偏微分方程在人口問題中的應(yīng)用

1、偏微分方程在人口問題中的應(yīng)用06數(shù)學(xué)系 杜慧通 PB06001022在老師的帶領(lǐng)下，經(jīng)過一個學(xué)期的偏微分方程的學(xué)習(xí)，我們深刻的認識到偏微分方程不僅是反映有關(guān)的未知變量關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間制約關(guān)系的等式，在許多領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型都可以用偏微分方程來描述，不難發(fā)現(xiàn)，課本中所主要提及的三類方程都是有一定的物理學(xué)背景的。早在微積分理論剛形成后不久，人們就開始用偏微分方程來描述、解釋或預(yù)見各種自然現(xiàn)象，并將所得到的研究方法和研究成果運用于各門科學(xué)和工程技術(shù)中，不斷地取得了顯著的成效，顯示了偏微分方程對于人類認識自然界基本規(guī)律的重要性。逐漸地，以物理、力學(xué)等各門科學(xué)中的實際問題為背景的偏微

2、分方程的研究成為傳統(tǒng)應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個最主要的內(nèi)容，它直接聯(lián)系著眾多自然現(xiàn)象和實際問題，不斷地提出和產(chǎn)生出需要解決的新課題和新方法，不斷地促進著許多相關(guān)數(shù)學(xué)分支(如泛函分析、微分幾何、計算數(shù)學(xué)等)的發(fā)展，并從它們之中引進許多有力的解決問題的工具。偏微分方程已經(jīng)成為當(dāng)代數(shù)學(xué)中的一個重要的組成部分，是純粹數(shù)學(xué)的許多分支和自然科學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域之間的一座重要的橋梁。面對各種復(fù)雜的現(xiàn)實問題，我們常常采用的方法是針對所考慮的實際問題建立合理的數(shù)學(xué)模型，而這些能精確描述問題的模型大都是通過偏微分方程給出的。對相應(yīng)的偏微分方程模型進行定性的研究。根據(jù)所進行的定性研究，尋求或選擇有效的求解方法。應(yīng)用上述方法，

3、我們一起來看一看大家都感興趣的人口問題。對人口的發(fā)展進行研究最先所采用的大多是常微分方程模型。例如，馬爾薩斯模型1：其中表示時刻的人口總數(shù)，為初始時刻時的人口總數(shù)，表示人口凈增長率。馬爾薩斯模型只在群體總數(shù)不太大時才合理。因為當(dāng)生物群體總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間、有限的自然資源及食物等原因，就要進行生存競爭。而馬爾薩斯模型僅考慮了群體總數(shù)的自然線性增長項，沒有考慮生存競爭對群體總數(shù)增長的抵消作用。因此在群體總數(shù)大了以后，馬爾薩斯模型就不再能預(yù)見群體發(fā)展趨勢，這時就要采用威爾霍斯特模型2：其中，稱為生命系數(shù)，而且比要小很多。就是考慮到生存競爭而引入的競爭項。當(dāng)群體總數(shù)不太

4、大時，由于比小很多，則可以略去上面方程中右端的第二項而回到馬爾薩斯模型。但是當(dāng)群體總數(shù)增大到一定程度時，上面方程中右端的第二項所產(chǎn)生的影響就不能忽略。不論是馬爾薩斯模型還是威爾霍斯特模型，它們都是將生物群體中的每一個個體視為同等地位來對待的，這個原則只適用于低等動物。對于人類群體來說，必須考慮不同個體之間的差別，特別是年齡因素的影響。人口的數(shù)量不僅和時間有關(guān)，還應(yīng)該和年齡有關(guān)，而且人口的出生、死亡等都和年齡有關(guān)。不考慮年齡因素就不能正確地把握人口的發(fā)展動態(tài)。這時，就必須給出用偏微分方程描述的人口模型2：其中，表示任意時刻按年齡的人口分布密度，表示年齡為的人口死亡率，表示年齡為的人的生育率，表示

5、可以生育的最低年齡，表示人的最大年齡。對于上述偏微分方程模型成立如下結(jié)論：1.對偏微分方程的初值問題(1)(3)，如果下列條件成立：在區(qū)間上，且適當(dāng)光滑；在區(qū)間上，且適當(dāng)光滑，并且當(dāng)時，及；。則該初邊值問題(1)(3)存在唯一的整體解并且滿足且。該模型在經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮喕僭O(shè)后，例如假設(shè)常數(shù)，常數(shù)，就可以回到前面的常微分方程模型。但在偏微分方程模型中、均與年齡有關(guān)，這與現(xiàn)實情況相符。因此，偏微分方程模型確實更進一步、更能精確地描述人口分布的發(fā)展過程。從上述問題的闡述和分析過程不難看出，偏微分方程能非常精確的幫助數(shù)學(xué)模型的建立，把自然科學(xué)的發(fā)展和研究推進到一個新的高度。參考文獻：1 W. F. 盧卡斯主編，朱煜民、周宇虹譯，微分方程模型，國防科技大學(xué)出版社，1988.2 G.