2013年數(shù)學全真模擬試卷1（教師版）

1、PAGE PAGE 9啟東市2013年數(shù)學全真模擬試卷一一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.1 已知集合，則 易得，則；2 若（其中表示復數(shù)z的共軛復數(shù)），則復數(shù)z的模為 3 ；3 已知函數(shù)在處的導數(shù)為，則實數(shù)的值是 2 易得，則，即；4 根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫局發(fā)布的車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗(GB195222004)中規(guī)定車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量：“飲酒駕車”的臨界值為20mg/100ml；血液酒精含量（單位：mg/100ml）02020404060608080100人數(shù)18011522“醉酒駕車”的臨界值為80mg/100

2、ml某地區(qū)交通執(zhí)法部門統(tǒng)計了5月份的執(zhí)法記錄數(shù)據(jù)：根據(jù)此數(shù)據(jù)，可估計該地區(qū)5月份“飲酒駕車” 發(fā)生的頻率等于 0.09 “飲酒駕車” 發(fā)生的頻率等于；5 要得到函數(shù)的函數(shù)圖象，可將函數(shù)的圖象向右至少平移 個單位 將向右至少平移個單位得；開始結(jié)束（第7題）6在平面直角坐標系xOy中，“直線，與曲線相切”的充要條件是“ ” 易得，且，即；7 如圖，表示第i個學生的學號，表示第i個學生的成績，已知學號在110的學生的成績依次為401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，則打印出的第5組數(shù)據(jù)是 打印出的第5組數(shù)據(jù)是學號為8號，且成績?yōu)?61，故結(jié)果是；8 在ABC

3、中，若，則 設，則，且，利用可求得，所以；9 已知是上的奇函數(shù)，且時，則不等 式的解集為 易得，故所求解集為；10設正四棱錐的側(cè)棱長為1，則其體積的最大值為 法1 設正四棱錐的底面邊長為，則體積，記， ，利用導數(shù)可求得當時，此時；法2 設正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角為，則， ，記，利用導數(shù)可求得當時，此時；（第11題圖）已知平面向量，滿足，的夾角等于，且，則的取值范圍是 如圖，設ABC中，由余弦定理得，由知，點的軌跡是以為直徑的圓，且，故；在平面直角坐標系xOy中，過點、分別作x軸的垂線與拋物線分別交于點，直線與 x軸交于點，這樣就稱確定了同樣，可由確定，若，則 設、，則割線的方程為：， 令得，

4、即，不難得到； 13定義：x，y為實數(shù)x，y中較小的數(shù)已知，其中a，b 均為正實數(shù)，則h的最大值是 易得，所以（當且僅當時取等號）；14在平面直角坐標系xOy中，直角三角形ABC的三個頂點都在橢圓上，其中為直角頂點若該三角形的面積的最大值為，則實數(shù)的值為 3 設AB的方程為：，則AC的方程為：，由得 ，解得用“”替換“”得 故 所以， 令，則（當且僅當時等號成立），由得解得或（舍去），所以二、解答題：15已知函數(shù) （1）求的最小正周期和值域；（2）若為的一個零點，求的值 命題立意：本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、兩角和與差的正、余弦公式，考查運算求解能力（1）易得 ， 所以周期，值域為；（2

5、）由得， 又由得 所以故， 此時， （第16題）DABC 16（本題滿分14分） 如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，將正三角形BCD沿BD向上折起，折起后的點C記為，且（）（1）若，求二面角CBD的大小；（2）當變化時，線段上是否總存在一點E，使得A/平面BED？請說明理由 命題立意：本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查空間想象、推理論證能力（第16題圖）DABCOE解：（1）連結(jié)，交于點，連結(jié)， 菱形ABCD中， 因三角形BCD沿BD折起，所以， 故為二面角CBD的平面角， 易得，而， 所以，二面角CBD的大小為； （2）當變化時，線段的中點E總滿足A/平面BED，下證之： 因

6、為E，O分別為線段，AC的中點， 所以， 又平面BED，平面BED， 所以A/平面BED. 17在平面直角坐標系中，設A、B是雙曲線上的兩點，是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點（1）求直線AB與CD的方程；（2）判斷A、B、C、D四點是否共圓？若共圓，請求出圓的方程；若不共圓，請說明理由命題立意：本題主要考查求雙曲線、直線、圓等基礎知識，考查運算求解與探究能力解：（1）設A，則， 代入雙曲線得 解得或 即的坐標為、， 所以：，：； （2）A、B、C、D四點共圓，下證之： 證明：由與聯(lián)立方程組可得的坐標為、 ，由三點A、B、C可先確定一個圓， 經(jīng)檢驗適合式，所以A、B

7、、C、D四點共圓 （注：本題亦可以利用圓的幾何性質(zhì)判斷四點共圓）18某省高考數(shù)學閱卷點共有400名閱卷老師，為了高效地完成文、理科數(shù)學卷的閱卷任務，需將400名閱卷老師分成兩組同時展開閱卷工作，一組完成269捆文科卷，另一組完成475捆理科卷根據(jù)歷年閱卷經(jīng)驗，文科每捆卷需要一位閱卷老師工作3天完成，理科每捆卷需要一位閱卷老師工作4天完成（假定每位閱卷老師工作一天的閱卷量相同，每捆卷的份數(shù)也相同）（1）如何安排文、理科閱卷老師的人數(shù)，使得全省數(shù)學閱卷時間最?。浚?）由于今年理科閱卷任務較重，理科實際每捆卷需要一位閱卷老師工作4.5天完成，在按（1）分配的人數(shù)閱卷4天后，閱卷領導小組決定從文科組抽

8、調(diào)20名閱卷老師去閱理科卷，試問完成全省數(shù)學閱卷任務至少需要多少天？（天數(shù)精確到小數(shù)點后第3位） （參考數(shù)據(jù)：，） 命題立意：本題主要考查數(shù)學建模和解決實際問題的能力，考查運算求解能力 解：（1）設文科閱卷人數(shù)為，且， 則閱卷時間為（5分） 而故， 答：當文、理科閱卷人數(shù)分別是119,281時，全省閱卷時間最?。唬?分） （2）文科閱卷時間為：，（11分） 理科閱卷時間為：，（14分） 答：全省閱卷時間最短為天（15分）19 已知函數(shù)的導函數(shù)是二次函數(shù)，且的兩根為若的極大值與極小值 之和為0， （1）求函數(shù)的解析式； （2）若函數(shù)在開區(qū)間上存在最大值與最小值，求實數(shù)的取值范圍（3）設函數(shù)，正實

9、數(shù)a，b，c滿足，證明：19命題立意：本題主要考查利用導數(shù)研究三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形 結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想進行運算求解、推理論證的綜合能力（第19題圖） 解：（1）設， 則可設，其中為常數(shù). 因為的極大值與極小值之和為0， 所以，即， 由得， 所以；（5分） （2）由（1）得，且0+0極小值極大值 列表： 由題意得，三次函數(shù)在開區(qū)間上存在的最大值與最小值必為極值（如圖），（7分） 又，故， 所以，且， 解得；（10分） （3）題設等價與，且a，b，c0，所以a，b，c均小于 假設在a，b，c中有兩個不等，不妨設ab，則ab或ab 若ab，則由得即， 又由得ca于是ab

10、ca，出現(xiàn)矛盾 同理，若ab，也必出現(xiàn)出矛盾故假設不成立，所以（16分）20設首項為1的正項數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，且，其中為常數(shù). （1）求的值；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）證明：“數(shù)列，成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“， 且”命題立意：本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義與通項公式、求和公式等基礎知識，考查靈活運用基本量進行探索求解、推理分析能力解：（1）n 1時，由得p 0或2，（2分） 若p 0時，當時，解得或， 而，所以p 0不符合題意，故p 2；（5分） （2）當p 2時， ，則， 并化簡得 ，則 ， 得（），又易得， 所以數(shù)列an是等比數(shù)列，且；（10

11、分） （3）充分性：若x 1，y 2，由知，依次為， 滿足，即an，2xan1，2yan2成等差數(shù)列；（12分） 必要性：假設，成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)，又， 所以， 化簡得 顯然，設， 因為x、y均為整數(shù)，所以當時，或，故當，且當，且時上式成立，即證 （16分） 21【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答若 多做，則按作答的前兩題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟B（矩陣與變換）已知矩陣的屬于特征值的一個特征向量為，求實數(shù)、的值 命題立意：本題主要考查二階矩陣的特征值與特征向量，考查運算求解能力解：由二階矩陣的特征值與特征向量的概念知

12、=，（5分） 所以解得.（10分）C（極坐標與參數(shù)方程）在平面直角坐標系xOy中，已知點在曲線（為參數(shù)，為正常數(shù)），求的值 C命題立意：本題主要考查參數(shù)方程，考查運算求解能力解：由（為參數(shù)，為正常數(shù)），消去參數(shù)得，（8分） 將點代入得.（10分）【必做題】第22、23題，每小題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文 字說明、證明過程或演算步驟22已知函數(shù)，求的最大值. 命題立意：本題主要考查復合函數(shù)求導等知識，考查運算求解、推理論證能力證明：由得，（2分）令，則，當時，在上為增函數(shù)；當x0時，在上為減函數(shù)，所以在x=0處取得極大值，且，（6分）故（當且僅當時取等號），所以函數(shù)為上