微分幾何練習(xí)試題庫(kù)及答案

1、-PAGE . z.微積分幾何復(fù)習(xí)題 本科第一局部：練習(xí)題庫(kù)及答案一、填空題每題后面附有關(guān)鍵詞；難易度；答題時(shí)長(zhǎng)第一章1，則這兩個(gè)向量的夾角的余弦=2，求這兩個(gè)向量的向量積(-1,-1,-1)3過點(diǎn)且與向量垂直的平面方程為*-Z=04求兩平面與的交線的對(duì)稱式方程為5計(jì)算6設(shè)，求07，其中，則8，則9，求，其中，10為常向量，求11，為常向量，求12，則第二章13曲線在任意點(diǎn)的切向量為14曲線在點(diǎn)的切向量為15曲線在點(diǎn)的切向量為16設(shè)有曲線，當(dāng)時(shí)的切線方程為17設(shè)有曲線，當(dāng)時(shí)的切線方程為第三章18設(shè)為曲面的參數(shù)表示，如果，則稱參數(shù)曲面是正則的；如果是 一一的，則稱參數(shù)曲面是簡(jiǎn)單的19如果曲線族和

2、曲線族處處不相切，則稱相應(yīng)的坐標(biāo)網(wǎng)為正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng)(坐標(biāo)網(wǎng);易;3分鐘)20平面的第一根本形式為，面積元為21懸鏈面的第一類根本量是,22曲面上坐標(biāo)曲線，的交角的余弦值是23正螺面的第一根本形式是24雙曲拋物面的第一根本形式是25正螺面的平均曲率為0正螺面、第一根本量、第二根本量；中；3分鐘26方向是漸近方向的充要條件是或27兩個(gè)方向和共軛的充要條件是或28函數(shù)是主曲率的充要條件是29方向是主方向的充要條件是30根據(jù)羅德里格定理，如果方向是主方向，則，其中是沿方向的法曲率31旋轉(zhuǎn)極小曲面是平面或懸鏈面第四章32高斯方程是，因加爾吞方程為，33用表示為34測(cè)地曲率的幾何意義是曲面上的曲線在點(diǎn)的測(cè)地曲

3、率的絕對(duì)值等于在點(diǎn)的切平面上的正投影曲線的曲率35之間的關(guān)系是36如果曲面上存在直線，則此直線的測(cè)地曲率為 0 37測(cè)地線的方程為38高斯-波涅公式為39如果是由測(cè)地線組成，則高斯-波涅公式為二、單項(xiàng)選擇題第一章40，則這兩個(gè)向量的積為 C 積；易；2分鐘A 2 B C 0 D 141求過點(diǎn)且與向量平行的直線的方程是 A 直線方程；易；2分鐘A B C D 42，則混合積為 D 混合積；較易；2分鐘A 2 B C 1 D 43.，則為 A 導(dǎo)數(shù)；易；2分鐘(，)(-，)(，)(，-)44，為常數(shù)，則為 C 導(dǎo)數(shù)；易；2分鐘 上述為常向量45.，求為 D 微分；較易；2分鐘第二章46圓柱螺線的切

4、線與軸 C .(螺線、切向量、夾角；較易、2分鐘)平行垂直有固定夾角有固定夾角47設(shè)有平面曲線，為自然參數(shù)，是曲線的根本向量以下表達(dá)錯(cuò)誤的選項(xiàng)是C 為單位向量48直線的曲率為 B 曲率；易；2分鐘 49關(guān)于平面曲線的曲率不正確的選項(xiàng)是 D 伏雷公式；較易；2分鐘 ，為的旋轉(zhuǎn)角 50對(duì)于平面曲線，曲率恒等于”是曲線是直線的 D 曲率；易；2分鐘)充分不必要條件必要不充分條件既不充分也不必要條件充要條件51以下論述不正確的選項(xiàng)是 D 根本向量；易；2分鐘均為單位向量 52對(duì)于空間曲線，曲率為零是曲線是直線的 D曲率；易；2分鐘)A 充分不必要條件B必要不充分條件C 既不充分也不必要條件 D充要條件

5、53對(duì)于空間曲線，撓率為零是曲線是直線的 D 撓率；易；2分鐘)A 充分不必要條件B必要不充分條件C 既不充分也不必要條件D充要條件54在點(diǎn)的切線與軸關(guān)系為 D 垂直平行成的角成的角第三章55橢球面的參數(shù)表示為C 參數(shù)表示；易；2分鐘A B C D 56以下為單葉雙曲面的參數(shù)表示的是D 參數(shù)表示；易；2分鐘A B C D 57以下為雙葉雙曲面的參數(shù)表示的是A 參數(shù)表示；易；2分鐘A B CD 58以下為橢圓拋物面的參數(shù)表示的是B 參數(shù)表示；易；2分鐘A B C D 59以下為雙曲拋物面的參數(shù)表示的是C 參數(shù)表示；易；2分鐘A B C D 60曲面在點(diǎn)的切平面方程為B 切平面方程；易；2分鐘A

6、B C D 61球面的第一根本形式為D 第一根本形式；中；2分鐘A B C D 62正圓柱面的第一根本形式為 C第一根本形式；中；2分鐘A B C D 63在第一根本形式為的曲面上，方程為的曲線段的弧長(zhǎng)為B 弧長(zhǎng)；中；2分鐘A B C D 64設(shè)為中的2維正則曲面，則的參數(shù)曲線網(wǎng)為正交曲線網(wǎng)的充要條件是 BA B C D 65以下正確的選項(xiàng)是 D因加爾吞變換；較易；2分鐘A B C D66以下正確的選項(xiàng)是 C因加爾吞變換；較易；2分鐘A B C D 67以下正確的選項(xiàng)是A因加爾吞變換；較易；2分鐘A B C D 68高斯曲率為常數(shù)的的曲面叫C 高斯曲率；易；2分鐘A 極小曲面 B 球面 C常高

7、斯曲率曲面 D平面第四章B 69第一根本形式；易；2分鐘A 1 B 2 C 0 D -1B 70第一根本形式；易；2分鐘A B C D A 71克氏符號(hào)；較易；2分鐘A B C D A 72曲面上直線如果有的話的測(cè)地曲率等于A B C D 3B 73當(dāng)參數(shù)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時(shí)，參數(shù)曲線u-曲線的測(cè)地曲率為維爾定理、測(cè)地曲率；中；4分鐘A B C D A 74如果測(cè)地線同時(shí)為漸進(jìn)線，則它必為測(cè)地曲率、法曲率、曲率；中；2分鐘A 直線 B 平面曲線 C 拋物線 D 圓柱螺線B 75在偽球面上，任何測(cè)地三角形的角之和高斯-波涅定理；中；4分鐘A 等于 B 小于 C 大于 D 不能確定三、多項(xiàng)選擇題第一章

8、76.假設(shè)為向量函數(shù)，則以下論述正確的選項(xiàng)是 AD 導(dǎo)數(shù)；易；4分鐘77為常向量，為向量函數(shù)，則下述正確的選項(xiàng)是 ABC 積分的性質(zhì)；中；4分鐘 第二章78以下曲線中為正則曲線的有ACDE。曲線的概念；易；4分鐘， ， ，79以下曲線中是正則曲線的有ABCDE。曲線的概念；易；4分鐘， ， ， 80以下式子正確的選項(xiàng)是ABCE伏雷公式；中；4分鐘 第三章81曲面在點(diǎn)的AD 切平面、法線；中；4分鐘A 切平面方程為B 切平面方程為C 法線方程為D 法線方程為E 法線方程為82正螺面的AC 切平面、法線；中；4分鐘A 切平面方程為B切平面方程為C 切平面方程為D法線方程為E 法線方程為83以下二次

9、形式中， ABD不能作為曲面的第一根本形式第一根本形式；易；4分鐘A B C D E 84一般螺面的第一類根本量是 BCD第一根本量；易；4分鐘A B C D E 85以下曲面中， BCD 是旋轉(zhuǎn)常高斯曲率曲面常高斯曲率曲面；易；4分鐘A 正螺面 B 平面 C 球面 D 圓柱面 E 懸鏈面第四章ABC 86對(duì)于曲面上的正交坐標(biāo)網(wǎng)，測(cè)地曲率設(shè)曲線的切方向與的夾角為A B C D E 87曲面上的曲線是測(cè)地線的充分必要條件是ABCD測(cè)地線的概念；中；4分鐘A 滿足方程的曲線B滿足的曲線C除了曲率為零的點(diǎn)外，曲線的主法線重合于曲面的法線 D滿足的曲線E 滿足的曲線四、表達(dá)題第三章88曲面。解設(shè)是初等

10、區(qū)域，如果存在一個(gè)連續(xù)一一映射使得，則稱是一曲面，而叫的參數(shù)表示89坐標(biāo)曲線?！窘狻壳?，的像叫曲線，的像叫曲線，曲線和曲線都叫坐標(biāo)曲線90第一根本形式。【解】稱二次型其中，為曲面的第一根本形式而、叫曲面的第一類根本量91蘊(yùn)量。【解】由曲面的第一類根本量所決定的量叫曲面的蘊(yùn)量92第二根本形式?！窘狻糠Q二次型其中，為曲面的第二根本形式而，為曲面的第二類根本量93【解】假設(shè)在點(diǎn)有，則稱點(diǎn)為曲面的橢圓點(diǎn)94法曲率。【解】給定曲面上一點(diǎn)處的一個(gè)切向量，則點(diǎn)沿方向的法曲率定義為95主曲率?！窘狻渴狗ㄇ实竭_(dá)極值的方向叫曲面在該點(diǎn)的主方向，而主方向的法曲率叫該點(diǎn)的主曲率96高斯曲率?！窘狻壳娴膬蓚€(gè)主曲率

11、之積叫曲面的高斯曲率97極小曲面?！窘狻科骄实那娼袠O小曲面五、計(jì)算題第二章98求旋輪線的一段的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)；中；5分鐘【解】旋輪線的切向量為，則它的一段的弧長(zhǎng)為：99求曲線在原點(diǎn)的切向量、主法向量、副法向量根本向量；中；10分鐘【解】由題意知，在原點(diǎn)時(shí)有。又，所以有。100圓柱螺線為。根本向量、曲率、撓率；中；15分鐘求根本向量，；求曲率和撓率；【解】由題意有，又由公式有由一般參數(shù)的曲率公式及撓率公式有，。第三章101求正螺面的切平面和法線方程切平面、法線；中；5分鐘【解】，切平面方程為法線方程為102求球面上任一點(diǎn)處的切平面與法線方程【解】，球面上任意點(diǎn)的切平面方程為即，法線方程為即103

12、求旋轉(zhuǎn)拋物面的第一根本形式第一根本形式；中；5分鐘【解】參數(shù)表示為，104求正螺面的第一根本形式第一根本形式；中；5分鐘【解】，105計(jì)算正螺面的第一、第二根本量第一根本形式、第二根本形式；中；15分鐘【解】，106計(jì)算拋物面的高斯曲率和平均曲率高斯曲率、平均曲率；中；15分鐘【解】設(shè)拋物面的參數(shù)表示為，則，107計(jì)算正螺面的高斯曲率高斯曲率；中；15分鐘【解】直接計(jì)算知，第四章108求位于正螺面上的圓柱螺線=常數(shù)的測(cè)地曲率測(cè)地曲率、維爾定理；中；15分【解】因?yàn)檎菝娴牡谝桓拘问綖?，螺旋線是正螺面的v-曲線，由得由正交網(wǎng)的坐標(biāo)曲線的測(cè)地曲率得六、證明題第二章109證明曲線的切向量與曲線的位

13、置向量成定角切向量、夾角；較易；5分鐘【證】對(duì)曲線上任意一點(diǎn)，曲線的位置向量為，該點(diǎn)切線的切向量為：，則有：，故夾角為。由所取點(diǎn)的任意性可知，該曲線與曲線的切向量成定角110證明：假設(shè)和對(duì)一切線性相關(guān)，則曲線是直線曲率；中；10分鐘【證明】假設(shè)和對(duì)一切線性相關(guān)，則存在恒不同時(shí)為0的使。則。又，故。于是該曲線是直線111證明圓柱螺線的主法線和z軸垂直相交主法線、夾角；中；10分鐘【證明】由題意有。由知。另一方面軸的方向向量為，而，故，即主法線與軸垂直112證明曲線的所有法平面皆通過坐標(biāo)原點(diǎn)法平面；較易；5分鐘【證明】由題意可得，則任意點(diǎn)的法平面為將點(diǎn)0,0,0代入上述方程有左邊右邊，故結(jié)論成立1

14、13證明曲線為平面曲線，并建立曲線所在平面的方程。撓率；中；10分鐘【證明】設(shè)，整理比擬兩邊同次項(xiàng)可得，則有，即曲線為直線，且有第三章114求證正螺面上的坐標(biāo)曲線即曲線族曲線族互相垂直坐標(biāo)曲線、夾角；5分鐘【證明】設(shè)正螺面的參數(shù)表示是，則，故正螺面上的坐標(biāo)曲線互相垂直115證明馬鞍面上所有點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)點(diǎn)的分類、第二根本量；中；15分鐘【證明】參數(shù)表示為，則，故馬鞍面上所有點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)116如果曲面上*點(diǎn)的第一與第二根本形式成比例，即與方向無關(guān)，則稱該點(diǎn)是曲面的臍點(diǎn)；如果曲面上所有點(diǎn)都是臍點(diǎn)，則稱曲面是全臍的試證球面是全臍的臍點(diǎn)；難；15分鐘【證明】設(shè)球面的參數(shù)表示為，則，故球面是全臍的117證

15、明平面是全臍的臍點(diǎn)；易；5分鐘【證明】設(shè)平面的參數(shù)表示為，則，故平面是全臍的118設(shè)有曲面，試證曲面的第二根本形式與函數(shù)的二階微分成比例第二根本形式；較難；10分鐘【證明】設(shè)曲面的參數(shù)表示為，則，119證明曲面的所有點(diǎn)為拋物點(diǎn)點(diǎn)的分類、第二根本量；中；15分鐘【證明】記曲面的參數(shù)表示為，則，曲面的所有點(diǎn)為拋物點(diǎn)120求證正螺面是極小曲面平均曲率；中；15分鐘【證明】，故正螺面是極小曲面121證明極小曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn)點(diǎn)的分類、平均曲率；中；5分鐘【證明】，當(dāng)時(shí)，極小曲面的點(diǎn)都是平點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，極小曲面的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)第四章122證明假設(shè)曲面上有兩族測(cè)地線交于定角，則曲面的高斯曲率為零高斯曲率；難；10分鐘【證明】在每族測(cè)地線中任取兩條，圍成曲面上的曲邊四邊形根據(jù)條件，曲邊四邊形的外角和為由高斯-波涅公式