化工數(shù)學(xué)課件：第七章 偏微分方程

1、第七章：偏微分方程一、 幾個基本概念例：1、方程的階數(shù)方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)即為方程的階數(shù)一階二階2、線性、非線性、擬線性 方程經(jīng)過有理化并消去分式后，若方程中沒有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的乘積或冪等非線性項，稱該方程為線性線性：擬線性： 在非線性方程中，如果未知函數(shù)的所有最高階導(dǎo)數(shù)不是非線性，則稱此方程為擬線性 完全非線性：除擬線性之外的非線性方程二階，線性二階，擬線性二階，完全非線性3、齊次、非齊次 不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項自由項：自由項為零的方程齊次方程： 自由項不為零的方程非齊次方程： 非齊次齊 次二、 二階線性偏微分方程的分類，設(shè)則二階線性偏微分方程一般可表示為： A,B,C,D

2、,E,G,f 都是x,y的函數(shù) 二階線性方程的分類 ：為方程中自變量域內(nèi)任意一點，則分類判別條件如下：（）若在點M處有： 則方程在該點處為雙曲線型 例如 （）若在點M處有： 則方程在該點處為拋物線型 例如 波動方程 熱傳導(dǎo)方程 （）若在點M處有： 則方程在該點處為橢圓型 例如 例1：判別下列方程的分類 當(dāng) ，即 異號，M點在二、四象限內(nèi)，該區(qū)域內(nèi)方程是雙曲型當(dāng) ，即 同號，M點在一、三象限內(nèi)，該區(qū)域內(nèi)方程是橢圓型當(dāng)x或y為零，方程在x或y軸上是拋物型 拉普拉斯方程 三、三種典型方程的建立建立理論模型的原則步驟 抽象出系統(tǒng)的物化模型并簡化、假設(shè) 確定輸入、輸出變量和模型參數(shù)，建立數(shù)學(xué)模型 模型

3、求解 檢驗和修正所得的模型 1、均勻弦的微小橫振動方程的建立 設(shè)有一根均勻柔軟的細弦，張緊后兩端固定如圖，給弦以擾動，使其產(chǎn)生振動。確定弦上各點振動規(guī)律，即 確定位移 滿足的方程。解：取一小微元段 ，分析受力情況x 方向：u 方向：ABT1T20 xxxxu12G(1)(2)簡化假設(shè) （1）弦是均勻的，所以質(zhì)量均布，設(shè)單位長度弦的質(zhì)量為 kg/m （5）弦是絕對柔軟的，不能抗彎，因此弦上各點張力與該點切 線方向一致。（2）弦的細小的，自重相比于張力顯得很小，可以忽略。（3）振動方向與弦長方向相垂直，且振動保持在一固定平面內(nèi) （4）振動是微小的，即弦上各點位移及弦的彎曲斜率很小 微元段的質(zhì)量：G

4、 = 0 x 方向無運動，即：無外力的均勻弦微小橫振動方程 齊次一維波動方程x 方向：u 方向：ABT1T20 xxxxu12F(x,t)x 方向：u 方向：假設(shè)振動過程中，除了張力外，還有其它外力作用，設(shè)單位長度弦上的橫向外力為弦的強迫振動方程 非齊次一維波動方程2、熱傳導(dǎo)方程一根長為l的均勻細桿側(cè)面是絕熱，橫截面積足夠小以至在任何時刻都可以把斷面上所有點的溫度看作是相同。 設(shè)桿的截面積為S，比熱為C，導(dǎo)熱系數(shù)為k，密度為。 試確定溫度分布函數(shù) 滿足的方程。 x=0 x=lxx+x0熱量衡算：輸入輸出產(chǎn)生累計一維熱傳導(dǎo)方程: x處輸入的熱速率: xx處輸出的熱速率: 微元段累計的熱速率: 一

5、維熱傳導(dǎo)方程一維波動方程（無外力）（有外力）（無內(nèi)熱源） 三維熱傳導(dǎo)方程 若物體內(nèi)部有一個熱流，T(x,y,z,t)其分布函數(shù)為M(x,y,z)3、穩(wěn)態(tài)方程（拉普拉斯方程）熱傳導(dǎo)持續(xù)進行下去，如果達到穩(wěn)定狀態(tài)，溫度的空間分布不再變動，即 則方程變?yōu)榉€(wěn)態(tài)濃度分布方程 穩(wěn)態(tài)溫度分布方程 三種典型方程是方程其中f 是任意函數(shù) ,如的通解可以驗證對于方程：可以驗證為其通解泛定方程暫停：休息四、定解條件和定解問題1、初始條件（I.C.)： 初始時刻的狀態(tài) （一）定解條件例1 對于弦的微小橫振動問題，假設(shè)初始速度為零， 初始位移符合正弦函數(shù) 初始條件給定的是整個系統(tǒng)的狀態(tài)，而不是某個局部（如入口、出口等）

6、的狀態(tài)。特別注意： 應(yīng)是位置坐標(biāo)的函數(shù)。 （1）第一類邊界條件已知函數(shù)直接給出未知函數(shù) 在邊界 上的值 （狄里赫利（Dirichlet） 例2 一根弦長為l ，兩端固定進行微小橫振動 ，建立其邊界條件。2、邊界條件（B.C.） 例3 細桿導(dǎo)熱問題中，桿長l，兩端分別保持溫度T1和T2 ，建立邊界條件。（2）第二類邊界條件已知導(dǎo)數(shù)（牛曼（Noumann）條件） 例4 細桿導(dǎo)熱問題中，桿長l，一端絕熱，另一端有恒定熱流q輸入，試建立邊界條件。x=0 x=l 熱流輸出怎樣？（3）第三類邊界條件混合邊界條件給出邊界上函數(shù)值與其法向?qū)?shù)構(gòu)成的線性關(guān)系 （Robin條件） 例4 細桿導(dǎo)熱問題中，桿長l，一

7、端溫度為T0，另一端與溫度為T1的環(huán)境進行對流熱交換，試建立邊界條件。x=0 x=l（4）積分微分邊界條件 （5）銜接條件內(nèi)外層壁： （二）定解問題 初值問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題 邊值問題： 沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題 混合問題： 既有初始條件又有邊界條件的定解問題 定解問題 泛定方程（P.D.E) 定解條件 初始條件（B.C.）邊界條件（I.C.）五、線性迭加原理 所謂迭加：即幾種不同因素綜合作用于系統(tǒng)，產(chǎn)生的效果等于各因素獨立作用產(chǎn)生的效果之總和 線性迭加原理： 則級數(shù) 也是該方程之解 假設(shè)函數(shù)是線性齊次微分方程的特解。（i=1，2）六、分離變量法 例1、設(shè)兩端

8、固定的有界弦微小自由橫振動過程， 初始位移為(x)，初始速度為（x）解：（1）分離變量 設(shè) （1） （2） （3） （4） 到33頁代入方程式（1）得 分離變量得 =設(shè) 于是可得到兩個常微分方程 到35頁= =+ 對于二階線性常系數(shù)常微分方程： 先求特征方程的解： 分三種情況 （）特征方程的根r1,r2為實數(shù)時 復(fù) 習(xí)（）特征方程的根r1=r2=r為重實數(shù)時 （）特征方程的根為復(fù)數(shù)，即 r1=+i r2= - i 返回31頁由邊界條件式（2）知 因為 所以只能 （5） （6） （）設(shè)0，則方程式（5）通解為（5） 由 由 （2）解定解問題 解固有值問題 到37頁解上述線性代數(shù)方程組得： 即 所

9、以 （）設(shè) =0，方程（5）通解為由 由 即 所以 （）設(shè) 0，令 ，此時通解為由 由 因為B不能為零，所以只能所以稱為固有值（或本征值） -稱為固有函數(shù)（或本征函數(shù)） （7） 返回36頁返回54頁（3）求解不構(gòu)成本征問題的常微分方程的通解（6） 將 代入上式 （8）將式（7）與式（8）相乘，得到一組特解 其中， 是任意常數(shù)（8）（7）（4）應(yīng)用線性疊加原理求（5）由傅里葉級數(shù)確定系數(shù)（9）暫停：休息復(fù)習(xí)f(x)在l，l區(qū)間上的傅里葉展開式：在0，l區(qū)間上的只有余弦項的傅里葉展開式：在0，l區(qū)間上的只有正弦項的傅里葉展開式：傅里葉展開是基于三角函數(shù)的正交性根據(jù)正交性可直接確定系數(shù)：0000（1

10、0）至此， （9）（11）即構(gòu)成了例1中定解問題的解（11）總結(jié)分離變量求解的關(guān)鍵點1、假設(shè)代入齊次方程進行分離變量；2、分離齊次邊界條件，組構(gòu)本征值問題，并求解確定 本征值本征函數(shù)；3、求解另外一個常微分方程；4、用線性疊加原理寫出問題的解；5、代入初始條件，并用傅里葉展開法確定解中的常數(shù)。例 2 一維導(dǎo)熱問題（第三邊值條件）長為l 的均勻細桿，其側(cè)面（圓弧面）絕熱，桿的一端保持在0狀態(tài)下，另一端則與溫度為0環(huán)境介質(zhì)進行自由熱交換。假設(shè)初始時刻溫度分布為(x)。試確定桿上各點溫度隨時間變化規(guī)律。 （1）（2）（3）（4）到第52頁（1）分離變量，設(shè) 代入方程（1）得： 于是得： （5） （6） 比較波動問題得到兩個常微分方程 ：返回上一頁由邊界條件式（2）（3）知（2） 解本征值問題 （7） （8） 式（5）與式（7）、式（8）構(gòu)成本征值問題同前述同樣方法討論本征值的三種取值情況 經(jīng)討論僅當(dāng)0時才有非零解 設(shè) 于是方程式（5）通解為 由式（7）得 由式（8）得 則 即 得本征值(n =1，2，3 )得本征函數(shù)（(3） 將本征值代入式（6）并求解（4）由線性迭加原理得定解問題級數(shù)形式解(Cn =BnAn)（5）確定系數(shù)由初始條件由本證函數(shù)的正交性例 3、求解穩(wěn)態(tài)問題 解：（1）分離變量 設(shè) （1） （2） （3） 能否用分離變量法 求解？ 能