《計量經(jīng)濟分析方法與建模》課件第二版第06章條件異

1、第六章 條件異方差模型 EViews中的大多數(shù)統(tǒng)計工具都是用來建立隨機變量的條件均值模型。本章討論的重要工具具有與以往不同的目的建立變量的條件方差或變量波動性模型。 我們想要建模并預測其變動性通常有如下幾個原因: 首先，我們可能要分析持有某項資產(chǎn)的風險；其次，預測置信區(qū)間可能是時變性的，所以可以通過建立殘差方差模型得到更精確的區(qū)間；第三，如果誤差的異方差是能適當控制的，我們就能得到更有效的估計。 1 6.1 自回歸條件異方差模型 自回歸條件異方差(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特別用來建立條件方差模型并

2、對其進行預測的。 ARCH模型是1982年由恩格爾(Engle, R.)提出，并由博勒斯萊文(Bollerslev, T., 1986)發(fā)展成為GARCH (Generalized ARCH)廣義自回歸條件異方差。這些模型被廣泛的應用于經(jīng)濟學的各個領(lǐng)域。尤其在金融時間序列分析中。 按照通常的想法，自相關(guān)的問題是時間序列數(shù)據(jù)所特有，而異方差性是橫截面數(shù)據(jù)的特點。但在時間序列數(shù)據(jù)中，會不會出現(xiàn)異方差呢？會是怎樣出現(xiàn)的？ 2 恩格爾和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏觀數(shù)據(jù)時，發(fā)現(xiàn)這樣一些現(xiàn)象：時間序列模型中的擾動方差穩(wěn)定性比通常假設(shè)的要差。恩格爾的結(jié)論說明在分析通貨膨脹模型時，大的及

3、小的預測誤差會大量出現(xiàn)，表明存在一種異方差，其中預測誤差的方差取決于后續(xù)擾動項的大小。3 從事于股票價格、通貨膨脹率、外匯匯率等金融時間序列預測的研究工作者，曾發(fā)現(xiàn)他們對這些變量的預測能力隨時期的不同而有相當大的變化。預測的誤差在某一時期里相對地小，而在某一時期里則相對地大，然后，在另一時期又是較小的。這種變異很可能由于金融市場的波動性易受謠言、政局變動、政府貨幣與財政政策變化等等的影響。從而說明預測誤差的方差中有某種相關(guān)性。 為了刻畫這種相關(guān)性，恩格爾提出自回歸條件異方差(ARCH)模型。ARCH的主要思想是時刻 t 的ut 的方差(= t2 )依賴于時刻(t 1)的擾動項平方的大小，即依賴

4、于 t2- 1 。 4 6.1.1 ARCH模型 為了說得更具體，讓我們回到k -變量回歸模型：(6.1.1) 如果 ut 的均值為零，對 yt 取基于(t-1)時刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的關(guān)系： (6.1.2)由于 yt 的均值近似等于式（6.1.1）的估計值，所以式（6.1.1）也稱為均值方程。5 在這個模型中，變量 yt 的條件方差為 （6.1.3）其中：var(yt Yt-1)表示基于 (t-1) 時刻的信息集合Yt-1 = yt-1, yt-2, , y1的 yt 的條件方差， 假設(shè)在時刻 ( t 1 ) 所有信息已知的條件下，擾動項 ut 的條件分布是： (6.1

5、.7) 也就是，ut 遵循以0為均值，(0+1u2t-1 )為方差的正態(tài)分布。6 由于(6.1.7)中 ut 的方差依賴于前期的平方擾動項，我們稱它為ARCH(1)過程： 通常用極大似然估計得到參數(shù)0, 1, 2, , k, 0, 1的有效估計。 容易加以推廣，ARCH (p)過程可以寫為： (6.1.8)這時方差方程中的(p+1)個參數(shù)0, 1, 2, , p也要和回歸模型中的參數(shù)0, 1, 2, , k一樣，利用極大似然估計法進行估計。7 如果擾動項方差中沒有自相關(guān)，就會有 H0 ：這時 從而得到擾動項方差的同方差性情形。 恩格爾曾表明，容易通過以下的回歸去檢驗上述虛擬假設(shè)：其中，t 表示

6、從原始回歸模型（6.1.1）估計得到的OLS殘差。 8 在 ARCH(p) 過程中，由于 ut 是隨機的，ut2 不可能為負，所以對于 ut 的所有實現(xiàn)值，只有是正的，才是合理的。為使 ut2 協(xié)方差平穩(wěn)，所以進一步要求相應的特征方程 （6.1.9）的根全部位于單位圓外。如果 i（i = 1, 2, , p）都非負，式（6.1.9）等價于 1 + 2 + + p 1。 96.1.2 ARCH的檢驗 下面介紹檢驗一個模型的殘差是否含有ARCH效應的兩種方法：ARCH LM檢驗和殘差平方相關(guān)圖檢驗。 1. ARCH LM檢驗 Engle在1982年提出檢驗殘差序列中是否存在ARCH效應的拉格朗日乘

7、數(shù)檢驗（Lagrange multiplier test），即ARCH LM檢驗。自回歸條件異方差性的這個特殊的設(shè)定，是由于人們發(fā)現(xiàn)在許多金融時間序列中，殘差的大小與最近的殘差值有關(guān)。ARCH本身不能使標準的OLS估計無效，但是，忽略ARCH影響可能導致有效性降低。 10 ARCH LM檢驗統(tǒng)計量由一個輔助檢驗回歸計算。為檢驗原假設(shè)：殘差中直到q階都沒有ARCH，運行如下回歸： 式中 t 是殘差。這是一個對常數(shù)和直到 q 階的滯后平方殘差所作的回歸。這個檢驗回歸有兩個統(tǒng)計量： （1）F 統(tǒng)計量是對所有殘差平方的滯后的聯(lián)合顯著性所作的一個省略變量檢驗； （2）TR2 統(tǒng)計量是Engles LM檢

8、驗統(tǒng)計量，它是觀測值個數(shù) T 乘以回歸檢驗的 R2 ； 11 普通回歸方程的ARCH檢驗都是在殘差檢驗下拉列表中進行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二階段最小二乘法和非線性最小二乘法估計的方程才有此項檢驗。 Breusch-Pagan-GodfreyHarveyGlejserARCHWhiteCustom Test Wizard圖6.4 普通方程的ARCH檢驗列表122. 殘差平方相關(guān)圖 顯示直到所定義的滯后階數(shù)的殘差平方t2的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，計算出相應滯后階數(shù)的Ljung-Box統(tǒng)計量。殘差平方相關(guān)圖可以用來檢查殘差自回歸條件異方差性（ARCH）。如果殘差中不存在ARCH，在

9、各階滯后自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)應為0，且Q統(tǒng)計量應不顯著?？蛇m用于LS，TSLS，非線性LS方程。在圖6.4中選擇Residuals Tests/ Correlogram Squared Residuals項，它是對方程進行殘差平方相關(guān)圖的檢驗。單擊該命令，會彈出一個輸入計算自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的滯后階數(shù)設(shè)定的對話框，默認的設(shè)定為36，單擊OK按鈕，得到檢驗結(jié)果。 13 例6.1 滬市股票價格指數(shù)波動的ARCH檢驗 為了檢驗股票價格指數(shù)的波動是否具有條件異方差性，本例選擇了滬市股票的收盤價格指數(shù)的日數(shù)據(jù)作為樣本序列，這是因為上海股票市場不僅開市早，市值高，對于各種沖擊的反應較為敏感，因此，本例所

10、分析的滬市股票價格波動具有一定代表性。在這個例子中，我們選擇的樣本序列sp是1996年1月1日至2006年12月31日的上海證券交易所每日股票價格收盤指數(shù)，為了減少舍入誤差，在估計時，對sp進行自然對數(shù)處理，即將序列l(wèi)n(sp)作為因變量進行估計。14 由于股票價格指數(shù)序列常常用一種特殊的單位根過程隨機游動（Random Walk）模型描述，所以本例進行估計的基本形式為： (6.1.12) 首先利用最小二乘法，估計了一個普通的回歸方程，結(jié)果如下：(6.1.13) (2.35) (951) R2= 0.997 15 可以看出，這個方程的統(tǒng)計量很顯著，而且，擬合 的程度也很好。但是需要檢驗這個方程

11、的誤差項是否存在條件異方差性，。16 圖6.1 股票價格指數(shù)方程回歸殘差 觀察上圖，該回歸方程的殘差，我們可以注意到波動的“成群”現(xiàn)象：波動在一些較長的時間內(nèi)非常小，在其他一些較長的時間內(nèi)非常大，這說明殘差序列存在高階ARCH效應。17 因此，對式(6.1.26)進行條件異方差的ARCH LM檢驗，得到了在滯后階數(shù)p = 3時的ARCH LM檢驗結(jié)果如下。此處的P值為0，拒絕原假設(shè)，說明式（6.1.26）的殘差序列存在ARCH效應。 可以計算式（6.1.26）的殘差平方t2的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，結(jié)果說明式（6.1.26）的殘差序列存在ARCH效應。18 例6.2 中國CPI

12、模型的ARCH檢驗 本例建立CPI模型，因變量為中國的消費價格指數(shù)（上年同月=100）減去100，記為cpit；解釋變量選擇貨幣政策變量：狹義貨幣供應量M1的增長率，記為m1rt；3年期貸款利率，記為Rt，樣本期間是1994年1月2007年12月。由于是月度數(shù)據(jù)，利用X-12季節(jié)調(diào)整方法對 cpit 和 m1rt 進行了調(diào)整，結(jié)果如下： t = (19.5) (-5.17) (2.88) (-2.74) R2=0.99 對數(shù)似然值 = -167.79 AIC = 2.045 SC =2.12 19 這個方程的統(tǒng)計量很顯著，擬合的程度也很好。但是觀察該回歸方程的殘差圖，也可以注意到波動的“成群”

13、現(xiàn)象：波動在一些時期內(nèi)較小，在其他一些時期內(nèi)較大，這說明誤差項可能具有條件異方差性。20 從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應。再進行條件異方差的ARCH LM檢驗，得到了在滯后階數(shù)p = 1時的ARCH LM檢驗結(jié)果： 因此計算殘差平方t2的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，結(jié)果如下： 21 從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應。因此利用ARCH(1)模型重新估計模型（6.1.14），結(jié)果如下： 均值方程： z = (12.53) (-1.53) (4.72) (-3.85) 方差方程： z = (5.03) (3.214)

14、R2=0.99 對數(shù)似然值 = -151.13 AIC = 1.87 SC = 1.98 方差方程中的ARCH項的系數(shù)是統(tǒng)計顯著的，并且對數(shù)似然值有所增加，同時AIC和SC值都變小了，這說明ARCH(1)模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。 22 再對這個方程進行條件異方差的ARCH LM檢驗，得到了殘差序列在滯后階數(shù)p=1時的統(tǒng)計結(jié)果： 此時的相伴概率為0.69，接受原假設(shè)，認為該殘差序列不存在ARCH效應，說明利用ARCH(1)模型消除了式（6.1.14）的殘差序列的條件異方差性。式（6.1.15）的殘差平方相關(guān)圖的檢驗結(jié)果為： 自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)近似為0。這個結(jié)果也說明了殘差序列不再存在ARC

15、H效應。 23 6.1.3 GARCH模型 擾動項 ut 的方差常常依賴于很多時刻之前的變化量（特別是在金融領(lǐng)域，采用日數(shù)據(jù)或周數(shù)據(jù)的應用更是如此）。因此 必須估計很多參數(shù)，而這一點很難精確的做到。但是如果我們能夠意識到方程(6.1.8)不過是 t2 的分布滯后模型，我們就能夠用一個或兩個 t2 的滯后值代替許多 ut2 的滯后值，這就是廣義自回歸條件異方差模型(generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，簡記為GARCH模型)。在GARCH模型中，要考慮兩個不同的設(shè)定：一個是條件均值，另一個是條件方差。 24

16、 在標準化的GARCH(1,1)模型中：均值方程：(6.1.17)方差方程：(6.1.18)其中：xt 是 (k+1)1維外生變量向量， 是(k+1)1維系數(shù)向量。 (6.1.17)中給出的均值方程是一個帶有擾動項的外生變量函數(shù)。由于t2是以前面信息為基礎(chǔ)的一期向前預測方差 ，所以它被稱作條件方差，式（6.1.18）也被稱作條件方差方程 。25 (6.1.18)中給出的條件方差方程是下面三項的函數(shù)： 1常數(shù)項（均值）： 2用均值方程(6.1.11)的擾動項平方的滯后來度量從前期得到的波動性的信息： ut2-1（ARCH項）。 3上一期的預測方差： t2-1 （GARCH項）。 GARCH(1,

17、1)模型中的(1,1)是指階數(shù)為1的GARCH項（括號中的第一項）和階數(shù)為1的ARCH項（括號中的第二項）。一個普通的ARCH模型是GARCH模型的一個特例，GARCH(0,1)，即在條件方差方程中不存在滯后預測方差t2-1的說明。 26 在EViews中ARCH模型是在擾動項是條件正態(tài)分布的假定下，通過極大似然函數(shù)方法估計的。例如，對于GARCH(1,1)，t 時期的對數(shù)似然函數(shù)為：(6.1.19) 其中 (6.1.20) 這個說明通常可以在金融領(lǐng)域得到解釋，因為代理商或貿(mào)易商可以通過建立長期均值的加權(quán)平均（常數(shù)），上期的預期方差（GARCH項）和在以前各期中觀測到的關(guān)于變動性的信息（ARC

18、H項）來預測本期的方差。如果上升或下降的資產(chǎn)收益出乎意料地大，那么貿(mào)易商將會增加對下期方差的預期。這個模型還包括了經(jīng)常可以在財務收益數(shù)據(jù)中看到的變動組，在這些數(shù)據(jù)中，收益的巨大變化可能伴隨著更進一步的巨大變化。27 有兩個可供選擇的方差方程的描述可以幫助解釋這個模型： 1如果我們用條件方差的滯后遞歸地替代（6.1.18）式的右端，就可以將條件方差表示為滯后擾動項平方的加權(quán)平均： （6.1.21） 我們看到GARCH(1,1)方差說明與樣本方差類似，但是，它包含了在更大滯后階數(shù)上的，擾動項的加權(quán)條件方差。 28 2設(shè) vt = ut2 t2。用其替代方差方程（6.1.18）中的方差并整理，得到關(guān)

19、于擾動項平方的模型： （6.1.22）因此，擾動項平方服從一個異方差ARMA(1, 1)過程。決定波動沖擊持久性的自回歸的根是 加 的和。在很多情況下，這個根非常接近1，所以沖擊會逐漸減弱。 29 方差方程的回歸因子 方程(6.1.18)可以擴展成包含外生的或前定回歸因子 z 的方差方程： （6.1.23） 注意到從這個模型中得到的預測方差不能保證是正的?？梢砸氲竭@樣一些形式的回歸算子，它們總是正的，從而將產(chǎn)生負的預測值的可能性降到最小。例如，我們可以要求：30 高階GARCH(p, q)模型 高階GARCH模型可以通過選擇大于1的 p 或 q 得到估計，記作GARCH(q, p)。其方差表

20、示為：（6.1.24） 這里，q 是GARCH項的階數(shù)， p是ARCH項的階數(shù)，p0并且, (L)和(L)是滯后算子多項式。 31 為了使GARCH(q, p)模型的條件方差有明確的定義，相應的ARCH()模型 （6.1.25）的所有系數(shù)都必須是正數(shù)。只要(L)和(L)沒有相同的根并且(L)的根全部位于單位圓外，那么當且僅當0=0/(1-(L)，(L)=(L)/(1-(L)的所有系數(shù)都非負時，這個正數(shù)限定條件才會滿足。例如，對于GARCH(1, 1)模型 （6.1.26）這些條件要求所有的3個參數(shù)都是非負數(shù)。326.1.4 IGARCH模型 如果限定GARCH模型的方差方程中的參數(shù)和等于1，并

21、且去掉常數(shù)項： （6.1.27）其中 （6.1.28） 這就是Engle和Bollerslev（1986）首先提出的單整GARCH模型（Intergrated GARCH Model，IGARCH）。336.1.5 約束及回推 1約束 在估計一個GARCH模型時，有兩種方式對GARCH模型的參數(shù)進行約束（restrictions）。一個選擇是IGARCH方法，它將模型的方差方程中的所有參數(shù)之和限定為1。另一個就是方差目標（variance target）方法，它把方差方程（6.1.24）中的常數(shù)項設(shè)定為GARCH模型的參數(shù)和無條件方差的方程： （6.1.29）這里的 是殘差的無條件方差。34

22、2回推 在計算GARCH模型的回推初始方差時，首先用系數(shù)值來計算均值方程中的殘差，然后計算初始值的指數(shù)平滑算子 （6.1.30）其中：t 是來自均值方程的殘差， 是無條件方差的估計： （6.1.31）平滑參數(shù) 為0.1至1之間的數(shù)值。也可以使用無條件方差來初始化GARCH過程： （6.1.32）356.1.6 GARCH模型的殘差分布假設(shè) 在實踐中我們注意到，許多時間序列，特別是金融時間序列的無條件分布往往具有比正態(tài)分布更寬的尾部。為了更精確地描述這些時間序列分布的尾部特征，還需要對誤差項ut的分布進行假設(shè)。GARCH模型中的擾動項的分布，一般會有3個假設(shè)：正態(tài)（高斯）分布、學生t-分布和廣義

23、誤差分布（GED）。給定一個分布假設(shè)，GARCH模型常常使用極大似然估計法進行估計。下面分別介紹這3種分布，其中的 代表參數(shù)向量。 1對于擾動項服從正態(tài)分布的GARCH(1, 1)模型，它的對數(shù)似然函數(shù)為 （6.1.33）這里的t2是ut的條件方差。36 2如果擾動項服從學生t分布，GARCH(1, 1)模型的對數(shù)似然函數(shù)的形式就是 （6.1.34） 這樣，參數(shù)的估計就變成了在自由度k2的約束下使對數(shù)似然函數(shù)（6.1.34）最大化的問題。當k時，學生t-分布接近于正態(tài)分布。注 式（6.1.34）和（6.1.35）中的( )代表 函數(shù)： 若N是偶整數(shù)，則 (N/2)=12 3 (N/2)-1，有

24、(2/2)=1； 若N是奇整數(shù)，則 ， 有 。37 3擾動項的分布為廣義誤差分布（GED）時，GARCH(1, 1)模型的對數(shù)似然函數(shù)的形式為 （6.1.35）這里的參數(shù)r 0。如果r = 2，那么GED就是一個正態(tài)分布。386.1.7 ARCH-M模型 金融理論表明具有較高可觀測到風險的資產(chǎn)可以獲得更高的平均收益，其原因在于人們一般認為金融資產(chǎn)的收益應當與其風險成正比，風險越大，預期的收益就越高。這種利用條件方差表示預期風險的模型被稱為ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回歸模型。在ARCH-M中我們把條件方差引進到均值方程中: （6.1.38） ARCH-M模型的另一

25、種不同形式是將條件方差換成條件標準差：（6.1.41） 或取對數(shù) （6.1.42） 39 ARCH-M模型通常用于關(guān)于資產(chǎn)的預期收益與預期風險緊密相關(guān)的金融領(lǐng)域。預期風險的估計系數(shù)是風險收益交易的度量。例如，我們可以認為某股票指數(shù)，如上證的股票指數(shù)的收益率（returet）依賴于一個常數(shù)項及條件方差(風險)： 這種類型的模型（其中期望風險用條件方差表示）就稱為GARCH-M模型。 40在EViews中估計ARCH模型 估計GARCH和ARCH模型，首先選擇Object/ New Object/ Equation，然后在Method的下拉菜單中選擇ARCH，得到如下的對話框。圖6.5 ARCH模

26、型定義對話框41 與選擇估計方法和樣本一樣，需要指定均值方程和方差方程。 一、均值方程(Mean equation) 在因變量編輯欄中輸入均值方程形式，均值方程的形式可以用回歸列表形式列出因變量及解釋變量。如果方程包含常數(shù)，可在列表中加入C。如果需要一個更復雜的均值方程，可以用公式的形式輸入均值方程。 42 如果解釋變量的表達式中含有ARCHM項，就需要點擊對話框右上方對應的按鈕。EViews中的ARCH-M的下拉框中，有4個選項： 1.選項None表示方程中不含有ARCHM項； 2.選項Std.Dev.表示在方程中加入條件標準差； 3.選項Variance則表示在方程中含有條件方差 2。 4

27、.選項Log(Var)，表示在均值方程中加入條件方差的對數(shù)ln( 2)作為解釋變量。 43 二、方差設(shè)定和分布設(shè)定 (Variance and distribution specification) EViews的選擇模型類型列表 (1) 在下拉列表中可以選擇所要估計的ARCH模型的類型。 44 設(shè)定了模型形式以后，就可以選擇ARCH項和GARCH項的階數(shù)。缺省的形式為包含一階ARCH項和一階GARCH項的模型，這是現(xiàn)在最普遍的設(shè)定。 如果估計一個非對稱的模型，就應該在Threshold編輯欄中輸入非對稱項的數(shù)目，缺省的設(shè)置是不估計非對稱的模型，即該選項的個數(shù)為0?？梢怨烙嫼卸鄠€非對稱項的非

28、對稱模型。 這里需要注意，EViews只能估計Component ARCH (1,1)模型，也就是說如果選擇該項，則不能再選擇ARCH項和GARCH項的階數(shù)，但可以通過選擇包含非對稱項來估計非對稱Component ARCH模型，但該模型也只能包含一個非對稱項。 45 （2）在Variance欄中，可以根據(jù)需要列出包含在方差方程中的外生變量。由于EViews在進行方差回歸時總會包含一個常數(shù)項作為解釋變量，所以不必在變量表中列出C。 （3）約束（Restriction）下拉列表則允許我們進行IGARCH約束或者方差目標（variance target）約束，當然也可以不進行任何約束（None）。

29、46 (4) Error組合框可以設(shè)定誤差的分布形式： 缺省的形式：Normal（Gaussian）， 備選的選項有： Students-t； Generalized Error（GED）； Students-t with fixed df.； GED with fixed parameter。 需要注意，選擇了后兩個選項的任何一項都會彈出一個選擇框，需要在這個選擇框中分別為這兩個分布的固定參數(shù)設(shè)定一個值。47 三、估計選項（Options） EViews為我們提供了可以進入許多估計方法的設(shè)置。只要點擊Options按鈕并按要求填寫對話即可。 48 1. 回推 (Backcasting) 在缺

30、省的情況下，MA初始的擾動項和GARCH項中要求的初始預測方差都是用回推方法來確定初始值的。如果不選擇回推算法，EViews會設(shè)置殘差為零來初始化MA過程，用無條件方差來設(shè)置初始化的方差和殘差值。但是經(jīng)驗告訴我們，使用回推指數(shù)平滑算法通常比使用無條件方差來初始化GARCH模型的效果要理想。 49 2. 系數(shù)協(xié)方差 (Coefficient Covariance) 點擊Heteroskedasticity Consistent Covariances計算極大似然（QML）協(xié)方差和標準誤差。 如果懷疑殘差不服從條件正態(tài)分布，就應該使用這個選項。只有選定這一選項，協(xié)方差的估計才可能是一致的，才可能產(chǎn)

31、生正確的標準差。 注意如果選擇該項，參數(shù)估計將是不變的，改變的只是協(xié)方差矩陣。50 3. 導數(shù)方法 (Derivatives) EViews現(xiàn)在用數(shù)值導數(shù)方法來估計ARCH模型。在計算導數(shù)的時候，可以控制這種方法達到更快的速度（較大的步長計算）或者更高的精確性（較小的步長計算）。 4. 迭代估計控制 (Iterative process) 當用默認的設(shè)置進行估計不收斂時，可以通過改變初值、增加迭代的最大次數(shù)或者調(diào)整收斂準則來進行迭代控制。 5算法選擇 (Optimization algorithm) ARCH模型的似然函數(shù)不總是正規(guī)的，所以這時可以利用選擇迭代算法（Marquardt、BHHH

32、/高斯-牛頓）使其達到收斂。 51例6.3 滬市股票價格指數(shù)波動的GARCH模型 在例6.1中，檢驗了方程（6.1.13）含有ARCH效應。因此利用GARCH(1，1)模型重新估計式（6.1.12），結(jié)果如下：52 ARCH估計的結(jié)果可以分為兩部分：上半部分提供了均值方程的標準結(jié)果；下半部分，即方差方程包括系數(shù)，標準誤差，z-統(tǒng)計量和方差方程系數(shù)的P值。在方程(6.1.12)中ARCH的參數(shù)對應于，GARCH的參數(shù)對應于 。在表的底部是一組標準的回歸統(tǒng)計量，使用的殘差來自于均值方程。 注意如果在均值方程中不存在回歸量，那么這些標準回歸統(tǒng)計量，例如R2也就沒有意義了。 53 利用GARCH(1,

33、 1)模型重新估計例6.1的方程如下： 均值方程： (2.74) (1480) 方差方程： (13.49) (17.69) (75.61) R2=0.997 54 方差方程中的ARCH項和GARCH項的系數(shù)都是統(tǒng)計顯著的，說明這個模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。再對這個方程進行條件異方差的ARCHLM檢驗，取滯后階數(shù)p=3。結(jié)果統(tǒng)計量的相伴概率為P = 0.927，說明利用GARCH模型消除了原殘差序列的異方差效應。ARCH項和GARCH項的系數(shù)和小于1，滿足參數(shù)約束條件。55 利用GARCH(0, 1)模型重新估計例6.2的中國CPI模型 均值方程： (12.53) (-1.53) (4.72) (

34、-3.85) 方差方程： (5.03) (3.21) R2=0.997 56 方差方程中的ARCH項的系數(shù)是統(tǒng)計顯著的，并且對數(shù)似然值有所增加，同時AIC和SC值都變小了，這說明ARCH(1)模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。再對這個方程進行異方差的ARCH LM檢驗，得到的殘差序列在滯后階數(shù)p=1時的統(tǒng)計結(jié)果： 接受原假設(shè)，認為該殘差序列不存在ARCH效應，說明利用ARCH(1)模型消除了殘差序列的條件異方差性。57 殘差平方相關(guān)圖的檢驗結(jié)果為： 自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)近似為0。這個結(jié)果也說明了殘差序列不再存在ARCH效應。 58 例6.4 估計我國股票收益率的ARCHM模型 選擇的時間序列是199

35、6年1月1日至2006年12月31日的上海證券交易所每日股票價格收盤指數(shù)sp，股票的收益率是根據(jù)公式：re ln(spt /spt-1) ，即股票價格收盤指數(shù)對數(shù)的差分計算出來的。 ARCH-M模型： re + t + ut 5960 估計出的結(jié)果寫成方程:均值方程: (-2.5) (2.9)方差方程: (12.46) (18.38) (74.8) 對數(shù)似然值 = 8126 AIC = -5.66 SC = -5.65 在收益率方程中包括 t 的原因是為了在收益率的生成過程中融入風險測量，這是許多資產(chǎn)定價理論模型的基礎(chǔ) “均值方程假設(shè)” 的含義。在這個假設(shè)下， 應該是正數(shù)，結(jié)果 = 0.21，

36、因此我們預期較大值的條件標準差與高收益率相聯(lián)系。估計出的方程的所有系數(shù)都很顯著。并且方差方程系數(shù) + 之和小于1，滿足平穩(wěn)條件。均值方程中t 的系數(shù)為0.21，表明當市場中的預期風險增加一個百分點時，就會導致收益率也相應的增加0.21個百分點。 61ARCH模型的視圖與過程 一旦模型被估計出來，EViews會提供各種視圖和過程進行推理和診斷檢驗。 一、ARCH模型的視圖 1. Actual, Fitted, Residual 窗口列示了各種殘差形式，例如，表格，圖形和標準殘差。 2. 條件SD圖 顯示了在樣本中對每個觀測值繪制向前一步的標準偏差t 。t 時期的觀察值是由t-1期可得到的信息得出

37、的預測值。 62 3. 協(xié)方差矩陣 顯示了估計的系數(shù)協(xié)方差矩陣。大多數(shù)ARCH模型（ARCHM模型除外）的矩陣都是分塊對角的，因此均值系數(shù)和方差系數(shù)之間的協(xié)方差就十分接近零。如果在均值方程中包含常數(shù)，那么在協(xié)方差矩陣中就存在兩個C；第一個C是均值方程的常數(shù)，第二個C是方差方程的常數(shù)。 4. 系數(shù)檢驗 對估計出的系數(shù)進行標準假設(shè)檢驗。63 5. 殘差檢驗/相關(guān)圖-Q-統(tǒng)計量 顯示了標準殘差的相關(guān)圖（自相關(guān)和偏自相關(guān)）。這個窗口可以用于檢驗均值方程中的剩余的序列相關(guān)性和檢查均值方程的設(shè)定。如果均值方程是被正確設(shè)定的，那么所有的Q統(tǒng)計量都不顯著。 64 二、ARCH模型的過程 1構(gòu)造殘差序列 將殘差

38、以序列的名義保存在工作文件中，可以選擇保存普通殘差 ut 或標準殘差 ut /t 。殘差將被命名為RESID1，RESID2等等?？梢渣c擊序列窗口中的name按鈕來重新命名序列殘差。 2構(gòu)造GARCH方差序列 將條件方差t2以序列的名義保存在工作文件中。條件方差序列可以被命名為GARCH1，GARCH2等等。取平方根得到如View/Conditional SD Gragh所示的條件標準偏差。 65 3預測 例3 假設(shè)我們估計出了如下的ARCH(3) (采用Marquardt方法)模型：(留下2001年11月2001年12月的2個月做檢驗性數(shù)據(jù)) 66 使用估計的ARCH模型可以計算因變量的靜態(tài)

39、的和動態(tài)的預測值，和它的預測標準誤差和條件方差。為了在工作文件中保存預測值，要在相應的對話欄中輸入名字。如果選擇了Do gragh選項EViews就會顯示預測值圖和兩個標準偏差的帶狀圖。67 估計期間是1/02/1995- 10/30/2001，預測期間是11/01/2001 - 12/31/2001左圖表示了由均值方程和SP的預測值的兩個標準偏差帶。68696.2 非對稱ARCH模型 在資本市場中，經(jīng)?？梢园l(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：資產(chǎn)的向下運動通常伴隨著比之程度更強的向上運動。為了解釋這一現(xiàn)象，Engle和Ng（1993）繪制了好消息和壞消息的非對稱信息曲線， 波動性 0 信息70 資本市場中的沖擊

40、常常表現(xiàn)出一種非對稱效應。這種非對稱性是十分有用的，因為它允許波動率對市場下跌的反應比對市場上升的反應更加迅速，因此被稱為“杠桿效應”，是許多金融資產(chǎn)的一個重要事實特征。例如，許多研究人員發(fā)現(xiàn)了股票價格行為的非對稱實例負的沖擊似乎比正的沖擊更容易增加波動。本節(jié)將介紹2種能夠描述這種非對稱沖擊的模型：TARCH模型和EGARCH模型。 716.2.1 TARCH模型 TARCH或者門限(Threshold)ARCH模型由Zakoian (1990) 和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)獨立的引入。條件方差指定為：(6.2.1)其中，dt-1是虛擬變量：當ut-10)和

41、壞消息(ut 0 ，我們說存在杠桿效應，非對稱效應的主要效果是使得波動加大；如果 0是“好消息”，此時CPI大于貨幣政策的擬合值；ut-1 0，則 dt-1 0 ，所以該沖擊會給CPI帶來一個 = 0.69倍的沖擊。 而出現(xiàn)“壞消息”時，ut-1 0，此時 dt-1 1 ，則“壞消息”僅會帶來一個 = 0.69+(-0.568)= 0.122 倍的沖擊。 由于非對稱效應項的系數(shù) 是負數(shù)，因此所帶來的沖擊是減少CPI的波動，表明貨幣政策的實施能夠減少價格的波動。 786.2.2 EGARCH模型 EGARCH或指數(shù)（Exponential）GARCH模型由納爾什（Nelson，1991）提出。條

42、件方差被指定為： (6.2.3) 等式左邊是條件方差的對數(shù)，這意味著杠桿影響是指數(shù)的，而不是二次的，所以條件方差的預測值一定是非負的。杠桿效應的存在能夠通過 0的假設(shè)得到檢驗。當 0)和壞消息(ut 0)對條件方差有不同的影響：好消息有一個 + 的沖擊；壞消息有一個對 + (-1) 的沖擊。如果 0，則信息是非對稱的。79 EViews指定了更高階的EGARCH模型：(6.2.4) 估計EGARCH模型只要選擇ARCH指定設(shè)置下的EGARCH 項即可。 克里斯汀(Christie，1982)的研究認為，當股票價格下降時，資本結(jié)構(gòu)當中附加在債務上的權(quán)重增加，如果債務權(quán)重增加的消息泄漏以后，資產(chǎn)持

43、有者和購買者就會產(chǎn)生未來資產(chǎn)收益率將導致更高波動性的預期，從而導致該資產(chǎn)的股票價格波動。因此，對于股價反向沖擊所產(chǎn)生的波動性，大于等量正向沖擊產(chǎn)生的波動性，這種“利空消息”作用大于“利好消息”作用的非對稱性，在美國等國家的一些股價指數(shù)序列當中得到驗證。806.2.3 PARCH模型 Taylor（1986）和Schwert（1989）介紹了標準差的GARCH模型。這個模型模擬的不是方差，而是標準差。這樣，大幅沖擊對條件方差的影響比在標準GARCH模型中要小。基于這種思想，Ding et al.(1993) 對該模型進一步加以拓展，提出了PARCH（power ARCH）模型。該模型指定的條件方差方程的形式為 （6.2.6）其中： 0，當 i =1, 2, , r 時 |i| 1，當 ir 時，i = 0, r p。81 在PARCH模型中，標準差的冪參數(shù) 是估計的，而不是指定的，用來評價沖擊對條件方差的影響幅度；而 是捕捉直到 r 階的非對稱效應的參數(shù)。 在對稱的PARCH模型中，對于所有的 i，i = 0。需要注意，如果對于所有的 i， = 2 且 i = 0，PARCH模型就退化為一個標準的GARCH模型。 和前面介紹的非對稱模型一樣，只要 i 0，非對稱效應就會出現(xiàn)。