)將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和SnAn2Bn(A，B為常數(shù))看作二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值要注意an0的情形3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq.(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.4等比數(shù)列中的基本運(yùn)算在等比數(shù)列五個(gè)基本量a1，q，n，an，Sn中，已知其中三

3、個(gè)量，可以將已知條件結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)或通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量的方程(組)來求得余下的兩個(gè)量，計(jì)算有時(shí)要整體代換，根據(jù)前n項(xiàng)和公式列方程還要注意對(duì)q是否為1進(jìn)行討論5.等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用(1)在等比數(shù)列中，若Sn0，則Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列(2)等比數(shù)列中，依次m項(xiàng)積仍為等比數(shù)列，但公比發(fā)生改變(3)性質(zhì)“當(dāng)mnpq(m，n，p，qN*)時(shí)，有amanapaq”常用來轉(zhuǎn)化條件1（2021新高考全國(guó)卷數(shù)學(xué)高考真題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折

4、2次共可以得到，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_；如果對(duì)折次，那么_.【答案】 5 【詳解】（1）由對(duì)折2次共可以得到，三種規(guī)格的圖形，所以對(duì)著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對(duì)著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對(duì)著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對(duì)折后的圖形面積為，對(duì)于第n此對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.2（多選）（2021全國(guó)高考真題

5、）設(shè)正整數(shù)，其中，記則（）ABCD【答案】ACD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，所以，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取，而，則，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，所以，所以，因此，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，故，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.3（2021全國(guó)高考真題（文）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，則（）A7B8C9D10【答案】A【詳解】為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，成等比數(shù)列，.故選：A.4（2021全國(guó)高考真題（理）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）A甲是乙的充分條件但不是必要條件B甲是乙的必要條件但不是充分條件C甲是乙的充要條件D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列

6、為時(shí)，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件故選：B5（2021浙江高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）ABCD【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，由，即根?jù)累加法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即故選：A故選：C1（2022山東濰坊一模）2022年北京冬奧會(huì)開幕式始于24節(jié)氣倒計(jì)時(shí)，它將中國(guó)人的物候文明、傳承久遠(yuǎn)的詩(shī)歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來.我國(guó)古人將一年分為24個(gè)節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同，冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng)，

7、夏至日晷長(zhǎng)最短，周而復(fù)始.已知冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺，芒種日晷長(zhǎng)為2.5尺，則一年中夏至到大雪的日晷長(zhǎng)的和為_尺.【答案】84【詳解】依題意，冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺，記為，芒種日晷長(zhǎng)為2.5尺，記為，因相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同，則從冬至日晷長(zhǎng)到芒種日晷長(zhǎng)的各數(shù)據(jù)依次排成一列得等差數(shù)列，數(shù)列的公差，因夏至與芒種相鄰，且夏至日晷長(zhǎng)最短，則夏至的日晷長(zhǎng)為，又大雪與冬至相鄰，且冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng)，則大雪的日晷長(zhǎng)為，顯然夏至到大雪的日晷長(zhǎng)依次排成一列是遞增等差數(shù)列，首項(xiàng)為1.5尺，末項(xiàng)為12.5尺，共12項(xiàng)，所以一年中夏至到大雪的日晷長(zhǎng)的和為(尺).故答案為：842（2022湖北二模）九連環(huán)是我國(guó)從古

8、至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)若，且則解下6個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為_【答案】64【詳解】因?yàn)椋?，故答案為?43（2022湖南益陽一模）已知數(shù)列中，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_.【答案】【解析】【詳解】由，有，；兩式相除得到，所以是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，從而.所以.故答案為：4（2022廣東肇慶二模）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，恒成立，則k最小為_【答案】2【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，得，則，即，則，當(dāng)n=1時(shí)符合上式，則，所以k最小為2故答案為：.5（2022江蘇金陵中學(xué)二模）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件為

9、激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，1，其中第一項(xiàng)是1，接下來的兩項(xiàng)是，1，再接下來的三項(xiàng)是，1，依此類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)N；該數(shù)列的前N項(xiàng)和大于46，那么該款軟件的激活碼是_【答案】83【詳解】解：該數(shù)列的前項(xiàng)和為，要使，當(dāng)時(shí)，則，又，所以對(duì)應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)故答案為：83.（限時(shí)：30分鐘）1已知等比數(shù)列的公比為，且，成等差數(shù)列，則的值是_.【答案】4【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且公比為，所以，且，.因?yàn)?，成等差?shù)列，所以，有，解得.故答案為：.2已知等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和為，若也是等比數(shù)列，則

10、_.【答案】2【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為，所以，.因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，解得或（舍去）.當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列，符合題意.故答案為：2.3已知等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為若，則_【答案】或【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，即，所以，解得或，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，或.故答案為：或4已知等比數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的最小值為_.【答案】【詳解】設(shè)比數(shù)列的公比為q，由，可得，解得,，.，.兩式相減得,則化為，即.令，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.而 ，實(shí)數(shù)t的最小值為，故答案為：5斐波那契數(shù)列因意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)

11、列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，.在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列滿足：，則是斐波那契數(shù)列中的第_ 項(xiàng).【答案】2022【詳解】依題意，得，故答案為：20226已知表示不小于x的最小整數(shù)，表示不大于x的最大整數(shù)，如，數(shù)列滿足，且對(duì)，有，若為遞增數(shù)列，則整數(shù)b的最小值為_【答案】0【詳解】解：數(shù)列滿足，且對(duì)，有，可得，有，當(dāng)時(shí)，即，為遞增數(shù)列，則，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，即，解得：，又，則，整數(shù)b的最小值為0故答案為：7已知數(shù)列、滿足，則_.【答

12、案】【詳解】因?yàn)?，則，則，因?yàn)?，可得，則，則，所以，則，以此類推可知，所以，且，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，所以，故，因此，.故答案為：.8分形幾何學(xué)的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.圖1是長(zhǎng)度為1的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作，得到圖3，稱為“二次分形”，依次進(jìn)行“次分形”（）.規(guī)定：一個(gè)分形圖中所有線段的長(zhǎng)度之和為該分形圖的長(zhǎng)度，要得到一個(gè)長(zhǎng)度不小于30的分形圖，則的最小整數(shù)值是_.（取，）【答案】12【詳解】由題意得：“n次分形

13、”后線段之和是“（n-1）次分形” 后所得線段之和的，且一次分形后線段之和為，故每次分形后所得線段之和可看出首項(xiàng)為，公比是的等比數(shù)列，故次分形后線段之和為，故，兩邊取對(duì)數(shù)得：，又 ，解得：，故的最小整數(shù)值為12.故答案為：129“物不知數(shù)”是中國(guó)古代著名算題，原載于孫子算經(jīng)卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二.問物幾何？”它的系統(tǒng)解法是秦九韶在數(shù)書九章大衍求一術(shù)中給出的.大衍求一術(shù)（也稱作“中國(guó)剩余定理”）是中國(guó)古算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題.已知問題中，一個(gè)數(shù)被除余，被除余，被除余，則在不超過的正整數(shù)中，所有滿足條件的數(shù)的和為

14、_.【答案】【詳解】由題意可知，一個(gè)數(shù)被除余，被除余，被除余，則這個(gè)正整數(shù)的最小值為，因?yàn)椤⒌淖钚」稊?shù)為，由題意可知，滿足條件的數(shù)形成以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為，則，由，可得，所以，的最大值為，所以，滿足條件的這些整數(shù)之和為.故答案為：.10公比為q的等比數(shù)列滿足： ，記，則當(dāng)q最小時(shí)，使成立的最小n值是_【答案】17【詳解】 是等比數(shù)列， ，又 ， ，設(shè)函數(shù) ， ，當(dāng) 時(shí)， ， 時(shí)， ，在x=1時(shí)， 取極小值1， ， ，由題意即q=e， ， ， ， ，n的最小值是17.故答案為：17.11已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S3，S9，S6成等差數(shù)列，a2+a5=6，則a8=

15、_.【答案】【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，當(dāng)時(shí)，顯然S3，S9，S6不成等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，因?yàn)镾3，S9，S6成等差數(shù)列，所以有，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋越獾?，因?yàn)閍2+a5=6，所以，因此，故答案為：12已知數(shù)列an對(duì)任意m，nN*都滿足am+n=am+an，且a1=1，若命題“nN*，an+12”為真，則實(shí)數(shù)的最大值為_.【答案】7【詳解】令m=1，則an+1=an+a1，an+1an=a1=1，所以數(shù)列an為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，所以an=n，所以an +12nn2+12n+，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)或時(shí)，所以故答案為：713若等比數(shù)列滿足，則的最大值為_【答案】729【詳解】設(shè)公比為，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，?dāng)時(shí)