正、余弦定理.

1、第七節(jié)正弦定理和余弦定理【知識(shí)梳理【知識(shí)梳理】1.1.必會(huì)知識(shí)必會(huì)知識(shí) 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)正弦定理正弦定理: : =_=_=2R(R =_=_=2R(R是是ABCABC外接圓的半徑外接圓的半徑) )asinAbsinBcsinC(2)(2)余弦定理余弦定理: :在在ABCABC中中, ,有有a a2 2=_;=_;b b2 2=_;=_;c c2 2=_.=_.在在ABCABC中中, ,有有:cosA=_;:cosA=_;cosBcosB= =_; ;cosCcosC= =_. .b b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosAc c2 2+a+a2 2-2ca

2、cosB-2cacosBa a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC222bca2bc222acb2ac222abc2ab(3)(3)在在ABCABC中中, ,已知已知a,ba,b和和A A時(shí)時(shí), ,三角形解的情況三角形解的情況: :A A為銳角為銳角A A為鈍角或直角為鈍角或直角圖形圖形關(guān)系式關(guān)系式a=bsinAa=bsinAbsinAbsinAababababab解的解的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)_一解一解兩解兩解一解一解一解一解無解無解2.2.必備結(jié)論必備結(jié)論 教材提煉記一記教材提煉記一記(1)(1)三角形的內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和定理: :在在ABCABC中中,A+B+C=_,A+B+C=

3、_,其變式有其變式有: :A+B=_, =_A+B=_, =_等等. .(2)(2)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系三角形中的三角函數(shù)關(guān)系:sin(A+B:sin(A+B)=_;)=_;cos(A+Bcos(A+B)=_;)=_;sin =_;sin =_;coscos =_. =_.-C-CAB2C22sinCsinC-cosC-cosCAB2AB2Ccos 2Csin 2(3)(3)正弦定理的公式變形正弦定理的公式變形: :a=_,a=_,b=_,c=_;b=_,c=_;sinAsinBsinCsinAsinBsinC=_;=_;sinA= ,sinB=_,sinC=_;sinA= ,sinB=_,

4、sinC=_;2RsinA2RsinA2RsinB2RsinB2RsinC2RsinCabcabca2Rb2Rc2Rabcabc.sinAsinBsinCsinAsinBsinC ab cos Cc cos B,4ba cos Cc cos A,cb cos Aa cos B.三角形中的射影定理3.3.必用技法必用技法 核心總結(jié)核心總結(jié) 看一看看一看(1)(1)常用方法：代入法、邊角轉(zhuǎn)化法常用方法：代入法、邊角轉(zhuǎn)化法. .(2)(2)數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想: :數(shù)形結(jié)合、分類討論數(shù)形結(jié)合、分類討論. .【小題快練【小題快練】1.1.思考辨析思考辨析 靜心思考判一判靜心思考判一判(1)(1)正弦定理和

5、余弦定理對(duì)任意三角形都成立正弦定理和余弦定理對(duì)任意三角形都成立.(.() )(2)(2)三角形中各邊和它所對(duì)角的弧度數(shù)之比相等三角形中各邊和它所對(duì)角的弧度數(shù)之比相等.(.() )(3)(3)已知兩邊及其夾角求第三邊已知兩邊及其夾角求第三邊, ,用余弦定理用余弦定理.(.() )(4)(4)在在ABCABC的六個(gè)元素中的六個(gè)元素中, ,已知任意三個(gè)元素可求其他元素已知任意三個(gè)元素可求其他元素.(.() )(5)(5)在在ABCABC中中, ,若若sinAsinBsinAsinB, ,則則AB.(AB.() )【解析【解析】(1)(1)正確正確. .由正弦定理和余弦定理的證明過程可知由正弦定理和余

6、弦定理的證明過程可知, ,它們對(duì)任它們對(duì)任意三角形都成立意三角形都成立. .(2)(2)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .由正弦定理可知該結(jié)論錯(cuò)誤由正弦定理可知該結(jié)論錯(cuò)誤. .(3)(3)正確正確. .由余弦定理可知該結(jié)論正確由余弦定理可知該結(jié)論正確. .(4)(4)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .當(dāng)已知三個(gè)角時(shí)不能求三邊當(dāng)已知三個(gè)角時(shí)不能求三邊. .(5)(5)正確正確. .由正弦定理知由正弦定理知sinA= ,sinBsinA= ,sinB= ,= ,由由sinAsinBsinAsinB得得ab,ab,即即AB.AB.答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)a2Rb2R2.2.教材改編教材改編

7、 鏈接教材練一練鏈接教材練一練(1)(1)(必修必修5P8T2(1)5P8T2(1)改編改編) )在在ABCABC中中, ,已知已知a=5,b=7,c=8,a=5,b=7,c=8,則則A+C=(A+C=() )A.90A.90B.120B.120C.135C.135D.150D.150【解析【解析】選選B.B.先求先求B.B.cosBcosB= =因?yàn)橐驗(yàn)? 0B180B180, ,所以所以B=60B=60, ,故故A+C=120A+C=120. .222acb2564491,2ac2 5 82 (2)(2)(必修必修5P4T1(2)5P4T1(2)改編改編) )在在ABCABC中中, ,已知

8、已知A=60A=60,B=75,B=75,c=20,c=20,則則a=a=. .【解析【解析】C=180C=180-(A+B)=180-(A+B)=180-(60-(60+75+75)=45)=45. .由正弦定理由正弦定理, ,得得 答案答案: :1010csin A20 sin 60a10 6.sin Csin 4563.3.真題小試真題小試 感悟考題試一試感悟考題試一試(1)(2014(1)(2014湖北高考湖北高考) )在在ABCABC中中, ,角角A,B,CA,B,C所對(duì)的邊分別為所對(duì)的邊分別為a,b,ca,b,c. .已知已知A= ,a=1,b= ,A= ,a=1,b= ,則則B=

9、B=. .【解析【解析】依題意依題意, ,由正弦定理知由正弦定理知 得出得出sinBsinB= =由于由于0B0Ba,ba,所以所以B=60B=60或或120120. .故滿足條件的三角形有兩個(gè)故滿足條件的三角形有兩個(gè). .(2)(2)由正弦定理得由正弦定理得, ,sinBcosC+sinCcosBsinBcosC+sinCcosB=2sinB,=2sinB,所以所以sin(B+C)=2sinB,sin(-A)=2sinB,sin(B+C)=2sinB,sin(-A)=2sinB,即即sinA=2sinB,sinA=2sinB,再由正弦定理得再由正弦定理得a=2b,a=2b,所以所以 =2.=

10、2.答案答案: :2 2bsin A6 sin 453.a22ab(3)(3)過點(diǎn)過點(diǎn)A A作作AEBCAEBC，垂足為，垂足為E E，則在，則在RtRtABEABE中，中，在在ABDABD中，中，ADB=180ADB=180-ADC=180-ADC=180-75-75=105=105. .由正弦定理得由正弦定理得AD=AD=答案：答案：1BCBE32cos B,B30 .ABAB2故AB sin B2 sin 30sin ADBsin 105162.624462【一題多解【一題多解】解答本例解答本例(1),(2)(1),(2)你還有其他方法嗎你還有其他方法嗎? ?(1)(1)選選B.B.數(shù)形

11、結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法: :如圖如圖,CD= ,CD= sin45sin45= ,= ,又又a=2,b= ,a=2,b= ,所以所以CDab,CDa2 B.xA.x2 B.x22C.2x2 D.2x2C.2x2 D.2x2x2且且xsinxsin 45 4522，所以所以2x2 .2x2 .232【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】1.1.在在ABCABC中，中，a=10a=10，B=60B=60,C=45,C=45, ,則則c c等于等于( )( )A.10+ B.10( A.10+ B.10( 1)1)C. +1 D.10 C. +1 D.10 【解析【解析】選選B.A=180B.A=180(B(BC)=18

12、0C)=180(60(60+45+45)=75)=75. .由正弦定理，得由正弦定理，得3333210asin C10sin 452c103 1 .sin Asin 756242.(20152.(2015綿陽模擬綿陽模擬) )在銳角在銳角ABCABC中中, ,角角A,BA,B所對(duì)的邊分別為所對(duì)的邊分別為a,ba,b, ,若若2asinB= b,2asinB= b,則角則角A=A=. .【解析【解析】由正弦定理得由正弦定理得2sinA2sinAsinB= sinBsinB= sinB, ,又又sinBsinB0,0,故故sinAsinA= ,= ,又又0 0A90A90, ,所以所以A=60A=

13、60. .答案答案: :606033323.(20153.(2015黃山模擬黃山模擬) )若若ABCABC的三內(nèi)角的三內(nèi)角A,B,CA,B,C滿足滿足A+C=2B,A+C=2B,且最大邊為且最大邊為最小邊的最小邊的2 2倍倍, ,則三角形三內(nèi)角之比為則三角形三內(nèi)角之比為. .【解析【解析】因?yàn)橐驗(yàn)锳+C=2BA+C=2B，不妨設(shè)，不妨設(shè)A=B-,C=B+A=B-,C=B+. .因?yàn)橐驗(yàn)锳+B+C=,A+B+C=,所以所以B-+B+B+B-+B+B+=,=,所以所以B=B=再設(shè)最小邊為再設(shè)最小邊為a,a,則最大邊為則最大邊為2a.2a.由正弦定理得由正弦定理得即即sin cos +cos sin

14、 =2(sin cos -cossin cos +cos sin =2(sin cos -cos sin ), sin ),所以所以tan = ,=tan = ,=所以三內(nèi)角分別為所以三內(nèi)角分別為 它們的比為它們的比為123.123.答案：答案：123123.3a2a,sin()sin()33sin()2sin(),33即333333.6 ,6 3 2，考點(diǎn)考點(diǎn)2 2 余弦定理的應(yīng)用余弦定理的應(yīng)用【典例【典例2 2】(1)(2015(1)(2015青島模擬青島模擬) )已知銳角三角形的邊長分別為已知銳角三角形的邊長分別為1,3,x,1,3,x,則則x x的取值范圍是的取值范圍是( () )A.

15、8x10A.8x10 B.2 x B.2 xC.2 x10C.2 x10 D. x8 D. xc,ac,已知已知 =2,cosB= ,b=3,=2,cosB= ,b=3,求求: :a a和和c c的值的值; ;cos(Bcos(B-C)-C)的的值值. .BA BC 13【解題提示【解題提示】(1)(1)使大邊的對(duì)角是銳角使大邊的對(duì)角是銳角, ,其余弦值大于其余弦值大于0,0,列不等式組求列不等式組求解解. .(2)(2)已知三邊的關(guān)系求角用余弦定理已知三邊的關(guān)系求角用余弦定理. .(3)(3)利用向量運(yùn)算及余弦定理找等量關(guān)系求解利用向量運(yùn)算及余弦定理找等量關(guān)系求解; ;利用已知條件求利用已知

16、條件求sinB,cosC,sinCsinB,cosC,sinC, ,代入公式求值代入公式求值. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.因?yàn)橐驗(yàn)?1,31,所以只需使邊長為所以只需使邊長為3 3及及x x的對(duì)角都為銳角即可的對(duì)角都為銳角即可, ,故故又因?yàn)橛忠驗(yàn)閤0,x0,所以所以 2 2x10. 22222221x3 ,8x10.13x ,即(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)?a+b+c)(a-b-c)+bc(a+b+c)(a-b-c)+bc=a=a2 2-(b+c)-(b+c)2 2+bc+bc=a=a2 2-b-b2 2-c-c2 2-bc=0,-bc=0,所以所以a a2 2=b=b2 2+

17、c+c2 2+bc,+bc,cosAcosA= =又又A(0,),A(0,),所以所以A= .A= .答案答案: : 222bcabc1.2bc2bc2 2323(3)(3)由由 =cacos=cacos B=2 B=2，所以，所以ac=6.ac=6.又由又由b=3b=3及余弦定理得及余弦定理得b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accos B-2accos B，所以所以a a2 2+c+c2 2=13=13，因?yàn)?，因?yàn)閍cac，解得，解得a=3,c=2.a=3,c=2.由由a=3,b=3,c=2a=3,b=3,c=2得得coscos C= C=sin C=sin C=由由coscos

18、 B= B= 得得sin B=sin B=所以所以cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsincos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= C=1BA BC2cos BBA BC3 ，得222abc72ab9，24 21 cos C9，1322 21 cos B;3172 24 223.393927【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】對(duì)于本例對(duì)于本例(2),(2),若若ABCABC的三邊的三邊a,b,ca,b,c滿足滿足a a2 2=b=b2 2+c+c2 2- -則則A=_.A=_.【解析【解析】由余弦定理，得由余弦定理，得coscos A= A=因?yàn)橐驗(yàn)锳(0,),A(0,

19、),所以所以A= .A= .答案：答案： 3bc,222bca3bc3,2bc2bc266【規(guī)律方法【規(guī)律方法】1.1.利用余弦定理解三角形的步驟利用余弦定理解三角形的步驟2.2.利用余弦定理判斷三角形的形狀利用余弦定理判斷三角形的形狀在在ABCABC中中,c,c是最大的邊是最大的邊, ,若若c c2 2aaa2 2+b+b2 2, ,則則ABCABC是鈍角三角形是鈍角三角形. .提醒提醒: :已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形, ,可用正弦定理可用正弦定理, ,也可用余弦定理也可用余弦定理, ,用正弦定理時(shí)用正弦定理時(shí), ,需判斷其解的個(gè)數(shù)需判斷

20、其解的個(gè)數(shù), ,用余弦定理時(shí)用余弦定理時(shí), ,可可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個(gè)數(shù)根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個(gè)數(shù). .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2015(2015合肥模擬合肥模擬) )設(shè)設(shè)ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角A,B,CA,B,C所對(duì)邊的長分所對(duì)邊的長分別為別為a,b,ca,b,c. .若若b+cb+c=2a,3sinA=5sinB,=2a,3sinA=5sinB,則角則角C=(C=() ) 【解析【解析】選選B.B.因?yàn)橐驗(yàn)?sinA=5sinB,3sinA=5sinB,所以由正弦定理可得所以由正弦定理可得3a=5b,3a=5b,所以所以a=a=因?yàn)橐驗(yàn)閎+cb+c=2a,=2a,

21、所以所以c= c= 所以所以cosCcosC= =因?yàn)橐驗(yàn)镃(0,),C(0,),所以所以C=C=235A.B.C.D.33465b.37b,3222abc1,2ab2 2.3【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】1.1.在在ABCABC中中, ,若若abcabc=357,=357,則這個(gè)三角形中最大則這個(gè)三角形中最大內(nèi)角為內(nèi)角為( () )A.60A.60 B.90 B.90 C.120 C.120D.150D.150【解析【解析】選選C.C.令令a=3x,b=5x,c=7x(x0),a=3x,b=5x,c=7x(x0),則則c c為最大邊為最大邊, ,角角C C為三角形中為三角形中最大內(nèi)角最大內(nèi)角, ,由

22、余弦定理由余弦定理, ,得得cosCcosC= = 所以所以C=120C=120. .222abc12ab2 ，2.2.在在ABCABC中中,C=60,C=60,a,b,c,a,b,c分別為角分別為角A,B,CA,B,C的對(duì)邊的對(duì)邊, ,則則 = =. .【解析【解析】因?yàn)橐驗(yàn)镃=60C=60, ,所以所以a a2 2+b+b2 2-c-c2 2=ab=ab, ,所以所以a a2 2+b+b2 2=ab+c=ab+c2 2, ,等式兩邊都加上等式兩邊都加上ac+bcac+bc, ,整理得整理得(a(a2 2+ac)+(b+ac)+(b2 2+bc)=(b+c)(a+c+bc)=(b+c)(a+

23、c),),所以所以 答案答案: :1 1abbcca 22acabbcbcacab1.bccabccabcca考點(diǎn)考點(diǎn)3 3 正、余弦定理的綜合應(yīng)用正、余弦定理的綜合應(yīng)用知知考情考情利用正、余弦定理求三角形中的邊和角、判斷三角形的形狀是高利用正、余弦定理求三角形中的邊和角、判斷三角形的形狀是高考的重要考向考的重要考向, ,常與三角恒等變換相結(jié)合常與三角恒等變換相結(jié)合, ,以選擇題、填空題、解答題以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn)的形式出現(xiàn), ,以后兩種題型為主以后兩種題型為主. .明明角度角度命題角度命題角度1:1:綜合利用正、余弦定理求角綜合利用正、余弦定理求角( (或其正、余弦值或其正、余

24、弦值) )【典例【典例3 3】(2014(2014天津高考天津高考) )在在ABCABC中中, ,內(nèi)角內(nèi)角A,B,CA,B,C所對(duì)的邊分別是所對(duì)的邊分別是a,b,ca,b,c. .已知已知b-cb-c= a,2sinB=3sinC,= a,2sinB=3sinC,則則cosAcosA的值為的值為. .【解題提示【解題提示】利用正弦定理化角為邊利用正弦定理化角為邊, ,解方程組得邊的關(guān)系解方程組得邊的關(guān)系, ,然后利用然后利用余弦定理求余弦定理求cosAcosA的值的值. .14【規(guī)范解答【規(guī)范解答】因?yàn)橐驗(yàn)?sin B=3sin C2sin B=3sin C，所以，所以2b=3c2b=3c，又

25、又b-cb-c= a,= a,解得解得b= a=2c.b= a=2c.所以所以coscos A= A=答案：答案：143c2，222bca1.2bc414命題角度命題角度2:2:判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀【典例【典例4 4】(2013(2013陜西高考改編陜西高考改編) )設(shè)設(shè)ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角A,B,CA,B,C所對(duì)的邊所對(duì)的邊分別為分別為a,b,ca,b,c, ,若若bcosC+ccosB=asinAbcosC+ccosB=asinA, ,且且sinsin2 2B=sinB=sin2 2C,C,則則ABCABC的形的形狀為狀為( () )A.A.等腰三角形等腰三角形 B.B.銳

26、角三角形銳角三角形C.C.直角三角形直角三角形 D.D.等腰直角三角形等腰直角三角形【解題提示【解題提示】由正弦定理對(duì)題中的兩個(gè)等式分別變形判斷由正弦定理對(duì)題中的兩個(gè)等式分別變形判斷. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】選選D.D.因?yàn)橐驗(yàn)閎cosC+ccosB=asinAbcosC+ccosB=asinA, ,所以由正弦定理得所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosBsinBcosC+sinCcosB=sin=sin2 2A,A,所以所以sin(B+Csin(B+C)=sin)=sin2 2A,sinA=sinA,sinA=sin2 2A,A,sinAsinA=1,=1,即即A= ,A= ,又

27、因?yàn)橛忠驗(yàn)閟insin2 2B=sinB=sin2 2C,C,所以由正弦定理得所以由正弦定理得b b2 2=c=c2 2, ,即即b=c,b=c,故故ABCABC為等腰直角三角形為等腰直角三角形. .2命題角度命題角度3:3:綜合利用正、余弦定理求邊長綜合利用正、余弦定理求邊長【典例【典例5 5】(2014(2014湖南高考湖南高考) )如圖如圖, ,在平面四邊形在平面四邊形ABCDABCD中中,AD=1,CD=2,AC= .,AD=1,CD=2,AC= .(1)(1)求求cosCADcosCAD的值的值. .(2)(2)若若cosBAD= ,sinCBAcosBAD= ,sinCBA= =

28、求求BCBC的長的長. .【解題提示【解題提示】利用余弦定理和正弦定理求解利用余弦定理和正弦定理求解. .771421,6【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)在在ADCADC中，由余弦定理，中，由余弦定理，得得cosCADcosCAD= = (2)(2)設(shè)設(shè)BAC=,BAC=,則則=BAD=BADCAD.CAD.因?yàn)橐驗(yàn)閏osCAD= ,cosBADcosCAD= ,cosBAD= =所以所以sinCADsinCAD= =222ACADCD71 42 7.2AC AD72 72 777,14222 7211 cosCAD1 (),772273 21sin BAD1 cosBAD1 ().1414

29、sinsin( BADCAD)3 21 2 77213sin BADcos CADcos BADsin CAD().1471472BCACABC.sinsin CBA37AC sin2BC3.sin CBA216于是 在中，由正弦定理得，故悟悟技法技法1.1.綜合利用正、余弦定理求邊和角的步驟綜合利用正、余弦定理求邊和角的步驟(1)(1)根據(jù)已知的邊和角畫出相應(yīng)的圖形根據(jù)已知的邊和角畫出相應(yīng)的圖形, ,并在圖中標(biāo)出并在圖中標(biāo)出. .(2)(2)結(jié)合圖形選擇用正弦定理或余弦定理求解結(jié)合圖形選擇用正弦定理或余弦定理求解. .提醒提醒: :在運(yùn)算和求解過程中注意三角恒等變換和三角形內(nèi)角和定理的在運(yùn)算

30、和求解過程中注意三角恒等變換和三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用運(yùn)用. .2.2.判斷三角形形狀的方法判斷三角形形狀的方法若已知條件中有邊又有角若已知條件中有邊又有角, ,則則(1)(1)化邊化邊: :通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系, ,從而判斷三角形從而判斷三角形的形狀的形狀. .(2)(2)化角化角: :通過三角恒等變形通過三角恒等變形, ,得出內(nèi)角的關(guān)系得出內(nèi)角的關(guān)系, ,從而判斷三角形的形狀從而判斷三角形的形狀. .此時(shí)要注意應(yīng)用此時(shí)要注意應(yīng)用A+B+C=A+B+C=這個(gè)結(jié)論這個(gè)結(jié)論. .通通一類一類1.(20131.(2013山東高考山東高考) )ABC

31、ABC的內(nèi)角的內(nèi)角A,B,CA,B,C的對(duì)邊分別是的對(duì)邊分別是a,b,ca,b,c, ,若若B=2A,a=1,b= ,B=2A,a=1,b= ,則則c=(c=() )A.2A.2 B.2 B.2 C. C. D.1 D.1【解析【解析】選選B.B.由由B=2A,B=2A,則則sinBsinB=sin2A,=sin2A,由正弦定理知由正弦定理知即即 所以所以cosAcosA= = 所以所以A=A=B=2A= B=2A= 所以所以C=C=-B-A= ,-B-A= ,所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=1+3=4,=1+3=4,故故c=2.c=2.332ab,sin Asin B133

32、3,sin Asin Bsin2A2sin Acos A32，6，3，22.(20152.(2015錦州模擬錦州模擬) )在在ABCABC中中,cos,cos2 2 (a,b,c (a,b,c分別為角分別為角A,B,A,B,C C的對(duì)邊的對(duì)邊),),則則ABCABC的形狀為的形狀為( () )A.A.等邊三角形等邊三角形 B.B.直角三角形直角三角形C.C.等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形D.D.等腰直角三角形等腰直角三角形【解析【解析】選選B.B.因?yàn)橐驗(yàn)閏oscos2 2 , ,所以所以2cos2cos2 2 所以所以cosBcosB= ,= ,所以所以 所以所以c c2 2=

33、a=a2 2+b+b2 2. .所以所以ABCABC為直角三角形為直角三角形. .Bac22cBac22cBac112c ，ac222acba2acc ，3.(20153.(2015開封模擬開封模擬) )如圖如圖ABCABC中，已知點(diǎn)中，已知點(diǎn)D D在在BCBC邊上，滿足邊上，滿足 =0=0，sinBACsinBAC= =AB=3 ,BD=AB=3 ,BD=(1)(1)求求ADAD的長的長. .(2)(2)求求coscos C. C.AD AC 2 2,323.【解析【解析】(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)樗运訟DAC,ADAC,所以所以sinBAC=sin( +BAD)=cosBADsinBAC=s

34、in( +BAD)=cosBAD, ,因?yàn)橐驗(yàn)閟inBACsinBAC= =所以所以cosBADcosBAD= =在在ABDABD中，由余弦定理可知中，由余弦定理可知BDBD2 2=AB=AB2 2+AD+AD2 2-2AB-2ABADcosBAD,ADcosBAD,即即ADAD2 2-8AD+15=0,-8AD+15=0,解之得解之得AD=5AD=5或或AD=3.AD=3.由于由于ABABAD,AD,所以所以AD=3.AD=3.AD AC0, 22 2,32 2.3(2)(2)在在ABDABD中，由正弦定理可知中，由正弦定理可知又由又由cosBADcosBAD= =可知可知sinBADsinBAD= =所以所以sinADBsinADB= =因?yàn)橐驗(yàn)锳DB=DAC+C,DAC= ,ADB=DAC+C,DAC= ,所以所以coscos C= C=BDAB,sin BADsin ADB2 2,31,3ABsin BAD6,BD326.3規(guī)范解答規(guī)范解答4 4 正、余弦定理在三角形計(jì)算中的應(yīng)用正、余弦定理在三角形計(jì)算中的應(yīng)用【典例【典例】(12(12分分)(2014)(2014天津高考天津高考) )在在ABCABC中，內(nèi)角中，內(nèi)角A A，B B，C C所對(duì)所對(duì)的邊分別為的邊分別為a,