歸納法和類比法

1、小學數(shù)學解題的思想方法小學數(shù)學解題的思想方法 類比推理類比推理 歸納法歸納法 類比推理類比推理 “我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最可我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中它應該是最不容忽視的它應該是最不容忽視的”。 德國天文學家開普德國天文學家開普勒勒 即使在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是類比。即使在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是類比。 法國數(shù)學家拉普拉斯法國數(shù)學家拉普拉斯 類比似乎在一切數(shù)學發(fā)現(xiàn)中有作用，而且在某類比似乎在一切數(shù)學發(fā)現(xiàn)中有作用，而且在某些發(fā)現(xiàn)中有它最大的作用，它是數(shù)學活動中些發(fā)現(xiàn)中有它

2、最大的作用，它是數(shù)學活動中“偉大偉大的引路人的引路人”。 匈牙利數(shù)學家波利亞匈牙利數(shù)學家波利亞 類比法是根據(jù)兩個或兩類不同的對象，在某些類比法是根據(jù)兩個或兩類不同的對象，在某些方面（如特征、屬性、關系等）的類同之處，猜測方面（如特征、屬性、關系等）的類同之處，猜測這兩個對象在其他方面也可能有類同之處，并作出這兩個對象在其他方面也可能有類同之處，并作出某種判斷的推理方法。某種判斷的推理方法。 其基本模式為：其基本模式為：A具有性質(zhì)具有性質(zhì) F1， F2， F3， Fn，P具有性質(zhì)具有性質(zhì) F1， F2， F3， Fn，具有性質(zhì)具有性質(zhì) 一、類比法的概念一、類比法的概念 如，根據(jù)算術中分數(shù)的基本性

3、質(zhì)：如，根據(jù)算術中分數(shù)的基本性質(zhì)：“分數(shù)的分分數(shù)的分子和分母同乘以或除以不為零的同一個數(shù)，分數(shù)的子和分母同乘以或除以不為零的同一個數(shù)，分數(shù)的值不變值不變”。用類比的方法可以推測代數(shù)式中分式的。用類比的方法可以推測代數(shù)式中分式的性質(zhì)：性質(zhì)：“分式的分子和分母同乘以或除以不為零的分式的分子和分母同乘以或除以不為零的同一個代數(shù)式，分式的值不變同一個代數(shù)式，分式的值不變”。 又如，對照平面中的梯形和立體中的四棱臺，又如，對照平面中的梯形和立體中的四棱臺，可以發(fā)現(xiàn)，梯形的一維元素（邊、線段）之間的關可以發(fā)現(xiàn)，梯形的一維元素（邊、線段）之間的關系與四棱臺的二維元素（面）之間的關系有許多共系與四棱臺的二維元

4、素（面）之間的關系有許多共同的地方，但二者的高例外。同的地方，但二者的高例外。3 32 20 01 1)SSS(HV 四棱臺四棱臺,)ba(hS2 2 梯梯 二、類比法的應用二、類比法的應用232319191 1191915151 1151511111 111117 71 17 73 31 16 65 5 計算計算例例 在小學數(shù)學解題中在小學數(shù)學解題中,類比也有著相當廣泛的應用類比也有著相當廣泛的應用,具體過程正如波利亞所說的那樣具體過程正如波利亞所說的那樣“選擇一個類似的、選擇一個類似的、較容易的問題去解決它，以便它可以作為一個模式。較容易的問題去解決它，以便它可以作為一個模式。然后利用這個

5、剛剛建立起來的模式，以達到原來問然后利用這個剛剛建立起來的模式，以達到原來問題的解決。題的解決?！? 65 51 15 54 41 14 43 31 13 32 21 12 21 11 1 如如 例1、有一盒糖果，只發(fā)給小班朋友，平均每人可得20顆；只發(fā)給大班朋友，平均每人可得30顆，現(xiàn)在要把糖果發(fā)給大班和小班小朋友，平均每人可得幾顆？ 例2、李老師為課外興趣小組買書，他帶的錢正好可買15本語文書或24本數(shù)學書，如果李老師先買了10本語文書后，剩下的買數(shù)學書，還可以買幾本數(shù)學書？ 例例4 4、一批布如果用來做上裝可以做、一批布如果用來做上裝可以做180180件；如果用件；如果用來做褲子可以做來

6、做褲子可以做220220件。如果用來做套裝，可以做件。如果用來做套裝，可以做多少套？多少套？三、幾種常用的類比形式三、幾種常用的類比形式1、平面與空間的類比、平面與空間的類比2、數(shù)與形的類比、數(shù)與形的類比3、解題方法上的類比、解題方法上的類比 對照平面中的梯形和立體中的四棱臺，可以發(fā)對照平面中的梯形和立體中的四棱臺，可以發(fā)現(xiàn)，梯形的一維元素（邊、線段）之間的關系與四現(xiàn)，梯形的一維元素（邊、線段）之間的關系與四棱臺的二維元素（面）之間的關系有許多共同的地棱臺的二維元素（面）之間的關系有許多共同的地方，但二者的高例外。方，但二者的高例外。3 32 20 01 1)SSS(HV 四棱臺四棱臺,)ba

7、(hS2 2 梯梯1、平面與空間的類比、平面與空間的類比的的極極小小值值。求求函函數(shù)數(shù)，均均為為正正數(shù)數(shù)，已已知知例例2 22 22 22 27 75 5b)xc(axycba ABcMXDC顯然顯然C,D,M三點共線時有極小值。三點共線時有極小值。ba2、數(shù)與形的類比、數(shù)與形的類比成成等等差差數(shù)數(shù)列列。則則若若例例z ,y,x,)zy)(yx()xz(0 04 48 85 52 2 ,acb)a(cbxax類類似似的的根根的的判判別別式式一一元元二二次次方方程程仔仔細細觀觀察察條條件件發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)它它與與0 04 40 00 02 22 2 有有等等根根的的條條件件。的的二二次次方方程程看看作作

8、是是關關于于于于是是聯(lián)聯(lián)想想到到將將已已知知條條件件0 02 2 )zy(t )xz(t )yx(:tzxy,yxzy 2 21 1 即即 不難發(fā)現(xiàn)不難發(fā)現(xiàn),方程左邊各項系數(shù)之和為方程左邊各項系數(shù)之和為0,故知方程有故知方程有兩個等根兩個等根,均為均為1,于是可利用韋達定理于是可利用韋達定理,其兩根之積為其兩根之積為: 故故x,y,z成等差數(shù)列。成等差數(shù)列。3、解題方法上的類比、解題方法上的類比 四、正確認識類比法所做出的結論四、正確認識類比法所做出的結論 類比方法是數(shù)學發(fā)現(xiàn)中一個十分重要的方法。類比方法是數(shù)學發(fā)現(xiàn)中一個十分重要的方法。但它作為一種合理推理的形式所得的結論也只能但它作為一種合理

9、推理的形式所得的結論也只能是猜想。即類比會引向發(fā)現(xiàn)也會導致錯誤。我們是猜想。即類比會引向發(fā)現(xiàn)也會導致錯誤。我們要從積極的方面去認識它的作用：其思想方法能要從積極的方面去認識它的作用：其思想方法能促使我們思考，啟發(fā)與誘導我們?nèi)ヌ接憜栴}。促使我們思考，啟發(fā)與誘導我們?nèi)ヌ接憜栴}。 歸納法歸納法 引例引例1:為了研究多面體的結構為了研究多面體的結構,可以進行這樣的觀察和可以進行這樣的觀察和實驗實驗:計算以下四面體、六面體、八面體、六棱錐、五棱計算以下四面體、六面體、八面體、六棱錐、五棱柱及四棱臺的頂點數(shù)（柱及四棱臺的頂點數(shù)（V），棱數(shù)（），棱數(shù)（E）及面數(shù)（）及面數(shù)（F），并），并將結果排列起來。將結

10、果排列起來。VEF四面體四面體六面體六面體八面體八面體六棱錐六棱錐五棱柱五棱柱四棱臺四棱臺464812661287127101578126 仔細分析一下這些數(shù)據(jù)，仔細分析一下這些數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)如下的關系：不難發(fā)現(xiàn)如下的關系： V+F-E=2笛卡兒笛卡兒-歐拉多面體定理歐拉多面體定理一、一、 歸納法的概念歸納法的概念 歸納法，是指通過特別分析引出普遍的結論歸納法，是指通過特別分析引出普遍的結論的推理方法。和類比一樣，它在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中也具的推理方法。和類比一樣，它在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中也具有十分重要的作用。有十分重要的作用。 在科學認識活動中，歸納法可以理解為用來在科學認識活動中，歸納法可以理解為用來概括由觀

11、察和實驗獲得的事實，確立科學認識基概括由觀察和實驗獲得的事實，確立科學認識基礎的客觀性，從而探索事物的規(guī)律性。即歸納常礎的客觀性，從而探索事物的規(guī)律性。即歸納常常建立在有目的、有計劃的觀察和實驗基礎上。常建立在有目的、有計劃的觀察和實驗基礎上。 歸納法也是一種或然性推理，其猜想或論斷歸納法也是一種或然性推理，其猜想或論斷盡管是符合情理的，但不一定是正確的，還需要盡管是符合情理的，但不一定是正確的，還需要有嚴格的證明。有嚴格的證明。二、二、 歸納法的類型歸納法的類型 歸納法又分為完全歸納法和不完全歸納法兩種。歸納法又分為完全歸納法和不完全歸納法兩種。 所謂完全歸納法，是根據(jù)某類事物中每一個所謂完

12、全歸納法，是根據(jù)某類事物中每一個對象的情況或每一個子類的情況，而作出關于該對象的情況或每一個子類的情況，而作出關于該類事物的一般性結論的推理。如果它的前提是真類事物的一般性結論的推理。如果它的前提是真的，那么它的結論也一定是真的。的，那么它的結論也一定是真的。 所謂不完全歸納法，是根據(jù)對某類事物中的所謂不完全歸納法，是根據(jù)對某類事物中的一部分對象的情況，而作出關于該類事物的一般一部分對象的情況，而作出關于該類事物的一般性結論的推理。性結論的推理。 三、歸納法與數(shù)學歸納法之間的關系三、歸納法與數(shù)學歸納法之間的關系 1、由于數(shù)學歸納法所證明的結論是完全可靠的，、由于數(shù)學歸納法所證明的結論是完全可靠

13、的，因此，和歸納法不同，數(shù)學歸納法屬于論證的范疇，因此，和歸納法不同，數(shù)學歸納法屬于論證的范疇，而不是猜測的方法。而不是猜測的方法。 2、數(shù)學歸納法與歸納法之間也存在著相互依賴、數(shù)學歸納法與歸納法之間也存在著相互依賴、相互滲透的辨證關系。相互滲透的辨證關系。 數(shù)學歸納法所證明的結論往往是由歸納法所得數(shù)學歸納法所證明的結論往往是由歸納法所得出的猜測，而歸納法所得出的猜測有些要用數(shù)學歸出的猜測，而歸納法所得出的猜測有些要用數(shù)學歸納法來加以證明。因此，數(shù)學歸納法是歸納法的自納法來加以證明。因此，數(shù)學歸納法是歸納法的自然發(fā)展。而且，更為重要的是，歸納的過程往往為然發(fā)展。而且，更為重要的是，歸納的過程往

14、往為應用數(shù)學歸納法去證明相應的結論打下了基礎；反應用數(shù)學歸納法去證明相應的結論打下了基礎；反之，證明的過程則加深了對原來猜測的理解。之，證明的過程則加深了對原來猜測的理解。引例引例2：觀察如下幾個等式：觀察如下幾個等式：10=3+7，20=13+7，30=13+176=3+3， 8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7再如：再如： 能否有論斷：能否有論斷：“任何一個大于任何一個大于4的偶數(shù)都的偶數(shù)都 是兩個奇質(zhì)數(shù)之和是兩個奇質(zhì)數(shù)之和”。哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 1966年，數(shù)學家陳景潤證明了年，數(shù)學家陳景潤證明了“每一個充分每一個充分大的偶數(shù)都能夠表示為一個質(zhì)數(shù)及一個不超過二大的偶數(shù)都能夠表示為一個質(zhì)數(shù)及一個不超過二個質(zhì)數(shù)的乘積之和個質(zhì)數(shù)的乘積之和”。200320032576 例例1、 的末位數(shù)字是幾？的末位數(shù)字是幾？:sn,nn項項的的和和出出前前的的情情況況著著手手分分析析，計計算算先先從從4 43 32 21 1 ,s,s ,s7 73 33