概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：第11講 數(shù)學(xué)期望

1、 前面討論了隨機(jī)變量及其分布。 如果我們知道了隨機(jī)變量 X 的概率分布，那么，關(guān)于 X 的全部概率特征也就知道了。 然而，在實(shí)際問題中，概率分布是較難確定的。且有時(shí)在實(shí)際應(yīng)用中，我們并不需要知道隨機(jī)變量的所有性質(zhì)，只要知道其一些數(shù)字特征就夠了。 因此，在對隨機(jī)變量的研究中，確定隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征是非常重要的。最常用的數(shù)字特征是：期望和方差。4.1.1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 概念引入： 某車間對工人生產(chǎn)情況進(jìn)行考察，車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù) X 是一個(gè)隨機(jī)變量。如何定義 X 的平均值？4.1 數(shù)學(xué)期望第四章 數(shù)字特征若統(tǒng)計(jì)了100天小張生產(chǎn)產(chǎn)品的情況，發(fā)現(xiàn)： 可以得到這100天中每天的平

2、均廢品數(shù)為32天沒有出廢品；30天每天出一件廢品；17天每天出兩件廢品；21天每天出三件廢品。可以想象：若另外再統(tǒng)計(jì)100天，其中不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會完全相同，即另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定就是1.27。n0天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到這n天中，每天的平均廢品數(shù)為(假定每天至多出三件廢品) 一般來說, 若統(tǒng)計(jì)了n天,這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均由頻率與概率的關(guān)系， 不難想到：求廢品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率替代頻率，得平均值為：這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣，就得到一個(gè)確定的數(shù) 隨機(jī)變量X的期望

3、(均值) 。 定義1: 設(shè)X是離散型隨機(jī)變量, 概率分布為 PX=xk=pk , k=1,2, 。 也就是說：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對收斂的級數(shù)和。如果 有限, 則稱為X 的數(shù)學(xué)期望(或均值)。 級數(shù)絕對收斂可以保證“級數(shù)之值不因級數(shù)各項(xiàng)次序的改排而發(fā)生變化”，這樣E(X)與X取值的人為排列次序無關(guān)。例1： 有4只盒子，編號為1, 2, 3, 4?，F(xiàn)有3個(gè)球，將球逐個(gè)獨(dú)立地隨機(jī)放入4只盒子中去。用X 表示其中至少有一個(gè)球的盒子的最小號碼，E(X)。解：首先求X 的概率分布。X 所有可能取的值是1, 2, 3, 4。X=i 表示i號盒中至少有一個(gè)球，i=1, 2, 3, 4。 為求 P

4、X=1，考慮 X=1 的對立事件：1號盒中沒有球，其概率為 (3/4)3，因此X=2 表示 1號盒中沒有球，而2號盒中至少有一個(gè)球，類似地得到：于是， 1.兩點(diǎn)分布：X B(1, p), 0 p 1，則 E(X)= 1p + 0(1-p) = p . 常用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 2.二項(xiàng)分布：X B(n, p)，其中 0 p 0 ，則 E(X)= .4.1.2 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù) f(x) 在數(shù)軸上取很密的點(diǎn) x0 x1 x2, 則X 落在小區(qū)間 xi , xi+1) 的概率是在小區(qū)間xi, xi+1)上陰影面積小區(qū)間Xi, Xi+1)由于xi與xi+1

5、很接近, 所以區(qū)間xi, xi+1)中的值可用 xi 來近似地替代。這正是的漸近和式。陰影面積近似,因此, X與以概率 取值 xi 的離散型r.v 該離散型r.v 的數(shù)學(xué)期望是從該啟示出發(fā)，我們給出如下定義。定義2：設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為 f (x), 如果 有限，則稱 為X的數(shù)學(xué)期望。 也就是說：連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對收斂的積分值.例3：設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為求 E(X) 。解： 若X Ua, b, 即X服從a, b上的均勻分布, 則若X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，則由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，不難計(jì)算出：若X 服從 ，則 這意味著：若從該地區(qū)抽查很多成年男子，分別測量

6、他們的身高。則這些身高的平均值近似地為1.68。 已知某地區(qū)成年男子身高X例4：設(shè)某型號電子管的壽命X服從指數(shù)分布,平均壽命為1000小時(shí), 計(jì)算 P1000X1200。解：由 E(X) = 1/ = 1000，知 = 0.001，X的概率密度為4.1.3 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望I. 問題的提出： 設(shè)隨機(jī)變量X的分布已知，需要計(jì)算的量并非X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說是 g(X) 的期望。那么，如何計(jì)算呢？ 一種方法是：由于g(X) 也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，其分布可以由X的分布求出。一旦知道了g(X) 的分布, 就可以按照期望的定義把 Eg(X) 計(jì)算出來。 但使用該方法 必須

7、先求出g(X)的分布。一般說來，這是比較復(fù)雜的事。 那么, 可否不求g(X)的分布，而只根據(jù)X的分布來計(jì)算 Eg(X) 呢？ 答案是肯定的。且有如下公式： 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，Y=g(X)，則 當(dāng)X為離散型時(shí), PX= xk=pk , 當(dāng)X為連續(xù)型時(shí), X 的密度函數(shù)為 f(x), 有 該公式的重要性在于：當(dāng)我們求 Eg(X)時(shí), 不必求g(X)的分布，而只需知道X的分布足矣。這對求 g(X) 的期望帶來了極大方便。例5： 設(shè) X N(0 , 1)，求 E(X2)。解：例 6：設(shè)國際市場上對我國某種出口商品每年的需求量是隨機(jī)變量X(單位: 噸)。X服從區(qū)間2000, 4000 上的均勻分布。每

8、銷售出一噸商品,可為國家賺取外匯3萬元；若銷售不出, 則每噸商品需貯存費(fèi)1萬元。求：應(yīng)組織多少貨源，才能使國家收益最大?解：設(shè)組織貨源 t 噸。顯然，應(yīng)要求2000t 4000。國家收益Y(單位:萬元)是X 的函數(shù)Y=g(X)。表達(dá)式為由已知條件, 知X的概率密度函為可算得當(dāng) t = 3500 時(shí)， E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000達(dá)到最大值 1.55106。 因此，應(yīng)組織3500噸貨源。 說明 前面我們給出了求g(X)的期望的方法。實(shí)際上，該結(jié)論可輕易地推廣到兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù) Z = g(X,Y)的情形。設(shè)二維離散型隨機(jī)向量 (X, Y) 的概率分布為 pij, i=1,

9、 2, ， j=1, 2, . 則：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的密度函數(shù)為 f (x, y), 則:例7：設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布如下表所示，求Z=X2+Y的期望. E(Z)= g(1,1)0.125+g(1,2)0.25 +g(2,1)0.5+g(2,2)0.125解:= 4.25.例8：設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，概率密度分別為求 E(XY)。解： 因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互獨(dú)立。所以，3.1.4 期望的性質(zhì) (1). 設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;(4). 設(shè) X, Y 相互獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y); (2). 若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(

10、X); (3). E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y獨(dú)立推廣：推廣：(諸Xi 獨(dú)立時(shí))。期望性質(zhì)的應(yīng)用例9: 求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望。 分析：若 X B(n, p)，則 X 表示n重貝努里試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)。 設(shè)則 X = X1+X2+Xn，i=1,2,n. 由此可見：服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是 np。= np .因?yàn)?PXi =1= p,PXi =0= 1-p，所以 E(X)=E (Xi ) = p，例10：將 n個(gè)球放入M個(gè)盒子中, 設(shè)每個(gè)球落入各個(gè)盒子是等可能的,求有球的盒子數(shù)X 的期望。解：引入隨機(jī)變量則 X=X1+X2+XM .于是,E(X)=E(X1)+E(X2)+ +E(XM).每個(gè)Xi都服