數(shù)學在三角形與四邊形中“求兩線段長度之和的最小值”問題全解析

1、有關(guān)三角形、四邊形中“求兩線段長度值和最小”問題全解析在近幾年的中考中，經(jīng)常遇到求PA+PB 最小型問題，為了讓同學們對這類問題有一個比較全面的認識和了解，我們特此編寫了“求兩線段長度值和最小”問題全解析， 希望對同學們有所幫助一、在三角形背景下探求線段和的最小值1.1 在銳角三角形中探求線段和的最小值例 1如圖1ABC中，AB=4, BAC=45， BAC的平分線交BC，在銳角三角形于點 D， M,N 分別是 AD 和 AB上的動點，則BM+MN 的最小值為分析 ：在這里，有兩個動點，所以在解答時，就不能用我們常用對稱點法我們要選用三角形兩邊之和大于第三邊的原理加以解決解：如圖 1，在 AC

2、 上截取 AE=AN ，連接 BE因為 BAC 的平分線交BC 于點 D ，所以 EAM= NAM ，又因為AM=AM ，所以 AME AMN ，所以ME=MN 所以BM+MN=BM+MEBE因為 BM+MN有最小值當BE 是點 B 到直線 AC 的距離時， BE取最小值為4，以 BM+MN的最小值是4故填 41.2 在等邊三角形中探求線段和的最小值例 2（ 2010 山東濱州）如圖 4 所示，等邊 ABC 的邊長為 6,AD 是 BC 邊上的中線 ,M是 AD 上的動點 ,E 是 AC 邊上一點 .若 AE=2,EM+CM的最小值為.第 1 頁分析 ：要求線段和最小值，關(guān)鍵是利用軸對稱思想，

3、找出這條最短的線段，后應用所學的知識求出這條線段的長度即可解：因為等邊 ABC 的邊長為 6,AD 是 BC 邊上的中線 ,所以點 C 與點 B 關(guān)于 AD 對稱，連接 BE 交 AD 于點 M ，這就是 EM+CM 最小時的位置， 如圖 5 所示，因為 CM=BM ，所以EM+CM=BE ，過點 E 作 EF BC ，垂足為 F，因為 AE=2 ，AC=6 ，所以 EC=4 ，在直角三角形 EFC 中，因為 EC=4, ECF=60， FEC=30，所以 FC=2,EF=2因為 BC=6 ， FC=2 ，所以 BF=4 在直角三角形BEF 中， BE=.二、在四邊形背景下探求線段和的最小值2

4、.1 在直角梯形中探求線段和的最小值例 3 如圖3，在直角梯形ABCD中， ABC90 AD BC，AD4，AB5BC， ，6，點 P 是 AB 上一個動點，當PC PD 的和最小時，PB 的長為 _ 分析 ：在這里有一個動點，兩個定點符合對稱點法求線段和最小的思路，所以解答時可以用對稱法第 2 頁解：如圖 3 所示，作點D 關(guān)于直線AB 的對稱點E，連接 CE，交 AB 于點 P，此時 PC PD 和最小，為線段CE因為 AD 4，所以 AE=4 因為 ABC 90， AD BC，所以 EAP 90因為 APE BPC,所以 APE BPC，所以.因為 AE=4 ，BC 6，所以，所以，所以

5、,因為 AB 5，所以 PB=3.2.2 在等腰梯形中探求線段和的最小值4ABCD中，AB=AD=CD=1，ABC=60，P是上底，下底中例 4 如圖 ，等腰梯形點 EF 直線上的一點，則PA+PB 的最小值為分析 ：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)知道，點 A 的對稱點是點 D ，這是解題的一個關(guān)鍵點其次運用好直角三角形的性質(zhì)是解題的又一個關(guān)鍵解：如圖 4 所示，因為點D 關(guān)于直線EF 的對稱點為A ，連接 BD ，交 EF 于點 P，此時 PAPB 和最小，為線段 BD 過點 D 作 DG BC，垂足為 G，因為四邊形 ABCD 是等腰 梯 形 ， 且 AB=AD=CD=1 ， ABC=60 ， 所 以

6、 C=60 ， GDC=30 ， 所 以GC=,DG=因為 ABC 60， AD BC，所以 BAD 120 因為AB=AD ，所以 ABD= ADB=30 ，所以 ADBC=30 ，所以BD=2DG=2=所以PA+PB 的最小值為2.3 在菱形中探求線段和的最小值例 5如圖 5 菱形 ABCD 中， AB=2 ， BAD=60 ， E 是 AB 的中點， P 是對角線AC第 3 頁上的一個動點，則PE+PB 的最小值為分析 ：根據(jù)菱形的性質(zhì)知道，點B 的對稱點是點D，這是解題的一個關(guān)鍵點解：如圖 5所示，因為點B 關(guān)于直線 AC 的對稱點為 D ，連接 DE ，交 AC 于點 P，此時 PE

7、 PB 和最小，為線段ED 因為四邊形ABCD是菱形，且 BAD=60 ，所以三角形ABD是等邊三角形因為E 是 AB的中點， AB=2 ，所以AE=1 ， DEAB ，所以ED=所以 PE PB 的最小值為2.4 在正方形中探求線段和的最小值例 6 如圖6所示，已知正方形ABCD的邊長為8M在DC上，且DM=2，N是，點AC 上的一個動點，則 DN+MN 的最小值為分析 ：根據(jù)正方形的性質(zhì)知道，點B 的對稱點是點D ，這是解題的一個關(guān)鍵點解：如圖 6 所示，因為點D 關(guān)于直線AC 的對稱點為B，連接 BM ，交 AC 于點 N，此時 DN MN 和最小，為線段 BM 因為四邊形ABCD 是正

8、方形，所以 BC=CD=8 因為 DM=2 ，所以 MC=6 ，所以 BM=10. 所以 DN+MN的最小值為10.例 7 如圖 7，在邊長為2cm 的正方形ABCD 中，點 Q 為 BC 邊的中點，點P 為對角線AC 上一動點， 連接 PB、PQ，則 PBQ 周長的最小值為cm （結(jié)果不取近似值） 第 4 頁分析 ：在這里 PBQ 周長等于 PB+PQ+BQ ，而 BQ 是正方形邊長的一半，是一個定值1，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉(zhuǎn)化成使得PB+PQ 的和最小問題因為題目中有一個動點P，兩個定點B,Q 符合對稱點法求線段和最小的思路，所以解答時可以用對稱法解 :如圖 7 所示，根據(jù)

9、正方形的性質(zhì)知道點B 與點 D 關(guān)于 AC 對稱，連接DQ，交 AC于 點P ， 連 接PB 所 以BP=DP ， 所 以BP+PQ=DP+PQ=DQ 在Rt CDQ中 ，DQ=， 所 以 PBQ的 周 長 的 最 小 值 為 ：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1故答案為+1例 8 如圖 11，在平面直角坐標系中，矩形的頂點 O 在坐標原點，頂點A、 B 分別在 x 軸、 y 軸的正半軸上，OA=3 ， OB=4 ， D 為邊 OB 的中點 .（ 1）若 E 為邊 OA 上的一個動點，當 CDE 的周長最小時，求點E 的坐標；（ 2）若 E、F 為邊 OA 上的兩個動點，且EF=2，當四邊形C

10、DEF 的周長最小時，求點E、 F 的坐標 .第 5 頁分析 ：本題的最大亮點是將一個動點求最小值和兩個動點求最小值問題糅合在一起，并很好的運用到平面直角坐標系中解：（ 1）如圖 12，作點 D 關(guān)于 x 軸的對稱點，連接 C與 x 軸交于點E，連接 DE.若在邊 OA 上任取點（與點 E 不重合），連接 C、D、.由 D+ C=+ C C= D+CE=DE+CE ，所以 的周長最小 .因為在矩形 OACB 中， OA=3,OB=4, D為 OB 的中點，所以BC=3 ， DO=O=2.所以點 C 的坐標為 （ 3，4），點的坐標為（0，-2），設(shè)直線 C的解析式為y=kx+b ，則，解得 k=2 ，b=-2 ，所以函數(shù)的解析式為y=2x-2 ，令 y=0 ，則 x=1，所以點 E的坐標為（ 1， 0）；（ 2）如圖 13，作點 D 關(guān)于 x 軸的對稱點，在 CB 邊上截取CG=2，連接G 與 x軸交于點 E，在 EA 上截 EF=2. 因為GC EF，GC=EF ，所以四邊形 GEFC 為平行四邊形，有 GE=CF.又 DC、EF 的長為定值，所以此時得到的點E、 F 使四邊形CDEF 的周長最小 .因為在矩形OACB 中， OA=3,OB=4,D 為 O