化工數(shù)學(xué)課件：第六章 場論初步

1、第六章：場論初步一、 場若空間某個域內(nèi)每一點(diǎn)都對應(yīng)有一個或幾個確定值的物理量，這些量值可表示為空間點(diǎn)位置的連續(xù)函數(shù)，則稱此空間域?yàn)閳?1 數(shù)量場和向量場二、數(shù)量場三、向量場數(shù)量場、向量場可以是時間的函數(shù)2.1 向量代數(shù)復(fù)習(xí)一、 向量的點(diǎn)積（2）物理意義：（1）定義表示質(zhì)點(diǎn)在力 的作用下沿 方向移動距離 所做的功2 向量的導(dǎo)數(shù)（3）直角坐標(biāo)系下的計算 如果設(shè) 則 （4）向量的模 （5）單位向量（6）點(diǎn)積的運(yùn)算性質(zhì) 交換律： 分配律： 結(jié)合律： 二、 向量的叉積（1）定義方向：符合右手螺旋法則 大?。海?）物理意義：（3）直角坐標(biāo)系下的計算 （4）叉積的運(yùn)算性質(zhì) 不滿足交換律： 分配律： 結(jié)合律：

2、 三、 向量的三重積（1）數(shù)乘： （2）三重數(shù)性積： 物理意義：直角坐標(biāo)系下的計算 運(yùn)算性質(zhì) （3）三重矢性積： 計算方法 2.2 向量的導(dǎo)數(shù)一、 向量對一純量的導(dǎo)數(shù)（1）定義（2）直角坐標(biāo)系下的計算 如果設(shè) 則 例1 曲線的切線 流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡曲線 可用一向量函數(shù) （3）向量的求導(dǎo)公式 二、 向量偏導(dǎo)數(shù)（1）定義（2）直角坐標(biāo)系下的計算 若 則（3）求導(dǎo)公式 多元矢函數(shù)的求偏導(dǎo)數(shù)的法則可參照多元標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)法則，當(dāng)然要考慮到矢函數(shù)乘積與標(biāo)函數(shù)乘積的不同 一、 等值面數(shù)量場內(nèi)，使組成的曲面，稱為等值面 取相同值的所有點(diǎn)M3 數(shù)量場的梯度平推流反應(yīng)（1）定義記作 二、 方向?qū)?shù)（2）直角坐標(biāo)系下

3、的計算 所以 臺勞展開 方向?qū)?shù)公式例 1 室內(nèi)溫度分布 試求（1）在點(diǎn)（1，1，1）處沿溫度變化率；（2）問沿那個方向的溫度變化率最大，值為多少？解（1）暫停：休息（2）3、 數(shù)量場的梯度（1）定義稱為數(shù)量場的梯度。 定義一個模值為，方向?yàn)榈南蛄?，記?其中 數(shù)量場的梯度是向量場。數(shù)量場在某點(diǎn)的梯度是沿該點(diǎn)等值面法線方向的向量，它指向增長方向。函數(shù)沿梯度方向增長最快，梯度的模值就是該點(diǎn)的法向?qū)?shù) （2）直角坐標(biāo)系下梯度的計算 由定義梯度公式x方向?qū)?shù)：由(6-24)可知：y方向?qū)?shù)：z方向?qū)?shù)：代入式（1）（是l與n的夾角）書中有誤（3）梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系 引進(jìn)一個向量算符“ ”-稱為哈密

4、頓算符在直角坐標(biāo)系中其表達(dá)式為：（4）梯度的運(yùn)算性質(zhì) 注意： 則運(yùn)算性質(zhì)如下：例 一均勻細(xì)桿穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。設(shè)其桿的一端恒溫為T1，另一端恒溫為T2，試確定桿溫度沿桿的分布情況。 T2T1x=0 x=l一維穩(wěn)態(tài)過程模型的建立第一類邊界條件xxx梯度應(yīng)用4 向量場的散度1、向量場的通量 （1）有向曲面的定義：規(guī)定了正方向的曲面（2）向量場的通量的定義 一個向量場，沿著場內(nèi)某有向曲面的面積分稱為向量場 通過曲面一側(cè)的通量 當(dāng)為封閉的曲面時 ，通量為：例2 解釋通量 的物理意義計算流速為 的不可壓縮流體流經(jīng)曲面的質(zhì)量流量。流體沿法線正向流動，就是流體從曲面所包圍的域內(nèi)流出，而沿法線反向流動就是流體從流

5、入域。Q0 “源” Q0 “溝” 流量2、向量場的散度 （1）平均源強(qiáng)度的定義 設(shè)閉曲面所包圍域的體積為，則向量 通過其閉曲面的通量除以體積就表示域中“源”（或“溝”）的平均強(qiáng)度，或稱為單位體積“源”（或“溝”）的強(qiáng)度，其數(shù)學(xué)表示為（2）向量場的散度的定義 當(dāng)區(qū)域不斷縮小，以至于縮到一個點(diǎn)；取 為包圍點(diǎn)M的一個微小閉曲面，是以為界面的微元體體積，則其平均源強(qiáng)度極限值,稱為向量場 在點(diǎn)M處的散度 （3）直角坐標(biāo)系下散度的計算公式記作xyxx-x/2x+x/2散度的計算公式的推導(dǎo)通量： 所以 同樣有 引入哈密頓算符，則散度公式又可寫作3、散度的運(yùn)算性質(zhì) 4、散度定理 設(shè) 是連續(xù)可微的矢性點(diǎn)函數(shù)，是

6、包圍域D且體積為的光滑封閉曲面，則散度定理給出 式中 為的外法向單位矢量。 奧高公式 5、散度的應(yīng)用建立流體的連續(xù)性方程 在區(qū)域D內(nèi)流體以流速 連續(xù)流動，設(shè)流體的密度為 ,區(qū)域D內(nèi)無質(zhì)量產(chǎn)生，試建立流體的連續(xù)性方程：如果為不可壓縮流體，則有暫停：休息5 向量場的旋度 ABCDv2v11、向量場的環(huán)量 向量場 沿有向閉曲線 的曲線積分稱為向量場 沿 的環(huán)量 向量場環(huán)量的定義2、向量場的旋度 （1）環(huán)量面密度 設(shè) M 是向量場 內(nèi)任意一點(diǎn)， 為包圍點(diǎn)的無限小的有向封閉曲線， 為 所包圍的有向曲面，其法線正方向與 的正方向形成右螺旋系統(tǒng) 若向量 沿封閉曲線 的線積分（環(huán)量）與 所圍曲面面積 之比，當(dāng)

7、 時若其極限存在 則稱為環(huán)量面密度，寫作（2）向量場的旋度 定義一向量稱為向量場在點(diǎn)M處的旋度，記作 （3）旋度在直角坐標(biāo)系下的計算公式例3 設(shè)不可壓縮的流體以角速度 繞 軸旋轉(zhuǎn)，求流體質(zhì)點(diǎn)的切向速度的旋度（4）旋度的運(yùn)算性質(zhì) 3、斯托克斯定理設(shè)為一封閉的有向曲線 （不交叉的）所圍的雙側(cè)空間曲面。 的正向與曲面的外法線正向成右螺旋系統(tǒng) 為連續(xù)可微的矢函數(shù)，則矢函數(shù) 繞 正向的環(huán)流量等于在上的旋度的通量，即其中為面上任一點(diǎn)的外法向單位向量。斯托克斯定理可表示為 6 梯度、散度、旋度在柱、球坐標(biāo)系的表達(dá)式一、球坐標(biāo)下梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符表達(dá)式 單位向量： 二、柱坐標(biāo)下梯度、散度、旋度及拉

8、普拉斯算符表達(dá)式單位向量： 7 三種常用的向量場 一、管形場無源場 對于給定的向量場 ，若在某定義域中每一點(diǎn)處都有：則稱 為管形場（或無源場） 無源場內(nèi)通過任意閉曲面的通量為零，即 1、定義 2、性質(zhì) 例 如萬有引力場(由散度定理可以推論） 若流速場 為管形場，則流體流經(jīng)任一截面的流量為一常量 證明：由性質(zhì) 0所以：即：化工原理上的連續(xù)性方程二、 有勢場無旋場1、定義 對于給定的向量場 ，若在某定義域中每一點(diǎn)處都有：則稱 為有勢場（或無旋場） 例 如電力場，磁力場均為有勢場2、性質(zhì) 無旋場內(nèi)通過任意有向曲線的積分為零，即 所以，曲線積分與路徑無關(guān)，只取決于起點(diǎn)和終點(diǎn) 由斯托克斯定理可以推出 若向量場 為有勢場， 稱為向量場的勢函數(shù)則一定存在一數(shù)量場使所以，勢函數(shù)是一簇曲線勢函數(shù)的兩種求取方法 （）曲線積分法 推導(dǎo)設(shè)為有勢場由性質(zhì)知必存在勢函數(shù)，使于是 曲線l M0(x0,y0,z0)M (x, y, z)xyzB(x, y, z0)A(x, y0, z0)由性質(zhì)，曲線積分與路徑無關(guān) 例 4 驗(yàn)證下列向量為有勢場，并求其勢函數(shù)解： 由曲線積分法 所以 （）解偏微分方程法 由得到一組偏微分方程 用解偏微分方程法解例4 由：得：（1）（2）對（1）式積分得： 代入（2） （3）（4）積分上式得： （5）將（5）代入（4）積分得： 即： 所以： 得 然后