哈工大斷裂力學(xué)講義(第二章)（章節(jié)課程）

1、第二章 應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 1凌云書屋計(jì)算 值的幾種方法 1.數(shù)學(xué)分析法:復(fù)變函數(shù)法、積分變換；2.近似計(jì)算法：邊界配置法、有限元法；3.實(shí)驗(yàn)標(biāo)定法：柔度標(biāo)定法；4.實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析法：光彈性法.2凌云書屋2-1 三種基本裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算一.無限大板型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 計(jì)算 的基本公式 1.在“無限大”平板中具有長度為 的穿透板厚的裂紋表面上,距離 處各作用一對(duì)集中力P 選取復(fù)變解析函數(shù)： 3凌云書屋邊界條件： 除去 處裂紋為自由 表面上 如切出 坐標(biāo)系內(nèi)的第一象限的薄平板，在 軸所在截面上內(nèi)力總和為P 以新坐標(biāo)表示 4凌云書屋2.在無限大平板中,具有長度為 的穿透板厚的裂紋表面上,在

2、距離 的范圍內(nèi)受均布載荷q作用 利用疊加原理 集中力 令 5凌云書屋當(dāng)整個(gè)表面受均布載荷時(shí) 3.受二向均布拉力作用的無限大平板,在 軸上有一系列長度為 ,間距為 的裂紋 單個(gè)裂紋時(shí) 6凌云書屋邊界條件是周期的:7凌云書屋采用新坐標(biāo): 當(dāng) 時(shí)， 8凌云書屋取 -修正系數(shù),大于1,表示其他裂紋存在對(duì) 的影響 若裂紋間距離比裂紋本身尺寸大很多（ ）可不考慮相互作用,按單個(gè)裂紋計(jì)算. 9凌云書屋二.無限大平板、型裂紋問題應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算1.型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的普遍表達(dá)形式(無限大板): 2.無限大平板中的周期性的裂紋,且在無限遠(yuǎn)的邊界上處于平板面內(nèi)的純剪切力作用. 10凌云書屋3.型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子

3、的普遍表達(dá)形式(無限大板):4.型周期性裂紋: 11凌云書屋3-2 深埋裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 1950年,格林和斯內(nèi)登分析了彈性物體的深埋的橢圓形裂紋鄰域內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變得到橢圓表面上任意點(diǎn),沿 方向的張開位移為 其中: 第二類橢圓積分 12凌云書屋 1962年,Irwin利用上述結(jié)果計(jì)算在這種情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子 原裂紋面 13凌云書屋假設(shè):橢圓形裂紋擴(kuò)展時(shí)邊緣上任一點(diǎn) 有 均在 的平面內(nèi) 14凌云書屋新的裂紋面仍為橢圓 長軸 短軸 原有裂紋面: 擴(kuò)展后裂紋面: 以 ， 代入 原有裂紋面的邊緣 向位移 15凌云書屋16凌云書屋設(shè)各邊緣的法向平面為平面應(yīng)變,有:當(dāng) 時(shí)， 17凌云書屋在橢圓的

4、短軸方向上，即 ，有 -橢圓片狀深埋裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子 當(dāng) 時(shí)， -圓片狀深埋裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子 18凌云書屋3-3 半橢圓表面裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算一、表面線裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子 歐文假設(shè)： 半橢圓片狀表面線裂紋 與深埋橢圓裂紋的 之比等于邊裂紋平板 與中心裂紋平板的 值之比 又有 裂紋長度 板寬度 19凌云書屋當(dāng) 時(shí)， -橢圓片狀表面裂紋A處的 值 20凌云書屋二、表面深裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子深裂紋：引入前后二個(gè)自由表面 使裂紋尖端的彈性約束減少 裂紋容易擴(kuò)展 增大 彈性修正系數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定 一般情況下 前自由表面的修正系數(shù) 后自由表面的修正系數(shù) 21凌云書屋巴里斯和薛時(shí)， 接近于單邊切口試樣 時(shí)

5、， 接近于半圓形的表面裂紋 利用線性內(nèi)插法 利用中心穿透裂紋彈性體的厚度校正系數(shù)板厚 裂紋深度 淺裂紋不考后自由表面的影響 22凌云書屋柯巴亞希.沙.莫斯表面深裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子（應(yīng)為最深點(diǎn)處） 23凌云書屋2-4 其他問題應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算一、.型復(fù)合問題應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 復(fù)變數(shù)： 取復(fù)變解析函數(shù)： 取應(yīng)力函數(shù) 或 滿足雙調(diào)和方程 24凌云書屋分析第一應(yīng)力不變量 對(duì)于.型復(fù)合裂紋型： 型： 25凌云書屋、型復(fù)合裂紋在裂紋前端處的不變量 取復(fù)數(shù)形式的應(yīng)力強(qiáng)度因子 又 26凌云書屋若采用 選擇 滿足具體問題的應(yīng)力邊界條件 -復(fù)變解析函數(shù)表達(dá)的雙調(diào)和函數(shù)的普遍形式 或復(fù)變應(yīng)力函數(shù)為普遍形式 利用

6、這個(gè)方法可以求解很多”無限大”平板中的穿透裂紋問題.27凌云書屋二、無限寬板穿透裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 實(shí)際情況應(yīng)看成有限寬計(jì)算.必須考慮的自由邊界對(duì)裂紋尖端應(yīng)力場和位移場的影響.在理論上得不到完全解. 通過近似的簡化或數(shù)值計(jì)算方法. 方法:邊界配置法,有限單元法等. 邊界配置法:將應(yīng)力函數(shù)用無窮級(jí)數(shù)表達(dá),使其滿足雙調(diào)和方程和邊界條件,擔(dān)不是滿足所有的邊界條件,而是在有限寬板的邊界上,選足夠多的點(diǎn),用以確定應(yīng)力函數(shù),然后再由這樣符合邊界條件的應(yīng)力函數(shù)確定 值. 邊界配置法:只限于討論直邊界問題.28凌云書屋1.威廉氏(Williams)應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力公式 Williams應(yīng)力函數(shù) 滿足雙調(diào)和方

7、程 邊界條件:裂紋上、下表面 , 均為零 在邊界上的邊界條件的滿足如下確定:在有限寬板的邊界上選取足夠的點(diǎn),使這一點(diǎn)的邊界條件滿足. 29凌云書屋為了計(jì)算方便引入無量綱量 試件厚度 試件寬度 30凌云書屋2. 的計(jì)算 針對(duì)型裂紋 當(dāng) 時(shí), 當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) =1時(shí),在乘 后與 無關(guān).而當(dāng) =2,3時(shí),在乘 之后與 有關(guān),當(dāng) 都為零 31凌云書屋3.借用無裂紋體內(nèi)的邊界條件求系數(shù) 取含裂紋三點(diǎn)彎曲試樣的左半段的受力狀態(tài)和不含裂紋的懸臂梁受力是一樣的. 取 個(gè)點(diǎn)分析,以 有限級(jí)數(shù)代替無限級(jí)數(shù)精度足夠. 32凌云書屋對(duì)于不同的點(diǎn)有 其中 標(biāo)準(zhǔn)試件 33凌云書屋3-5 確定應(yīng)力強(qiáng)度因子的有限元法 不同裂

8、紋體在不同的開裂方式下的應(yīng)力強(qiáng)度因子是不同的.一些實(shí)驗(yàn)方法解析方法都有各自的局限性,而有限元等數(shù)值解法十分有效地求解彈塑性體的應(yīng)力和位移場,而應(yīng)力和位移場與 密切相關(guān),所以,可以通過有限元方法進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算.一.位移法求應(yīng)力強(qiáng)度因子型: 34凌云書屋有限元法 裂紋尖端位移 外推法 二.應(yīng)力法求應(yīng)力強(qiáng)度因子型: 有限元法 利用剛度法求應(yīng)力時(shí),應(yīng)力場比位移場的精度低(因應(yīng)力是位移對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)).35凌云書屋三.間接法求應(yīng)力強(qiáng)度因子(應(yīng)變能釋放率法)四. 積分法 :圍繞裂紋尖端的閉合曲線 :積分邊界上的力 :邊界上的位移 應(yīng)變能密度 線彈性問題: 36凌云書屋2-6 疊加原理及其應(yīng)用一.

9、的疊加原理及其應(yīng)用 線彈性疊加原理:當(dāng)n個(gè)載荷同時(shí)作用于某一彈性體上時(shí)，載荷組在某一點(diǎn)上引起的應(yīng)力和位移等于單個(gè)載荷在該點(diǎn)引起的應(yīng)力和位移分量之總和. 疊加原理適用于 證明: 由疊加原理有 37凌云書屋實(shí)例:鉚釘孔邊雙耳裂紋 疊加原理: 其中: 圓孔直徑 板有寬度: - 板寬的修正 38凌云書屋有效裂紋長度 確定 :無限板寬中心貫穿裂紋受集中力 作用 有限板寬: 39凌云書屋二.應(yīng)力場疊加原理及其應(yīng)用:無裂紋時(shí)外邊界約束在裂紋所處位置產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力場 應(yīng)力場疊加原理:在復(fù)雜的外界約束作用下,裂紋前端的應(yīng)力強(qiáng)度因子等于沒有外界約束,但在裂紋表面上反向作用著無裂紋時(shí)外界約束在裂紋出產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力 所致

10、的應(yīng)力強(qiáng)度因子. 40凌云書屋實(shí)例:旋轉(zhuǎn)葉輪(或軸)內(nèi)孔端裂紋 41凌云書屋1.求解無裂紋時(shí),旋轉(zhuǎn)體在無裂紋部位的內(nèi)應(yīng)力 由彈性力學(xué)有 為葉輪密度 為角速度 為葉輪內(nèi)徑 為葉輪外徑 為計(jì)算點(diǎn)的位置 平面應(yīng)力 平面應(yīng)變 一般情況下: 42凌云書屋2.根據(jù)類比原則 比較兩種情況:內(nèi)孔半徑一致,裂紋大小及組態(tài)一樣,裂紋面上下受力一致,外邊界無約束,唯一不同的是一個(gè)是有限體,一個(gè)是無限體,由于邊界是自由的 43凌云書屋 帶中心孔的無限大板,受雙向拉應(yīng)力 時(shí),孔邊附近的應(yīng)力(注意無裂紋時(shí)),由彈性力學(xué)知 3.根據(jù)疊加原理44凌云書屋2.7 實(shí)際裂紋的近似處理 利用斷裂力學(xué)進(jìn)行安全評(píng)價(jià)時(shí),首先確定缺陷的大

11、小,部位和形狀,偏于安全考慮:夾雜、空洞、氣孔、夾雜性裂紋 裂紋應(yīng)針對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析 一.缺陷群的相互作用 1.垂直外應(yīng)力的并列裂紋 并列裂紋的作用使下降 ,工程上偏安全考慮 并列裂紋作為單個(gè)裂紋考慮;對(duì)于密集的缺陷群,假定它們?cè)诳臻g規(guī)則排列,并可把 空間裂紋簡化成平面裂紋.45凌云書屋2.與外應(yīng)力垂直的面內(nèi)共線裂紋 如裂紋中心間距大于缺陷尺寸五倍以上,可做為單個(gè)裂紋處理,否則必須考慮修正. 二.裂紋形狀的影響 通過探傷手段 裂紋形狀的影響 1.探傷結(jié)果是面積當(dāng)缺陷的面積相同時(shí), 的橢圓裂紋 最大 以 的橢圓裂紋分析是偏于安全的 46凌云書屋2.探傷的結(jié)果是最大線尺寸 當(dāng)最大直徑相同時(shí),圓裂

12、紋的 比橢圓裂紋大 以圓裂紋估算偏于安全 當(dāng)缺陷長度一樣時(shí),貫穿裂紋 比其它裂紋的大 以貫穿裂紋估算偏于安全 47凌云書屋 2.8 塑性區(qū)及其修正小范圍屈服:屈服區(qū)較小時(shí)(遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于裂紋尺寸) 線彈性斷裂力學(xué)仍可用 一.塑性區(qū)的形狀和大小 1.屈服條件的一般形式 屈服條件:材料超過彈性階段而進(jìn)入塑性階段的條件. 單向拉壓: 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn): 復(fù)雜情況: 48凌云書屋2.根據(jù)屈服條件確定塑性區(qū)形狀大小 a.利用米塞斯(von.mises)屈服條件 當(dāng)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的形狀改變能密度等于單向拉伸屈服時(shí)的形狀改變能密度,材料屈服,即 對(duì)于型裂紋的應(yīng)力公式 平面應(yīng)力 49凌云書屋-平面應(yīng)力下,型裂紋前端屈服

13、區(qū)域的邊界方程 當(dāng) 時(shí), 平面應(yīng)變 -平面應(yīng)變下, 型裂紋前端屈服區(qū)的邊界方程 當(dāng) 時(shí), 50凌云書屋b.利用Tresca(屈雷斯加)屈服條件 在復(fù)雜受力下,當(dāng)最大切應(yīng)力等于材料彈性拉伸時(shí)的屈服切應(yīng)力,材料即屈服. 比較發(fā)現(xiàn):平面應(yīng)變塑性區(qū)尺寸小,平面應(yīng)變處于三向拉伸狀態(tài)不易屈服.平面應(yīng)變的有效屈服應(yīng)力 比 高 塑性區(qū)中的最大應(yīng)力 平面應(yīng)變 平面應(yīng)力 51凌云書屋3.應(yīng)力松弛的影響由于塑性變形引起應(yīng)力松弛 應(yīng)力松弛 依據(jù):單位厚含裂紋平板,在外力作用下發(fā)生局部屈服后,其凈截面的內(nèi)力應(yīng)當(dāng)與外界平衡. 塑性區(qū)尺寸增大(圖中虛線所示) 此曲線下的面積為=外力 52凌云書屋應(yīng)力松弛后: =外力 屈服區(qū)內(nèi)的最大應(yīng)力稱為有效屈服應(yīng)力 又BD與CE下的面積應(yīng)相等 (平面應(yīng)力) 在平面應(yīng)力條件下,考慮應(yīng)力松弛, 軸的屈服區(qū)擴(kuò)大1倍. 53凌云書屋平面應(yīng)變條件下: 注意:上述分析沒有考慮材料強(qiáng)化,材料強(qiáng)化.裂紋尖端塑性區(qū)的尺寸變小,對(duì)于設(shè)計(jì)是偏于安全的.54凌云書屋二.有效裂紋尺寸 基本原理:設(shè)想裂紋的計(jì)算邊界由 向右移到 ( )以便使彈性區(qū)域內(nèi)按線彈性理論所獲得的應(yīng)力 和實(shí)際應(yīng)力曲線 基本符合. 有效裂紋尺寸