雙管齊下搞定圓錐曲線(xiàn)最值問(wèn)題

1、雙管齊下，搞定圓錐曲線(xiàn)最值問(wèn)題原文 吳濤最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中永久的話(huà)題，圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題一直是高考和競(jìng)賽中的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.由于解決這個(gè)問(wèn)題對(duì)考生的才能要求較高，許多同學(xué)對(duì)這個(gè)問(wèn)題感到比較棘手.本文以一道高考題為例，說(shuō)明解決這類(lèi)問(wèn)題的常用對(duì)策，供大家參考.題目由2022年全國(guó)高考題改編過(guò)原點(diǎn)且斜率為正值的直線(xiàn)交橢圓+y2=1于e，f兩點(diǎn)，設(shè)a2，0，b0，1求四邊形aebf的面積s的最大值函數(shù)思想是解決最值問(wèn)題最強(qiáng)有力的武器，也是解決解析幾何最值問(wèn)題最常用的方法，我們通?？捎媒⒛康暮瘮?shù)的方法解有關(guān)解析幾何的最值問(wèn)題，其解題程序可總結(jié)為：變量函數(shù)最值即，第一步：選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚⑶蟪鲎兞?/p>

2、的取值范圍目的函數(shù)的定義域第二步：把所需求最值的量用上述變量表示出來(lái)求出目的函數(shù)的解析式第三步：求出上述目的函數(shù)的最值即可得所需結(jié)論解法一以直線(xiàn)的斜率為目的函數(shù)的變量分析當(dāng)直線(xiàn)ef的斜率確定時(shí)，直線(xiàn)ef也確定了，四邊形aebf也確定，即其面積顯然隨直線(xiàn)ef的斜率變化而變化，且題設(shè)中也有所暗示，應(yīng)選取以直線(xiàn)ef的斜率為目的函數(shù)的變量是很自然的選擇.解答直線(xiàn)ab的方程為x+2y=2，設(shè)直線(xiàn)ef的斜率為k，那么直線(xiàn)ef的方程為y=kxk0如圖1，設(shè)ex1，kx1，fx2，kx2，其中x1評(píng)注這種解法思路自然，在應(yīng)試中也是一種不錯(cuò)的選擇；縱觀(guān)上述解題過(guò)程，在操作時(shí)對(duì)運(yùn)算的要求較高，在平淡中見(jiàn)真功夫.解

3、法二以直線(xiàn)的傾斜角為目的函數(shù)的變量分析同解法一，易見(jiàn)四邊形aebf的面積隨直線(xiàn)ef的傾斜角變化而變化，因此也可選擇直線(xiàn)ef的傾斜角為目的函數(shù)的變量.評(píng)注由于線(xiàn)段ef的長(zhǎng)不難用其傾斜角表示，而a，b為定點(diǎn)，要求四邊形的面積，只需求出兩條對(duì)角線(xiàn)夾角的正弦值即可.其缺乏之處是這種解法在求目的函數(shù)的解析式時(shí)運(yùn)算量顯得比較大.解法三以點(diǎn)的坐標(biāo)為目的函數(shù)的變量分析由于點(diǎn)e和f關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，而a，b為定點(diǎn)，故四邊形aebf的面積s隨點(diǎn)f的坐標(biāo)變化而變化，因此也可選擇以點(diǎn)f的坐標(biāo)為目的函數(shù)的變量.注意到得到的目的函數(shù)最好是一元函數(shù)，故可借用橢圓的參數(shù)方程表示點(diǎn)的坐標(biāo).論文網(wǎng)評(píng)注本解法在求四邊形面積時(shí)沿用理解法

4、一的思路，由于點(diǎn)e，f的坐標(biāo)與四邊形的面積關(guān)系顯得更加直接，故其運(yùn)算也顯得簡(jiǎn)單.事實(shí)上，這種解法還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化，在求四邊形aebf的面積時(shí)，也可把它分解為efa和efb的面積分別計(jì)算，且在計(jì)算中注意利用a，b的長(zhǎng)為定值這個(gè)條件，那么可使其解法更加簡(jiǎn)捷，詳見(jiàn)如下：不妨設(shè)點(diǎn)f在第一象限，由于f是橢圓+y2=1上的點(diǎn)，所以可設(shè)f2s，sin090.由于b=1，a=2所以sbef=bxe-xf=2xf=xf=2s，同理saef=2yf=2sin.所以s=2sin+s=2sin+452，所以s的最大值為2該簡(jiǎn)化后的解法之所以比前面的解法要漂亮許多，主要表如今以下兩個(gè)方面，其一是目的函數(shù)的變量選擇是合理

5、的；其二是操作過(guò)程中對(duì)面積公式的選擇也比較合理.解法四化歸為求二元函數(shù)的最值分析對(duì)于求一元函數(shù)的最值，我們比較容易駕馭，所以前面的解法所建立的目的函數(shù)均是一元函數(shù)，其實(shí)有時(shí)化為多元函數(shù)的最值問(wèn)題求解，可使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化到極致.評(píng)注把二元函數(shù)化歸為一元函數(shù)有時(shí)要通過(guò)比較繁瑣的過(guò)程，本解法與前幾種解法相比較，其不同之處是直接用柯西不等式求二元函數(shù)的最值，從而使解答過(guò)程更加簡(jiǎn)捷.由于平面解析幾何本身是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，借助圖形的幾何性質(zhì)，也是破解圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的重要對(duì)策，往往能收到事半功倍的效果解法五利用幾何意義法求解分析由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)且僅當(dāng)橢圓弧ab上的點(diǎn)f到直線(xiàn)ab的間隔 最大時(shí)，四邊形aebf的面積取最大值，不難發(fā)現(xiàn)此時(shí)的點(diǎn)f恰是橢圓平行于ab的切線(xiàn)與橢圓的公共點(diǎn).解答設(shè)直線(xiàn)l1，l2是與直線(xiàn)ab平行的橢圓的兩條切線(xiàn)，那么當(dāng)e，f分別與兩切點(diǎn)重合時(shí)，四邊形aebf的面積s取最大值.設(shè)切線(xiàn)的方程為x+2y=t，代入橢圓方程可得2x22tx+t24=0，令=4t28t2-4=0，得t=2，即兩切線(xiàn)的方程為x+2y2=0，它們的間隔 為d=，而ab=，所以sax=2.雖然圓錐曲線(xiàn)中最值問(wèn)題的題型可以千變?nèi)f化，但以上兩大對(duì)策方法仍然是其常用的解題對(duì)策；在化歸為目的函數(shù)的最值時(shí)，要特別注意目的函數(shù)的自變量的選擇，并關(guān)注目的函數(shù)的定義域.在求目的函數(shù)的解析