精品最全小學一年級奧數(shù)16個專題

1、-第一講速算與巧算一一、湊十法：同學們已經知道，下面的五組成對的數(shù)相加之和都等于 10：1+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10巧用這些結果，可以使計算又快又準。例 1 計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10解： 對于這道題，當然可以從左往右逐步相加：1+2=33+3=66+4=1010+5=1515+6=2121+7=2828+8=3636+9=45. z.-45+10=55這種逐步相加的方法，好處是可以得到每一步的結果，但缺點是麻煩、容易出錯； 而且一步出錯，以后步步都錯。假設是利用湊十法，就能抑制這種缺點。二、湊整法同學們還知道，有些數(shù)相加之和是整十、整百的數(shù)，

2、如：1+19=2011+9=302+18=2012+28=403+17=2013+37=504+16=2014+46=605+15=2015+55=706+14=2016+64=807+13=2017+73=908+12=2018+82=1009+11=20又如：15+85=10014+86=100. z. z.-25+75=10024+76=10035+65=10034+66=10045+55=10044+56=100 等等巧用這些結果，可以使那些較大的數(shù)相加又快又準。像10、20 、 30、40 、50、60、70 、 80 、90 、100 等等這些整十、整百的數(shù)就是湊整的目標。例 2

3、計算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解： 這是求 1 到 19 共 10 個單數(shù)之和，用湊整法做：例 3 計算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解： 這是求 2 到 20 共 10 個雙數(shù)之和，用湊整法做：例 4 計算2+13+25+44+18+37+56+75解： 用湊整法：三、用求未知-利用已經獲得較簡單的知識來解決面臨的更復雜的難題這是人們認識事物的一般 過程，湊十法、湊整法的實質就是這個道理，可見把這種認識規(guī)律用于計算方面，可 使計算更快更準。下面再舉兩個例子。例 5 計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17

4、+18+19+20解： 由例 2 和例 3 ，已經知道從 1 開場的前 10 個單數(shù)之和以及從 2 開場的前 10 個雙數(shù) 之和，巧用這些結果計算這道題就容易了。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 +2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=100+110 這步利用了例 2 和例 3 的結果=210例 6 計算 5+6+7+8+9+10解： 可以利用前 10 個自然數(shù)之和等于 55 這一結果。5+6+7+8+9+10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10-1+2+3

5、+4熟練后，此步驟可省略=55-10=45. z. z.-四、改變運算順序在只有加減運算的算式中，有時改變加、減的運算順序可使計算顯得十分巧妙！例 7 計算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1解： 這題如果從左到右按順序進展加減運算，是能夠得出正確結果的。但因為算式較 長，屢次加減又繁又慢且容易出錯。如果改變一下運算順序，先減后加，就使運算顯 得非常漂亮。下式括號中的算式表示先算，10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=10-9 +8-7 +6-5 +4-3 +2-1=1+1+1+1+1=5五、帶著+、 - 號搬家例 8 計算1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11解： 這題只有加

6、減運算，而且 1-2 不夠減。我們可以采用帶著加減號搬家的方法解決。 要注意每個數(shù)自己的符號就是這個數(shù)前面的那個+號或- 號，搬家時要帶著符號 一起搬。1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10=1+3-2 +5-4 +7-6 +9-8 +11-10 先減后加=1+1+1+1+1+1=6在這道題的運算中，把+3搬到-2的前面，把+5搬到了-4的前面， 把+11搬到了-10的前面，這就叫帶著符號搬家。巧妙利用這種搬法，可以使計 算簡便。習題一1計算： 13+14+15+16+17+252計算： 2+3+4+5+15+16+17+18+203計

7、算： 21+22+23+24+25+26+27+28+294計算： 5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+205計算： 22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-06計算： 10-20+30-40+50-60+70-80+907計算：2+4+6+8+10-1+3+5+7+98計算：2+4+6+ +20-1+3+5+ +19. z. z.-9計算：2+4+6+ +100-1+3+5+ +99習題一解答1 解： 見以下列圖：2 解： 見以下列圖：3 解： 見以下列圖：4 解：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17

8、+18+19+20=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20-(1+2+3+4)=210-10 利用例 5 的結果=2005 解：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0=22-20 +18-16 +14-12 +10-8 +6-4 +2-0=2+2+2+2+2+2=126 解：-10-20+30-40+50-60+70-80+90=10+30-20+50-40+70-60+90-80=10+30-20 +50-40 +70-60 +90-80=10+10+10+10+10=507 解：2+4+6+8+10-1+3

9、+5+7+9=2-1 +4-3 +6-5 +8-7 +10-9=1+1+1+1+1=58 解：2+4+6+ +20-1+3+5+ +19=109 解：2+4+6+ +100-1+3+5+ +99=50-第二講速算與巧算二例 1 哥哥和妹妹分糖。哥哥拿 1 塊，妹妹拿 2 塊；哥哥拿 3 塊，妹妹拿 4 塊；接著哥 哥拿 5 塊、 7 塊、 9 塊、 11 塊、 13 塊、 15 塊，妹妹拿 6 塊、 8 塊、 10 塊、 12 塊、 14 塊、 16 塊。你說誰拿得多，多幾塊.解： 方法 1：先算哥哥共拿了多少塊.再算妹妹共拿了多少塊.72-64=8 塊方法 2 ：這樣想：先算每次妹妹比哥哥多

10、拿幾塊，再算共多拿了多少塊。(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)=1+1+1+1+1+1+1+1=8 塊可以看出方法 2 要比方法 1 巧妙！平時注意積累，記住一些有趣的和重要的運算結果，非常有助于速算。比方，請 同學記住幾個自然數(shù)相加之和：1+2=31+2+3=61+2+3+4=10. z.-1+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55例 2 星期天，小明家來了

11、 9 名小客人。小明拿出一包糖，里面有 54 塊。小明說： 咱 們一共 10 個人， 每人都要分到糖， 但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多， 誰會分. 結果大 家都無法分，你能幫他們分好嗎.解： 按小明提的要求確實無法分。因為要使得每個人都得到糖，糖塊數(shù)人人不等，需要糖塊數(shù)最少的分法是：第一 人分到 1 塊，第二人分到 2 塊，第十人分到 10 塊。但是，這種分法共需要有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 塊而小明這包糖一共才 54 塊，所以按這種方法無法分。如果改變一下，有一人少得 1 塊糖，比方說，應該得 10 塊糖的小朋友只分到了 9 塊，但是這樣一來，他就和另一 個先分得 9 塊

12、糖的那個小朋友一樣多了， 這又不符合小明提出每人分到的糖塊數(shù)不能 一樣多的要求。. z.-注意： 按小明提的要求無法分就是此題的答案。在數(shù)學上無解也叫問題 的答案。例 3 時鐘 1 點鐘敲 1 下， 2 點鐘敲 2 下， 3 點鐘敲 3 下，照這樣敲下去，從1 點到 12 點，這 12 個小時時鐘共敲了幾下.解： 這是一道美國小學奧林匹克試題，要求在 3 分鐘就要得出答案。方法 1 ：湊十法方法 2：如果能記住從 1 到 10 前十個自然數(shù)之和是 55 ，計算會更快。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 +11+12=55+11+12=78 下習題二1三個小朋友分 5 塊糖。要求每人都分到

13、糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，你能 分嗎.2把 16 只小雞分別裝進 5 個籠子里，每個籠子里都要有雞，而且每個籠子里的雞 的只數(shù)也不能一樣，如何分裝.按同樣要求，把 15 只小雞裝進 5 個籠子能辦得到嗎.按同樣要求，把 14 只小雞分裝到 5 個籠子能辦得到嗎. z.-3把 100 塊糖分給 10 個小朋友。要求每人都分到單數(shù)塊糖，而且每人分到糖塊數(shù) 都不一樣，如何分.把 99 塊糖按同樣要求分給 10 個小朋友，你能分嗎.4從 1 到 20 這 20 個數(shù)中，所有的雙數(shù)之和與所有的單數(shù)之和的差是多少.5 小方家的鐘除了幾點鐘敲幾下外，每半點鐘也敲一下。比方說， 0 點半敲 1 下，

14、1點鐘敲 1 下， 1 點半敲 1 下， 2 點敲 2 下， 2 點半敲 1 下，照這樣敲下去，從夜里 0 點開場，計到白天中午 12 點鐘，在這 12 個小時之時鐘共敲了多少下.習題二解答1 答案是不能分。所需糖塊數(shù)最少的一種分法是： 第 1 個人分 1 塊， 第 2 個人分 2 塊， 第 3 個人分 3 塊，這樣三個人共需要有 1+2+3=6 塊，但總的糖塊數(shù)只有 5 塊，不夠分。如果第 3 個人也分得 2 塊， 這樣糖是夠分了， 但是這樣就有 2 個人分得糖塊數(shù)一樣多了， 又不 符合分糖的要求了。25 只籠子裝 16 只小雞的裝法是 1，2 ，3，4 ，6。1+2+3+4+6=16 只5

15、 只籠子裝 15 只小雞的裝法是 1，2 ，3，4， 5。1+2+3+4+5=15 只5 只籠子裝 14 只小雞，要求每籠都有雞，而且籠籠雞數(shù)不等，無法分裝。. z.-3記住 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100 立即可知 100 塊糖按要求分給 10 個人的 分法是：各人所得糖塊數(shù)分別為 1 ，3， 5 ，7 ，9， 11， 13， 15， 17， 19。99 塊糖按要求分給 10 個小朋友無法分。4 解： 方法 1：單數(shù)之和： 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100雙數(shù)之和： 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110差： 110-10

16、0=10方法 2：改變運算順序(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19)=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=105 解： 先記錄時鐘敲的整點數(shù)和半點數(shù)如下：列算式求和，并改變運算順序：1+1+1+2+1+3+1+4 十 1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+

17、1+1+1). z.-=78+12=90 下第三講數(shù)數(shù)與計數(shù)一例 1 請你數(shù)一數(shù)，以下列圖中共有多少個 解： 分層數(shù)先按實心三角形計算，再減去空白三角形中的個數(shù)1+3+5+7+9+11+13+15+17 -5+3+1例 2 以下列圖所示的塔由 4 層沒有縫隙的小立方塊壘成，求塔中共有多少小立方塊.從頂層開場數(shù)，各層小立方塊數(shù)是：第一層： 1 塊；第二層： 3 塊；第三層： 6 塊；第四層： 10 塊；總塊數(shù) 1+3+6+10=20 塊。從上往下數(shù)，第一層： 1 塊；. z. z.-第二層：第一層的 1 塊加第二層看得見的 2 塊等于第二層的塊數(shù)：1+2=3 塊；第三層：第二層的 3 塊加第三層

18、看得見的 3 塊等于第三層的塊數(shù)：3+3=6 塊；第四層：第三層的 6 塊加第四層看得見的 4 塊等于第四層的塊數(shù)：6+4=10 塊?？倝K數(shù) 1+3+6+10=20 塊例 3 右圖是由小立方體碼放起來的，其中有一些小立方體被壓住看不見。請你數(shù)一數(shù) 共有多少小立方體.解： 從右往左數(shù)，并且編號第一排： 1 塊；第二排： 7 塊；第三排： 5 塊；第四排： 9 塊；第五排： 16 塊；總數(shù)： 1+7+5+9+16=38 塊。-例 4 數(shù)一數(shù)下面的立體圖形的面數(shù)、棱數(shù)和頂點數(shù)各是多少.面數(shù)： 4棱數(shù)： 6頂點數(shù)： 4面數(shù)： 5棱數(shù)： 8頂點數(shù)： 5習題三1 請你數(shù)一數(shù)，以下列圖中共有多少 .2如以下

19、列圖所示，一單層磚墻下雨時塌了一處，請你數(shù)一數(shù)，需要多少塊磚才能把 墻補好.3 如右圖所示是一個由小立方體構成的塔，請你數(shù)一數(shù)并計算出共有多少塊。4如右圖所示是由小立方體構成的寶塔，請你數(shù)一數(shù)共多少塊.5右圖所示是由小立方體堆起來的，請你數(shù)一數(shù)，共有多少小立方體.6數(shù)一數(shù)，下面的立體圖形的面數(shù)、棱數(shù)和頂點數(shù)各是多少 .習題三解答. z. z.-1 解：方法 1：從最上邊的一行往下數(shù)方法 2：假設填滿整個長方形的圖形，應該共有： 208=160 個?？瞻兹切翁帒校?+4+6+8=20 個。空白長方形處應有 :54=20 個。實際上的總數(shù)是：160-20-20=120 個。2 解： 從下往上數(shù)

20、，墻洞所缺少的磚塊數(shù)是：1+2+2+1+2+2=10 塊。3 解： 從上往下數(shù)，注意：不要漏掉那些看不見的小立方體。第一層： 1 塊； 第二層： 4 塊；第三層： 9 塊； 第四層： 16 塊；總數(shù)： 1+4+9+16=30 塊。4 解： 從上往下數(shù). z.-第一層： 1 塊； 第二層： 9 塊；第三層： 25 塊；總數(shù)： 1+9+25=35 塊。5 解： 由前往后數(shù)，并進展編號第一排： 5 塊；第二排： 6 塊；第三排： 8 塊；總數(shù)： 5+6+8=19 塊。6 解： 圖1是六棱柱；面數(shù) 8，棱數(shù) 18，頂點數(shù) 12。圖2是由兩個四面體組成；面數(shù) 6，棱數(shù) 9，頂點數(shù) 5。圖3是五棱柱；面數(shù)

21、 7，棱數(shù) 15，頂點數(shù) 10。圖4是由兩個四棱錐和一個四棱柱組成；面數(shù) 12，棱數(shù) 20，頂點數(shù) 10。第四講數(shù)數(shù)與計數(shù)二-數(shù)數(shù)與計數(shù)時，注意不應漏掉，不應重復。如果漏掉了，要加上；如果重復了， 要減掉。例 1 小朋友排隊，小紅前面 4 個人，后面 3 個人，問這隊共有幾個人.解：這隊的總人數(shù)要數(shù)上小紅，所以是 4+3+1=8 人。例 2 排好隊，來報數(shù)，正著報數(shù)我報七，倒著報數(shù)我報九，一共多少小朋友.解： 見以下列圖正著報數(shù)我報了一次，倒著報數(shù)我又報了一次，所以把兩次報數(shù)加起來時， 我被加了兩次。因此算這隊的總人數(shù)時，應從兩次報數(shù)之和減 1。7+9-1=15 人。也可以這樣想：正著報數(shù)報到

22、我為止，倒著報數(shù)時，我就不報了，只報到我的后 面相鄰的那個人他應該報 8，所以全隊總人數(shù)是：7+9-1 =15 人。. z.-例 3 少先隊員排成隊去參觀科技館。 從排頭數(shù)起平是第 20 個； 從排尾數(shù)起， 英是第 23 個。平的前一個是英。問這隊少先隊員共有多少人.解： 畫示意圖，用點代表少先隊員。由圖可見，從排頭數(shù)起時，把英和平數(shù)了一次。由排尾數(shù)起時，又把平和英數(shù)了 一次，可見把他兩人多數(shù)了一次，所以點總人數(shù)時，應減去多數(shù)的那一次才對。20+23-2=41 人。例 4 45 個小朋友排成一隊去春游。從排頭往后數(shù)，小剛是第19 個；從排尾往前數(shù)，小 莉是第 12 個，問小剛和小莉中間有幾個人

23、.解： 畫示意圖。用點 代表人由圖可見，小剛和小莉中間的人數(shù)是：45-19+12 =14 人。例 5 一班同學做花，做紅花的有 38 人，做黃花的有 39 人，沒有做花的有 3 人。如果 全班 55 人，則既做紅花又做黃花的有多少人.解： 畫圖如下：由圖可見，做花的人： 55-3=52 人。圖中陰影局部表示兩色花都做的人：38+39-52=25 人。. z.-習題四1學生排成一隊，在小進的前面有 6 人，后面有 8 人，問這隊共有多少人.212 輛汽車組成一列車隊向前行進。 從前面數(shù)起，紅色的小轎車是第 7 輛。問從后面 數(shù)它是第幾輛.3游泳池里男生都戴藍帽，女生都戴紅帽。池中一個男生小強邊看

24、邊數(shù)，他看見藍帽4 個，紅帽 5 個。問池中男女生共多少人.4 說稀奇、道稀奇，鴨子隊里有只雞。正著數(shù)它第六，倒著數(shù)它第七。請你幫助算一算，小鴨一共有幾只.5一個小組的小學生共有 5 人，他們都做了語文作業(yè)或數(shù)學作業(yè)。又知做完語文作業(yè) 的有 3 人，做完數(shù)學作業(yè)的有 4 人。問語文和數(shù)學作業(yè)都做完的有幾人.6在 100 名學生中統(tǒng)計，有 65 人會騎自行車，有 73 人會游泳，有 10 人既不會騎自 行車又不會游泳。問既會騎自行車又會游泳的人有多少.7*班有學生 45 人，訂閱中國少年報的有 29 人，訂閱小朋友的有 28 人，其中兩 種都訂閱的有 16 人，問兩種刊物都沒有訂閱的人有多少.習

25、題四解答1 解由圖可知：總人數(shù)是6+8+1=15 人。. z.-2 解： 方法 1 ：數(shù)一數(shù)；先畫示意圖如下，用代表紅色小轎車，用代表其他車。從后面往前數(shù)一數(shù)，紅色小轎車是第 6 輛。方法 2：算一算；這隊車共有 12 輛，從前面往后數(shù)，紅色小轎車是第 7 輛，所以 紅色小轎車前面有 7-1=6 輛車，因此從后面往前數(shù)，紅色小轎車是第 12-6=6 輛。3 解： 畫示意圖如下：因為男生小強邊看邊數(shù)時，沒有看見自己的藍帽，他把自己漏數(shù)了。所以算總人 數(shù)時，要把他加上，即4+5+1=10 人。4 解： 畫示意圖，用代表小鴨，用代表小雞。由圖可見，正數(shù)算上了小雞，倒數(shù)也算上了小雞。這樣兩數(shù)之和 6+

26、7=13 中，把 小雞計算了兩次。所以求小鴨的數(shù)目時就要減去兩個小雞。6+7-2=11 只。5 解： 畫示意圖如下：兩種作業(yè)都做完的人既算在了做完語文作業(yè)的 3 人中，又算在了做完數(shù)學作業(yè)的 4 人中，因此這局部人被多算了一次，如圖中陰影局部所示所以兩種作業(yè)都做完 的人數(shù)是：3+4-5=2 人。. z.-6 解： 畫圖如下：由圖可知：會騎車或是會游泳的總人數(shù)是100-10=90 人。兩種都會的人數(shù)是 65+73-90=48 人。圖中陰影局部所示7 解： 畫示意圖如下：因為至少訂 1 份刊物的人：28+29-16=41 人。兩種刊物都沒有訂的人：45-41=4 人。第五講數(shù)數(shù)與計數(shù)三例 1小朋友

27、，開手，五個手指人人有。手指之間幾個空，請你仔細瞅一瞅. z. z.-注 瞅一瞅就是看一看的意思。解： 見右圖看一看、數(shù)一數(shù)可知： 5 個手指間有 4 個空。 空又叫間隔，也就 是，人的一只手有 5 個手指 4 個間隔。例 2 小朋友在一段馬路的一邊種樹。 每隔 1 米種一棵， 共種了 11 棵， 問這段馬路有多 長.解： 畫示意圖如下：由圖可見，這段馬路的 11 棵樹之間有 10 個空，也就是 10 個間隔。每個間隔 長 1 米， 10 個間隔長 10 米。也就是說這段馬路長 10 米。像這類問題一般叫做植樹問 題。可以得出一個公式：當兩頭都種樹時：例 3 把一根粗細一樣的木頭鋸成 5 段，

28、需要 4 分鐘。如果把這根木頭鋸成 10 段，需要幾分鐘.如果把這根木頭鋸成 100 段，需要幾分鐘.解： 畫出示意圖：由圖可見，把木頭鋸成 5 段，只需鋸 4 次。所以鋸一次需 1 分鐘。同樣道理，把這根木頭鋸成 10 段，只需鋸 9 次，所以需 9 分鐘。同理，把這根木頭鋸成 100 段，只需鋸 99 次，所以需 99 分鐘。-例 4 鼓樓的鐘打點報時， 5 點鐘打 5 下需要 4 秒鐘。問中午 12 點時打 12 下需要幾秒 鐘.解： 畫示意圖。鐘打一下用一個點代表，打 5 下畫 5 個點。由圖可見，鐘打 5 下中間有 4 個時間間隔， 4 個間隔是 4 秒鐘，每個間隔就是 1 秒鐘。由

29、此推理鐘打 12 下時有 12-1=11 個時間間隔，故用 11 秒鐘。習題五1一隊男生 8 人。教師要求在 2 名男生中間插進 1 名女生，問可插進多少女生.2小冬用 12 紙訂成一個本子。從頭數(shù)起，每隔 3 紙夾進一片樹葉，問這個本子共放 進多少片樹葉.3在一條 20 米長的小路兩旁種小松樹，如果每隔 5 米種一棵，而且兩頭都種樹，問 這段小路上共種多少棵.4一根鋼管長 6 米，每分鐘鋸下 1 米，幾分鐘鋸完.5一根木頭鋸成 4 段，要付鋸工費 1 元。如果要把這根木頭鋸成 13 段，要付鋸工費 多少元.6小明與爸爸一同上樓。小明上得快、爸爸上得慢，小明上2 層，爸爸上 1 層。問小 明上

30、到五樓時，爸爸上到幾樓.7沿著跑道插著 11 面旗，旗與旗離得一樣遠，第一面旗插在起點。運發(fā)動從起點起 跑經過 6 秒鐘到達第 6 面旗，問運發(fā)動到達第 11 面旗時，需要跑 11 秒鐘嗎. z.-8三點鐘時，掛鐘打響三下，用了 12 秒。到六點鐘時，掛鐘打響六下，要用幾秒鐘.習題五解答1 解：方法 1：按教師要求，在 2 名男生中間插進 1 名女生后，寫出隊伍的排外情況是：男女男女男女男女男女男女男女男數(shù)一數(shù)，可知插進的女生共 7 人。方法 2：也可以這樣想：這道題中，把男生看成樹，把女生看成間隔，就能 按植樹問題的公式解這道題。因為兩頭都是男生，就像兩頭都有樹一樣，女生數(shù)應等 于男生數(shù)減

31、1，即 8-1=7 人。2 解： 畫示意圖如下：可以這樣想： 把每 3 紙粘在一起成為一厚紙， 12 紙共粘成 4 厚紙。 按題目要求， 相當于每兩厚紙之間放入一片樹葉，可知共放入 3 片樹葉。3 解： 畫示意圖如下：只畫一旁種樹情況由圖可見，每 5 米為一段， 20 米長的路可分為 4 段，由于路兩端都要種樹，所以 種的棵樹等于段數(shù)加 1，即一旁種樹 4+1=5 棵，兩旁共種 5+5=10 棵。4 解： 畫示意圖如下：. z.-由圖可見，把 6 米長的鋼管鋸成 1 米長的 6 段，只需鋸 6-1=5 次，題中說，每 分鐘鋸下 1 米，就是說鋸 1 次需要 1 分鐘，所以鋸 5 次需 5 分鐘

32、即 5 分鐘把鋼管鋸完。5解： 把一根木頭鋸成 4 段只需鋸 4-1=3 次，按題意付鋸工費 1 元。當把這根木頭鋸 成 13 段時只需鋸 13-1=12 次，每鋸 3 次付費 1 元，鋸 12 次應付鋸工費 4 元。6解： 見右圖當小明跑五樓時，實際上跑過了 4 層樓梯，所以爸爸此時只走過了 2 層 樓梯，即走到了三樓。7 解： 畫出示意圖：在起點插著第一面旗，但在起點運發(fā)動起跑時，時間是從 0 秒開場計時的。運發(fā) 動跑到第六面旗時，實際上是跑了 5 段間隔，這時他用了 6 秒鐘的時間；當他跑到第 11 面旗時，實際上又跑了 5 段間隔，所以又用了 6 秒鐘，總起來共用了 12 秒鐘，而不

33、是 11 秒鐘。8解： 當 當 當鐘打響了三下， 三響之間的間隔是兩次， 兩個時間間隔用 12 秒， 一個時間間隔就是 122=6 秒。如果鐘打六下，六響之間的間隔是 5 次，因而鐘 打六下要 6 5=30 秒。第六講數(shù)數(shù)與計數(shù)四本講采用枚舉法解決數(shù)數(shù)與計數(shù)的問題。比方老奶奶數(shù)雞蛋，她小心翼翼地把雞 蛋從藍子里一個一個地往外拿，邊拿邊數(shù)?；@子里的雞蛋拿光了，有多少個雞蛋也就 數(shù)出來了。. z. z.-這種最簡單的數(shù)數(shù)與計數(shù)的方法就叫做枚舉法。例 1 用分別寫有數(shù)字 1 和 2 的兩紙片，能夠排出多少個不同的二位數(shù).解： 用 代表這兩紙片。把所有可能的排法枚舉出來，可知能排出兩個二位數(shù)來。它們是

34、：例 2 用分別寫有數(shù)字 0， 1，2 的三紙片 能排出多少個不同的二位數(shù).解： 因為0不能作為首位數(shù)字，所以只能排出 4 個二位數(shù)，它們是：1 作十位數(shù)字， 0 或 2 作個位數(shù)字：2 作十位數(shù)字， 0 或 1 作個位數(shù)字：例 3 用分別寫有數(shù)字 1，2 ，3 的三紙片 能排出多少不同的三位數(shù).解： 用枚舉法，即把所有可能排出的每一個三位數(shù)都寫出來。再數(shù)一數(shù)共有多少個。共 6 個不同的三位數(shù)。例 4 小明左邊抽屜里放有三數(shù)字卡片 右邊抽屜里也放有三卡片 。如果他每次從左右兩邊抽屜里任意各拿一出來，組成一個二位數(shù)，在紙上記下來之后，再把卡片 放回各自原來的抽屜里。然后再拿、再組數(shù)、再記、再放回

35、這樣一直做下去，問 他一共可能組成多少個不同的二位數(shù).解： 不妨假設小明先從左邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在十位；再從右邊抽屜拿， 把拿出的數(shù)字卡片排在個位。下面是記下來的所有不同的二位數(shù)： 11， 12， 13，21 ， 22，23 ，31 ，32 ，33。共 9 個不同的二位數(shù)。-例 5 有一群人，假設規(guī)定每兩個人都握一次手而且只握一次手，求他們共握多少次手. 假設這群人是：兩個人，三個人，四個人解： 畫圖。用點 代表人。如果兩人握一次手就在兩個點之間連一條線。則，點和 點之間連線的條數(shù)就代表握手的次數(shù)。見以下的圖。兩個人：兩點之間只能連一條線，表示兩個人共握 1 次手。三個人：三點之間有

36、三條連線，表示三個人共握 3 次手。四個人：四點之間有六條連線，表示四個人共握 6 次手。例 6 鐵路上的火車票價是根據(jù)兩站距離的遠近而定的，距離愈遠，票價愈高。如果一 段鐵路上共有五個車站，每兩站間的距離都不相等，問這段鐵路上的火車票價共有多 少種.解：如下列圖，用一條線段表示這段鐵路，用線段上的五個點代表五個車站，各點間 距離不同表示各車站間距離不同，因而票價不同。. z.-由圖可見，各段長度不同的線段就表示各種不同的票價。數(shù)一數(shù)，票價種數(shù)是： 4+3+2+1=10 種。例 7 小明到小華家有甲、乙兩條路，小華到小英家有 a，b ，c 三條路如以下列圖所 示。小明經過小華家去找小英，他想每

37、次都不走完全重復的路線，問有多少種不同 的走法.解：共有 6 種不同的走法，見以下列圖。習題六1用三數(shù)字卡片 ，可以排出多少個不同的三位數(shù). 其中最大的比最小的大多少.2有四數(shù)字卡片 從中抽出三組成三位數(shù)， 問這些卡片可能組成多少個不同的三位數(shù).3用兩套數(shù)字卡片 可組成多少個不同的二位數(shù).4在一次小學數(shù)學競賽的領獎臺上有五名同學上臺領獎， 他們每兩個人都互相握了一 次手。問他們共握了多少次手.5全區(qū)六所小學舉行小足球賽，每個學校派出一個代表隊，要求規(guī)定每兩個校隊之間 都要賽一場，問一共要賽多少場.6右圖是小英家和學校之間的街道圖。 問小英去上學時， 共有多少種不同的走法.不 準成心繞遠走. z

38、. z.-7如右圖所示，一只螞蟻從一個正方體的 A 點沿著棱爬向 B 點，如不成心繞遠，一 共有幾種不同的走法.習題六解答1解： 注意， 0 不能當作首位數(shù)字。 所能排出的三位數(shù)字共有 4 個。 它們是： 407，470， 704 ，740。最大的數(shù)是 740，最小的數(shù)是 407。最大的數(shù)比最小的數(shù)大 740-407=333。2 解： 注意 0 不能當作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共 18 個。102， 104， 120， 124， 140， 142；201，204，210，214，240，241；401，402，410，412，420，421。3 解： 共組成 25 個不同的二位數(shù)。11，

39、12， 13， 14， 15；21，22，23，24，25；31 ，32 ，33 ，34 ，35；41，42，43，44，45；-51， 52， 53， 54， 55。4解： 畫圖。用點代表人，用兩點之間的連線代表兩個人的一次握手。按這種規(guī)定連 線的總條數(shù)就是握手的總次數(shù)。數(shù)一數(shù)，共有 10 條連線，所以共握手 10 次。5 解： 共賽 15 場。見以下列圖。方法 1 ：如右圖所示這樣數(shù)：一小和二小、三小、四小、五小、六小共賽 5 場；二小再和三小、四小、五小、六小共賽 4 場；二小不能再和一小賽，因為它們已經比賽過了，下同三小再和四小、五小、六小共賽 3 場；四小再和五小、六小共賽 2 場；

40、五小再和六小共賽 1 場。比賽場次總數(shù)： 5+4+3+2+1=15 場。方法 2：每個學校都要和其他的五個學校各賽一場，共 5 場。因而六個學校所賽的 場次是 56=30 場。但是這樣計算還有個問題，比方說一小和二小賽了一場，這一場 比賽被兩個學校都計算在了自己所賽的場次里，因而被計了兩次。所以總場數(shù)也就多 計了一倍。也就是說，六個學校實際賽的總場次數(shù)是 302=15 場。6 解： 小英由家到學校共有 6 種走法，見以下列圖粗黑線所示。. z.-7 解： 螞蟻沿著棱由 A 點爬到 B 點有 6 種不同的走法，見以下列圖粗黑線所示。第七講填圖與拆數(shù)一例 1 如右圖，把 3 、4、6 、7 四個數(shù)

41、填在四個空格里，使橫行、豎行三個數(shù)相加都得 14。怎樣填.解： 先看豎行，最上格中已有個 5。要使 5+=14，括號里的數(shù)就要填 9。把 9 拆成 兩個數(shù)： 9=3+6，因為 3 和 6 是題中給出的數(shù)分別填在豎行的兩個空格里。但進 一步想，應該把哪一個填在中間空格里呢.這就需要看橫行。橫行兩頭的空格應填剩下 的兩個數(shù) 4 和 7，因為 4 和 7 相加和為 11，而 11+3=14，可見中間空格應填 3。例 2 如下列圖。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上三個數(shù)相加之和都等于 12。解： 見以下列圖1、2、3。把 12 分拆成三個不同的數(shù)相加之和，得七種 分拆方式：12=9+2+112=8+

42、3+112=7+4+112=7+3+212=6+5+112=6+4+212=5+4+3. z.-從各式中選擇有一個一樣加數(shù)的兩個式子。 12=1+5+6 和 12=1+4+7 兩式， 將一樣 的加數(shù) 1 填在中間圓圈里，不同的加數(shù)分別填在橫行和豎行的其他圓圈里。答案有很 多種不同的填法，這里只填了三種，同學們還可以自己選擇另外的填法。例 3 如右圖所示。把 1、2 、3 、4 、5 五個數(shù)填入五個圓圈里，要求分別滿足以下條件：1使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于 8；2使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于 9；3使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于 10。解： 見以下列圖1、2、31將 8 分拆成

43、三個數(shù)之和注意，這三個數(shù)要從 1 、2 、3 、4 、 5 中選取8=1+2+58=1+3+4因為中間圓圈里的數(shù)是要公用的，所以應把1填在中間圓圈里其他四個數(shù)填在 邊上；2解法思路與1一樣，分拆方式如下：9=1+3+59=2+3+43解法思路與1一樣10=1+4+510=2+3+5。習題七. z.-1如右圖所示。在正方形的空格里填上適當?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的三個數(shù) 相加得數(shù)都是 18。2如右圖所示。在正方形空格里填上適當?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的四個數(shù)相 加都得 34。3如右圖所示。把適當?shù)臄?shù)填到三角形的空圈里，使每條直線上3 個圈中的數(shù)相加都 是 10。4如下列圖。從 2 、3、

44、4 、5 、6 中選取適當?shù)臄?shù)填入小圓圈，使同一個大圓上的小圓 圈中的四個數(shù)的和都等于 15，都等于 16。5如右圖所示，圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個數(shù)相加之和都等于 10。6如下列圖。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個數(shù)相加之和都是 15。7如下頁圖所示。把 1、2 、3 、4 、5 、6 、7、 8 、9 分為三組，填到三個小三角形的各個角上的圓圈里，使每個小三角形的三個角的圓圈里的數(shù)之和都是 15。同時使大三角 形三個角的圓圈里的數(shù)之和也是 15。習題七解答1 在圖中，用較大的黑體字表示方格中原有的數(shù)，如 10 、6 、7 三個數(shù)。仔細觀察可知，可以 先在第二橫行右邊空格

45、里填 2，因為要使橫行三個空格里的數(shù)之和是 18，已有的兩 個數(shù)之和是 10+6=16就需要在這個空格中填上 18-16=2 。 當然，也可以先填左下角空. z.-格的那個數(shù)，因為它所在的斜行中已有兩個數(shù) 7 和 6，而 7+6=13，所以應在這個空格 里填 18-13=5 。接著用同樣的思考方法就可以填出其他空格里的數(shù)了。2 見圖。解法思路與第 1 題一樣。因為要求每行的四個數(shù)之和是 34，而第三橫行已有的三 個數(shù)之和為 9+7+12=28，所以此行空格中可填 6。也可先填圖中另一斜行，因這斜行 中已有的三個數(shù)之和是 13+10+7=30，所以， 這斜行的空格， 也就是圖的左下角的空格 中應

46、填 4 。接著，用同樣的思考方法填出其余所有空格。3 見圖。解法與第 1 題一樣。 因為三角形的一邊已有兩個數(shù) 3 和 2，其和為 3+2=5，要使這 邊的三數(shù)之和是 10，可知這邊的右下角圓圈中應填 10-5=5。其余兩圓圈中的數(shù)可按同 樣方法填出。4 見圖。和是 15：因為大圓上有兩個小圓圈中已有了 1 和 7，它們的和是 1+7=8，所以同一 個大圓上另外的兩個小圓圈中應填的兩個數(shù)之和應是 15-8=7，將 7 分拆成兩個數(shù)有兩 種分拆方式：將 2 和 5 填入一個大圓上的兩個空圈中，將 3 和 4 填入另一個大圓上的兩個空圈 中。見右圖。和是 16，解法思路和一樣。因為1+7=8，16

47、-8=8. z.-將 8 分拆成兩個數(shù)，有兩種分拆方式：將 2 和 6 、3 和 5 分別填入大圓上的空圈中。5解： 見以下列圖14把 10 分拆成三個不同的數(shù)的和，共有 4 種分拆方式：10=1+2+7=1+3+6=1+4+510=2+3+5選擇有一個共同加數(shù)的兩個式子，把共同的加數(shù)填在中間的圓圈里，其他四個加 數(shù)分別填在兩頭的圓圈里就構成一種填法。此題有 6 種符合題目要求的填法，這里只 舉其中 4 種填法，還有 2 種填法你能找出來嗎.6 解見以下列圖。把 15 分拆成三個不同的數(shù)相加之和，共有 12 種分拆方式：15=1+2+1215=1+3+1115=1+4+1015=1+5+915

48、=1+6+815=2+3+1015=2+4+915=2+5+815=2+6+715=3+4+815=3+5+715=4+5+6因為題目中已有 2 、3 、8 三個數(shù)填在 3 個圓圈里，觀察上面各式，既用到 2 、3 、8 這三個數(shù)，又要有另一個數(shù)是共同的，這樣的式子有如下三個： 15=1+2+12，15=1+3+11，. z.-15=1+6+8，將三式中共用的加數(shù)1寫在中間圓圈里，再在其他三個圓圈里填上適當 的數(shù)。7 解： 見下面兩圖，將 15 分拆，采取兩步分拆法如下：適中選取四組數(shù)，填入四個三角形中3 個小三角形與 1 個大三角形，可以得 到一些不同的填法。選法的竅門是：先任選一組數(shù)如3

49、、5、7，將它們分別填在大三角 形的三個角頂圓圈中，再找分別包含 3 、5 、7 的三組數(shù)填在小三角形中，它們是 3，8， 4； 5 ，9， 1 ；7 ，6，2 。如上圖所示。第八講填圖與拆數(shù)二本講主要介紹在填圖與拆數(shù)中找關鍵數(shù)的思考方法。例 1 如右圖所示。把三個 1、三個 2、三個 3 分別填在九個格，使橫行、豎行、斜行三 個數(shù)加起來的和都等于 6。解： 找關鍵數(shù)先填。因為中間格的數(shù)和橫行、豎行、斜行都有關，所以它是關鍵數(shù)， 確定了它，其他各格就容易填了。1嘗試法：假設中間填1，再填其他格，如右圖。結果有一條斜線上的數(shù)都 是 1，其和為 3 ，不合題目要求。假設中間格填3， 再填其他格，

50、如右圖結果有一條斜行上的數(shù)都是 3，其和為 9， 不合題目要求。. z.-假設中間格填2，再填其他格，經檢查，符合題目要求，如圖。2分析法：顯然在每一橫行、豎行和斜行只能填一個1或一個3。因為假 設填兩個 1 后，即使再填一個最大的 3，這一行的這三個數(shù)之和才是 5，小于 6，不符 合題目要求；同樣，假設填兩個 3 后，即使再填一個最小的數(shù) 1，這一行的三個數(shù)之 和就是 7，大于 6 ，也不符合題目要求。如果在一行里填入兩個2， 即使在此行里再填一個 2，這一行的三個數(shù)之和也可 等于 6 ，符合題要求。由此得出，中間方格必須填2。中間方格填好之后其他各格中的數(shù)也就容易填 出了。例 2 如圖。把

51、 1 、2 、3、4 、 5 填入右圖的圓圈中，使每條斜線上的三個數(shù)相加之和都 是 8。解： 中間圓圈里的數(shù)是個關鍵數(shù)，應該首先確定它。如何確定它呢. 這樣想：假設我們 已經按題目要求把 1 、2 、3 、4 、 5 填入了五個圓圈中，這樣每條斜線上的三個數(shù)相加 都得 8。則當我們把兩條斜線上的數(shù)都加起來，它們的和應為 8+8=16，但是五個圓圈中所填數(shù)之和應為1+2+3+4+5=15，兩個和數(shù)之差是 1，即： 16-15=1。這個差是如何產生的呢.這是因為把兩條斜線上的和數(shù)相加時，中間圓圈中的數(shù)被 加了兩次，即多加了一次。把一個數(shù)多加了一次和就多了 1，可見此數(shù)是 1。. z.-然后，再求每

52、條斜線兩端的數(shù)?？汕蟪鰞蓴?shù)之和應為 8-1=7 把 7 分拆成兩個數(shù)， 有兩種分拆方式：把 2 和 5 填入一條斜線兩端的圓圈中。把 3 和 4 填入另一條斜線兩端的圓圈中。例 3 如下列圖。把 1 、2 、3 、4 、 5 、6 、7 七個數(shù)填在右圖中的七個圓圈里，每個數(shù)只 能用一次，使每條線上的三個數(shù)相加之和都等于 12。解： 見圖。中間圓圈里的數(shù)是關鍵數(shù)，應該如何確定它呢.與例 2 的想法類似。假設已經按題目要求把數(shù)全部填入了圓圈，則每條線上的三 個圓圈中的數(shù)相加應該都得 12。我們如果進一步把三條直線上的數(shù)都加起來，得數(shù)應 為： 12+12+12=36。不難看出，這樣就把中間圓圈里那個

53、數(shù)加了三次。因而它比七個圓圈中的數(shù)相加 之和： 1+2+3+4+5+6+7=28多了 36-28=8也就是 8 應是中間圓圈里的數(shù)的 2 倍所以中間圓圈里的數(shù)應是 8 的一半，即 82=4下面再確定每條線上另外的兩個圓圈里的數(shù)，方法如下： 12-4=8例 4 如下列圖。把 1 、2 、3 、4 、 5 、6 六個數(shù)分別填入右圖的圓. z.-圈里，使三角形每條邊上三個數(shù)之和都等于 9。解： 見圖。三個角上圓圈里的數(shù)是關鍵數(shù)，因為它們中的每個都是兩條邊上共有的數(shù)。先確 定關鍵數(shù)。這樣想：六個數(shù)之和是 1+2+3+4+5+6=21 每條邊上三個數(shù)之和是 9 ， 9+9+9=27 這樣算每個角上圓圈里

54、的數(shù)都被加了兩次， 因此角上三個圓圈中的數(shù)之和是27-21=6把 6 分拆成三個數(shù)之和： 6=1+2+3；把 1 、2 、3 分別填入三個角上的圓圈里，其余的圓圈里的數(shù)就容易填了。習題八1見圖。把 2 、3 、4 、 5 、6 、7 、 8 、9 、10 、11 填入右圖空白圓圈，使每個大圓上四個小圓圈的數(shù)的和都是 29。你能填嗎 .2見圖。把 2 、3、4 、6 、7 、10 、 11 分別填入大圓上的小圓圈，使每個圓上四個小圓 圈中的數(shù)字和都是 24。你能填嗎 .3見圖。把2 、3、4 、5、6 填入右圖的五個方格里，使橫行、豎行的三個數(shù)之和等于：11、12、13。4見圖。把 5 、6 、

55、7 、8 、9 、 10 六個數(shù)分別填入右圖中的六個圓圈里，使三角形每條邊上的三個數(shù)之和都等于 21。. z.-5見圖。把 1 、2 、3 、4 、 5 、6 、7 、 8 、9 、10 這十個數(shù)分別填入圓圈里，使每個正方 形的四個數(shù)相加之和都等于 24。6見圖。把 1 、2 、3 、4 、5 、6 、7 填入右圖圓圈中，使橫行、豎行、斜行三個圓圈中 的數(shù)相加之和都等于 12。7見圖。把 11 、12 、13 、14 、15 、16 、17 七個數(shù)填入右圖的圓圈中，使橫行、豎行的 圓圈中的每三個數(shù)之和都是 42。8見圖。把 1 、2 、3 、4 、 5 、6 、7 、 8 、9 、10、11

56、這十一個數(shù)，分別填入圖中空格， 使相鄰的兩個或三個空格的和等于14、15。9把 1 、2 、3、4 、5、6 、7 、8 、9 各數(shù)分別填入七一圖形中的九個空格，使每一橫 行、豎行的四個、三個或兩個空格中的數(shù)相加之和都等于 13。見以下列圖10見以下列圖。把 1 、2 、3 、4 、 5 、6 、7 各數(shù)填入十一圖形中的七個空格里，使 每一橫行、豎行的三個或兩個空格中的數(shù)相加之和都是 10。習題八解答1 解： 見圖。找關鍵數(shù)先填。三個大圓相交處的小圓圈中的數(shù)是關鍵數(shù)。仔細觀察。 圖中一個大圓上已有 9 和 7 兩個數(shù)，所以這個大圓上 A，B 兩個小圓圈如圖示所填的兩數(shù)之和應為 29-9+7=1

57、3。把 13 分拆成兩數(shù)之和注意要選用題中已給的數(shù). z.-只有 11+2 和 8+5 兩種分拆方式可供選用； 經試驗可知 8 和 5 這組數(shù)不合用， 只能 選用 11 和 2 這組數(shù)。最后可確定將 11 填入三個大圓相交處的 A 圈中。接著可較容易 地填上其他數(shù)了。2解： 見圖。由中間的大圓圈上的三個數(shù) 1，5，8，可求出這個大圓上的最后一個數(shù)： 24-1+5+8=10，這樣還剩下 2 、3 、4、6 、7 、11 六個數(shù)未被選用。應把它們分別填 入六個小圓圈。仔細觀察可知：另外的兩個大圓相交處的小圓圈B 圈中的數(shù)是關鍵數(shù)。而且有一個大圓上已 經給出了數(shù) 9，所以該大圓上其余三個小圓圈所填數(shù)

58、之和應為 24-9=15。因而將 15 分 拆成三個數(shù)之和注意必須選用題中所給的數(shù)15=7+6+2經嘗試 B 圈中只能填 6。然后再確定左邊大圓上三個小圓圈應填的數(shù)是 11、4 和 3。3 解： 見以下列圖，解題思路與例 3 一樣，略寫如下：2+3+4+5+6=20。11+11-20=2 即中間格填 2。12+12-20=4 即中間格填 4。13+13-20=6 即中間格填 6。4 解： 見圖解題思路與例 4 一樣，略寫如下：21+21+21=63. z.-5+6+7+8+9+10=4563-45=18 三個角上的三個數(shù)之和分拆 18=5+6+7 即三個角上的三個圓圈里應填 5 、6 、7。5

59、 解： 見圖，找關鍵數(shù)先填，不難看出，標有字母 A 和 B 的兩圓圈中的數(shù)是關鍵數(shù)，因為它們 是正方形公用的數(shù)，解法：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=5524+24+24=7272-55=1717=10+7=9+8 這就是兩組關鍵數(shù) 10 和 7，以及 9 和 8。6 解： 見圖，找關鍵數(shù)先填。不難看出，中間圓圈里的數(shù)是關鍵數(shù)。求關鍵數(shù)：1+2+3+4+5+6+7=2812+12+12=3636-28=8 相當兩個中間圓圈里的數(shù)之和82=4 就是一個中間圓圈里的數(shù). z.-12-4=8行三個數(shù)之和他是 12。7 解： 先求關鍵數(shù)：橫行和豎行公用的兩個圓圈的數(shù)是關鍵數(shù)。11+12+13

60、+14+15+16+17=9842+42+42=126126-98=2828 是橫行和豎行公用的兩個圓圈里的數(shù)的和將 28 分拆：見下面三個圖。8 解： 先求關鍵數(shù)。六字的點和橫公用的方格中的數(shù)是關鍵數(shù)。方法 1：145=701+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66公用的方格中的數(shù)是 70-66=4 再適中選擇其他的數(shù)填入其他空格。方法 2：見以下列圖15 5=75 75-66=9公用的方格中填 9 ，再適中選擇其他各數(shù)填入方格。9 解： 見以下列圖，求關鍵數(shù)即共用方格中的數(shù). z. z.-1+2+3+4+5+6+7+8+9=45134=52 52-45=710 解： 見以下列圖，