離散數(shù)學(xué)(第2.1)陳瑜

1、陳瑜陳瑜Email：2022年年7月月6日星期三日星期三2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院2 2/70/70主要內(nèi)容主要內(nèi)容n 量詞化邏輯量詞化邏輯 1.1.謂詞謂詞 2.2.量詞量詞 3.3.全總個體域全總個體域 4.4.自由變元與約束變元自由變元與約束變元 5.5.兩個量詞量化謂詞的真值兩個量詞量化謂詞的真值2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院3 3/70/70n 命題邏輯是數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)，主要研究命題和命題演命題邏輯是數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)，主要研究命題和命題演算。原子命題是命題演算的基本單位，并把它算。原子命題是命題演算的基本單位，并把它看作是看作是不可再分解

2、不可再分解。這就帶來了命題邏輯的。這就帶來了命題邏輯的局限性局限性。命題邏命題邏輯研究的范圍限制在輯研究的范圍限制在命題及其外部關(guān)系上命題及其外部關(guān)系上，無法研究，無法研究命題內(nèi)部的成份、結(jié)構(gòu)，命題之間所具有的命題內(nèi)部的成份、結(jié)構(gòu)，命題之間所具有的邏輯特征邏輯特征（如，共同性和差異性）（如，共同性和差異性）n 例例1.1 1.1 設(shè)基本命題，設(shè)基本命題，P P：李明是大學(xué)生；：李明是大學(xué)生；Q Q：王芳是大：王芳是大學(xué)生學(xué)生 R R：松樹是植物。：松樹是植物。 很明顯，很明顯，P P與與Q Q在內(nèi)部關(guān)系上，應(yīng)該比在內(nèi)部關(guān)系上，應(yīng)該比R R密切得多。密切得多。然而，命題邏輯無法反映這種區(qū)別，也無

3、法反映然而，命題邏輯無法反映這種區(qū)別，也無法反映P P、Q Q間的共同性。間的共同性。第二章第二章: :一階謂詞邏輯一階謂詞邏輯2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院4 4/70/70n 命題邏輯是數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)，主要研究命題和命題演算。原子命題是命題演算的基本單位，并把它看作是不可再分解。這就帶來了命題邏輯的局限性。命題邏輯研究的范圍限制在命題及其外部關(guān)系上，無法研究命題內(nèi)部的成份、結(jié)構(gòu)，命題之間所具有的邏輯特征（共同性和差異性）n 例例1.11.1 設(shè)基本命題，設(shè)基本命題，P P：李明是大學(xué)生；：李明是大學(xué)生；Q Q：王芳是大：王芳是大學(xué)生學(xué)生 R R：松樹是植物。：松樹是植

4、物。 很明顯，很明顯，P P與與Q Q在內(nèi)部關(guān)系上，應(yīng)該比在內(nèi)部關(guān)系上，應(yīng)該比R R密切得多。密切得多。然而，命題邏輯無法反映這種區(qū)別，也無法反映然而，命題邏輯無法反映這種區(qū)別，也無法反映P P、Q Q間的共同性。間的共同性。第二章第二章: :一階謂詞邏輯一階謂詞邏輯2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院5 5/70/70解：假設(shè)：解：假設(shè)：n例例1.21.2 ( (著名的蘇格拉底三段論著名的蘇格拉底三段論) ) 設(shè)自然語言中的三個命題：設(shè)自然語言中的三個命題： 1 1）所有的人都是要死的；所有的人都是要死的； 2 2）蘇格拉底是人；蘇格拉底是人； 3 3）所以，蘇格拉底是要死的

5、。所以，蘇格拉底是要死的。 P P：所有的人都是要死的；：所有的人都是要死的； Q Q：蘇格拉底是人。：蘇格拉底是人。 R R：所以，蘇格拉底是要死的。：所以，蘇格拉底是要死的。 顯然，無論用什么方法也無法推論出顯然，無論用什么方法也無法推論出 P P，Q Q R R。 但是，這樣簡單的，憑直覺就知蘇格拉底的論證是但是，這樣簡單的，憑直覺就知蘇格拉底的論證是正確的推理，命題邏輯卻無能為力。正確的推理，命題邏輯卻無能為力。這是由命題邏輯的這是由命題邏輯的局限性造成的，因此，需要對命題的內(nèi)部關(guān)系進行研究。局限性造成的，因此，需要對命題的內(nèi)部關(guān)系進行研究。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計

6、算機學(xué)院6 6/70/70解：假設(shè)解：假設(shè)：n例例1.21.2 (著名的蘇格拉底三段論) 設(shè)自然語言中的三個命題： 1）所有的人都是要死的； 2）蘇格拉底是人； 3）所以，蘇格拉底是要死的。 P P：所有的人都是要死的；：所有的人都是要死的； Q Q：蘇格拉底是人。：蘇格拉底是人。 R R：所以，蘇格拉底是要死的。：所以，蘇格拉底是要死的。 顯然顯然，無論用什么方法也無法推論出，無論用什么方法也無法推論出 P P，Q Q R R。 但是，這樣簡單的，憑直覺就知蘇格拉底的論證是但是，這樣簡單的，憑直覺就知蘇格拉底的論證是正確的推理，命題邏輯卻無能為力。正確的推理，命題邏輯卻無能為力。這是由命題邏

7、輯的這是由命題邏輯的局限性造成的，因此，需要對命題的內(nèi)部關(guān)系進行研究。局限性造成的，因此，需要對命題的內(nèi)部關(guān)系進行研究。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院7 7/70/70解：解：假設(shè)：n例例1.21.2 (著名的蘇格拉底三段論) 設(shè)自然語言中的三個命題： 1）所有的人都是要死的； 2）蘇格拉底是人； 3）所以，蘇格拉底是要死的。 P：所有的人都是要死的； Q：蘇格拉底是人。 R：所以，蘇格拉底是要死的。 顯然，無論用什么方法也無法推論出 P，Q R。 但是但是，這樣簡單的、憑直覺就知蘇格拉底的論證是，這樣簡單的、憑直覺就知蘇格拉底的論證是正確的推理，命題邏輯卻無能為力。正確

8、的推理，命題邏輯卻無能為力。這是由命題邏輯的這是由命題邏輯的局限性造成的，因此，局限性造成的，因此，需要對命題的內(nèi)部關(guān)系進行研究。需要對命題的內(nèi)部關(guān)系進行研究。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院8 8/70/702.1 2.1 量詞化邏輯量詞化邏輯謂詞和量詞謂詞和量詞n 一、謂詞一、謂詞 PredicatePredicate 在對命題的在對命題的內(nèi)部邏輯關(guān)系內(nèi)部邏輯關(guān)系進行研究時，把基本進行研究時，把基本命題分成命題分成客體客體( (個體）個體）和和謂詞謂詞。n 客體客體命題中所描述的對象。（命題中的主命題中所描述的對象。（命題中的主語，客觀實體，可以獨立存在的物體）。語，客

9、觀實體，可以獨立存在的物體）。n 謂詞謂詞命題中描述的個體性質(zhì)（特征）或關(guān)命題中描述的個體性質(zhì)（特征）或關(guān)系的部分。系的部分。n 謂詞一般用大寫字母（串）表示謂詞一般用大寫字母（串）表示; ;n 個體用小寫字母表示。個體用小寫字母表示。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院9 9/70/702.1 2.1 量詞化邏輯量詞化邏輯謂詞和量詞謂詞和量詞n 一、謂詞一、謂詞 PredicatePredicate 在對命題的內(nèi)部邏輯關(guān)系進行研究時，把基本命題分成客體(個體）和謂詞。n 客體客體命題中所描述的對象。（命題中的主命題中所描述的對象。（命題中的主語，客觀實體，可以獨立存在的物體）

10、。語，客觀實體，可以獨立存在的物體）。n 謂詞謂詞命題中描述的個體性質(zhì)（特征）或關(guān)命題中描述的個體性質(zhì)（特征）或關(guān)系的部分。系的部分。n 謂詞一般用大寫字母（串）表示謂詞一般用大寫字母（串）表示; ;n 個體用小寫字母表示。個體用小寫字母表示。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院1010/70/702.1 2.1 量詞化邏輯量詞化邏輯謂詞和量詞謂詞和量詞n 一、謂詞一、謂詞 PredicatePredicate 在對命題的內(nèi)部邏輯關(guān)系進行研究時，把基本命題分成客體(個體）和謂詞。n 客體命題中所描述的對象。（命題中的主語，客觀實體，可以獨立存在的物體）。n 謂詞命題中描述的個體

11、性質(zhì)（特征）或關(guān)系的部分。n 謂詞一般用大寫字母（串）表示謂詞一般用大寫字母（串）表示; ;n 個體用小寫字母表示。個體用小寫字母表示。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院1111/70/70n 例例1.31.3如有句子：如有句子：張紅張紅是一個四川大學(xué)的學(xué)生是一個四川大學(xué)的學(xué)生；王南王南是一個四川大學(xué)的學(xué)生是一個四川大學(xué)的學(xué)生；李華李華是一個四川大學(xué)的學(xué)生是一個四川大學(xué)的學(xué)生。 則在命題中必須要用三個命題則在命題中必須要用三個命題P P，Q Q，R R來表示。來表示。但是，它們都具有一個共同的特征：但是，它們都具有一個共同的特征： “ “是一個是一個四川大學(xué)的四川大學(xué)的學(xué)生學(xué)

12、生”因此，若將句子分解成：因此，若將句子分解成：“主語謂語主語謂語”用用P P表示表示“是一個是一個四川大學(xué)的四川大學(xué)的學(xué)生學(xué)生”，P P后緊跟后緊跟“某某某某人人”。則上述句子可寫為：。則上述句子可寫為：P(P(張紅張紅) )；P(P(王南王南) )；P(P(李華李華) )。一般地，一般地，P(xP(x) )：x x是一個是一個四川大學(xué)的四川大學(xué)的學(xué)生。學(xué)生。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院1212/70/70n 例例1.31.3如有句子：張紅是一個四川大學(xué)的學(xué)生；王南是一個四川大學(xué)的學(xué)生；李華是一個四川大學(xué)的學(xué)生。 則在命題中必須要用三個命題P，Q，R來表示。但是，它們

13、都具有一個共同的特征：但是，它們都具有一個共同的特征： “是一個是一個四川大學(xué)的四川大學(xué)的學(xué)生學(xué)生”因此，若將句子分解成：因此，若將句子分解成：“主語謂語主語謂語”用用P P表示表示“是一個是一個四川大學(xué)的四川大學(xué)的學(xué)生學(xué)生”，P P后緊跟后緊跟“某某某某人人”。則上述句子可寫為：。則上述句子可寫為：P(P(張紅張紅) )；P(P(王南王南) )；P(P(李華李華) )。一般地，一般地，P(xP(x) )：x x是一個是一個四川大學(xué)的四川大學(xué)的學(xué)生。學(xué)生。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院1313/70/70n 例例1.31.3如有句子：張紅是一個四川大學(xué)的學(xué)生；王南是一個四

14、川大學(xué)的學(xué)生；李華是一個四川大學(xué)的學(xué)生。 則在命題中必須要用三個命題P，Q，R來表示。但是，它們都具有一個共同的特征： “是一個四川大學(xué)的學(xué)生”因此，若將句子分解成：“主語謂語”用P表示“是一個四川大學(xué)的學(xué)生”，P后緊跟“某某人”。則上述句子可寫為：P(張紅)；P(王南)；P(李華)。一般地一般地，P(xP(x) )：x x是一個是一個四川大學(xué)的四川大學(xué)的學(xué)生。學(xué)生。P P：謂詞：謂詞x x：客體詞：客體詞P(x)P(x)：命題函數(shù)：命題函數(shù)2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院1414/70/70n 與謂詞相聯(lián)系的個體的數(shù)目，就是與謂詞相聯(lián)系的個體的數(shù)目，就是謂詞的元數(shù)謂詞的元

15、數(shù)。 描述描述一個個體的性質(zhì)的謂詞一個個體的性質(zhì)的謂詞叫叫“一元謂詞一元謂詞”。 描述描述兩個個體間的關(guān)系的謂詞兩個個體間的關(guān)系的謂詞叫叫“二元謂詞二元謂詞”。 如如A A：比比大大 命題命題4 4比比3 3大表示成大表示成A A（4 4，3 3） 描述描述三個個體間的關(guān)系三個個體間的關(guān)系的謂詞叫的謂詞叫“三元謂詞三元謂詞”。 如如B B：在在和和之間之間 B B（n,c,zn,c,z）：內(nèi)江在成都與重慶之間。）：內(nèi)江在成都與重慶之間。n 定義定義2.12.1：設(shè)：設(shè)D D是由客體構(gòu)成的稱為個體域的非空集合，是由客體構(gòu)成的稱為個體域的非空集合，以以D D中元素為值的變元稱為客體變元。由形如中元

16、素為值的變元稱為客體變元。由形如 謂詞標(biāo)識符（客體變元謂詞標(biāo)識符（客體變元1 1，客體變元，客體變元2 2，客體變元，客體變元n n） 構(gòu)成的、其值為構(gòu)成的、其值為“真真”或或“假假”的表達式，稱為的表達式，稱為n n元謂詞。元謂詞。 即即n n元謂詞是描述元謂詞是描述n n個個體間的關(guān)系個個體間的關(guān)系。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院1515/70/70n 與謂詞相聯(lián)系的個體的數(shù)目，就是謂詞的元數(shù)。 描述一個個體的性質(zhì)的謂詞叫“一元謂詞”。 描述兩個個體間的關(guān)系的謂詞叫“二元謂詞”。 如A：比大 命題4比3大表示成A（4，3） 描述三個個體間的關(guān)系的謂詞叫“三元謂詞”。

17、如B：在和之間 B（n,c,z）：內(nèi)江在成都與重慶之間。n 定義定義2.12.1：設(shè)設(shè)D D是由客體構(gòu)成的稱為是由客體構(gòu)成的稱為個體域個體域的非空集合，的非空集合，以以D D中元素為值的變元稱為客體變元。由形如中元素為值的變元稱為客體變元。由形如 謂詞標(biāo)識符（客體變元謂詞標(biāo)識符（客體變元1 1，客體變元，客體變元2 2，客體變元，客體變元n n） 構(gòu)成的、其值為構(gòu)成的、其值為“真真”或或“假假”的的表達式表達式，稱為，稱為n n元謂詞元謂詞。 即即n n元謂詞是描述元謂詞是描述n n個個體間的關(guān)系個個體間的關(guān)系。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院1616/70/70n定義定義

18、2.12.1：設(shè)設(shè)D D為非空的個體域，定義在為非空的個體域，定義在D Dn n( (表示表示n n個個客體都在個體域客體都在個體域D D上取值上取值) )上取值于上取值于0,10,1上的上的n n元元函 數(shù) ， 稱 為函 數(shù) ， 稱 為 n n 元 命 題 函 數(shù) 或元 命 題 函 數(shù) 或 n n 元 謂 詞元 謂 詞 , , 記 為記 為P(xP(x1 1,x,x2 2, ,x,xn n) )。此時，。此時，客體變元客體變元x x1 1,x,x2 2, ,x,xn n的定義的定義域都為域都為D D， P(xP(x1 1,x,x2 2, ,x,xn n) )的值域為的值域為00，1 1。n注

19、意：注意：n n元謂詞中的客體或客體變元是有一定次序的。元謂詞中的客體或客體變元是有一定次序的。 如如A A（4 4，3 3）為）為T T，A A（3 3，4 4）為）為F F。 如果謂詞中為客體變元如果謂詞中為客體變元, ,我們稱為謂詞填式我們稱為謂詞填式( (謂詞命謂詞命名式名式,n,n元命題函數(shù)元命題函數(shù)) )。 如如S(x),A(x,yS(x),A(x,y) )，不能判斷真和假。，不能判斷真和假。 只有將具體的客體代替客體變元，才能判斷真和假。只有將具體的客體代替客體變元，才能判斷真和假。 2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院1717/70/70n定義2.1：設(shè)D為非空

20、的個體域，定義在Dn(表示n個客體都在個體域D上取值)上取值于0,1上的n元函數(shù)，稱為n元命題函數(shù)或n元謂詞,記為P(x1,x2,xn)。此時，客體變元x1,x2,xn的定義域都為D， P(x1,x2,xn)的值域為0，1。n注意：注意：n n元謂詞中的客體或客體變元是有一定次序的。元謂詞中的客體或客體變元是有一定次序的。 如如A A（4 4，3 3）為）為T T，A A（3 3，4 4）為）為F F。 如果謂詞中為客體變元如果謂詞中為客體變元, ,我們稱為我們稱為謂詞填式謂詞填式( (謂詞命謂詞命名式名式,n,n元命題函數(shù)元命題函數(shù)) )。 如如S(x),A(x,yS(x),A(x,y) )

21、，不能判斷真和假。，不能判斷真和假。 只有將具體的客體代替客體變元，才能判斷真和假。只有將具體的客體代替客體變元，才能判斷真和假。 2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院1818/70/70n 客體取值的范圍叫客體取值的范圍叫個體域個體域( (論域論域) )。 謂詞通常用于高級程序語言的控制語句中，謂詞通常用于高級程序語言的控制語句中， 如如 if x3 then y:=5if x3 then y:=5 x3 x3是謂詞，是謂詞，x3x3的值由的值由x x的現(xiàn)行值確定。的現(xiàn)行值確定。n n n元謂詞和命題的關(guān)系：元謂詞和命題的關(guān)系： P(x,y,z):x+yP(x,y,z):x+

22、y=z 3=z 3元謂詞元謂詞 x=3,P(3,y,z):3+y=z 2x=3,P(3,y,z):3+y=z 2元謂詞元謂詞 x=3,y=4,P(3,4,z):3+4=z 1x=3,y=4,P(3,4,z):3+4=z 1元謂詞元謂詞 x=3,y=4,z=5,P(3,4,5):3+4=5 0 x=3,y=4,z=5,P(3,4,5):3+4=5 0元謂詞元謂詞( (命題命題)F)Fn 可見，可見， 0 0元謂詞就是命題；命題是謂詞的特殊情況，謂詞是命題元謂詞就是命題；命題是謂詞的特殊情況，謂詞是命題的擴充。的擴充。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院1919/70/70n 客體

23、取值的范圍叫個體域(論域)。 謂詞通常用于高級程序語言的控制語句中， 如 if x3 then y:=5 x3是謂詞，x3的值由x的現(xiàn)行值確定。n n n元謂詞和命題的關(guān)系：元謂詞和命題的關(guān)系： P(x,y,z):x+yP(x,y,z):x+y=z 3=z 3元謂詞元謂詞 x=3,P(3,y,z):3+y=z 2x=3,P(3,y,z):3+y=z 2元謂詞元謂詞 x=3,y=4,P(3,4,z):3+4=z 1x=3,y=4,P(3,4,z):3+4=z 1元謂詞元謂詞 x=3,y=4,z=5,P(3,4,5):3+4=5 0 x=3,y=4,z=5,P(3,4,5):3+4=5 0元謂詞元

24、謂詞( (命題命題)F)Fn 可見，可見， 0 0元謂詞就是命題；命題是謂詞的特殊情況，謂詞是命題元謂詞就是命題；命題是謂詞的特殊情況，謂詞是命題的擴充。的擴充。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院2020/70/70n 客體取值的范圍叫個體域(論域)。 謂詞通常用于高級程序語言的控制語句中， 如 if x3 then y:=5 x3是謂詞，x3的值由x的現(xiàn)行值確定。n n元謂詞和命題的關(guān)系： P(x,y,z):x+y=z 3元謂詞 x=3,P(3,y,z):3+y=z 2元謂詞 x=3,y=4,P(3,4,z):3+4=z 1元謂詞 x=3,y=4,z=5,P(3,4,5):

25、3+4=5 0元謂詞(命題)Fn 可見，可見， 0 0元謂詞就是命題；命題是謂詞的特殊情況，謂詞是命題元謂詞就是命題；命題是謂詞的特殊情況，謂詞是命題的擴充。的擴充。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院2121/70/70n 個體域?qū)γ}的真值有個體域?qū)γ}的真值有直接的影響直接的影響。 如如P(xP(x) :x) :x是科學(xué)家。是科學(xué)家。 x x在科學(xué)家范圍內(nèi)，則在科學(xué)家范圍內(nèi)，則P(xP(x) )為為T T，x x不在科學(xué)家不在科學(xué)家范圍內(nèi)，則范圍內(nèi)，則P(xP(x) )為為F F。 x x只在科學(xué)家范圍內(nèi)，則只在科學(xué)家范圍內(nèi)，則P(xP(x) )為永真。為永真。n 每個謂

26、詞一般都有各自的個體域，把各種個體每個謂詞一般都有各自的個體域，把各種個體域綜合在一起作為論述范圍的域叫全總個體域域綜合在一起作為論述范圍的域叫全總個體域（全論域）用（全論域）用E E表示。表示。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院2222/70/70n 個體域?qū)γ}的真值有直接的影響。 如P(x) :x是科學(xué)家。 x在科學(xué)家范圍內(nèi)，則P(x)為T，x不在科學(xué)家范圍內(nèi)，則P(x)為F。 x只在科學(xué)家范圍內(nèi)，則P(x)為永真。n 每個謂詞一般都有各自的個體域，把各種個體每個謂詞一般都有各自的個體域，把各種個體域綜合在一起作為論述范圍的域叫域綜合在一起作為論述范圍的域叫全總個體域全

27、總個體域（全論域）（全論域）用用E E表示。表示。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院2323/70/70幾個結(jié)論幾個結(jié)論1 1）謂詞中個體詞的順序是十分重要的，不能隨意變更。謂詞中個體詞的順序是十分重要的，不能隨意變更。2 2）一元謂詞用以描述某一個客體的某種特性或性質(zhì)，而）一元謂詞用以描述某一個客體的某種特性或性質(zhì)，而n n元謂詞（二個以上）則用以描述元謂詞（二個以上）則用以描述n n個客體之間的關(guān)系。個客體之間的關(guān)系。3 3）0 0元謂詞元謂詞( (不含客體詞的不含客體詞的) )實際上就是一般的命題。實際上就是一般的命題。4 4）具體命題的謂詞表示形式和）具體命題的謂詞表

28、示形式和n n元命題函數(shù)元命題函數(shù)(n(n元謂詞元謂詞) )是是不同的，前者是有真值的，而后者不是命題，它的真不同的，前者是有真值的，而后者不是命題，它的真值是不確定的。值是不確定的。5 5）一個）一個n n元謂詞不是一個命題，但將元謂詞不是一個命題，但將n n元謂詞中的客體變元謂詞中的客體變元都用個體域中具體的客體取代后，就成為一個命題。元都用個體域中具體的客體取代后，就成為一個命題。而且，客體變元在不同的個體域中取不同的值對是否而且，客體變元在不同的個體域中取不同的值對是否成為命題及命題的真值有很大的影響。成為命題及命題的真值有很大的影響。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)

29、院2424/70/70幾個結(jié)論幾個結(jié)論1 1）謂詞中個體詞的順序是十分重要的，不能隨意變更。2 2）一元謂詞用以描述某一個客體的某種特性或性質(zhì)，而）一元謂詞用以描述某一個客體的某種特性或性質(zhì)，而n n元謂詞（二個以上）則用以描述元謂詞（二個以上）則用以描述n n個客體之間的關(guān)系個客體之間的關(guān)系。3 3）0 0元謂詞元謂詞( (不含客體詞的不含客體詞的) )實際上就是一般的命題。實際上就是一般的命題。4 4）具體命題的謂詞表示形式和）具體命題的謂詞表示形式和n n元命題函數(shù)元命題函數(shù)(n(n元謂詞元謂詞) )是是不同的，前者是有真值的，而后者不是命題，它的真不同的，前者是有真值的，而后者不是命題

30、，它的真值是不確定的。值是不確定的。5 5）一個）一個n n元謂詞不是一個命題，但將元謂詞不是一個命題，但將n n元謂詞中的客體變元謂詞中的客體變元都用個體域中具體的客體取代后，就成為一個命題。元都用個體域中具體的客體取代后，就成為一個命題。而且，客體變元在不同的個體域中取不同的值對是否而且，客體變元在不同的個體域中取不同的值對是否成為命題及命題的真值有很大的影響。成為命題及命題的真值有很大的影響。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院2525/70/70幾個結(jié)論幾個結(jié)論1 1）謂詞中個體詞的順序是十分重要的，不能隨意變更。2 2）一元謂詞用以描述某一個客體的某種特性或性質(zhì)，而n

31、元謂詞（二個以上）則用以描述n個客體之間的關(guān)系。3 3）0 0元謂詞元謂詞( (不含客體詞的不含客體詞的) )實際上就是一般的命題。實際上就是一般的命題。4 4）具體命題的謂詞表示形式和）具體命題的謂詞表示形式和n n元命題函數(shù)元命題函數(shù)(n(n元謂詞元謂詞) )是是不同的，前者是有真值的，而后者不是命題，它的真不同的，前者是有真值的，而后者不是命題，它的真值是不確定的。值是不確定的。5 5）一個）一個n n元謂詞不是一個命題，但將元謂詞不是一個命題，但將n n元謂詞中的客體變元謂詞中的客體變元都用個體域中具體的客體取代后，就成為一個命題。元都用個體域中具體的客體取代后，就成為一個命題。而且，

32、客體變元在不同的個體域中取不同的值對是否而且，客體變元在不同的個體域中取不同的值對是否成為命題及命題的真值有很大的影響。成為命題及命題的真值有很大的影響。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院2626/70/70幾個結(jié)論幾個結(jié)論1 1）謂詞中個體詞的順序是十分重要的，不能隨意變更。2 2）一元謂詞用以描述某一個客體的某種特性或性質(zhì)，而n元謂詞（二個以上）則用以描述n個客體之間的關(guān)系。3 3）0元謂詞(不含客體詞的)實際上就是一般的命題。4 4）具體命題的謂詞表示形式和具體命題的謂詞表示形式和n n元命題函數(shù)元命題函數(shù)(n(n元謂詞元謂詞) )是是不不同的，前者是有真值的，而后者不

33、是命題，它的真同的，前者是有真值的，而后者不是命題，它的真值是不確定的。值是不確定的。5 5）一個）一個n n元謂詞不是一個命題，但將元謂詞不是一個命題，但將n n元謂詞中的客體變元謂詞中的客體變元都用個體域中具體的客體取代后，就成為一個命題。元都用個體域中具體的客體取代后，就成為一個命題。而且，客體變元在不同的個體域中取不同的值對是否而且，客體變元在不同的個體域中取不同的值對是否成為命題及命題的真值有很大的影響。成為命題及命題的真值有很大的影響。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院2727/70/70幾個結(jié)論幾個結(jié)論1 1）謂詞中個體詞的順序是十分重要的，不能隨意變更。2 2

34、）一元謂詞用以描述某一個客體的某種特性或性質(zhì)，而n元謂詞（二個以上）則用以描述n個客體之間的關(guān)系。3 3）0元謂詞(不含客體詞的)實際上就是一般的命題。4 4）具體命題的謂詞表示形式和n元命題函數(shù)(n元謂詞)是不同的，前者是有真值的，而后者不是命題，它的真值是不確定的。5 5）一個）一個n n元謂詞不是一個命題，但將元謂詞不是一個命題，但將n n元謂詞中的客體變元謂詞中的客體變元都用個體域中具體的客體取代后，就成為一個命題。元都用個體域中具體的客體取代后，就成為一個命題。而且，客體變元在不同的個體域中取不同的值對是否而且，客體變元在不同的個體域中取不同的值對是否成為命題及命題的真值有很大的影響

35、。成為命題及命題的真值有很大的影響。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院2828/70/70二、量詞二、量詞 QuantifierQuantifiern 在在蘇格拉底蘇格拉底三段論的例子中，如要對句子：三段論的例子中，如要對句子： P P：H(xH(x)D(xD(x) )（）求否定求否定，則，則有：有：(H(x(H(x)D(xD(x)H H( ()( () )H H( ()( () ) 上述式子說明：上述式子說明：“命題命題P”P”的否定是：的否定是：“所有的人都不死所有的人都不死”。 但這與人們在日常生活中對命但這與人們在日常生活中對命題：題：“所有人都是要死的所有人都是要死

36、的”的否定為：的否定為：“并非一切的人并非一切的人都是要死的都是要死的”。顯然相差甚遠。顯然相差甚遠。 其原因在于：其原因在于： 命題命題P P的確切含義是：的確切含義是：“對任意的對任意的x x，如果，如果x x是人，則是人，則x x是是要死的要死的”。但。但H(x)D(xH(x)D(x) )并沒有確切地表示出并沒有確切地表示出“對任意對任意x”x”這個意思，亦即這個意思，亦即H(x)D(xH(x)D(x) )不是一個命題不是一個命題2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院2929/70/70二、量詞二、量詞 QuantifierQuantifiern 在蘇格拉底三段論的例子中，

37、如要對句子： P：H(x)D(x)（所有的人都是要死的）求否定，則有：(H(x)D(x)H()() 上述式子說明：上述式子說明：“命題命題P”P”的否定是：的否定是：“所有的人都不死所有的人都不死”。但這與人們在日常生活中對命題：。但這與人們在日常生活中對命題：“所有人都是要死的所有人都是要死的”的否定為：的否定為：“并非一切的人都是并非一切的人都是要死的要死的”。顯然相差甚遠。顯然相差甚遠。 其原因在于：其原因在于： 命題命題P P的確切含義是：的確切含義是：“對任意的對任意的x x，如果，如果x x是人，則是人，則x x是是要死的要死的”。但。但H(x)D(xH(x)D(x) )并沒有確切

38、地表示出并沒有確切地表示出“對任意對任意x”x”這個意思，亦即這個意思，亦即H(x)D(xH(x)D(x) )不是一個命題不是一個命題2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院3030/70/70二、量詞二、量詞 QuantifierQuantifiern 在蘇格拉底三段論的例子中，如要對句子： P P：H(xH(x)D(xD(x) )（所有的人都是要死的）所有的人都是要死的）求否定，則有：(H(x)D(x)H()()H()()上述式子說明：“命題P”的否定是：“所有的人都不死”。但這與人們在日常生活中對命題：“所有人都是要死的”的否定為：“并非一切的人都是要死的”。顯然相差甚遠。

39、其原因在于：其原因在于： 命題命題P P的確切含義是：的確切含義是：“對任意的對任意的x x，如果，如果x x是人，則是人，則x x是是要死的要死的”。但。但H(x)D(xH(x)D(x) )并沒有確切地表示出并沒有確切地表示出“對任意對任意x x”這個意思，亦即這個意思，亦即H(x)D(xH(x)D(x) )不是一個命題不是一個命題2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院3131/70/70例例1.41.4：n 符號化下述命題：符號化下述命題： 1 1）所有的老虎所有的老虎都要吃人；都要吃人； 2 2）每一個人每一個人都會犯錯誤；都會犯錯誤； 3 3）有一些人有一些人會摔跤；會摔

40、跤； 4 4）有一些人有一些人是大學(xué)生；是大學(xué)生； 5 5）每一個帶傘的人每一個帶傘的人都不怕雨；都不怕雨； 6 6）有一些自然數(shù)有一些自然數(shù)是素數(shù)。是素數(shù)。 上述每一個描述量詞的語句下劃有上述每一個描述量詞的語句下劃有“下劃線下劃線”。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院3232/70/70例例1.41.4（續(xù)（續(xù)1）n 解：解：設(shè)立如下謂詞：設(shè)立如下謂詞： R(x)R(x)：x x會吃人；會吃人；P(xP(x) )：x x會犯錯誤；會犯錯誤； N(xN(x) )：x x會摔跤；會摔跤；Q(xQ(x) )：x x是大學(xué)生；是大學(xué)生； C(xC(x) )：x x不怕雨；不怕雨；

41、S(xS(x) )：x x是素數(shù)。是素數(shù)。 則有：則有： 1 1）所有的）所有的x x，R(x) xR(x) x 老虎；老虎； 2 2）每一個）每一個x x，P(xP(x) x) x 人人 ； 3 3）有一些）有一些x x，N(xN(x) x) x 人人 ； 4 4）有一些）有一些x x，Q(xQ(x) x) x 人人 ； 5 5）每一個）每一個x x，C(xC(x) x) x 帶傘的人帶傘的人 ； 6 6）有一些）有一些x x，S(xS(x) x ) x 自然數(shù)自然數(shù) 。 2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院3333/70/70量詞的定義：量詞的定義：n 上述一系列例子，都僅

42、僅只符號化了一部分內(nèi)容，而對上述一系列例子，都僅僅只符號化了一部分內(nèi)容，而對句子中的句子中的“對每一個對每一個”，“對任意的對任意的”，“有一些有一些”等等等等無法用謂詞來表示無法用謂詞來表示，這些都是與客體詞的，這些都是與客體詞的數(shù)量有關(guān)數(shù)量有關(guān)的的語句。語句。n 為了把它們符號化，引進如下兩個符號：為了把它們符號化，引進如下兩個符號： ( ( x x ) ) : : 所 有 的所 有 的 x x ； ( ( x )x ) : : 有 些有 些 x x ； 任意的任意的x x； 至少有一個至少有一個x x； 一 切 的一 切 的 x x ； 存 在存 在 x x ； 每一個每一個x x；等等

43、。等等。 等等。等等。n 定義定義2.1.2:(2.1.2:( x x) )稱為全稱量詞稱為全稱量詞。( ( x)x)為存在量為存在量詞詞, ,其中其中的的x x稱為作用變量稱為作用變量。一般將量詞加在謂詞之前，記為一般將量詞加在謂詞之前，記為( ( x x) )F(x), (F(x), ( x)x)F(x)F(x)。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院3434/70/70量詞的定義：量詞的定義：n 上述一系列例子，都僅僅只符號化了一部分內(nèi)容，而對句子中的“對每一個”，“對任意的”，“有一些”等等無法用謂詞來表示，這些都是與客體詞的數(shù)量有關(guān)的語句。n 為了把它們符號化，引進如下

44、兩個符號：為了把它們符號化，引進如下兩個符號： ( ( x x ) ) : : 所 有 的所 有 的 x x ； ( ( x )x ) : : 有 些有 些 x x ； 任意的任意的x x； 至少有一個至少有一個x x； 一 切 的一 切 的 x x ； 存 在存 在 x x ； 每一個每一個x x；等等。等等。 等等。等等。n 定義定義2.2:(2.2:( x x) )稱為全稱量詞稱為全稱量詞。( ( x)x)為存在量為存在量詞詞, ,其中的其中的x x稱為作用變量稱為作用變量。一般將量詞加在謂詞之前，記為一般將量詞加在謂詞之前，記為( ( x x) )F(x), (F(x), ( x)x)

45、F(x)F(x)。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院3535/70/70量詞的定義：量詞的定義：n 上述一系列例子，都僅僅只符號化了一部分內(nèi)容，而對句子中的“對每一個”，“對任意的”，“有一些”等等無法用謂詞來表示，這些都是與客體詞的數(shù)量有關(guān)的語句。n 為了把它們符號化，引進如下兩個符號： ( x ) : 所 有 的 x ； ( x ) : 有 些 x ； 任意的x； 至少有一個x； 一 切 的 x ； 存 在 x ； 每一個x；等等。 等等。n 定義定義2.2:2.2:( ( x x) )稱為稱為全稱量詞全稱量詞。( ( x)x)為為存在量存在量詞詞, ,其中的其中的x x

46、稱為稱為作用變量作用變量。一般將量詞加在謂詞之前，記為一般將量詞加在謂詞之前，記為( ( x x) )F(x)F(x), , ( ( x)x)F(x)F(x)。全稱量化命題全稱量化命題存在量化命題存在量化命題2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院3636/70/70例例1.4 (1.4 (續(xù)續(xù)2)2)n 在例在例1.41.4中，利用量詞則有：中，利用量詞則有： ( ( x)R(xx)R(x) )(x(x 老虎老虎) ( ( x)P(xx)P(x) ) (x (x 人人) ( ( x)N(xx)N(x) )(x(x 人人) ( ( x)Q(xx)Q(x) )(x(x 人人) ( (

47、 x)C(xx)C(x) )(x(x 帶傘的人帶傘的人) ( ( x)S(xx)S(x) )(x(x 自然數(shù)自然數(shù))n 前面蘇格拉底三段論中的前面蘇格拉底三段論中的P P也可表示為：也可表示為：( ( x)(H(x)D(xx)(H(x)D(x)。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院3737/70/70例例1.4 (1.4 (續(xù)續(xù)2)2)n 在例1.4中，利用量詞則有： (x)R(x)(x老虎) (x)P(x) (x人) (x)N(x)(x人) (x)Q(x)(x人) (x)C(x)(x帶傘的人) (x)S(x)(x自然數(shù))n 前面蘇格拉底三段論中的前面蘇格拉底三段論中的P P也

48、可表示為：也可表示為：( ( x)(H(x)D(xx)(H(x)D(x)。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院3838/70/70不便之處不便之處n 1)1)從書寫上十分不便，總要特別注明個體域。從書寫上十分不便，總要特別注明個體域。 2)2)在同一個比較復(fù)雜的句子中，對于不同命題函數(shù)中在同一個比較復(fù)雜的句子中，對于不同命題函數(shù)中的個體可能屬于不同的個體域，此時無法清晰表達。的個體可能屬于不同的個體域，此時無法清晰表達。 3)3)有時，由于個體域的注明不清楚，造成無法確定其有時，由于個體域的注明不清楚，造成無法確定其真值。對于同一個公式，不同的個體域有可能帶來不真值。對于同一個

49、公式，不同的個體域有可能帶來不同的真值。同的真值。n 如如( ( x)x)(x(x6 65):5):1 1）在實數(shù)范圍內(nèi)時，確有）在實數(shù)范圍內(nèi)時，確有x x-1-1使得使得x x6 65 5， 因此，因此，( ( x)x)(x(x6 65)5)為為“真真”。2 2）在正整數(shù)范圍內(nèi)時，則找不到任何）在正整數(shù)范圍內(nèi)時，則找不到任何x x，使得，使得 x x6 65 5為為“真真”，所以，所以，( ( x)x)(x(x6 65)5)為為“假假”。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院3939/70/70不便之處不便之處n 1)1)從書寫上十分不便，總要特別注明個體域。 2)2)在同一個

50、比較復(fù)雜的句子中，對于不同命題函數(shù)中的個體可能屬于不同的個體域，此時無法清晰表達。 3)3)有時，由于個體域的注明不清楚，造成無法確定其真值。對于同一個公式，不同的個體域有可能帶來不同的真值。n 如如( ( x)x)(x(x6 65):5):1 1）在實數(shù)范圍內(nèi)時，確有在實數(shù)范圍內(nèi)時，確有x x-1-1使得使得x x6 65 5， 因此，因此，( ( x)x)(x(x6 65)5)為為“真真”。2 2）在正整數(shù)范圍內(nèi)時，則找不到任何在正整數(shù)范圍內(nèi)時，則找不到任何x x，使得，使得 x x6 65 5為為“真真”，所以，所以，( ( x)x)(x(x6 65)5)為為“假假”。2022-7-62

51、022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院4040/70/70三、全總個體域三、全總個體域n 基于上述情況，有必要對個體域進行統(tǒng)一，全部使用基于上述情況，有必要對個體域進行統(tǒng)一，全部使用全總個體域，此時，對每一個句子中客體變量的變化全總個體域，此時，對每一個句子中客體變量的變化范圍用一定的范圍用一定的特性謂詞特性謂詞刻劃之。而統(tǒng)一成刻劃之。而統(tǒng)一成全總個體域全總個體域后，此全總個體域在謂詞公式中就不必特別說明，常后，此全總個體域在謂詞公式中就不必特別說明，常常省略不記。常省略不記。n 同時，這種特性謂詞在加入到命題函數(shù)中時必定遵循同時，這種特性謂詞在加入到命題函數(shù)中時必定遵循如下原則：如下原則： 1

52、1）對于全稱量詞，刻劃其對應(yīng)個體域的特性謂詞作為）對于全稱量詞，刻劃其對應(yīng)個體域的特性謂詞作為蘊涵的前件加入。蘊涵的前件加入。 2 2）對于存在量詞，刻劃其對應(yīng)個體域的特性謂詞作為）對于存在量詞，刻劃其對應(yīng)個體域的特性謂詞作為合取式之合取項加入。合取式之合取項加入。2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院4141/70/70三、全總個體域三、全總個體域n 基于上述情況，有必要對個體域進行統(tǒng)一，全部使用全總個體域，此時，對每一個句子中客體變量的變化范圍用一定的特性謂詞刻劃之。而統(tǒng)一成全總個體域后，此全總個體域在謂詞公式中就不必特別說明，常常省略不記。n 同時，這種特性謂詞在加入到命題

53、函數(shù)中時必定遵循同時，這種特性謂詞在加入到命題函數(shù)中時必定遵循如下如下原則原則： 1 1）對于全稱量詞，刻劃其對應(yīng)個體域的特性謂詞作為對于全稱量詞，刻劃其對應(yīng)個體域的特性謂詞作為蘊涵的前件加入蘊涵的前件加入。(P29)(P29) 2 2）對于存在量詞，刻劃其對應(yīng)個體域的特性謂詞作為對于存在量詞，刻劃其對應(yīng)個體域的特性謂詞作為合取式之合取項加入合取式之合取項加入。(P29)(P29)2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院4242/70/70例例1.4 (1.4 (續(xù)續(xù)3)3)n 對于例對于例1 14 4 中的例子運用特性謂詞描述。中的例子運用特性謂詞描述。解：解：1)1) U(x)

54、U(x)：x x是老虎；是老虎；( ( x x) )( (U(x)R(x)U(x)R(x)2)2) H(x)H(x)：x x是人；是人； ( ( x x) )(H(x)P(x)(H(x)P(x) )3)3) H(x)H(x)：x x是人；是人； ( ( x)x)( (H(x)H(x)N(x)N(x)4)4) H(x)H(x)：x x是人；是人；( ( x)x)( (H(x)H(x)Q(x)Q(x)5)5) M(x)M(x)：x x是帶傘的人；是帶傘的人； ( ( x x) )( (M(x)C(xM(x)C(x)6)6) T(x)T(x)：x x是自然數(shù)；是自然數(shù)；( ( x)(x)(T(x)T

55、(x)S(x)S(x)n蘇格拉底三段論可完整翻譯為：蘇格拉底三段論可完整翻譯為： ( ( x x) )(H(x(H(x)D(xD(x)，H(S)H(S)D(S)D(S) ( ( x x) )(H(x(H(x)D(xD(x)( ( x)x)( (H H( ()D(D()2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院4343/70/70例例1.4 (1.4 (續(xù)續(xù)3)3)n 對于例14 中的例子運用特性謂詞描述。解：1) U(x)：x是老虎；(x)(U(x)R(x)2) H(x)：x是人； (x)(H(x)P(x)3) H(x)：x是人； (x)(H(x)N(x)4) H(x)：x是人；(x

56、)(H(x)Q(x)5) M(x)：x是帶傘的人； (x)(M(x)C(x)6) T(x)：x是自然數(shù)；(x)(T(x)S(x)n蘇格拉底蘇格拉底三段論可完整翻譯為：三段論可完整翻譯為： ( ( x x) )(H(x(H(x)D(xD(x)，H(S)H(S)D(S)D(S) ( ( x x) )( (H(xH(x)D(xD(x) ) )( ( x)x)( (H H( ()D(D() ) )2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院4444/70/70例例1.5:1.5:n 符號化下述語句符號化下述語句：1)1) 天下烏鴉一般黑；天下烏鴉一般黑；2)2) 那位身體強健的、用功的、肯于思

57、考的大學(xué)那位身體強健的、用功的、肯于思考的大學(xué)生，解決了一個數(shù)學(xué)難題；生，解決了一個數(shù)學(xué)難題；3)3) 張強和李平都是足球運動員；張強和李平都是足球運動員；4)4) 每個實數(shù)都存在比它大的另外的實數(shù)。每個實數(shù)都存在比它大的另外的實數(shù)。5)5) 并非所有的動物都是脊椎動物；并非所有的動物都是脊椎動物；6)6) 盡管有人很聰明，但未必一切人都聰明；盡管有人很聰明，但未必一切人都聰明；7)7) 對于任意給定的對于任意給定的 00，必存在著，必存在著 00，使得對，使得對任意的任意的x x，只要，只要|x-a|x-a| ，就有：，就有： |f(x)-f(a)|f(x)-f(a)|0)(0)()()(

58、0)0) (|x-a| (|x-a| )(|f(x)-f(a)(|f(x)-f(a)|)|0)(0)() )( ( ( 0)0) ( (|x-a|(|x-a| )(|f(x)-f(a)(|f(x)-f(a)|)| ) ) ) ) )2022-7-62022-7-6計算機學(xué)院計算機學(xué)院5252/70/70四、自由變元與約束變元四、自由變元與約束變元n 定義定義2.32.3：在表達式在表達式 xA(xxA(x) )或或 xA(xxA(x) )中，中，x x稱為稱為指導(dǎo)指導(dǎo)（作用）變元（作用）變元，A(xA(x) )稱為相應(yīng)量詞的稱為相應(yīng)量詞的轄域（作用域）轄域（作用域）。在轄域中在轄域中x x的所

59、有出現(xiàn)稱為的所有出現(xiàn)稱為x x在公式在公式A A中的約束出現(xiàn)，中的約束出現(xiàn)， 此時的變元此時的變元x x稱為稱為約束變元約束變元。 A A中不是約束出現(xiàn)的其它中不是約束出現(xiàn)的其它變元稱為變元稱為自由變元自由變元。n 例例1.61.6： a a） x(P(x)Q(x):x(P(x)Q(x): x x的轄域為的轄域為P P（x x）Q(x),xQ(x),x為約為約 束變元。束變元。 b b） xP(x)Q(x):xP(x)Q(x): x x的轄域為的轄域為P(x),xP(x),x為約束出現(xiàn)，為約束出現(xiàn)， Q(xQ(x) )中的中的x x為自由出現(xiàn)。為自由出現(xiàn)。2022-7-62022-7-6計算機

60、學(xué)院計算機學(xué)院5353/70/70四、自由變元與約束變元四、自由變元與約束變元n 定義2.3：在表達式xA(x)或xA(x)中，x稱為指導(dǎo)（作用）變元，A(x)稱為相應(yīng)量詞的轄域（作用域）。在轄域中x的所有出現(xiàn)稱為x在公式A中的約束出現(xiàn)， 此時的變元x稱為約束變元。 A中不是約束出現(xiàn)的其它變元稱為自由變元。n 例例1.61.6： a a） x x( (P(x)Q(x)P(x)Q(x) ): : x x的轄域為的轄域為P P（x x）Q(x),xQ(x),x為約為約 束變元。束變元。 b b） xP(x)Q(x):xP(x)Q(x): x x的轄域為的轄域為P(x),xP(x),x為約束出現(xiàn)，為