概率與過程課件：第五章 大數(shù)定律與中心極限定理 第二節(jié) 中心極限定理

1、5.2. 中心極限定理一.依分布收斂 設(shè)Xn為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，其對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)分別為Fn(x), F(x). 若在F(x)的連續(xù)點(diǎn)，有則稱Xn依分布收斂于X. 可記為二.兩個(gè)常用的中心極限定理 1、獨(dú)立同分布中心極限定理(Levy-Lindeberg) 設(shè)Xn為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，若EXk=0，k=1, 2, , 則Xn滿足中心極限定理。根據(jù)上述定理，當(dāng)n充分大時(shí)中心極限定理說明了正態(tài)分布的重要地位，它也是統(tǒng)計(jì)學(xué)中處理大樣本時(shí)的重要工具。 將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于300的概率是多少？解:設(shè)Xk為第k 次擲出的點(diǎn)數(shù),k=1,2,100,則X1,X100獨(dú)立同分布.

2、由中心極限定理例1設(shè)隨機(jī)變量 n (n=1, 2, .)服從參數(shù)為n , p(0p1)的二項(xiàng)分布，則2.德莫佛-拉普拉斯中心極限定理(De Moivre-Laplace)證明:設(shè)第i次試驗(yàn)中事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)中事件A不發(fā)生則由中心極限定理 , 結(jié)論得證 在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加壽命保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.6%，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問： (1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？(2)其他條件不變，為使保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于60000的概率不小于90%，賠償金至多可設(shè)為多少？根據(jù)上述定理，當(dāng)n充分大時(shí)例2解 設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，

3、則XB(n, p), 其中n= 10000，p=0.6%，設(shè)Y表示保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)， Y=1000012-1000X于是由中心極限定理 (1)PY0=P1000012-1000X60000=P1000012-aX60000=PX60000/a0.9;（2）設(shè)賠償金為a元，則令由中心極限定理,上式等價(jià)于(2)其他條件不變，為使保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于60000的概率不小于90%，賠償金至多可設(shè)為多少？ 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的。假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.

4、977。解：設(shè)最多可裝 n 箱，保障不超載的概率大于0.977。由中心極限定理有例3因此最多可裝 98 箱，保障不超載的概率大于0.977。例4解法一: 設(shè)Xi 為檢查第i件產(chǎn)品所花時(shí)間,則于是,檢查1900件所花時(shí)間為 ,則在8小時(shí)內(nèi)檢驗(yàn)員能夠至少檢查1900件的概率為 檢驗(yàn)員逐個(gè)檢查某種產(chǎn)品，每查一件花10秒時(shí)間，有的產(chǎn)品可能要復(fù)查一次而再花10秒時(shí)間.假定每一件產(chǎn)品需復(fù)查的概率為1/2，求在8小時(shí)內(nèi)檢驗(yàn)員能夠至少檢查1900件的概率.解法二: 設(shè)X為1900件產(chǎn)品中需復(fù)查的件數(shù),Y為檢查1900件產(chǎn)品所花時(shí)間,則 .在8小時(shí)內(nèi)檢驗(yàn)員能夠至少檢查1900件的概率為獨(dú)立同分布依分布收斂知識(shí)點(diǎn)示意圖德莫佛-拉普拉斯中心極限定理本節(jié)小結(jié)內(nèi)容：中心極限定理滿足一定條件的獨(dú)立隨機(jī)變量序列，前n項(xiàng)之