2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章　函數(shù)(必修第一冊(cè)) 第7節(jié)　函數(shù)的圖象 學(xué)案

1、第7節(jié)函數(shù)的圖象1.在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù),理解函數(shù)圖象的作用.2.借助函數(shù)圖象,理解和研究函數(shù)的性質(zhì).1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線(xiàn).首先:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式;(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等);其次,列表(尤其注意特殊點(diǎn):零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等),描點(diǎn),連線(xiàn).函數(shù)圖象的集合表示方法:(x,y)|y=f(x),xA.2.圖象變換(1)平移變換1.左右平移僅僅是相對(duì)x而言的,即發(fā)生變化的只是x本身,利用“左加右減”進(jìn)行操作.如果x的系數(shù)不是1,需要

2、把系數(shù)提出來(lái),再進(jìn)行變換.2.上下平移僅僅是相對(duì)y而言的,即發(fā)生變化的只是y本身,利用“上減下加”進(jìn)行操作.但平時(shí)我們是對(duì)y=f(x)中的f(x)進(jìn)行操作,滿(mǎn)足“上加下減”.(2)對(duì)稱(chēng)變換y=f(x)與y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng);y=f(x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);y=ax(a0,且a1)與y=loga x(a0,且a1)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng).(3)翻折變換y=f(x)y=|f(x)|;y=f(x)y=f(|x|).(4)伸縮變換y=f(x)y=f(ax).y=f(x)y=af(x).1.對(duì)于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)任意一

3、個(gè)x的值,若f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a+b2對(duì)稱(chēng).特別地,若f(a+x)=f(a-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng).2.對(duì)于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x的值,若f(a+x)=-f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a+b2,0)中心對(duì)稱(chēng).特別地,若f(a+x)=-f(a-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱(chēng).3.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性(相互對(duì)稱(chēng))(1)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)(a+x)-(b-x)=0,即x=b-a2對(duì)稱(chēng);(2)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(a-x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=0對(duì)稱(chēng).1.為

4、了得到函數(shù)y=lg x10的圖象,只需把函數(shù)y=lg x的圖象上所有的點(diǎn)(D)A.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C.向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D.向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=lg x10=lg x-1,所以把函數(shù)y=lg x的圖象上所有的點(diǎn)向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,可得函數(shù)y=lg x10=lg x-1的圖象.故選D.2.函數(shù)y=x-2x-1的圖象是(B)解析:當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)值為2,排除A,D;當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)值為12,排除C.故選B.3.(多選題)如圖是函數(shù)f(x)的圖象,則下列說(shuō)法正確的是(ABD)A.f(0)=-2B.f(x)的定義域?yàn)?3,2C.f(x)的值域?yàn)?2,2

5、D.若f(x)=0,則x=12或2解析:由圖象知f(0)=-2,故A正確;函數(shù)的定義域?yàn)?3,2,故B正確;函數(shù)的最小值為-3,即函數(shù)的值域?yàn)?3,2,故C錯(cuò)誤;若f(x)=0,則x=12或2,故D正確.故選ABD.4.將函數(shù)f(x)=x3的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)g(x)的圖象,則g(2)=.解析:將函數(shù)f(x)=x3的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)g(x)的圖象,即g(x)=(x-2)3,則g(2)=0.答案:0函數(shù)圖象的作法1.若函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=-f(x+1)的圖象大致為(C)解析:要想由y=f(x)的圖象得到y(tǒng)=-f(x+1)的圖象,需要先作

6、出y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圖象y=-f(x),然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=-f(x+1)的圖象,根據(jù)上述步驟可知C正確.故選C.2.作出下列函數(shù)的圖象:(1)y=(12)|x|;(2)y=|log2 (x+1)|;(3)y=2x-1x-1;(4)y=|x+1|(x-3).解:(1)先作出y=(12)x的圖象,保留y=(12)x圖象中x0的部分,再作出y=(12)x的圖象中x0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)部分,即得y=(12)|x|的圖象,如圖實(shí)線(xiàn)部分.(2)將函數(shù)y=log2x的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度,再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去,即可得到函數(shù)y=|log2 (x+1)|的圖象,如圖.

7、解:(3)因?yàn)閥=2x-1x-1=2+1x-1,故函數(shù)圖象可由y=1x的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度而得,如圖.解:(4)令f(x)=|x+1|(x-3),則f(x)=(x+1)(3-x),x-1,(x+1)(x-3),x-1,圖象如圖所示.作函數(shù)圖象的一般方法(1)直接法:當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是基本初等函數(shù)或函數(shù)圖象是解析幾何中熟悉的曲線(xiàn)(如圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的一部分)時(shí),就可根據(jù)這些函數(shù)或曲線(xiàn)的特征直接作出.(2)圖象變換法:若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱(chēng)得到,可利用圖象變換作出,但要注意變換順序,對(duì)不能直接找到基本函數(shù)的要先變形

8、,并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.(3)作函數(shù)圖象時(shí),若函數(shù)解析式不是最簡(jiǎn)形式,需先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,再作函數(shù)的圖象.函數(shù)圖象的識(shí)別知式選圖 (2021山西呂梁一模)函數(shù)f(x)=ln2+x2-xcos x的圖象大致為()解析:由函數(shù)f(x)=ln 2+x2-xcos x的解析式可知,2+x2-x0,解得-2x2,即函數(shù)的定義域?yàn)?-2,2),由于f(-x)=ln2-x2+xcos(-x)=-f(x),則f(x)為奇函數(shù),可排除B,D,又由f(1)=ln 3cos 10,若f(x)=ln|x-1x+1|,f(2)=ln|2-12+1|=ln130,若f(x)=ln|x+

9、1x-1|,f(-12)=ln|-12+1-12-1|=ln 130,則排除B.故選A.2.圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”,其身流線(xiàn)自若、紋理分明,展現(xiàn)了古代中國(guó)精湛的制造技術(shù).科研人員為了測(cè)量其容積,以恒定的流速向其內(nèi)注水,恰好用時(shí)30秒注滿(mǎn),設(shè)注水過(guò)程中,壺中水面高度為h,注水時(shí)間為t,則下列選項(xiàng)中最符合h關(guān)于t的函數(shù)圖象的是()解析:壺的結(jié)構(gòu):底端與上端細(xì)、中間粗,所以在注水速度恒定的情況下,開(kāi)始水的高度上升得快,中間上升得慢,最后水上升的速度又變快,結(jié)合圖象可知選項(xiàng)A符合.故選A.3.已知某個(gè)函數(shù)的部分圖象如圖所示,則這個(gè)函數(shù)的解析式可能是()A.y=xln x+x-1B.y=xln x

10、-x+1C.y=lnxx-x+1D.y=-lnxx+x-1解析:當(dāng)x=2時(shí),y=xln x+x-1=2ln 2+2-1=2ln 2+11,與圖象不對(duì)應(yīng),不滿(mǎn)足條件,故A不合適;y=ln22-2+1=ln 2-11,故D不合適.故選B.函數(shù)圖象的應(yīng)用利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì) 對(duì)于函數(shù)f(x)=x|x|+x+1,下列結(jié)論正確的是()A.f(x)為奇函數(shù)B.f(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)C.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng)D.f(x)在區(qū)間(0,+)上存在零點(diǎn)解析:f(x)=x|x|+x+1=x2+x+1,x0,-x2+x+1,x0,由題意可知,圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng),因此函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)

11、,在定義域內(nèi)函數(shù)f(x)為增函數(shù),函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,0)上存在零點(diǎn).故選C.對(duì)于已知解析式或易畫(huà)出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù),其性質(zhì)常借助圖象研究:(1)從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn),分析函數(shù)的最值、極值.(2)從圖象的對(duì)稱(chēng)性,分析函數(shù)的奇偶性.(3)從圖象的走向趨勢(shì),分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性.利用函數(shù)圖象求解不等式 已知y=f(x)是奇函數(shù),y=g(x)是偶函數(shù),它們的定義域均為-3,3,且它們?cè)趚0,3上的圖象如圖所示,則不等式f(x)g(x)0的解集是.解析:因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以由圖象知,當(dāng)0 x2或-3x0,當(dāng)-2x0或2x3時(shí),f(x)0.因?yàn)間(x)是偶函數(shù),所以由圖象可知,當(dāng)

12、1x3或-3x0,當(dāng)-1x0或0 x1時(shí),g(x)0,則不等式f(x)g(x)0,g(x)0或f(x)0,即0 x2或-3x-2,-1x0或0 x1或-2x0或2x3,1x3或-3x-1,得0 x1或2x3或-2x-1,即不等式的解集為x|0 x1或2x3或-2x-1.答案:x|0 x1或2x3或-2x-1利用函數(shù)圖象求解不等式的思路不等式f(x)g(x)的解集是函數(shù)f(x)的圖象位于g(x)圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.一般地,涉及奇偶函數(shù)或指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題,常用數(shù)形結(jié)合法求解.利用函數(shù)的圖象研究方程的根 已知f(x)=(x+1)|x-1|,若關(guān)于x

13、的方程f(x)=x+m有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.解析:因?yàn)閒(x)=(x+1)|x-1|=x2-1(x1),1-x2(x1),在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y=f(x),y=x+m的圖象如圖.當(dāng)直線(xiàn)與曲線(xiàn)f(x)=1-x2(x1)相切時(shí),聯(lián)立方程組得x2+x+m-1=0,=1-4(m-1)=5-4m=0,解得m=54,方程f(x)=x+m有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解就是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有三個(gè)交點(diǎn),由圖可知-1m54.答案:(-1,54)利用函數(shù)的圖象可解決某些方程和不等式的求解問(wèn)題,方程f(x)=g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).針對(duì)訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)=x|x|-2

14、x,則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)是偶函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+)B.f(x)是偶函數(shù),單調(diào)遞減區(qū)間是(-,1)C.f(x)是奇函數(shù),單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,1)D.f(x)是奇函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是(-,0)解析:將函數(shù)f(x)=x|x|-2x去掉絕對(duì)值得f(x)=x2-2x,x0,-x2-2x,x0,畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象,如圖,觀察圖象可知,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),故函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減.故選C.2.使log2 (-x)0時(shí),方程|x|=a-x只有一個(gè)解.答案:(0,+) 函數(shù)f(x)=ln|x+1|x+1|的部分圖象大致是()解析:設(shè)g(x)=

15、ln|x|x|,因?yàn)間(x)=g(-x),所以g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),所以f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-1對(duì)稱(chēng),排除C,D;當(dāng)-1x0時(shí),ln|x+1|0,所以f(x)e,則函數(shù)y=f(e-x)的大致圖象是()解析:令g(x)=f(e-x),則g(x)=ee-x,e-xe,ln(e-x),e-xe,即g(x)=ee-x,x0,ln(e-x),xln(e-0)=1,排除D.故選B. (2019全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿(mǎn)足f(x+1)= 2f(x),且當(dāng)x(0,1時(shí),f(x)=x(x-1).若對(duì)任意x(-,m,都有f(x)-89,則m的取值范圍是()A.(-,94B.(-,73C.(

16、-,52D.(-,83解析:因?yàn)楫?dāng)x(0,1時(shí),f(x)=x(x-1),所以當(dāng)x(0,1時(shí),f(x)-14,0.因?yàn)閒(x+1)=2f(x),所以當(dāng)x(-1,0時(shí),x+1(0,1,f(x)=12f(x+1)=12(x+1)x,f(x)-18,0;當(dāng)x(-2,-1時(shí),x+1(-1,0,f(x)=12f(x+1)=14f(x+2)=14(x+2) (x+1),f(x)-116,0;當(dāng)x(1,2時(shí),x-1(0,1,f(x)=2f(x-1) =2(x-1)(x-2),f(x)-12,0;當(dāng)x(2,3時(shí),x-1(1,2,f(x)= 2f(x-1)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),f(x)-1,0

17、;,所以f(x)的圖象如圖所示.若對(duì)任意x(-,m,都有f(x)-89,則有20.又因?yàn)閤+時(shí),f(x)0,所以2-m00m0時(shí),f(x)=(2-m)xx2+m=2-mx+mx,所以f(x)在(0,m)上單調(diào)遞增,在(m,+)上單調(diào)遞減,所以m1m1,綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,2).故選D. 已知圖中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=f(x),則在下列給出的四個(gè)選項(xiàng)中,圖中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)只可能是()A.y=f(|x|)B.y=|f(x)|C.y=f(-|x|)D.y=-f(|x|)解析:由圖知,圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù).對(duì)于A,當(dāng)x0時(shí),y=f(|x|)=f(x),其圖象在y軸右側(cè)與圖的

18、相同,不符合,故錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)x0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)是y=f(x),顯然B錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)x0時(shí),y=-f(-x),其圖象在y軸左側(cè)與圖的不相同,不符合,故錯(cuò)誤.故選C.知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練函數(shù)圖象的識(shí)別2,4,5,812函數(shù)圖象的理解、變換1,3,6,711,13函數(shù)圖象的應(yīng)用9,1014151.若函數(shù)f(x)=ax+b,x-1,ln(x+a),x-1的圖象如圖所示,則f(-3)等于(C)A.-12B.-54C.-1D.-2解析:由圖象可得a(-1)+b=3,ln(-1+a)=0,解得a=2,b=5,所以f(x)=2x+5,x0,且a1)的圖象可能是(B)解析:當(dāng)0a1時(shí)

19、,函數(shù)y=ax,y=logax為定義域上的增函數(shù),函數(shù)y=xa為定義域上的增函數(shù)且下凸,所以A,B,C,D項(xiàng)不符合.故選B.3.設(shè)x1,f(x)=x-1,g(x)=1-1x,h(x)=ln x,三個(gè)函數(shù)圖象如圖所示,則f(x),g(x),h(x)的圖象依次為圖中的(D)A.C1,C2,C3B.C2,C3,C1C.C3,C2,C1D.C1,C3,C2解析:f(x)=x-1,g(x)=1-1x,h(x)=ln x,且x1,當(dāng)x=5時(shí),f(5)= 5-1=2,g(5)=1-15=45,h(5)=ln 5ln e2=2,所以1h(5)2,0g(5)h(5)g(5),結(jié)合圖象可知,f(x),g(x),h

20、(x)的圖象依次為圖中的C1,C3,C2.故選D.4.(2021廣西桂林一模)函數(shù)f(x)=sinx2x+2-x(-x)的圖象可能為(D)解析:因?yàn)閒(-x)=sin(-x)2-x+2x=-f(x),故函數(shù)f(x)是奇函數(shù),排除選項(xiàng)A,B;取0 x0,排除選項(xiàng)C.故選D.5.(2021浙江溫州高三一模)函數(shù)f(x)=(x-a)2x-b(ab時(shí),f(x)0,所以只有A符合.故選A.6.(2021陜西省西安中學(xué)高三模擬)如圖所示是一個(gè)無(wú)水游泳池,ABCDABCD是一個(gè)四棱柱,游泳池是由一個(gè)長(zhǎng)方體切掉一個(gè)三棱柱得到的.現(xiàn)在向泳池注水,如果進(jìn)水速度是均勻的(單位時(shí)間內(nèi)注入的水量不變),水面與AB的交點(diǎn)

21、為M,則AM的高度h隨時(shí)間t變化的圖象可能是(A)解析:由題意可知,當(dāng)往游泳池內(nèi)注水時(shí),游泳池內(nèi)的水呈“直棱柱”狀,且直棱柱的高不變,剛開(kāi)始水面面積逐漸增大,水的高度增長(zhǎng)得越來(lái)越慢,當(dāng)水面經(jīng)過(guò)D點(diǎn)后,水面的面積為定值,水的高度勻速增長(zhǎng),故符合條件的函數(shù)圖象為A選項(xiàng)中的圖象.故選A.7.已知函數(shù)f(x)=4xx2+1,則函數(shù)y=-f(|x|)的部分圖象大致為(D)解析:根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=4xx2+1,則y=g(x)=-f(|x|)=-4|x|x2+1,有g(shù)(-x)=g(x),即函數(shù)y=-f(|x|)為偶函數(shù),且y0,排除A,B,C.故選D.8.(2021浙江卷)已知函數(shù)f(x)=x2+14

22、,g(x)=sin x,則圖象為如圖的函數(shù)可能是(D)A.y=f(x)+g(x)-14B.y=f(x)-g(x)-14C.y=f(x)g(x)D.y=g(x)f(x)解析:易知函數(shù)f(x)=x2+14是偶函數(shù),g(x)=sin x是奇函數(shù),給出的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù).選項(xiàng)A,y=f(x)+g(x)-14=x2+sin x為非奇非偶函數(shù),不符合題意,排除A;選項(xiàng)B,y=f(x)-g(x)-14=x2-sin x也為非奇非偶函數(shù),不符合題意,排除B;因?yàn)楫?dāng)x(0,+)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,且f(x)0,當(dāng)x(0,2)時(shí),g(x)單調(diào)遞增,且g(x)0,所以y=f(x)g(x)在(0,2)上單調(diào)遞

23、增,由圖象可知所求函數(shù)在(0,4)上不單調(diào),排除C.故選D.9.(2021青海西寧高三一模)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,1,圖象如圖1所示,函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?1,2,圖象如圖2所示.若集合A=x| f(g(x)=0,B=x|g(f(x)=0,則AB中有個(gè)元素.解析:若f(g(x)=0,則g(x)=0或-1或1,所以A=-1,0,1,2,若g(f(x)=0,則f(x)=0或2,所以B=-1,0,1,所以AB=-1,0,1.答案:310.已知函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間-3,3上的偶函數(shù),它在區(qū)間0,3上的圖象是如圖所示的一條線(xiàn)段,則不等式f(x)+f(-x)x的解集為.解析:由題意,函數(shù)f

24、(x)過(guò)點(diǎn)(0,2),(3,0),則y=f(x)=-23x+2,x0,3.又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),所以f(x)=f(-x),所以2f(x)x.又作出函數(shù)f(x)在-3,3上的圖象,如圖.當(dāng)x-3,0)時(shí),y=2f(x)的圖象恒在y=x的上方,當(dāng)x0,3時(shí),令2f(x)=x,得x=127,即當(dāng)x-3,127)時(shí),滿(mǎn)足2f(x)x,故f(x)+f(-x)x的解集為x|-3x127.答案:x|-3x0,排除D.故選B.12.函數(shù)y=2x2-e|x|在-2,2的圖象大致為(D)解析:設(shè)y=f(x)=2x2-e|x|,x-2,2是偶函數(shù),又f(2)=8-e2(0,1),排除A,B;設(shè)g(x)=2x2-ex,x0,則g(x)=4x-ex.又g(0)0,所以g(x)在(0,2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn),所以f(x)=2x2-e|x|在(0,2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn),排除C.故選D.13.已知定義在區(qū)間(0,2)上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則y= -f(2-x)的圖象為(B)解析:法一由定義在(0,2)