極坐標(biāo)學(xué)案與練習(xí)

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程一、知識(shí)要點(diǎn)1.極坐標(biāo)系(1)極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做_，從O點(diǎn)引一條射線Ox，叫做_，再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就確定了一個(gè)極坐標(biāo)系. 設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離OM叫做點(diǎn)M的 _，記為，以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角叫做 點(diǎn)M的極角，記為.有序數(shù)對(duì)(，)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(，). (2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)為(，)，則它們之間的關(guān)系為x_，

2、y_.另一種關(guān)系為2_，tan _.2.簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程(1)直線的極坐標(biāo)方程 (R)表示過極點(diǎn)且與極軸成角的直線；cos a表示過(a,0)且垂直于極軸的直線；sin b表示過eq blc(rc)(avs4alco1(b，f(,2)且平行于極軸的直線； sin()1sin(1)表示過(1，1)且與極軸成角的直線方程.(2)圓的極坐標(biāo)方程2rcos 表示圓心在(r,0)，半徑為|r|的圓；2rsin 表示圓心在eq blc(rc)(avs4alco1(r，f(,2)，半徑為|r|的圓；r表示圓心在極點(diǎn)，半徑為|r|的圓.3.曲線的參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x

3、，y都是某個(gè)變量t的函數(shù)eq blcrc (avs4alco1(xf(t)，,yg(t).)并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值上式所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，則稱上式為該曲線的_，其中變量t稱為_.4.一些常見曲線的參數(shù)方程(1)過點(diǎn)P0(x0，y0)，且傾斜角為的直線的參數(shù)方程為_(t為參數(shù)).(2)圓的方程(xa)2(yb)2r2的參數(shù)方程為_(為參數(shù)).(3)橢圓方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的參數(shù)方程為_(為參數(shù)).(4)拋物線方程y22px(p0)的參數(shù)方程為_(t為參數(shù)).二、典型例題題型一直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化例1(1)把點(diǎn)M的極坐標(biāo)eq blc(r

4、c)(avs4alco1(5，f(,6)化成直角坐標(biāo)；(2)把點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(eq r(3)，1)化成極坐標(biāo).題型二直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化例2在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn).(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)M，N的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程.題型三曲線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用例3O1和O2的極坐標(biāo)方程分別為4cos ，4sin .(1)把O1和O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過O1，O2交點(diǎn)的直線

5、的直角坐標(biāo)方程.題型四參數(shù)方程與普通方程的互化例4把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線：(1)eq blcrc (avs4alco1(x1f(1,2)t，,y2f(r(3),2)t)(t為參數(shù))； （2）eq blcrc (avs4alco1(xf(3k,1k2)，,yf(6k2,1k2) (k為參數(shù))；(3)eq blcrc (avs4alco1(x1sin 2，,ysin cos ) (為參數(shù))； (4)eq blcrc (avs4alco1(xf(1t2,1t2)，,yf(t,1t2)(t為參數(shù)).題型五參數(shù)方程的應(yīng)用例5過點(diǎn)Peq blc(rc)(avs4alco1(f

6、(r(10),2)，0)作傾斜角為的直線與曲線x22y21交于點(diǎn)M、N，求PMPN的最大值及相應(yīng)的的值.題型六極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合應(yīng)用例6在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為xy40，曲線C的參數(shù)方程為eq blcrc (avs4alco1(xr(3)cos ，,ysin )(為參數(shù)).(1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(4，f(,2)，判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值.坐標(biāo)系與參數(shù)方程鞏固練習(xí)1在極坐標(biāo)系中，已知圓2c

7、os 與直線3cos 4sin a0相切，求實(shí)數(shù)a的值.2.從極點(diǎn)O作射線與另一直線cos 4相交于點(diǎn)M，在OM上取一點(diǎn)P，使OMOP12，求點(diǎn)P的軌跡方程.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓eq blcrc (avs4alco1(x5cos ，,y3sin )(為參數(shù))的右焦點(diǎn)，且與直線eq blcrc (avs4alco1(x42t，,y3t) (t為參數(shù))平行的直線的普通方程.4.已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為2，22eq r(2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)

8、方程.5.已知直線C1：eq blcrc (avs4alco1(x1tcos ，,ytsin )(t為參數(shù))，圓C2：eq blcrc (avs4alco1(xcos ，,ysin )(為參數(shù)).(1)當(dāng)eq f(,3)時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線.6.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq blcrc (avs4alco1(x2cos ，,y22sin )(為參數(shù)).M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足eq o(OP,sup6()2eq o(OM,sup6()，P點(diǎn)的軌跡為曲線C2.(1)求C2的方程；(2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線eq f(,3)與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求AB.7.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq blcrc (avs4alco1(x3f(r(2),2)t，,yr(5)f(r(