特殊平行四邊形證明與解答題困難教師版版

1、. .27/272015年初中數(shù)學(xué)中考特殊四邊形證明與計(jì)算組卷參考答案與試題解析_學(xué)號(hào)_一解答題（共30小題）1（2012威海）（1）如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，直線EF過(guò)點(diǎn)O，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)求證：AE=CF（2）如圖，將ABCD（紙片）沿過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)O的直線EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B1處，設(shè)FB1交CD于點(diǎn)G，A1B1分別交CD，DE于點(diǎn)H，I求證：EI=FG考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得ADBC，OA=OC，又由平行線的性質(zhì)，可得1=2，繼而利用ASA，即可證得AOE

2、COF，則可證得AE=CF（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與折疊性質(zhì)，易得A1E=CF，A1=A=C，B1=B=D，繼而可證得A1IECGF，即可證得EI=FG解答：證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，OA=OC，1=2，在AOE和COF中，AOECOF（ASA），AE=CF；（2）四邊形ABCD是平行四邊形，A=C，B=D，由（1）得AE=CF，由折疊的性質(zhì)可得：AE=A1E，A1=A，B1=B，A1E=CF，A1=A=C，B1=B=D，又1=2，3=4，5=3，4=6，5=6，在A1IE與CGF中，A1IECGF（AAS），EI=FG點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以與

3、全等三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用2（2011）閱讀在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點(diǎn)P（ x1，y1）、Q（x2，y2）為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為運(yùn)用（1）如圖，矩形ONEF的對(duì)角線相交于點(diǎn)M，ON、OF分別在x軸和y軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，3），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1.5）（2）在直角坐標(biāo)系中，有A（1，2），B（3，1），C（1，4）三點(diǎn)，另有一點(diǎn)D與點(diǎn)A、B、C構(gòu)成平行四邊形的頂點(diǎn)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；矩形的性質(zhì)專題：幾何綜合題分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分與點(diǎn)E的坐標(biāo)即可得出答案（2）

4、根據(jù)題意畫出圖形，然后可找到點(diǎn)D的坐標(biāo)解答：解：（1）M（，），即M（2，1.5）（2）如圖所示：根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得：設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），以點(diǎn)A、B、C、D構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，A（1，2），B（3，1），C（1，4），BC=，AD=，1+31=1，2+14=1，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，A（1，2），B（3，1），C（1，4），AC=2，BD=2，D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3）當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，A（1，2），B（3，1），C（1，4），AB=，CD=，D點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，5），綜上所述，符合要求的點(diǎn)有：D（1，1），D（3，5），D（5，3）點(diǎn)評(píng)

5、：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握已知兩點(diǎn)求其中點(diǎn)坐標(biāo)的方法3（2007）在ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為ABC所在平面一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PEAC交AB于點(diǎn)E，PFAB交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F若點(diǎn)P在BC邊上（如圖1），此時(shí)PD=0，可得結(jié)論：PD+PE+PF=AB請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決下列問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)P分別在ABC（如圖2），ABC外（如圖3）時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，PD，PE，PF與AB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，不需要證明考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)專題：探究型分析：在圖2中，因?yàn)樗倪呅蜳EAF為平行四邊形，所以PE=AF，又三角形FDC

6、為等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在圖3中，PE=AF可證，F(xiàn)D=PFPD=CF，即PFPD+PE=AC=AB解答：解：圖2結(jié)論：PD+PE+PF=AB證明：過(guò)點(diǎn)P作MNBC分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，PEAC，PFAB，四邊形AEPF是平行四邊形，MNBC，PFAB四邊形BDPM是平行四邊形，AE=PF，EPM=ANM=C，AB=AC，EMP=B，EMP=EPM，PE=EM，PE+PF=AE+EM=AM四邊形BDPM是平行四邊形，MB=PDPD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB圖3結(jié)論：PE+PFPD=AB點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平

7、行四邊形的性質(zhì)，難易程度適中，讀懂信息，把握規(guī)律是解題的關(guān)鍵4（2006）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，AEBD，CFBD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接AF，CE（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若BAD的平分線與FC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，則ACG是等腰三角形嗎？并說(shuō)明理由考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性質(zhì)專題：證明題；幾何綜合題；探究型分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：AB=CD，ABE=CDF，AEB=CFD=90，得到ABECDF，所以AECF，AE=CF，可證四邊形AECF為平行四邊形；（2）因?yàn)锳EFG，得到G=GAE利用AG平分BAD，得到

8、BAG=DAG，從而求得ODA=DAO所以CAG=G，可得CAG是等腰三角形解答：（1）證明：矩形ABCD，ABCD，AB=CDABE=CDF，又AEB=CFD=90，AECF，ABECDF，AE=CF四邊形AECF為平行四邊形（2）解：ACG是等腰三角形理由如下：AEFG，G=GAEAG平分BAD，BAG=DAG又OA=AC=BD=OD，ODA=DAOBAE與ABE互余，ADB與ABD互余，BAE=ADEBAE=DAO，EAG=CAG，CAG=G，CAG是等腰三角形點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的性質(zhì)和判定方法以與等腰三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL判定兩

9、個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件5（2006）如圖，在RtABC中，BAC=90，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D，使AD=AB連接DE，DF（1）求證：AF與DE互相平分；（2）若BC=4，求DF的長(zhǎng)考點(diǎn)：平行四邊形的判定專題：計(jì)算題；證明題分析：（1）連接EF、AE，證四邊形AEFD是平行四邊形即可（2）注意應(yīng)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等，求得AE長(zhǎng)即可解答：（1）證明：連接EF，AE點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AC的中點(diǎn)，EFAB，EF=AB又AD=AB，

10、EF=AD又EFAD，四邊形AEFD是平行四邊形AF與DE互相平分（2）解：在RtABC中，E為BC的中點(diǎn)，BC=4，AE=BC=2又四邊形AEFD是平行四邊形，DF=AE=2點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，有中點(diǎn)時(shí)需考慮運(yùn)用三角形的中位線定理或者直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半6如圖，以ABC三邊為邊在BC同側(cè)作三個(gè)等邊ABD、BCE、ACF請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形考點(diǎn)：平行四邊形的判定；等邊三角形的性質(zhì)；矩形的判定專題：證明題；探究型分析：1、本題可根據(jù)三角形全等證得DE=AF，AD=EF，即可知四邊形

11、ADEF是平行四邊形2、要使四邊形ADEF是矩形，必須讓FAD=90，則BAC=360906060=150解答：證明：（1）等邊ABD、BCE、ACF，DB=AB，BE=BC又DBE=60EBA，ABC=60EBA，DBE=ABCDBECBADE=AC又AC=AF，AF=DE同理可證：ABCFCE，證得EF=AD四邊形ADEF是平行四邊形（2）假設(shè)四邊形ABCD是矩形，四邊形ADEF是矩形，DAF=90又等邊ABD、BCE、ACF，DAB=FAC=60BAC=360DAFFACDAB=150當(dāng)ABC滿足BAC=150時(shí)，四邊形ADEF是矩形點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定

12、7（2010）如圖，ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊ADE，過(guò)點(diǎn)C作CFDE交AB于點(diǎn)F（1）若點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)（如圖），求證：EF=CD；（2）在（1）的條件下直接寫出AEF和ABC的面積比；（3）若點(diǎn)D是BC邊上的任意一點(diǎn)（除B、C外如圖），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)專題：證明題分析：（1）根據(jù)ABC和AED是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，EDCF，求證ABDCAF，進(jìn)而求證四邊形EDCF是平行四邊形即可；（2）在（1）的條件下可直接寫出AEF和AB

13、C的面積比；（3）根據(jù)EDFC，結(jié)合ACB=60，得出ACF=BAD，求證ABDCAF，得出ED=CF，進(jìn)而求證四邊形EDCF是平行四邊形，即可證明EF=DC解答：（1）證明：ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，ADBC，且BAD=BAC=30，AED是等邊三角形，AD=AE，ADE=60，EDB=90ADE=9060=30，EDCF，F(xiàn)CB=EDB=30，ACB=60，ACF=ACBFCB=30，ACF=BAD=30，在ABD和CAF中，ABDCAF（ASA），AD=CF，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四邊形EDCF是平行四邊形，EF=CD（2）解：AEF和ABC的面積比為：1：4；（

14、3）解：成立理由如下：EDFC，EDB=FCB，AFC=B+BCF=60+BCF，BDA=ADE+EDB=60+EDBAFC=BDA，在ABD和CAF中，ABDCAF（AAS），AD=FC，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四邊形EDCF是平行四邊形，EF=DC點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)的理解和掌握此題涉與到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大8（2011）如圖，在菱形ABCD中，A=60，點(diǎn)P、Q分別在邊AB、BC上，且AP=BQ（1）求證：BDQADP；（2）已知AD=3，AP=2，求cosBPQ的值（結(jié)果保留根號(hào)）考點(diǎn)：菱形的

15、性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形專題：幾何綜合題分析：（1）由四邊形ABCD是菱形，可證得AD=AB，ABD=CBD=ABC，ADBC，又由A=60，易得ABD是等邊三角形，然后由SAS即可證得BDQADP；（2）首先過(guò)點(diǎn)Q作QEAB，交AB的延長(zhǎng)線于E，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得PE與QE的長(zhǎng)，又由勾股定理，即可求得PQ的長(zhǎng)，則可求得cosBPQ的值解答：（1）證明：四邊形ABCD是菱形，AD=AB，ABD=CBD=ABC，ADBC，A=60，ABD是等邊三角形，ABC=120，AD=BD，CBD=A=60，AP=BQ，BDQADP（SAS）；（2）解：過(guò)點(diǎn)Q作QEAB，交AB

16、的延長(zhǎng)線于E，BQ=AP=2，ADBC，QBE=60，QE=QBsin60=2=，BE=QBcos60=2=1，AB=AD=3，PB=ABAP=32=1，PE=PB+BE=2，在RtPQE中，PQ=，cosBPQ=點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)與勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì)此題難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用9（2007）如圖1，已知四邊形ABCD是菱形，G是線段CD上的任意一點(diǎn)時(shí)，連接BG交AC于F，過(guò)F作FHCD交BC于H，可以證明結(jié)論成立（考生不必證明）（1）探究：如圖2，上述條件中，若G在CD的延長(zhǎng)線上，其它條件不變時(shí)，其結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）計(jì)

17、算：若菱形ABCD中AB=6，ADC=60，G在直線CD上，且CG=16，連接BG交AC所在的直線于F，過(guò)F作FHCD交BC所在的直線于H，求BG與FG的長(zhǎng)（3）發(fā)現(xiàn)：通過(guò)上述過(guò)程，你發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時(shí)，結(jié)論還成立嗎？考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；勾股定理；平行線分線段成比例專題：綜合題；壓軸題分析：（1）借助中間比進(jìn)行證明，根據(jù)平行線分線段成比例定理分別證明兩個(gè)比都等于即可；（2）首先應(yīng)畫出兩個(gè)不同的圖形進(jìn)行分析構(gòu)造30的直角三角形，然后計(jì)算兩條直角邊的長(zhǎng)，在兩種情況中，GQ=16+3=19或163=13，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算BG的長(zhǎng)，進(jìn)一步根據(jù)比例式求得FG的長(zhǎng)；（3）成立，根據(jù)（2）中的過(guò)程，可以

18、分別求得左右兩個(gè)比，從而證明結(jié)論解答：解：（1）結(jié)論成立證明：由已知易得FHAB，F(xiàn)HGC，（2）G在直線CD上，分兩種情況討論如下：G在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，DG=10，如圖1，過(guò)B作BQCD于Q，由于四邊形ABCD是菱形，ADC=60，BC=AB=6，BCQ=60，BQ=3，CQ=3，BG=又由FHGC，可得，而CFH是等邊三角形，BH=BCHC=BCFH=6FH，F(xiàn)H=，由（1）知，F(xiàn)G=G在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，CG=16，如圖2，過(guò)B作BQCG于Q，四邊形ABCD是菱形，ADC=60，BC=AB=6，BCQ=60BQ=3，CQ=3BG=14又由FHCG，可得，BH=HCBC=FHBC=FH6

19、，F(xiàn)H=FHCG，BF=1416=FG=14+（3）G在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，成立結(jié)合上述過(guò)程，發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時(shí)，結(jié)論還成立點(diǎn)評(píng)：證明比例式的時(shí)候，可以利用相似或利用平行線分線段成比例定理進(jìn)行證明10（2001）如圖，在菱形ABCD中，AB=10，BAD=60度點(diǎn)M從點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著AD邊向點(diǎn)D移動(dòng)；設(shè)點(diǎn)M移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0t10）（1）點(diǎn)N為BC邊上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)M移動(dòng)過(guò)程中，線段MN是否一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分并說(shuō)明理由；（2）點(diǎn)N從點(diǎn)B（與點(diǎn)M出發(fā)的時(shí)刻一樣）以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著B(niǎo)C邊向點(diǎn)C移動(dòng)，在什么時(shí)刻，梯形ABNM的面積最大并求出面積的最大值；（3

20、）點(diǎn)N從點(diǎn)B（與點(diǎn)M出發(fā)的時(shí)刻一樣）以每秒a（a2）個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著射線BC方向（可以超越C點(diǎn)）移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作MPAB，交BC于點(diǎn)P當(dāng)MPNABC時(shí)，設(shè)MPN與菱形ABCD重疊部分的面積為S，求出用t表示S的關(guān)系式，井求當(dāng)S=0時(shí)的值考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的性質(zhì)專題：壓軸題分析：（1）菱形被分割成面積相等的兩部分，那么分成的兩個(gè)梯形的面積相等，而兩個(gè)梯形的高相等，只需上下底的和相等即可（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面積，用t的最值即可求得梯形的最大面積（3）易得MNP的面積為菱形面積的一半，求得不重合部分的面積，讓菱形面積的一半減去即可解答：解：（1）設(shè)：BN

21、=a，CN=10a（0a10）因?yàn)椋c(diǎn)M從點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著AD邊向點(diǎn)D移動(dòng)，點(diǎn)M移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0t10）所以，AM=1t=t（0t10），MD=10t（0t10）所以，梯形AMNB的面積=（AM+BN）菱形高2=（t+a）菱形高2；梯形MNCD的面積=（MD+NC）菱形高2=（10t）+（10a）菱形高2當(dāng)梯形AMNB的面積=梯形MNCD的面積時(shí)，即t+a=10，（0t10），（0a10）所以，當(dāng)t+a=10，（0t10），（0a10）時(shí)，可出現(xiàn)線段MN一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分（2）點(diǎn)N從點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著B(niǎo)C邊向點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)N移動(dòng)的時(shí)間為t，可知0

22、t5，因?yàn)锳B=10，BAD=60，所以菱形高=5，AM=1t=t，BN=2t=2t所以梯形ABNM的面積=（AM+BN）菱形高2=3t5=t（0t5）所以當(dāng)t=5時(shí)，梯形ABNM的面積最大，其數(shù)值為（3）當(dāng)MPNABC時(shí)，則ABC的面積=MPN的面積，則MPN的面積為菱形面積的一半為25；因?yàn)橐缺赜蠱NAC，N在C點(diǎn)外，所以不重合處面積為（at10）2重合處為S=25，當(dāng)S=0時(shí)，即PM在CD上，a=2點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形以與相應(yīng)的三角函數(shù)的性質(zhì)，注意使用兩條平行線間的距離相等等條件本題主要考查菱形和平行四邊形的識(shí)別與推理論證能力對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形11點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了菱

23、形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)以與矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)注意第（3）題需要分類討論，以防錯(cuò)解12在平行四邊形ABCD中，BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG（1）如圖1，證明平行四邊形ECFG為菱形；（2）如圖2，若ABC=90，M是EF的中點(diǎn)，求BDM的度數(shù)；（3）如圖3，若ABC=120，請(qǐng)直接寫出BDG的度數(shù)考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；平行四邊形的性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)分析：（1）平行四邊形的性質(zhì)可得ADBC，ABCD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明CEF=CFE，根據(jù)等角對(duì)等

24、邊可得CE=CF，再有條件四邊形ECFG是平行四邊形，可得四邊形ECFG為菱形；（2）首先證明四邊形ECFG為正方形，再證明BMEDMC可得DM=BM，DMC=BME，再根據(jù)BMD=BME+EMD=DMC+EMD=90可得到BDM的度數(shù)；（3）分別連接GB、GC，求證四邊形CEGF是平行四邊形，再求證ECG是等邊三角形由ADBC與AF平分BAD可得BAE=AEB，求證BEGDCG，然后即可求得答案解答：解：（1）證明：AF平分BAD，BAF=DAF，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ABCD，DAF=CEF，BAF=CFE，CEF=CFE，CE=CF，又四邊形ECFG是平行四邊形，四邊形E

25、CFG為菱形（2）如圖，連接BM，MC，ABC=90，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABCD是矩形，又由（1）可知四邊形ECFG為菱形，ECF=90，四邊形ECFG為正方形BAF=DAF，BE=AB=DC，M為EF中點(diǎn)，CEM=ECM=45，BEM=DCM=135，在BME和DMC中，BMEDMC（SAS），MB=MD，DMC=BMEBMD=BME+EMD=DMC+EMD=90，BMD是等腰直角三角形，BDM=45；（3）BDG=60，延長(zhǎng)AB、FG交于H，連接HDADGF，ABDF，四邊形AHFD為平行四邊形，ABC=120，AF平分BAD，DAF=30，ADC=120，DFA=30，D

26、AF為等腰三角形，AD=DF，平行四邊形AHFD為菱形，ADH，DHF為全等的等邊三角形，DH=DF，BHD=GFD=60，F(xiàn)G=CE，CE=CF，CF=BH，BH=GF，在BHD與GFD中，BHDGFD（SAS），BDH=GDFBDG=BDH+HDG=GDF+HDG=60點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平行四邊形的判定方法，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法13如圖1，在ABC中，AB=BC=5，AC=6ECD是ABC沿BC方向平移得到的，連接AE、AC和BE相交于點(diǎn)O（1）判斷四邊形ABCE是

27、怎樣的四邊形，說(shuō)明理由；（2）如圖2，P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（圖2），（不與點(diǎn)B、C重合），連接PO并延長(zhǎng)交線段AE于點(diǎn)Q，QRBD，垂足為點(diǎn)R四邊形PQED的面積是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)專題：動(dòng)點(diǎn)型；數(shù)形結(jié)合分析：（1）利用平移的知識(shí)可得四邊形ABCE是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)AB=BC可得該四邊形為菱形；（2）利用證明三角形全等可得四邊形PQED的面積為三角形BED的面積，所以不會(huì)改變；進(jìn)而利用三角形的面積公式求解即可解答：解：（1）四邊形ABCE是菱形，證明如下：ECD是由ABC沿BC平移得到的，ECAB，且EC=A

28、B，四邊形ABCE是平行四邊形，（2分）又AB=BC，四邊形ABCE是菱形（4分）（2）由菱形的對(duì)稱性知，PBOQEO，SPBO=SQEO（7分）ECD是由ABC平移得到的，EDAC，ED=AC=6，又BEAC，BEED，（8分）S四邊形PQED=SQEO+S四邊形POED=SPBO+S四邊形POED=SBED=BEED=86=24（10分）點(diǎn)評(píng)：考查菱形的判定與相關(guān)性質(zhì)；把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的規(guī)則圖形的面積是解決本題的關(guān)鍵14（2011）如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE=BC，DFAE，垂足為F，連接DE（1）求證：AB=DF；（2）若AD=10，AB=6，求tanE

29、DF的值考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義專題：幾何綜合題分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊平行且相等得到AD=BC=AE，DAF=EAB再結(jié)合一對(duì)直角相等即可證明ABEDFA；然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證明AB=DF；（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等以與勾股定理，可以求得DF，EF的長(zhǎng)；再根據(jù)勾股定理求得DE的長(zhǎng)，運(yùn)用三角函數(shù)定義求解解答：（1）證明：在矩形ABCD中，BC=AD，ADBC，B=90，DAF=AEBDFAE，AE=BC，AFD=90，AE=ADABEDFA；AB=DF；（2）解：由（1）知ABEDFAAB=DF=6在RtADF中，AF=，EF=AEAF=

30、ADAF=2tanEDF=點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)與銳角三角函數(shù)的定義熟練運(yùn)用矩形的性質(zhì)和判定，能夠找到證明全等三角形的有關(guān)條件；運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)求得三角形中的邊，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求解15（2010）已知：如圖，正方形ABCD與矩形DEFG的邊AD、DE在同一直線l上，點(diǎn)G在CD上正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，矩形DEFG的長(zhǎng)DE為b，寬DG為3（其中ab3）若矩形DEFG沿直線l向左以每秒1個(gè)單位的長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D、E始終在直線l上）若矩形DEFG在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與正方形ABCD的重疊部分的面積記作S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為t秒（0tm），其中S與t的函數(shù)圖象如圖

31、所示矩形DEFG的頂點(diǎn)經(jīng)運(yùn)動(dòng)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記作D、E、F、G（1）根據(jù)題目所提供的信息，可求得b=4，a=5，m=9；（2）連接AG、CF，設(shè)以AG和CF為邊的兩個(gè)正方形的面積之和為y，求當(dāng)0t5時(shí)，y與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值以與y取最小值時(shí)t的值；（3）如圖，這是在矩形DEFG運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直線AG第一次與直線CF垂直的情形，求此時(shí)t的值并探究：在矩形DEFG繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線AG與直線CF是否存在平行或再次垂直的情形？如果存在，請(qǐng)畫出圖形，并求出t的值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)專題：代數(shù)幾何綜合題分析：（1）由圖的函數(shù)圖象知：從第4

32、5秒，S的值恒為12，即此時(shí)矩形全部落在正方形的部，由此可求得兩個(gè)條件：矩形的面積為12，正方形的邊長(zhǎng)為1+DE，根據(jù)這兩個(gè)條件求解即可（2）當(dāng)0t5時(shí)，矩形在直線AB的左側(cè)，可用t表示出AD、PF的長(zhǎng)，易求得DG、CP的長(zhǎng)，即可用勾股定理求得AG2、CF2的值，即可得到y(tǒng)、t的函數(shù)關(guān)系式（3）此題要分五種情況討論：當(dāng)0t4時(shí)，點(diǎn)E在D點(diǎn)右側(cè)；由于HGF、HFG都是銳角，顯然直線AG與CF不可能平行；當(dāng)兩條直線垂直時(shí)，GHF是直角三角形，易證得ADGCPF，根據(jù)相似三角形得到的比例線段即可求得t的值；當(dāng)t=4時(shí)，D、E重合，此時(shí)直線DC與EF重合，顯然此時(shí)AG與CF既不平行也不垂直，因?yàn)檫^(guò)直線

33、外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行或垂直；當(dāng)4t5時(shí)，矩形在正方形的部，延長(zhǎng)GF交BC于P，延長(zhǎng)AG交CD于Q，此時(shí)CFP是銳角，所以CFG是鈍角，顯然AG與CF不可能垂直；當(dāng)兩直線平行時(shí)，可證得ADGFPC，進(jìn)而可根據(jù)相似三角形得到的比例線段求得t的值；當(dāng)t=5時(shí)，此種情況與一樣；當(dāng)5t9時(shí)，此時(shí)QGF與CFG都是鈍角，顯然AG與CF不可能平行；當(dāng)兩直線垂直時(shí)，可延長(zhǎng)CF與AG相交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)GF與CD相交于點(diǎn)P，通過(guò)證ADGCPF來(lái)求得此時(shí)t的值解答：解：（1）由圖知：從第4到第5秒時(shí)，S的值恒為12，此時(shí)矩形全部落在正方形的部，那么矩形的面積為12，即可求得DE=4；這個(gè)過(guò)程持續(xù)了1

34、秒，說(shuō)明正方形的邊長(zhǎng)為：DE+1=5；由于矩形的速度恒定，所以5m也應(yīng)該用4秒的時(shí)間，故m=5+4=9；即：b=4，a=5，m=9（2）如圖，當(dāng)0t5時(shí)，AD=5t，DG=3，PF=4t，CP=2，y=9+（5t）2+4+（4t）2，y=2（t）2+，當(dāng)t=時(shí)，y有最小值，y最小值=（3）當(dāng)0t4時(shí)，分別延長(zhǎng)AG和FC；如圖，由于1和2都是銳角，所以1+2180，所以AG與CF不可能平行設(shè)AG與FC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，當(dāng)GAD=PCF時(shí)，直線AGCF；ADGCPF，=，解得t1=2，t2=7（不合題意，舍去）當(dāng)t=4時(shí)，由于點(diǎn)F在CD上，而點(diǎn)G不在直線AD上，因?yàn)锳DCD，所以AG不可能也垂直于

35、CD（因?yàn)檫^(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直）同樣，由于ABCD，而點(diǎn)G不在直線AB上，所以t=4時(shí)，AG也不可能平行于CD（CF）（因?yàn)檫^(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行）4t5時(shí)，延長(zhǎng)GF交PC于P，延長(zhǎng)AG交CD于Q，由于CFP是銳角，所以CFG是鈍角，所以CFG+QGF90，所以AG與CF不可能垂直；當(dāng)GAD=CFP時(shí)，AGCF，易得ADGFPC，=，解得t=4.4當(dāng)t=5時(shí)，AG與CF既不可能垂直也不可能平行，理由同當(dāng)5t9時(shí)，因?yàn)镼GF與CFG都是鈍角，所以QGF+CFG180，所以AG與CF不可能平行延長(zhǎng)CF與AG相交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)GF與CD相交于點(diǎn)P；當(dāng)MGF+

36、MFG=90時(shí)，AGCF；又AGD+AGF=90，MFG=CFP，AGD=CFP，又ADG=FPC，ADGCPF，即；解得：t1=2（不合題意，舍去），t2=7；所以，綜上所述，當(dāng)t=2或t=7時(shí)，直線AG與直線CF垂直，當(dāng)t=4.4時(shí)，直線AG與直線CF平行點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形、正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)以與分段函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大16（2005）已知：平行四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，分別沿DE、BF折疊四邊形ABCD，A、C兩點(diǎn)恰好都落在O點(diǎn)處，且四邊形DEBF為菱形（如圖）（1）求證：四邊形A

37、BCD是矩形；（2）在四邊形ABCD中，求的值考點(diǎn)：矩形的判定專題：計(jì)算題；證明題分析：（1）根據(jù)矩形的判定定理，先證DE=BE，再證DOE=90，則可證（2）根據(jù)已知條件和（1）的結(jié)論，先求得AD：AB，易求解的值解答：（1）證明：連接OE，四邊形ABCD是平行四邊形，DO=OB，四邊形DEBF是菱形，DE=BE，EOBD，DOE=90，即DAE=90，又四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABCD是矩形（2）解：四邊形DEBF是菱形，F(xiàn)DB=EDB，又由題意知EDB=EDA，由（1）知四邊形ABCD是矩形，ADF=90，即FDB+EDB+ADE=90，則ADB=60，在RtADB中，有AD：

38、AB=1：，又BC=AD，則說(shuō)明：其他解法酌情給分點(diǎn)評(píng)：本題考查矩形的判定定理與相關(guān)性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等，難度偏難17如圖，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；（2）請(qǐng)直接寫出當(dāng)AP為何值時(shí)，四邊形PMEN是菱形；（3）四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的判定分析：（1）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理可證明（2）當(dāng)DP=CP時(shí)，四邊形PMEN是菱形，P是AB的中點(diǎn)，所以可求出AP的值（3）四

39、邊形PMEN是矩形的話，DPC必需為90，判斷一下DPC是不是直角三角形就行解答：解：（1）M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)，MEPC，ENPD，四邊形PMEN是平行四邊形；（2）當(dāng)AP=5時(shí)，PA=PB=5，AD=BC，A=B=90，PADPBC，PD=PC，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)，NE=PMPD，ME=PN=PC，PM=ME=EN=PN，四邊形PMEN是菱形；（3）假設(shè)DPC為直角三角形設(shè)PA=x，PB=10 x，DP=，CP=DP2+CP2=DC216+x2+16+（10 x）2=102x210 x+16=0 x=2或x=8故當(dāng)AP=2或AP=8時(shí)，能夠構(gòu)成直角三角

40、形點(diǎn)評(píng)：本題考查平行四邊形的判定，菱形的判定定理，以與矩形的判定定理和性質(zhì)，知道矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)邊相等等性質(zhì)18如圖：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分別在AD、BC上，且DE=BP=1（1）判斷BEC的形狀，并說(shuō)明理由？（2）判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形？并證明你的判斷；（3）求四邊形EFPH的面積考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)專題：計(jì)算題；證明題分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出CD=2，根據(jù)勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根據(jù)勾股定理的逆定理求出即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行四邊形的

41、判定，推出平行四邊形DEBP和AECP，推出EHFP，EFHP，推出平行四邊形EFPH，根據(jù)矩形的判定推出即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式求出CF，求出EF，根據(jù)勾股定理求出PF，根據(jù)面積公式求出即可解答：（1）BEC是直角三角形，理由是：矩形ABCD，ADC=ABP=90，AD=BC=5，AB=CD=2，由勾股定理得：CE=，同理BE=2，CE2+BE2=5+20=25，BC2=52=25，BE2+CE2=BC2，BEC=90，BEC是直角三角形（2）解：四邊形EFPH為矩形，證明：矩形ABCD，AD=BC，ADBC，DE=BP，四邊形DEBP是平行四邊形，BEDP，AD=BC，ADBC，D

42、E=BP，AE=CP，四邊形AECP是平行四邊形，APCE，四邊形EFPH是平行四邊形，BEC=90，平行四邊形EFPH是矩形（3）解：在RTPCD中FCPD，由三角形的面積公式得：PDCF=PCCD，CF=，EF=CECF=，PF=，S矩形EFPH=EFPF=，答：四邊形EFPH的面積是點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了勾股定理與逆定理，矩形、平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，主要培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，此題綜合性比較強(qiáng)，題型較好，難度也適中19（2012）在ABC中，BAC=90，AB=AC，若點(diǎn)D在線段BC上，以AD為邊長(zhǎng)作正方形ADEF，如圖1，易證：AFC=ACB+DA

43、C；（1）若點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上，其他條件不變，寫出AFC、ACB、DAC的關(guān)系，并結(jié)合圖2給出證明；（2）若點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上，其他條件不變，直接寫出AFC、ACB、DAC的關(guān)系式考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)專題：幾何綜合題分析：（1）AFC、ACB、DAC的關(guān)系為：AFC=ACBDAC，理由為：由四邊形ADEF為正方形，得到AD=AF，且FAD為直角，得到BAC=FAD，等式左右兩邊都加上CAD得到BAD=CAF，再由AB=AC，AD=AF，利用SAS可得出三角形ABD與三角形ACF全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出AFC=ADB，又ACB為三角形ACD的

44、外角，利用外角的性質(zhì)得到ACB=ADB+DAC，變形后等量代換即可得證；（2）AFC、ACB、DAC的關(guān)系式是AFC+ACB+DAC=180，可以根據(jù)DAF=BAC=90，等號(hào)兩邊都減去BAF，可得出DAB=FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS證明三角形ABD與三角形AFC全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出AFC=ADB，根據(jù)三角形ADC的角和為180，等量代換可得證解答：解：（1）關(guān)系：AFC=ACBDAC，（2分）證明：四邊形ADEF為正方形，AD=AF，F(xiàn)AD=90，BAC=90，F(xiàn)AD=90，BAC+CAD=FAD+CAD，即BAD=CAF，（3分）在ABD和ACF中，AB

45、DACF（SAS），（4分）AFC=ADB，ACB是ACD的一個(gè)外角，ACB=ADB+DAC，（5分）ADB=ACBDAC，ADB=AFC，AFC=ACBDAC；（6分）（2）AFC、ACB、DAC滿足的關(guān)系式為：AFC+DAC+ACB=180，（8分）證明：四邊形ADEF為正方形，DAF=90，AD=AF，又BAC=90，DAF=BAC，DAFBAF=BACBAF，即DAB=FAC，在ABD和ACF中，ABDACF（SAS），ADB=AFC，在ADC中，ADB+ACB+DAC=180，則AFC+ACB+DAC=180點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的角和定理，以與

46、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵20（2012）已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從B開(kāi)始，沿射線BC運(yùn)動(dòng)，連接DP，作CNDP于點(diǎn)M，且交直線AB于點(diǎn)N，連接OP，ON（當(dāng)P在線段BC上時(shí)，如圖1：當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2）（1）請(qǐng)從圖1，圖2中任選一圖證明下面結(jié)論：BN=CP；OP=ON，且OPON；（2）設(shè)AB=4，BP=x，試確定以O(shè)、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；分段函數(shù)；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：代數(shù)幾何綜合題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出DC=BC，DCB=CBN=90，求出C

47、PD=DCN=CNB，證DCPCBN，求出CP=BN，證OBNOCP，推出ON=OP，BON=COP，求出PON=COB即可；（2）同法可證圖2時(shí)，OP=ON，OPON，圖1中，S四邊形OPBN=SOBN+SBOP，代入求出即可；圖2中，S四邊形OBNP=SPOB+SPBN，代入求出即可解答：（1）證明：如圖1，正方形ABCD，OC=OB，DC=BC，DCB=CBA=90，OCB=OBA=45，DOC=90，DCAB，DPCN，CMD=DOC=90，BCN+CPD=90，PCN+DCN=90，CPD=CNB，DCAB，DCN=CNB=CPD，在DCP和CBN中，DCPCBN，CP=BN，在OB

48、N和OCP中，OBNOCP，ON=OP，BON=COP，BON+BOP=COP+BOP，即NOP=BOC=90，ONOP，即ON=OP，ONOP（2）解：AB=4，四邊形ABCD是正方形，O到BC邊的距離是2，圖1中，S四邊形OPBN=SOBN+SBOP，=（4x）2+x2，=4（0 x4），圖2中，S四邊形OBNP=SPOB+SPBN=x2+（x4）x=x2x（x4），即以O(shè)、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系是：點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，分段函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解（1）小題的關(guān)鍵是能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理，解（2）的關(guān)鍵是求出符合條件的所有情況，本題具有一定

49、的代表性，是一道比較好的題目，注意：證明過(guò)程類似21（2011來(lái)賓）已知正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是OB、OC上的動(dòng)點(diǎn)，（1）如果動(dòng)點(diǎn)E、F滿足BE=CF（如圖1）：寫出所有以點(diǎn)E或F為頂點(diǎn)的全等三角形（不得添加輔助線）；證明：AEBF；（2）如果動(dòng)點(diǎn)E、F滿足BE=OF（如圖2），問(wèn)當(dāng)AEBF時(shí)，點(diǎn)E在什么位置，并證明你的結(jié)論考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：幾何綜合題分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)與BE=CF即可得出全等的三角形，根據(jù)全等三角形與正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論，（2）根據(jù)正方形性質(zhì)與已知條件得出BEMAEO，BEMBOF，再根據(jù)三角形相似的性

50、質(zhì)即可得出答案解答：解：（1）ABEBCF，AOEBOF，ADEBAF；證明：根據(jù)正方形的性質(zhì)，在BAE和CBF中，BAECBF（SAS），BAE=CBF，根據(jù)外角性質(zhì)，AFB=BCF+CBF=45+CBF，又FAM=45BAE，AMF=180（FAM+AFM）=180（45+CBF+45BAE）=90，AEBF；（2）當(dāng)AEBF時(shí)，點(diǎn)E在BO中點(diǎn)證明如下：延長(zhǎng)AE交BF于點(diǎn)M，如圖所示：BME=AOE，BEM=AEO，BEMAEO，=，即AO=，MBE=OBF，BME=BOF，BEMBFO，=，即BO=，AO=BO，BE=OF，BE=EO，故當(dāng)AEBF時(shí)，點(diǎn)E在BO中點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全

51、等三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，比較綜合，難度較大22（2011）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E，K分別在BC，AB上，點(diǎn)G在BA的延長(zhǎng)線上，且CE=BK=AG（1）求證：DE=DG； DEDG（2）尺規(guī)作圖：以線段DE，DG為邊作出正方形DEFG（要求：只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；（3）連接（2）中的KF，猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想：（4）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；作圖復(fù)雜作圖分析：（1）由已知證明DE、DG所在的三角形全等，再通過(guò)等量代換證明DEDG；（2）根據(jù)正方形的性

52、質(zhì)分別以點(diǎn)G、E為圓心以DG為半徑畫弧交點(diǎn)F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先證四邊形CKGD是平行四邊形，然后證明四邊形CEFK為平行四邊形；（4）由已知表示出的值解答：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，DC=DA，DCE=DAG=90又CE=AG，DCEDAG，DE=DG，EDC=GDA，又ADE+EDC=90，ADE+GDA=90DEDG（2）解：如圖（3）解：四邊形CEFK為平行四邊形證明：設(shè)CK、DE相交于M點(diǎn)四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，ABCD，AB=CD，EF=DG，EFDG，BK=AG，KG=AB=CD，四邊形CKGD是平行四邊形，CK=DG=EF，CKDG

53、，KME=GDE=DEF=90，KME+DEF=180，CKEF，四邊形CEFK為平行四邊形（4）解：，設(shè)CE=x，CB=nx，CD=nx，DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=（n2+1）x2，BC2=n2x2，=點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定與作圖，解題的關(guān)鍵是先由正方形的性質(zhì)通過(guò)證三角形全等得出結(jié)論，此題較復(fù)雜23（2011）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BC上，且PB=PE，連接PD，O為AC中點(diǎn)（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，試猜想PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，不用說(shuō)明理由；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段O

54、C上時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），并判斷（1）中的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，利用三角形的全等判定可以得出PEPD，PE=PD；（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要證PEPD；從三方面分析，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上（E與B、C不重合）時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別分析即可得出；（3）利

55、用PE=PB得出P點(diǎn)在BE的垂直平分線上，利用垂直平分線的性質(zhì)只要以P為圓心，PB為半徑畫弧即可得出E點(diǎn)位置，利用（2）中證明思路即可得出答案解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，在ABP和ADP中，ABPADP，BP=DP，PB=PE，PE=PD，過(guò)點(diǎn)P做PMCD，于點(diǎn)M，作PNBC，于點(diǎn)N，PB=PE，PNBE，BN=NE，BN=DM，DM=NE，在RtPNE與RtPMD中，PD=PE，NE=DM，RtPNERtPMD，DPM=EPN，MPN=90，DPE=90，故PEPD，PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為：PE=PD，PEPD；（2）四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線，BA=DA，

56、BAP=DAP=45，PA=PA，BAPDAP（SAS），PB=PD，又PB=PE，PE=PD（i）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時(shí)，PEPD（ii）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖ADPABP，ABP=ADP，CDP=CBP，BP=PE，CBP=PEC，PEC=PDC，1=2，DPE=DCE=90，PEPD綜合（i）（ii），PEPD；（3）同理即可得出：PEPD，PD=PE點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以與全等三角形的判定與性質(zhì)和尺規(guī)作圖等知識(shí)，此題涉與到分類討論思想，這是數(shù)學(xué)中常用思想同學(xué)們應(yīng)有意識(shí)的應(yīng)用24（2006江）如圖：四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中

57、點(diǎn)，順次連接E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形連接AC、BD，容易證明：中點(diǎn)四邊形EFGH一定是平行四邊形（1）如果改變?cè)倪呅蜛BCD的形狀，那么中點(diǎn)四邊形的形狀也隨之改變，通過(guò)探索可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足AC=BD時(shí)，四邊形EFGH為菱形當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足ACBD時(shí)，四邊形EFGH為矩形；當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足ACBD且AC=BD時(shí)，四邊形EFGH為正方形；（2）探索三角形AEH、三角形CFG與四邊形ABCD的面積之間的等量關(guān)系，請(qǐng)寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明；（3）如果四邊形ABCD的面積為2，那么中點(diǎn)四邊形EFGH的面積是多少？考點(diǎn)：正方形的判

58、定；三角形中位線定理；矩形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)專題：綜合題；新定義；存在型分析：（1）若四邊形EFGH為矩形，則應(yīng)有EFHGAC，EHFGBD，EFEH，故應(yīng)有ACBD；若四邊形EFGH為正方形，同上應(yīng)有ACBD，又應(yīng)有EH=EF，而EF=AC，EH=BD，故應(yīng)有AC=BD（2）由相似三角形的面積比等于相似比的平方求解（3）由（2）可得SEFGH=S四邊形ABCD=1解答：解：（1）若四邊形EFGH為矩形，則應(yīng)有EFHGAC，EHFGBD，EFEH，故應(yīng)有ACBD；若四邊形EFGH為正方形，同上應(yīng)有ACBD，又應(yīng)有EH=EF，而EF=AC，EH=BD，故應(yīng)有AC=BD（2）SAEH+

59、SCFG=S四邊形ABCD（6分）證明：在ABD中，EH=BD，AEHABD即SAEH=SABD同理可證：SCFG=SCBDSAEH+SCFG=（SABD+SCBD）=S四邊形ABCD（8分）（3）由（2）可知SAEH+SCFG=（SABD+SCBD）=S四邊形ABCD，同理可得SBEF+SDHG=（SABC+SCDA）=S四邊形ABCD，故SEFGH=S四邊形ABCD=1（10分）點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)與特殊四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)25如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，DEAP于點(diǎn)E，BFAP于點(diǎn)F，CHDE于點(diǎn)H，BF的延長(zhǎng)線交CH于點(diǎn)G（1）求

60、證：AFBF=EF；（2）四邊形EFGH是什么四邊形？并證明；（3）若AB=2，BP=1，求四邊形EFGH的面積考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理分析：（1）利用全等三角形的判定首先得出AEDBFA，進(jìn)而得出AE=BF，即可證明結(jié)論；（2）首先得出四邊形EFGH是矩形，再利用AEDBFA，同理可得：AEDDHC，進(jìn)而得出EF=EH，即可得出答案；（3）首先求出AP的長(zhǎng)，再利用三角形面積關(guān)系得出BF，AF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出EF的長(zhǎng)即可得出答案解答：（1）證明：DEAP于點(diǎn)E，BFAP于點(diǎn)F，CHDE于點(diǎn)H，AFB=AED=DHC=90，ADE+DAE=90，又DAE+BAF=