2021-2022學(xué)年河南省南陽(yáng)市六校高二下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題解析

1、試卷第 =page 2 2頁(yè)，共 =sectionpages 4 4頁(yè)第 Page * MergeFormat 14 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 14 頁(yè)2021-2022學(xué)年河南省南陽(yáng)市六校高二下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知，則（）A0B2C1D-2【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求即可作答.【詳解】由求導(dǎo)得：，所以.故選：B2用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（）A三個(gè)內(nèi)角都不大于B三個(gè)內(nèi)角都大于C三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于D三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于【答案】B【分析】根據(jù)反證法的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】反證法證明命題“三角

2、形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“三角形三個(gè)內(nèi)角都大于.”故選：B3給出下列三個(gè)類(lèi)比結(jié)論：與類(lèi)比，則有；與類(lèi)比，則有；與類(lèi)比，則有其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A0B1C2D3【答案】B【分析】類(lèi)比只是一種思路，結(jié)論是需要證明的，對(duì)題中所給的每個(gè)類(lèi)比，只需推導(dǎo)即可.【詳解】（1）令 ， ，故錯(cuò)誤；(2)令 ， ， ，故錯(cuò)誤；（3）根據(jù)向量的運(yùn)算規(guī)則，顯然是正確的；故選：B.4已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足關(guān)系式則的值等于（）A2B2CD【答案】D【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再令即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，即，解得，故選：D5馬拉松是一項(xiàng)歷史悠久的長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)，全程約千米.跑馬拉松對(duì)運(yùn)動(dòng)員的

3、身體素質(zhì)和耐力是極大的考驗(yàn)，專(zhuān)業(yè)的馬拉松運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的訓(xùn)練，跑步時(shí)的步幅（一步的距離）一般略低于自身的身高，若某運(yùn)動(dòng)員跑完一次全程馬拉松用了小時(shí)，則他平均每分鐘的步數(shù)可能為ABCD【答案】C【分析】先求出運(yùn)動(dòng)員每分鐘跑米，再對(duì)運(yùn)動(dòng)員每分鐘的跑步數(shù)分類(lèi)討論，排除答案即得解.【詳解】解：千米米，小時(shí)分鐘，故運(yùn)動(dòng)員每分鐘跑米；若運(yùn)動(dòng)員每分鐘跑步，則運(yùn)動(dòng)員的身高超過(guò)米不太可能；若運(yùn)動(dòng)員每分鐘跑步，則運(yùn)動(dòng)員的身高稍超過(guò)米不太可能；若運(yùn)動(dòng)員每分鐘跑步，則運(yùn)動(dòng)員的身高超過(guò)米，基本符合實(shí)際，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查推理證明，考查數(shù)據(jù)處理，屬于基礎(chǔ)題.6函數(shù)的最小值為ABCD【答案】C【分析】函數(shù)的定義域

4、為，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)求得最小值【詳解】由題得，令解得，則當(dāng)時(shí)f(x)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f(x)為增函數(shù)，所以點(diǎn)處的函數(shù)值為最小值，代入函數(shù)解得，故選C【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，解此類(lèi)題首先確定函數(shù)的定義域，其次判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定最值點(diǎn)，最后代回原函數(shù)求得最值7“干支紀(jì)年法”是我國(guó)歷法的一種傳統(tǒng)紀(jì)年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱(chēng)為“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”地支又與十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”依次對(duì)應(yīng)，“天干”以“甲”字開(kāi)始，“地支”以“子”字開(kāi)始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配順序

5、為甲子、乙丑、丙寅癸酉；甲戌、乙亥、丙子癸未；甲申、乙酉、丙戌癸巳；，共得到60個(gè)組合，稱(chēng)六十甲子，周而復(fù)始，無(wú)窮無(wú)盡2022年是“干支紀(jì)年法”中的壬寅年，那么2086年出生的孩子屬相為（）A猴B馬C羊D雞【答案】B【分析】根據(jù)60年為一個(gè)周期，2086-2022=64，再加上2022年本身，共是65年，在按照天干地支排列即可.【詳解】2086-2022=64，再加上2022年本身一共是65年，60年為一個(gè)周期，余下5年，分別是壬寅，癸卯，甲辰，乙巳，丙午，2086年出生的孩子屬馬；故選：B.8已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）ABCD【答案】D【分析】依題意，導(dǎo)函數(shù)在，上大于等于

6、0恒成立，參變分離可得，進(jìn)而得解；【詳解】解：因?yàn)?，所以，函?shù)在，上是增函數(shù)，在，上恒成立，在，上恒成立，即在，上恒成立，則只需，單調(diào)遞增， ，解得或，實(shí)數(shù)的取值范圍為；故選：D9有一個(gè)奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下：則第30行從左到右第3個(gè)數(shù)是()A929B989C1051D1111【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)陣找出數(shù)字之間的規(guī)律即可計(jì)算.【詳解】由題意，第行的第一個(gè)數(shù)為，第行的第二個(gè)數(shù)與第行的第一個(gè)數(shù)相差，第行的第三個(gè)數(shù)與第行的第一個(gè)數(shù)相差，第行的第三個(gè)數(shù)為第30行從左到右第3個(gè)數(shù)是.故選：C.10設(shè)等差數(shù)列的公差，且記，用，d分別表示，并由此猜想（）ABCD【答案】C【分析】寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，

7、裂項(xiàng)求和即可.【詳解】依題意， ， ， ， ，故猜想 ，故選：C.11一般地，對(duì)于一元三次函數(shù)，若，則為三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，已知函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為，且有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，用a表示，再求出的極大值與極小值，列式求解作答.【詳解】由函數(shù)求導(dǎo)得：，則，由解得，則有，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，由三次函數(shù)圖象與性質(zhì)知，于是得，解得，綜上得：，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A12若函數(shù)，則方程的根的個(gè)數(shù)為A1B2C3D4【答案】C【詳

8、解】當(dāng)時(shí)， ，據(jù)此可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，且 ，繪制函數(shù)圖象如圖所示，由可得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)根，當(dāng)為區(qū)間上的某一個(gè)定值時(shí)， 有唯一的實(shí)數(shù)根，綜上可得：方程的根的個(gè)數(shù)為，故選C.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式及圖象、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決選擇題、填空題是發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是正確作出函數(shù)圖象以及熟練掌握函數(shù)圖象的幾種變換. 充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問(wèn)題化難為

9、簡(jiǎn)，并迎刃而解.二、填空題13曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)【答案】【分析】求出和，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的點(diǎn)斜式方程即可求切線方程.【詳解】由，得，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即.故答案為：.14函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求解不等式即可作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，由解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：15我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)的論割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周盒體而無(wú)所失矣.”它體現(xiàn)了一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程.比如在表達(dá)式中“”既代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值，它可以通過(guò)方程求得，類(lèi)似上述過(guò)程，則_【答案】【分析】

10、先換元令，平方可得方程，解方程即可得到結(jié)果.【詳解】令，則兩邊平方得，得即，解得：或（舍去）本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算的問(wèn)題，關(guān)鍵是讀懂已知條件所給的方程的形式，從而可利用換元法來(lái)進(jìn)行求解.16若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【分析】令，參變分離表示出，構(gòu)造函數(shù)f(x)，討論f(x)的單調(diào)性和值域，作出其近似圖像，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ya與yf(x)圖像有交點(diǎn)，據(jù)此即可求出a的取值范圍.【詳解】令，易知lnxx0，則，令f(x)，x0，則，令，則，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞減，又，時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，故，f

11、(x)如圖：函數(shù)存在零點(diǎn)，則ya與yf(x)圖像有交點(diǎn)，故.故答案為：.三、解答題17求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，證明對(duì)成立即可.【詳解】，求導(dǎo)得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，因此，在上單調(diào)遞增，即，所以在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方18設(shè)，且(1)求的最小值；(2)求證：與不可能同時(shí)成立【答案】(1)4(2)證明見(jiàn)解析【分析】由所給的條件可知 ，（1）將原式化簡(jiǎn)后根據(jù)基本不等式計(jì)算即可；（2）用反證法，假設(shè)第一個(gè)不等式成立，運(yùn)算出結(jié)果與第二個(gè)不等式成立運(yùn)算的結(jié)果比較即可.【詳解】(1)依題意， ， ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)

12、，等號(hào)成立，最小值為4；(2)假設(shè) 成立， ， ，整理得 顯然 ，即 不能成立；反之亦然；綜上，最小值為4，證明見(jiàn)解析.19已知函數(shù)f(x)x3x2x.（1）求曲線yf(x)的斜率為1的切線方程；（2）當(dāng)x2，4時(shí)，求證：x6f(x)x.【答案】（1）yx與yx；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）對(duì)f(x)求導(dǎo)，求出曲線yf(x)的斜率為1時(shí)切線方程所經(jīng)過(guò)的切點(diǎn)，從而求出答案;（2）構(gòu)造g(x)f(x)x，x2，4，利用導(dǎo)函數(shù)求出g(x)的最值，從而得出結(jié)論.【詳解】（1）由f(x)x3x2x得f(x)x22x1.令f(x)1，即x22x11，得x0或x.又f(0)0，所以曲線yf(x)的斜率為

13、1的切線方程是yx與，即yx與yx.（2）證明：令g(x)f(x)x，x2，4由g(x)x3x2得g(x)x22x.令g(x)0得x0或x.g(x)，g(x)的情況如下： x2(2，0)0(0, )(,4)4g(x)00g(x)6增0減增0所以g(x)的最小值為6，最大值為0.故6g(x)0，即x6f(x)x.【點(diǎn)睛】本題考查求曲線某點(diǎn)的切線方程以及利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.20已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間及極值；(2)當(dāng)時(shí)，若有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值；(2).【分析】(1)求f(x)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)區(qū)

14、間，從而求出極值；(2)有極小值有左負(fù)右正的變號(hào)零點(diǎn).從而討論的單調(diào)性，并判斷其零點(diǎn)即可【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，f(x)的極小值為，無(wú)極大值；(2)有極小值在x0時(shí)有左負(fù)右正的變號(hào)零點(diǎn)，令，則，令，解得、的變化情況如下表：0減極小值增若，即，則，不存在變號(hào)零點(diǎn)，不合題意若，即時(shí)，(a)，(1)，使得；當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，f(x)有極小值f().綜上，21已知f(n)1，nN.（1）當(dāng)n1，2，3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系；（2）猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明【答案】（1）

15、答案見(jiàn)解析；（2）f(n)g(n)，證明見(jiàn)解析.【解析】（1）利用解析式計(jì)算、比較可得答案；（2）由（1）的結(jié)果猜想可得f(n)g(n)，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明可得答案.【詳解】（1）當(dāng)n1時(shí)，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；當(dāng)n2時(shí)，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；當(dāng)n3時(shí)，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)（2）由（1）猜想： f(n)g(n)，用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1，不等式顯然成立假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)不等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)f(k)，因?yàn)?，所以f(k1)g(k1)由可知，對(duì)一切nN，都有f(n)g(n)成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握數(shù)學(xué)歸納法原理是本題解題關(guān)鍵.22已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）依題意可得在時(shí)恒成立，令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合恒成立，確定的范圍即可【詳解】(1)解：因?yàn)槎x域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，恒有，得在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得，在上，有，單調(diào)遞增；在上，有，單調(diào)遞減綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；(2)解：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，恒成立，即時(shí)，恒成立，