大學(xué)復(fù)變函數(shù)課件

1、第 PAGE4 頁 共 NUMPAGES4 頁大學(xué)復(fù)變函數(shù)課件第五章 洛朗級(jí)數(shù) 第一節(jié) 洛朗展式 雙邊冪級(jí)數(shù) 設(shè)級(jí)數(shù) （）它在收斂圓內(nèi)絕對(duì)且內(nèi)閉一致收斂到解析函數(shù)；考慮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) （）作代換 則（）即為，它在收斂圓內(nèi)絕對(duì)且內(nèi)閉一致收斂到解析函數(shù)， 從而（）在區(qū)域內(nèi)絕對(duì)且內(nèi)閉一致收斂到解析函數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（）（）有共同的收斂區(qū)域， 此時(shí)，稱為雙邊冪級(jí)數(shù)。關(guān)于雙邊冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，見p185 定理 定理1 （洛朗定理）設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)：內(nèi)解析，那么在H內(nèi) 其中， 是圓是一個(gè)滿足的任何數(shù)，并且展式是唯一的。證明：，作圓周和使含于圓環(huán)內(nèi)，于是在圓環(huán)內(nèi)解析。由柯西積分公式 ，其中 現(xiàn)考慮 而沿，（在上

2、一致收斂）由于函數(shù)沿有界，所以 故當(dāng)：，其中 展式的唯一性：設(shè) 任意取某正整數(shù)，在上有界， ，故，展式唯一。注解：我們稱為f(z)的解析部分，而稱為其主要部分。例1、 求函數(shù)分別在圓環(huán)10或R=0，我們得到在或內(nèi)解析的函數(shù)，其洛朗級(jí)數(shù)展式是：如果w=0是的可去奇點(diǎn)、（m階）極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，那么分別說是f(z)的可去奇點(diǎn)、（m階）極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)。因此 （1）如果當(dāng)時(shí)n=1,2,3,，那么是f(z)的可去奇點(diǎn)。（2）如果只有有限個(gè)（至少一個(gè)）整數(shù)n，使得，那么是f(z)的極點(diǎn)。設(shè)對(duì)于正整數(shù)m，而當(dāng)nm時(shí)，那么我們稱是f(z)的m階極點(diǎn)。（3）如果有無限個(gè)整數(shù)n0，使得，那么我們說是f(z)的本性奇

3、點(diǎn)。注解1若為f(z)的可去奇點(diǎn)，我們也說f(z)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)解析；注解2上一段的結(jié)論都可以推廣到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情形，我們綜合如下：定理1設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域內(nèi)解析，那么是f(z)的可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)的必要與充分條件是：存在著極限、無窮極限或不存在有限或無窮的極限。推論 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域內(nèi)解析，那么是f(z)的可去奇點(diǎn)的必要與充分條件是：存在著某一個(gè)正數(shù)，使得f(z)在內(nèi)有界。第四節(jié) 整函數(shù)與亞純函數(shù) 1整函數(shù)的分類 如果f(z)在有限復(fù)平面C上解析， 則 那么它就稱為一個(gè)整函數(shù)。顯然無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是整函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上唯一的孤立奇點(diǎn)。我們按孤立奇點(diǎn)的類型，可以將整函數(shù)分類：定理1 設(shè)為整函數(shù) 為的可去奇點(diǎn)（常數(shù)）；為的階極點(diǎn) 即次多項(xiàng)式；為的本性奇點(diǎn)無窮多個(gè)不等于（此時(shí)稱為超越整函數(shù)）例如：；2亞純函數(shù)的定義與性質(zhì) 如果函數(shù)f(z)在有限平面上除去有極點(diǎn)外，無其他類型的奇點(diǎn)那么稱它為一個(gè)亞純函數(shù)。亞純函數(shù)是整函數(shù)的推廣，它可能有無窮多個(gè)極點(diǎn)。例如是一個(gè)亞純函數(shù)，它有極點(diǎn)。有理函數(shù) 也是一個(gè)亞純函數(shù)，它在有限復(fù)平面上有有限個(gè)極點(diǎn)，而無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是它的極點(diǎn)（當(dāng)nm時(shí)）