高斯定理及應用

1、rerqE20412、電場強度通量（電通量）、電場強度通量（電通量） 3、4、高斯定理的應用、高斯定理的應用4-3 4-3 電場強度通量電場強度通量 高斯定理高斯定理一一 電場線電場線 （電場的圖示法）（電場的圖示法）1、規(guī)定：、規(guī)定：E* 電場線上一點的電場線上一點的切線切線方向表示該點場強的方向方向表示該點場強的方向* 電場線的疏密表示該點處場強的大小電場線的疏密表示該點處場強的大小SdEE描述電場分布情況的曲線。描述電場分布情況的曲線。垂直垂直通過單位面積的電場線條數(shù)就等于該點處電場強度的大小。通過單位面積的電場線條數(shù)就等于該點處電場強度的大小。S電場中帶有方向的曲線，電場中帶有方向的曲

2、線，非客觀存在，為了更形象描述電場引入的非客觀存在，為了更形象描述電場引入的一簇假想的曲線。一簇假想的曲線。幾種常見的電場線：電偶極子的電場線電偶極子的電場線一對等量正電荷的電場線一對等量正電荷的電場線均勻帶電直導均勻帶電直導線的電場線線的電場線qq2 （1）起于正電荷）起于正電荷(或無限遠或無限遠)，終止于負電荷，終止于負電荷(或無限遠或無限遠)；2、電場線性質(zhì)：、電場線性質(zhì)：（2）電場線）電場線不會形成閉合曲線不會形成閉合曲線，也不在沒有電荷的地方中斷；，也不在沒有電荷的地方中斷；（3）任何兩條電場線都不會相交；）任何兩條電場線都不會相交； 注意：注意： （1）電場線并不真正存在）電場線并

3、不真正存在.為了描述電場分布而引入的曲線為了描述電場分布而引入的曲線 （2）電場線不是電荷運動的軌跡）電場線不是電荷運動的軌跡.（4）電場線密集處）電場線密集處,電場強度較大電場強度較大,電場線稀疏處電場強度較小。電場線稀疏處電場強度較小。+ + + + + + + + + + + + 二二 電場強度通量電場強度通量通過電場中某一個面的電場線通過電場中某一個面的電場線數(shù)目，叫做通過數(shù)目，叫做通過這個面這個面的的電場電場強度通量強度通量(簡稱電通量簡稱電通量) eCNm2單位：單位：ESeE面積元矢量：面積元矢量：neSSdd面積元范圍內(nèi) 視為均勻E通過面元的電通量:SEedd 非均勻電場強度電

4、通量非均勻電場強度電通量 SSeeSEdd通過曲面S的電通量SEEScosESe 均勻電場均勻電場 ， 與平面夾角與平面夾角E 均勻電場均勻電場 ， 垂直平面垂直平面EESdEneEneSSSESEdcosde 閉合曲面的電場強度通量閉合曲面的電場強度通量SEddeESdES閉合曲面閉合曲面向外為正，向內(nèi)為負向外為正，向內(nèi)為負(2) 電通量是代數(shù)量電通量是代數(shù)量：2為負為負 ed非閉合曲面非閉合曲面凸為正，凹為負凸為正，凹為負方向的規(guī)定：方向的規(guī)定：S(1)為正為正 ed20討論討論0de0de0deESnESnESn例例1 如圖所示，有一個三棱柱體放如圖所示，有一個三棱柱體放置在電場強度置在

5、電場強度 的勻強的勻強電場中電場中. 求通過此三棱柱體的電場強求通過此三棱柱體的電場強度通量度通量 .1CN200iE解解:下后前eee 0dsSE左左左左ESESsSEcosd e左右右右ESESsSEcosd e0 eeeeee下右左后前xyzEoPQRNMnenene下右左后前eeeeee1. 一電場強度為一電場強度為E的均勻電場，方向沿的均勻電場，方向沿x軸正向，如圖所軸正向，如圖所示則通過圖中一半徑為示則通過圖中一半徑為R的半球面的電場強度通量為的半球面的電場強度通量為(A) R2E (B) R2E / 2 (C) 2 R2E (D) 0 x O E 2.一電場強度為一電場強度為E的

6、均勻電場，方向沿與的均勻電場，方向沿與x軸垂直的方向，軸垂直的方向，如圖所示則通過圖中一半徑為如圖所示則通過圖中一半徑為R的半球面的電場強度通量的半球面的電場強度通量為為 x O E (A) R2E (B) R2E / 2 (C) 2 R2E (D) 0練習題練習題：（D）（A）高高斯斯三三 高斯定理高斯定理 ( (C.F.Gauss 1777 1855） 德國數(shù)學家、天文學德國數(shù)學家、天文學家和物理學家，有家和物理學家，有“數(shù)數(shù)學王子學王子”美稱，他與韋美稱，他與韋伯制成了第一臺有線電伯制成了第一臺有線電報機和建立了地磁觀測報機和建立了地磁觀測臺，高斯還創(chuàng)立了電磁臺，高斯還創(chuàng)立了電磁量的絕對

7、單位制量的絕對單位制. .三三 高斯定理高斯定理niiSqSE10e1d在真空中在真空中, ,通過任一通過任一閉合閉合曲面曲面的電場強度通量的電場強度通量, ,等于該曲面等于該曲面所所包圍包圍的所有電荷的代數(shù)和除以的所有電荷的代數(shù)和除以 . .0( (與與閉合曲面外閉合曲面外的電荷無關的電荷無關, ,閉合曲面稱為高斯面閉合曲面稱為高斯面) )2、表達式：表達式：1、內(nèi)容：內(nèi)容：思考：思考：1 1）高斯面上的高斯面上的 與那些電荷有關與那些電荷有關 ？ Es2 2）哪些電荷對閉合曲面哪些電荷對閉合曲面 的的 有貢獻有貢獻 ？eniiq1 表示表示閉合曲面閉合曲面內(nèi)內(nèi)電荷的代數(shù)和。電荷的代數(shù)和。3

8、 3、定義式中各項的含義定義式中各項的含義S: 封閉曲面封閉曲面；E: 總場總場, ,S S內(nèi)外所有電荷均有貢獻內(nèi)外所有電荷均有貢獻)CmN(1085. 8221120:真空電容率真空電容率( (介電常數(shù)介電常數(shù)) )內(nèi)qqi: :S S內(nèi)的凈電荷內(nèi)的凈電荷; ; :e只有只有S S內(nèi)電荷有貢獻內(nèi)電荷有貢獻. .0 點電荷點電荷位于球面中心位于球面中心20 4rqESSSrqSEd 4d20e0eq 此結果與球面半徑此結果與球面半徑 r 無關無關,也與閉合曲面的形狀無關。也與閉合曲面的形狀無關。+Sdr 點電荷在點電荷在閉合曲面內(nèi)閉合曲面內(nèi)+穿出藍色閉合曲面的電場線數(shù)與穿出藍色閉合曲面的電場線

9、數(shù)與穿出閉合球面的電場線數(shù)相同穿出閉合球面的電場線數(shù)相同.SSEde0qe 在點電荷在點電荷q的電場中，通過求電場強度通量導出的電場中，通過求電場強度通量導出.4 4、高斯定理的證明高斯定理的證明步驟步驟:先證明點電荷的場先證明點電荷的場, 然后推廣至一般電荷分布的場然后推廣至一般電荷分布的場高斯高斯定理定理庫侖定律庫侖定律電場強度疊加原理電場強度疊加原理q2dS2E1dS1E+ 點電荷在點電荷在閉合曲面外閉合曲面外；0dd111SE0dd222SE0dd21 0dSeSE進入進入閉合曲面的電場線數(shù)閉合曲面的電場線數(shù)等于穿出等于穿出閉合曲閉合曲面的電場線數(shù)面的電場線數(shù).面面內(nèi)電荷內(nèi)電荷對對電通

10、量有貢獻電通量有貢獻,在面在面外電荷外電荷對對電通量無貢獻。電通量無貢獻。iqsSdE 點電荷系點電荷系的電場的電場21EEE SiiSSESEdde （外）內(nèi)）iSiiSiSESEdd( 內(nèi)）（內(nèi)）(0e1diiiSiqSE0e外iieqSE)(1d0內(nèi)SVeVSEd1d0S不連續(xù)不連續(xù)分布分布的源電荷的源電荷 連續(xù)連續(xù)分布分布的源電荷的源電荷 高斯定理高斯定理5、意義：意義： （電磁場的基本方程之一）（電磁場的基本方程之一）反映電場的基本性質(zhì)。反映電場的基本性質(zhì)。 iieqSE)(1d0內(nèi)Sq0sdEsq 0 ，有電場線發(fā)出。，有電場線發(fā)出。說明靜電場是有源場說明靜電場是有源場正電荷是電場

11、的源頭，正電荷是電場的源頭， 負電荷是電場的尾閭。負電荷是電場的尾閭。q所有所有( (曲面內(nèi)和曲面外曲面內(nèi)和曲面外) )電荷電荷在高在高斯面上產(chǎn)生的電場。斯面上產(chǎn)生的電場。:E閉合閉合曲面內(nèi)曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和。電荷的代數(shù)和。: iqniiSqSE10e1d高斯定理高斯定理3 3）高斯面上的電場強度為高斯面上的電場強度為所有所有內(nèi)外電荷的總電場強度內(nèi)外電荷的總電場強度. .4 4）僅高斯面僅高斯面內(nèi)內(nèi)的電荷對高斯面的電場強度的電荷對高斯面的電場強度通量通量有貢獻有貢獻. .1 1）高斯面為高斯面為封閉曲面封閉曲面. .5 5）靜電場是靜電場是有源場有源場. .2 2）穿進穿進高斯面的電場強度通量

12、為高斯面的電場強度通量為負負，穿出穿出為為正正. .總總 結結 閉合面外的電荷對通過閉合面的電場強度閉合面外的電荷對通過閉合面的電場強度通量通量沒有貢獻，沒有貢獻，但是對閉合面上各點的但是對閉合面上各點的電場強度電場強度是有的是有的 即即閉合面上各點的電場強度閉合面上各點的電場強度是由閉合面內(nèi)、外所有電荷是由閉合面內(nèi)、外所有電荷共同激發(fā)的。共同激發(fā)的。 高斯定理將靜電場與場源電荷聯(lián)系了起來，揭示了靜電場高斯定理將靜電場與場源電荷聯(lián)系了起來，揭示了靜電場是有源場這一普遍性質(zhì)。是有源場這一普遍性質(zhì)。 1S2S3Sqq01e1dqSES02e 在點電荷在點電荷+ +q和和- -q的靜電場中，的靜電場

13、中，做如下的三個閉合面做如下的三個閉合面S1 1, ,S2 2, ,S3 3，求求通過各閉合面的電通量通過各閉合面的電通量. .討論討論 將將q2 2從從A移到移到B，點點P電場強度是否電場強度是否變化變化？穿過高斯面穿過高斯面S的的 有否變化有否變化？e2q2qABs1qP*03e3dqSES點點P電場強度改變電場強度改變穿過高斯面穿過高斯面S的的 沒有變化沒有變化e* 是空間所有電荷共同產(chǎn)生的合場強是空間所有電荷共同產(chǎn)生的合場強EniiSqSE10e1d高斯定理高斯定理* 不能說明不能說明S面上的面上的E處處為零處處為零0dSSE* 不能說明不能說明S面上的面上的E處處不為零處處不為零0d

14、SSE四四 高斯定理的應用高斯定理的應用用高斯定理求場強時用高斯定理求場強時, ,電荷有對稱性電荷有對稱性, ,場也有某種對稱性，場也有某種對稱性，否則不能用否則不能用. .這這并不是說定理并不是說定理不適用于非對稱情況，不適用于非對稱情況，而是解不出而是解不出E E來來. .2.2.所求的場強必須在高斯面上；所求的場強必須在高斯面上；5.5.高斯面本身簡單可積高斯面本身簡單可積. .-計算電場強度。計算電場強度。成立條件成立條件: : 靜電場靜電場求解條件求解條件: : 場強分布具有對稱性場強分布具有對稱性中的從而簡便地求出 分布.以標量形式提到積分號外,EE高斯面選取原則：當場源電荷分布具

15、有對稱性時,應用高斯定律,選取適當?shù)母咚姑?使面積分SeSEd4.4.其他面應滿足其他面應滿足： E的方向與該面法向處處垂直的方向與該面法向處處垂直1. 高斯面可由若干個面組成高斯面可由若干個面組成3.3.其中至少有一個面應滿足：其中至少有一個面應滿足：在在該面上該面上，E的的大小處處相等大小處處相等，方向方向與與該面該面的的法向處處平行法向處處平行，SESESEd0cosdd02/cosddSESE四四 高斯定理的應用高斯定理的應用（用高斯定理求解的靜電場必須具有一定的（用高斯定理求解的靜電場必須具有一定的對稱性對稱性）1. 均勻均勻帶電球面帶電球面的電場的電場2. 均勻均勻帶電球體帶電球體

16、的電場的電場4. 均勻均勻帶電無限大平面帶電無限大平面的電場的電場3.均勻均勻帶電圓柱面帶電圓柱面的電場的電場 5. 均勻均勻帶電球體空腔部分帶電球體空腔部分的電場的電場利用高斯定理求解電場強度的一步驟為：利用高斯定理求解電場強度的一步驟為： 對稱性分析；對稱性分析； 根據(jù)對稱性選擇合適的高斯面根據(jù)對稱性選擇合適的高斯面； 應用高斯定理計算應用高斯定理計算. .例如：例如： 球對稱球對稱：均勻帶電的球體、球面：均勻帶電的球體、球面( (點電荷點電荷) ) 軸對稱軸對稱：無限長柱體、柱面、帶：無限長柱體、柱面、帶電線電線 面對稱面對稱：無限大平板、無限大平：無限大平板、無限大平面面均勻帶電球殼、

17、球面、球體均勻帶電無限大平板EQPeES常見場源電荷分布類型常見場源電荷分布類型均勻帶電細棒ElS erP幾種常見的高斯面的選取幾種常見的高斯面的選取例例2 2 均勻帶電球面的電場強度均勻帶電球面的電場強度, 0d1SSE0E,d02QSES20 4rQE, 402QrEORr1Sr2s一半徑為一半徑為R, 均勻帶電均勻帶電Q的球面的球面 . 求球面內(nèi)外任意點的電場強度求球面內(nèi)外任意點的電場強度.（1）Rr 0Rr （2）r = R 處處 E 值突變值突變,面模型面模型,分層體模型分層體模型,042rE204RQrRoE204rQ結果表明：結果表明：均勻帶電均勻帶電球殼外球殼外的場強分布的場強

18、分布,像球面上的電荷都集中像球面上的電荷都集中在球心時所在球心時所形成的點電荷形成的點電荷在該區(qū)的場強分布一樣。在該區(qū)的場強分布一樣。 在在球面內(nèi)球面內(nèi)的場強的場強均為零均為零。場強方向沿場強方向沿 半徑方向向外半徑方向向外 E0204rQ)(Rr)(Rr解：解： 對稱性分析：對稱性分析： 電荷球對稱分布電荷球對稱分布場強球對稱分布場強球對稱分布取球面為高斯面取球面為高斯面電荷分布球對稱電荷分布球對稱,解：解：對稱性分析：對稱性分析：電荷球對稱分布電荷球對稱分布,oSqSEd,402qrE （1）球外某點的場強）球外某點的場強( r R )204rqE3023414rrEioSqSE1d（2）

19、求球體內(nèi)一點的場強）求球體內(nèi)一點的場強304RqrERrr（r R）33034341rRqRrrqRrRqrE,4,42030場強球對稱分布場強球對稱分布rEOR電場分布曲線電場分布曲線334Rq例例3:已知球體半徑為已知球體半徑為R, ,帶電量為帶電量為q( (電荷體密度為電荷體密度為 ) )求均勻帶電球體的電場強度分布求均勻帶電球體的電場強度分布取球面為高斯面取球面為高斯面2303rRErE03場強方向沿半場強方向沿半徑方向向外徑方向向外例例4. 均勻帶電球體空腔部分的電場，球半徑為均勻帶電球體空腔部分的電場，球半徑為R， 在球內(nèi)挖去一個半徑為在球內(nèi)挖去一個半徑為r（rR）的球體。）的球體

20、。試證試證:空腔部分的電場為勻強電場空腔部分的電場為勻強電場,并求出該電場并求出該電場證明：證明：用補缺法證明。用補缺法證明。OP031在空腔內(nèi)任取一點在空腔內(nèi)任取一點p,E設想用一個半徑為設想用一個半徑為r且體電荷密度與大球且體電荷密度與大球相同的小球將空腔補上后，相同的小球將空腔補上后， p點場強變?yōu)辄c場強變?yōu)?E設該點場強為設該點場強為小球單獨存在時，小球單獨存在時，p點的場強為點的場強為cpE023 rcpoR1E2ErcpoR1E2EEEE21 21EEEoc03因為因為oc為常矢量，所以空腔內(nèi)為勻強電場。為常矢量，所以空腔內(nèi)為勻強電場。)(30cpop推廣推廣rPEEddqOqdd

21、ddEESL求無限長帶電直線的場強分布求無限長帶電直線的場強分布高高斯斯面面rl對稱性分析對稱性分析:選同軸圓柱型高斯面選同軸圓柱型高斯面高高斯斯面面lr+hneneneE+r+hneneneE+r求無限長均勻帶電直線的場強分布（已知線電荷密度為求無限長均勻帶電直線的場強分布（已知線電荷密度為 ）=0=0由高斯由高斯定理定理,得得:hqrhE00112內(nèi)rE02 rOE側下上SESESESESdddd側側SESEd dcos0rhE2解：解： 對稱性分析：對稱性分析：軸對稱軸對稱場強軸對稱分布場強軸對稱分布選取閉合圓柱面為高斯面選取閉合圓柱面為高斯面電荷分布軸對稱電荷分布軸對稱,電荷軸對稱分布

22、電荷軸對稱分布以細棒為軸作一個高為以細棒為軸作一個高為h、截面半徑為、截面半徑為r的圓柱面的圓柱面，如圖所示，如圖所示. 以該圓柱面為高斯面，運用高斯定以該圓柱面為高斯面，運用高斯定理，理，由于對稱性由于對稱性，圓柱，圓柱側面?zhèn)让嫔细鼽c的上各點的場強場強E的大的大小相等小相等, 方向方向都都垂直垂直于圓柱于圓柱側面向外側面向外. 通過高斯面通過高斯面S的電通量可分為的電通量可分為圓柱側面圓柱側面和和上、下上、下底面底面三部分三部分通量通量的的代數(shù)和。代數(shù)和。方向沿場點到方向沿場點到直導線的垂線直導線的垂線方向方向.正負由電正負由電荷的符號決定荷的符號決定r2E0 兩平行輸電兩平行輸電線的場強？

23、線的場強？ar 0E brar2E0 br 0E abrEr推廣推廣: (1) 無限長帶電無限長帶電圓柱面圓柱面的場？的場？(2)同軸電纜同軸電纜(柱面柱面)的場強分布的場強分布?r2ERr0 Rr l0ERr prR (3) 無限長帶電圓柱體的場？無限長帶電圓柱體的場？rRERr022 :02: rE Rr S計算無限大均勻帶電平面的場強分布計算無限大均勻帶電平面的場強分布對稱性分析對稱性分析:對稱性分析：對稱性分析： 電荷均勻分布在無限大的平面上電荷均勻分布在無限大的平面上,所以電場分布對該平面對稱所以電場分布對該平面對稱 即離平面等遠處的場強大小都相等、方向都垂直于平面即離平面等遠處的場

24、強大小都相等、方向都垂直于平面.例例5 計算無限大均勻帶電平面的場強分布（電荷面密度為計算無限大均勻帶電平面的場強分布（電荷面密度為 ）00SqSES內(nèi)d,20SES 選取閉合的柱形高斯面選取閉合的柱形高斯面EES=ES側右左SESESESESddddES2=ES=002EEEEExEO) 0( ) 0( 場強方向垂直于帶電平面場強方向垂直于帶電平面由高斯定理得：由高斯定理得： 電場分布曲線電場分布曲線E解：解：對稱性分析：對稱性分析：電荷均勻分布在無限大電荷均勻分布在無限大的平面上，所以的平面上，所以電場分布對該平面對稱電場分布對該平面對稱。即即離平面等遠處的場強大小都相等、方向離平面等遠處

25、的場強大小都相等、方向都垂直于平面都垂直于平面. 垂直于平面垂直于平面推廣：已知推廣：已知無限大無限大板板電荷體密度為電荷體密度為 ，厚度為，厚度為d板外：板外：02SdES 02dE外板內(nèi)：板內(nèi)：022xSES0 xE 內(nèi)解解: 選取如圖的圓柱面為高斯面選取如圖的圓柱面為高斯面求求電場場強分布電場場強分布Sdx dSxOEx000000討討 論論無限大帶電平面的電場疊加問題無限大帶電平面的電場疊加問題該系統(tǒng)不再具有簡單的對該系統(tǒng)不再具有簡單的對稱性，不能直接應用高斯稱性，不能直接應用高斯定理。定理。然而每一個帶電平然而每一個帶電平面的場強先可用高斯定理面的場強先可用高斯定理求出求出，然后再用疊加原理然后再用疊加原理求兩個帶電平面產(chǎn)生的總求兩個帶電平面產(chǎn)生的總場強。場強。直流電路中的平行板電容器間的場強，就是這種情況。直流電路中的平行板電容器間的場強，就是這種情況。當帶電直線當帶電直線, , 柱面柱面, , 柱體不能視為無限長時柱體不能視為無限長時, , 能否用高斯定理能否用高斯定理求電場分布求電場分布? ? 關于高斯定理應用的幾點說明關于高斯定理應用的幾點說明1.1.高斯定理是高斯定理是反映靜電場性質(zhì)的基本定理反映靜電場性質(zhì)的基本定理, ,是普遍成立的是普遍成立的, ,然而用高斯定理計算電場強度然而用高斯定理計算電場強度